Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Unicode version

Theorem itgiccshift 31621
 Description: The integral of a function, stays the same if its closed interval domain is shifted by . (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a
itgiccshift.b
itgiccshift.aleb
itgiccshift.f
itgiccshift.t
itgiccshift.g
Assertion
Ref Expression
itgiccshift
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,   ,

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5
2 itgiccshift.b . . . . 5
3 itgiccshift.t . . . . . 6
43rpred 11268 . . . . 5
5 itgiccshift.aleb . . . . 5
61, 2, 4, 5leadd1dd 10178 . . . 4
76ditgpos 22128 . . 3 _
81, 4readdcld 9635 . . . 4
92, 4readdcld 9635 . . . 4
10 itgiccshift.f . . . . . . . . . 10
11 cncff 21265 . . . . . . . . . 10
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9
1312adantr 465 . . . . . . . 8
148adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
159adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
17 eliccre 31427 . . . . . . . . . . . 12
1814, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
194adantr 465 . . . . . . . . . . 11
2018, 19resubcld 9999 . . . . . . . . . 10
21 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . . . . 15
2221, 1sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14
2321, 4sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14
2422, 23pncand 9943 . . . . . . . . . . . . 13
2524eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11
27 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . 15
2814, 15, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14
2916, 28mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13
3029simp2d 1009 . . . . . . . . . . . 12
3114, 18, 19lesub1d 10171 . . . . . . . . . . . 12
3230, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
3326, 32eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10
3429simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12
3518, 15, 19lesub1d 10171 . . . . . . . . . . . 12
3634, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . 11
3721, 2sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13
3837, 23pncand 9943 . . . . . . . . . . . 12
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11
4036, 39breqtrd 4477 . . . . . . . . . 10
4120, 33, 403jca 1176 . . . . . . . . 9
421adantr 465 . . . . . . . . . 10
432adantr 465 . . . . . . . . . 10
44 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10
4542, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . 9
4641, 45mpbird 232 . . . . . . . 8
4713, 46ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
48 itgiccshift.g . . . . . . 7
4947, 48fmptd 6056 . . . . . 6
5049adantr 465 . . . . 5
51 ffvelrn 6030 . . . . 5
5250, 16, 51syl2anc 661 . . . 4
538, 9, 52itgioo 22090 . . 3
547, 53eqtr2d 2509 . 2 _
55 eqid 2467 . . . 4
5655addccncf 21288 . . . . 5
5723, 56syl 16 . . . 4
58 iccssre 11618 . . . . . 6
591, 2, 58syl2anc 661 . . . . 5
6059, 21syl6ss 3521 . . . 4
61 iccssre 11618 . . . . . 6
628, 9, 61syl2anc 661 . . . . 5
6321a1i 11 . . . . 5
6462, 63sstrd 3519 . . . 4
6559sselda 3509 . . . . . . 7
664adantr 465 . . . . . . 7
6765, 66readdcld 9635 . . . . . 6
681adantr 465 . . . . . . 7
69 simpr 461 . . . . . . . . 9
702adantr 465 . . . . . . . . . 10
71 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10
7268, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . 9
7369, 72mpbid 210 . . . . . . . 8
7473simp2d 1009 . . . . . . 7
7568, 65, 66, 74leadd1dd 10178 . . . . . 6
7673simp3d 1010 . . . . . . 7
7765, 70, 66, 76leadd1dd 10178 . . . . . 6
7867, 75, 773jca 1176 . . . . 5
798adantr 465 . . . . . 6
809adantr 465 . . . . . 6
81 elicc2 11601 . . . . . 6
8279, 80, 81syl2anc 661 . . . . 5
8378, 82mpbird 232 . . . 4
8455, 57, 60, 64, 83cncfmptssg 31531 . . 3
85 nfcv 2629 . . . . . . . . 9
86 nfcv 2629 . . . . . . . . 9
87 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
8887fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
8985, 86, 88cbvmpt 4543 . . . . . . . 8
9089a1i 11 . . . . . . 7
91 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13
9291rexbidv 2978 . . . . . . . . . . . 12
93 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15
9493eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14
9594cbvrexv 3094 . . . . . . . . . . . . 13
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
9792, 96bitrd 253 . . . . . . . . . . 11
9897cbvrabv 3117 . . . . . . . . . 10
9998eqcomi 2480 . . . . . . . . 9
