Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itgiccshift 37857
 Description: The integral of a function, stays the same if its closed interval domain is shifted by . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a
itgiccshift.b
itgiccshift.aleb
itgiccshift.f
itgiccshift.t
itgiccshift.g
Assertion
Ref Expression
itgiccshift
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5
2 itgiccshift.b . . . . 5
3 itgiccshift.t . . . . . 6
43rpred 11341 . . . . 5
5 itgiccshift.aleb . . . . 5
61, 2, 4, 5leadd1dd 10227 . . . 4
76ditgpos 22811 . . 3 _
81, 4readdcld 9670 . . . 4
92, 4readdcld 9670 . . . 4
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9
11 cncff 21925 . . . . . . . . 9
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8
1312adantr 467 . . . . . . 7
141adantr 467 . . . . . . . 8
152adantr 467 . . . . . . . 8
168adantr 467 . . . . . . . . . 10
179adantr 467 . . . . . . . . . 10
18 simpr 463 . . . . . . . . . 10
19 eliccre 37603 . . . . . . . . . 10
2016, 17, 18, 19syl3anc 1268 . . . . . . . . 9
214adantr 467 . . . . . . . . 9
2220, 21resubcld 10047 . . . . . . . 8
231recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12
244recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12
2523, 24pncand 9987 . . . . . . . . . . 11
2625eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10
2726adantr 467 . . . . . . . . 9
28 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . 13
2916, 17, 28syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12
3018, 29mpbid 214 . . . . . . . . . . 11
3130simp2d 1021 . . . . . . . . . 10
3216, 20, 21, 31lesub1dd 10229 . . . . . . . . 9
3327, 32eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8
3430simp3d 1022 . . . . . . . . . 10
3520, 17, 21, 34lesub1dd 10229 . . . . . . . . 9
362recnd 9669 . . . . . . . . . . 11
3736, 24pncand 9987 . . . . . . . . . 10
3837adantr 467 . . . . . . . . 9
3935, 38breqtrd 4427 . . . . . . . 8
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 37601 . . . . . . 7
4113, 40ffvelrnd 6023 . . . . . 6
42 itgiccshift.g . . . . . 6
4341, 42fmptd 6046 . . . . 5
4443fnvinran 37335 . . . 4
458, 9, 44itgioo 22773 . . 3
467, 45eqtr2d 2486 . 2 _
47 eqid 2451 . . . 4
4847addccncf 21948 . . . . 5
4924, 48syl 17 . . . 4
501, 2iccssred 37602 . . . . 5
51 ax-resscn 9596 . . . . 5
5250, 51syl6ss 3444 . . . 4
538, 9iccssred 37602 . . . . 5
5453, 51syl6ss 3444 . . . 4
558adantr 467 . . . . 5
569adantr 467 . . . . 5
5750sselda 3432 . . . . . 6
584adantr 467 . . . . . 6
5957, 58readdcld 9670 . . . . 5
601adantr 467 . . . . . 6
61 simpr 463 . . . . . . . 8
622adantr 467 . . . . . . . . 9
63 elicc2 11699 . . . . . . . . 9
6460, 62, 63syl2anc 667 . . . . . . . 8
6561, 64mpbid 214 . . . . . . 7
6665simp2d 1021 . . . . . 6
6760, 57, 58, 66leadd1dd 10227 . . . . 5
6865simp3d 1022 . . . . . 6
6957, 62, 58, 68leadd1dd 10227 . . . . 5
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 37601 . . . 4
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 37747 . . 3
72 oveq1 6297 . . . . . . . . 9
7372fveq2d 5869 . . . . . . . 8
7473cbvmptv 4495 . . . . . . 7
751, 2, 4iccshift 37619 . . . . . . . 8
7675mpteq1d 4484 . . . . . . 7
7774, 76syl5eq 2497 . . . . . 6
7842, 77syl5eq 2497 . . . . 5
79 eqeq1 2455 . . . . . . . . . 10
8079rexbidv 2901 . . . . . . . . 9
81 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11
8281eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10
8382cbvrexv 3020 . . . . . . . . 9
8480, 83syl6bb 265 . . . . . . . 8
8584cbvrabv 3044 . . . . . . 7
8685eqcomi 2460 . . . . . 6
87 eqid 2451 . . . . . 6
8852, 24, 86, 10, 87cncfshift 37751 . . . . 5
8978, 88eqeltrd 2529 . . . 4
9043feqmptd 5918 . . . 4
9175eqcomd 2457 . . . . 5
9291oveq1d 6305 . . . 4
9389, 90, 923eltr3d 2543 . . 3
94 ioosscn 37591 . . . . . 6
9594a1i 11 . . . . 5
96 1cnd 9659 . . . . 5
97 ssid 3451 . . . . . 6
9897a1i 11 . . . . 5
9995, 96, 98constcncfg 37748 . . . 4
100 fconstmpt 4878 . . . . 5
101 ioombl 22518 . . . . . . 7
102101a1i 11 . . . . . 6