100 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15
10292elrab 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15
103101, 102sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14
104 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
105 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
106 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107 nfre1 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108106, 107nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109105, 108nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
110 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
11259sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1134adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
114112, 113readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
115 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
118 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
119116, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
120115, 119mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
121120simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
122116, 112, 113leadd1d 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
123121, 122mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
124120simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
125112, 117, 113leadd1d 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
126124, 125mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
127114, 123, 1263jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1281273adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
12983ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
13093ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
131 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
132129, 130, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
133128, 132mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
134111, 133eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1351343exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
137109, 110, 136rexlimd 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
138104, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
141103, 140mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13
142141ex 434 . . . . . . . . . . . 12
14321, 18sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15
14423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
145143, 144npcand 9946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
146145eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16
147 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
148147eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
149148rspcev 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16
15046, 146, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15
151143, 150jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14
152151, 102sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13
153152ex 434 . . . . . . . . . . . 12
154142, 153impbid 191 . . . . . . . . . . 11
155100, 154alrimi 1825 . . . . . . . . . 10
156 dfcleq 2460 . . . . . . . . . 10
157155, 156sylibr 212 . . . . . . . . 9
15899, 157syl5req 2521 . . . . . . . 8
159158mpteq1d 4534 . . . . . . 7
16090, 159eqtrd 2508 . . . . . 6
16148, 160syl5eq 2520 . . . . 5
162 eqid 2467 . . . . . 6
16360, 23, 99, 10, 162cncfshift 31535 . . . . 5
164161, 163eqeltrd 2555 . . . 4
16549feqmptd 5927 . . . . 5
1661, 2, 4iccshift 31445 . . . . . . 7
167166eqcomd 2475 . . . . . 6
168 eqidd 2468 . . . . . 6
169167, 168oveq12d 6313 . . . . 5
170165, 169eleq12d 2549 . . . 4
171164, 170mpbid 210 . . 3
172 ax-1cn 9562 . . . . . . 7
173172a1i 11 . . . . . 6
174 ioosscn 31414 . . . . . . 7
175174a1i 11 . . . . . 6
176 ssid 3528 . . . . . . 7
177176a1i 11 . . . . . 6
178 cncfmptc 21283 . . . . . 6
179173, 175, 177, 178syl3anc 1228 . . . . 5
180 fconstmpt 5049 . . . . . . . 8
181180eqcomi 2480 . . . . . . 7
182181a1i 11 . . . . . 6
183 ioombl 21843 . . . . . . . 8
184183a1i 11 . . . . . . 7
185 ioovolcl 21847 . . . . . . . 8
1861, 2, 185syl2anc 661 . . . . . . 7
187 iblconst 22092 . . . . . . 7
188184, 186, 173, 187syl3anc 1228 . . . . . 6
189182, 188eqeltrd 2555 . . . . 5
190179, 189jca 532 . . . 4
191 elin 3692 . . . 4
192190, 191sylibr 212 . . 3
193 resmpt 5329 . . . . . . . 8
19459, 193syl 16 . . . . . . 7
195194eqcomd 2475 . . . . . 6
196195oveq2d 6311 . . . . 5
19763sselda 3509 . . . . . . . . 9
19823adantr 465 . . . . . . . . 9
199197, 198addcld 9627 . . . . . . . 8
200 eqid 2467 . . . . . . . 8
201199, 200fmptd 6056 . . . . . . 7
20263, 201jca 532 . . . . . 6
203 ssid 3528 . . . . . . . 8
204203a1i 11 . . . . . . 7
205204, 59jca 532 . . . . . 6
206 eqid 2467 . . . . . . 7 fld fld
207206tgioo2 21176 . . . . . . 7 fldt
208206, 207dvres 22183 . . . . . 6
209202, 205, 208syl2anc 661 . . . . 5
210196, 209eqtrd 2508 . . . 4
211 iccntr 21194 . . . . . 6
2121, 2, 211syl2anc 661 . . . . 5
213212reseq2d 5279 . . . 4
214 reex 9595 . . . . . . . . 9
215214prid1 4141 . . . . . . . 8
216215a1i 11 . . . . . . 7
217172a1i 11 . . . . . . 7
218216dvmptid 22228 . . . . . . 7
219 0cn 9600 . . . . . . . 8
220219a1i 11 . . . . . . 7
221216, 23dvmptc 22229 . . . . . . 7
222216, 197, 217, 218, 198, 220, 221dvmptadd 22231 . . . . . 6
223222reseq1d 5278 . . . . 5
224 ioossre 11598 . . . . . . 7
225224a1i 11 . . . . . 6
226 resmpt 5329 . . . . . 6
227225, 226syl 16 . . . . 5
228172addid1i 9778 . . . . . . 7
229228mpteq2i 4536 . . . . . 6
230229a1i 11 . . . . 5
231223, 227, 2303eqtrd 2512 . . . 4
232210, 213, 2313eqtrd 2512 . . 3
233 fveq2 5872 . . 3
234 oveq1 6302 . . 3
235 oveq1 6302 . . 3
2361, 2, 5, 84, 171, 192, 232, 233, 234, 235, 8, 9itgsubsticc 31617 . 2 _ _
2375ditgpos 22128 . . 3 _
23849adantr 465 . . . . . 6
239 ffvelrn 6030 . . . . . 6
240238, 83, 239syl2anc 661 . . . . 5
241172a1i 11 . . . . 5
242240, 241mulcld 9628 . . . 4
2431, 2, 242itgioo 22090 . . 3
244 oveq1 6302 . . . . . . . 8
245244fveq2d 5876 . . . . . . 7
246245oveq1d 6310 . . . . . 6
247 nfcv 2629 . . . . . 6
248 nfcv 2629 . . . . . 6
249246, 247, 248cbvitg 22050 . . . . 5
250249a1i 11 . . . 4
25149adantr 465 . . . . . . . 8
25259sselda 3509 . . . . . . . . . . 11
2534adantr 465 . . . . . . . . . . 11
254252, 253readdcld 9635 . . . . . . . . . 10
2551rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . 13
256255adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
2572rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . 13
258257adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
259 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12
260 iccgelb 11593 . . . . . . . . . . . 12
261256, 258, 259, 260syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
2621adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
263262, 252, 253leadd1d 10158 . . . . . . . . . . 11
264261, 263mpbid 210 . . . . . . . . . 10
265 iccleub 11592 . . . . . . . . . . . 12
266256, 258, 259, 265syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11
2672adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
268252, 267, 253leadd1d 10158 . . . . . . . . . . 11
269266, 268mpbid 210 . . . . . . . . . 10
270254, 264, 2693jca 1176 . . . . . . . . 9
2718adantr 465 . . . . . . . . . 10
2729adantr 465 . . . . . . . . . 10
273 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10
274271, 272, 273syl2anc 661 . . . . . . . . 9
275270, 274mpbird 232 . . . . . . . 8
276251, 275ffvelrnd 6033 . . . . . . 7
277276mulid1d 9625 . . . . . 6
27848, 89eqtri 2496 . . . . . . . 8
279278a1i 11 . . . . . . 7
280 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10
281280fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
282281adantl 466 . . . . . . . 8
28321, 252sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11
28423adantr 465 . . . . . . . . . . 11
285283, 284pncand 9943 . . . . . . . . . 10
286285fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
287286adantr 465 . . . . . . . 8
288282, 287eqtrd 2508 . . . . . . 7
28912ffvelrnda 6032 . . . . . . 7
290279, 288, 275, 289fvmptd 5962 . . . . . 6
291277, 290eqtrd 2508 . . . . 5
292291itgeq2dv 22056 . . . 4
293250, 292eqtrd 2508 . . 3
294237, 243, 2933eqtrd 2512 . 2 _
29554, 236, 2943eqtrd 2512 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   w3a 973  wal 1377   wceq 1379   wcel 1767  wrex 2818  crab 2821   cin 3480   wss 3481  csn 4033  cpr 4035   class class class wbr 4453   cmpt 4511   cxp 5003   cdm 5005   crn 5006   cres 5007  wf 5590  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc 9502  cr 9503  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509  cxr 9639   cle 9641   cmin 9817  crp 11232  cioo 11541  cicc 11544  ctopn 14694  ctg 14710  ℂfldccnfld 18290  cnt 19386  ccncf 21248  cvol 21743  cibl 21894  citg 21895  _cdit 22118   cdv 22135 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-ditg 22119  df-limc 22138  df-dv 22139 This theorem is referenced by:  fourierdlem81  31811
 Copyright terms: Public domain W3C validator