103 ioovolcl 22522 . . . . . . 7
1041, 2, 103syl2anc 667 . . . . . 6
105 iblconst 22775 . . . . . 6
106102, 104, 96, 105syl3anc 1268 . . . . 5
107100, 106syl5eqelr 2534 . . . 4
10899, 107elind 3618 . . 3
10950resmptd 5156 . . . . . . 7
110109eqcomd 2457 . . . . . 6
111110oveq2d 6306 . . . . 5
11251a1i 11 . . . . . 6
113112sselda 3432 . . . . . . . 8
11424adantr 467 . . . . . . . 8
115113, 114addcld 9662 . . . . . . 7
116 eqid 2451 . . . . . . 7
117115, 116fmptd 6046 . . . . . 6
118 ssid 3451 . . . . . . 7
119118a1i 11 . . . . . 6
120 eqid 2451 . . . . . . 7 fld fld
121120tgioo2 21821 . . . . . . 7 fldt
122120, 121dvres 22866 . . . . . 6
123112, 117, 119, 50, 122syl22anc 1269 . . . . 5
124111, 123eqtrd 2485 . . . 4
125 iccntr 21839 . . . . . 6
1261, 2, 125syl2anc 667 . . . . 5
127126reseq2d 5105 . . . 4
128 reelprrecn 9631 . . . . . . . 8
129128a1i 11 . . . . . . 7
130 1cnd 9659 . . . . . . 7
131129dvmptid 22911 . . . . . . 7
132 0cnd 9636 . . . . . . 7
133129, 24dvmptc 22912 . . . . . . 7
134129, 113, 130, 131, 114, 132, 133dvmptadd 22914 . . . . . 6
135134reseq1d 5104 . . . . 5
136 ioossre 11696 . . . . . . 7
137136a1i 11 . . . . . 6
138137resmptd 5156 . . . . 5
139 1p0e1 10722 . . . . . . 7
140139mpteq2i 4486 . . . . . 6
141140a1i 11 . . . . 5
142135, 138, 1413eqtrd 2489 . . . 4
143124, 127, 1423eqtrd 2489 . . 3
144 fveq2 5865 . . 3
145 oveq1 6297 . . 3
146 oveq1 6297 . . 3
1471, 2, 5, 71, 93, 108, 143, 144, 145, 146, 8, 9itgsubsticc 37853 . 2 _ _
1485ditgpos 22811 . . 3 _
14943adantr 467 . . . . . 6
150149, 70ffvelrnd 6023 . . . . 5
151 1cnd 9659 . . . . 5
152150, 151mulcld 9663 . . . 4
1531, 2, 152itgioo 22773 . . 3
154 oveq1 6297 . . . . . . 7
155154fveq2d 5869 . . . . . 6
156155oveq1d 6305 . . . . 5
157156cbvitgv 22734 . . . 4
15843adantr 467 . . . . . . . 8
1598adantr 467 . . . . . . . . 9
1609adantr 467 . . . . . . . . 9
16150sselda 3432 . . . . . . . . . 10
1624adantr 467 . . . . . . . . . 10
163161, 162readdcld 9670 . . . . . . . . 9
1641adantr 467 . . . . . . . . . 10
1651rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12
166165adantr 467 . . . . . . . . . . 11
1672rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12
168167adantr 467 . . . . . . . . . . 11
169 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
170 iccgelb 11691 . . . . . . . . . . 11
171166, 168, 169, 170syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10
172164, 161, 162, 171leadd1dd 10227 . . . . . . . . 9
1732adantr 467 . . . . . . . . . 10
174 iccleub 11690 . . . . . . . . . . 11
175166, 168, 169, 174syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10
176161, 173, 162, 175leadd1dd 10227 . . . . . . . . 9
177159, 160, 163, 172, 176eliccd 37601 . . . . . . . 8
178158, 177ffvelrnd 6023 . . . . . . 7
179178mulid1d 9660 . . . . . 6
18042, 74eqtri 2473 . . . . . . . 8
181180a1i 11 . . . . . . 7
182 oveq1 6297 . . . . . . . . 9
183182fveq2d 5869 . . . . . . . 8
184161recnd 9669 . . . . . . . . . 10
18524adantr 467 . . . . . . . . . 10
186184, 185pncand 9987 . . . . . . . . 9
187186fveq2d 5869 . . . . . . . 8
188183, 187sylan9eqr 2507 . . . . . . 7
18912ffvelrnda 6022 . . . . . . 7
190181, 188, 177, 189fvmptd 5954 . . . . . 6
191179, 190eqtrd 2485 . . . . 5
192191itgeq2dv 22739 . . . 4
193157, 192syl5eq 2497 . . 3
194148, 153, 1933eqtrd 2489 . 2 _
19546, 147, 1943eqtrd 2489 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wrex 2738  crab 2741   wss 3404  csn 3968  cpr 3970   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832   cdm 4834   crn 4835   cres 4836  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   caddc 9542   cmul 9544  cxr 9674   cle 9676   cmin 9860  crp 11302  cioo 11635  cicc 11638  ctopn 15320  ctg 15336  ℂfldccnfld 18970  cnt 20032  ccncf 21908  cvol 22415  cibl 22575  citg 22576  _cdit 22801   cdv 22818 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-ditg 22802  df-limc 22821  df-dv 22822 This theorem is referenced by:  fourierdlem81  38051
 Copyright terms: Public domain W3C validator