Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgiccshift Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itgiccshift 37857
Description: The integral of a function,  F stays the same if its closed interval domain is shifted by  T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgiccshift.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgiccshift.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgiccshift.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
itgiccshift.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
itgiccshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
itgiccshift  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G    x, T    ph, x

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 itgiccshift.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 itgiccshift.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
43rpred 11341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 itgiccshift.aleb . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
61, 2, 4, 5leadd1dd 10227 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  T
)  <_  ( B  +  T ) )
76ditgpos 22811 . . 3  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  +  T )  -> 
( B  +  T
) ] ( G `
 x )  _d x  =  S. ( ( A  +  T
) (,) ( B  +  T ) ) ( G `  x
)  _d x )
81, 4readdcld 9670 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  T
)  e.  RR )
92, 4readdcld 9670 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  +  T
)  e.  RR )
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
11 cncff 21925 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
1312adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
141adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  e.  RR )
152adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  B  e.  RR )
168adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
179adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
18 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )
19 eliccre 37603 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) )  ->  x  e.  RR )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1268 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  e.  RR )
214adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  T  e.  RR )
2220, 21resubcld 10047 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  e.  RR )
231recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
244recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
2523, 24pncand 9987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T )  -  T
)  =  A )
2625eqcomd 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( A  +  T )  -  T ) )
2726adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  =  ( ( A  +  T )  -  T ) )
28 elicc2 11699 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T )
) ) )
2916, 17, 28syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T )
) ) )
3018, 29mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  ( A  +  T
)  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T ) ) )
3130simp2d 1021 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( A  +  T )  <_  x )
3216, 20, 21, 31lesub1dd 10229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( A  +  T
)  -  T )  <_  ( x  -  T ) )
3327, 32eqbrtrd 4423 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  <_  ( x  -  T
) )
3430simp3d 1022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  <_  ( B  +  T
) )
3520, 17, 21, 34lesub1dd 10229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  <_  ( ( B  +  T )  -  T ) )
362recnd 9669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3736, 24pncand 9987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  T )  -  T
)  =  B )
3837adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( B  +  T
)  -  T )  =  B )
3935, 38breqtrd 4427 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  <_  B )
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 37601 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  e.  ( A [,] B ) )
4113, 40ffvelrnd 6023 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )
42 itgiccshift.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
4341, 42fmptd 6046 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) ) --> CC )
4443fnvinran 37335 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
458, 9, 44itgioo 22773 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) (,) ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) ( G `  x
)  _d x )
467, 45eqtr2d 2486 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S__ [
( A  +  T
)  ->  ( B  +  T ) ] ( G `  x )  _d x )
47 eqid 2451 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )
4847addccncf 21948 . . . . 5  |-  ( T  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
4924, 48syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
501, 2iccssred 37602 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
51 ax-resscn 9596 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
5250, 51syl6ss 3444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
538, 9iccssred 37602 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  C_  RR )
5453, 51syl6ss 3444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  C_  CC )
558adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
569adantr 467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
5750sselda 3432 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  e.  RR )
584adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  RR )
5957, 58readdcld 9670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  e.  RR )
601adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
61 simpr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
622adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
63 elicc2 11699 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
6460, 62, 63syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  ( A [,] B
)  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
6561, 64mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) )
6665simp2d 1021 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  y )
6760, 57, 58, 66leadd1dd 10227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  <_  (
y  +  T ) )
6865simp3d 1022 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  <_  B )
6957, 62, 58, 68leadd1dd 10227 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  <_  ( B  +  T )
)
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 37601 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 37747 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( y  +  T
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ) )
72 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x  -  T )  =  ( w  -  T ) )
7372fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  =  ( F `  (
w  -  T ) ) )
7473cbvmptv 4495 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  |->  ( F `
 ( x  -  T ) ) )  =  ( w  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) )
751, 2, 4iccshift 37619 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) } )
7675mpteq1d 4484 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) )  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
7774, 76syl5eq 2497 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
7842, 77syl5eq 2497 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
79 eqeq1 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
w  =  ( z  +  T )  <->  x  =  ( z  +  T
) ) )
8079rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )
81 oveq1 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
z  +  T )  =  ( y  +  T ) )
8281eqeq2d 2461 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
x  =  ( z  +  T )  <->  x  =  ( y  +  T
) ) )
8382cbvrexv 3020 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T )  <->  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) )
8480, 83syl6bb 265 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T )  <->  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) ) )
8584cbvrabv 3044 . . . . . . 7  |-  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }
8685eqcomi 2460 . . . . . 6  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  =  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }
87 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) )  =  ( w  e.  {
x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T ) ) )
8852, 24, 86, 10, 87cncfshift 37751 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T ) ) )  e.  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC ) )
8978, 88eqeltrd 2529 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC ) )
9043feqmptd 5918 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  |->  ( G `
 x ) ) )
9175eqcomd 2457 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  =  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) )
9291oveq1d 6305 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC )  =  ( ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) -cn-> CC ) )
9389, 90, 923eltr3d 2543 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) -cn-> CC ) )
94 ioosscn 37591 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9594a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
96 1cnd 9659 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
97 ssid 3451 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
9897a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
9995, 96, 98constcncfg 37748 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
100 fconstmpt 4878 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  X.  { 1 } )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 )
101 ioombl 22518 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
102101a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
103 ioovolcl 22522 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
1041, 2, 103syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
105 iblconst 22775 . . . . . 6  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
( A (,) B
)  X.  { 1 } )  e.  L^1 )
106102, 104, 96, 105syl3anc 1268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  X.  {
1 } )  e.  L^1 )
107100, 106syl5eqelr 2534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  L^1 )
10899, 107elind 3618 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
10950resmptd 5156 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )
110109eqcomd 2457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( y  +  T
) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) )  |`  ( A [,] B ) ) )
111110oveq2d 6306 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B ) ) ) )
11251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
113112sselda 3432 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
11424adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  T  e.  CC )
115113, 114addcld 9662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  T )  e.  CC )
116 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )
117115, 116fmptd 6046 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) : RR --> CC )
118 ssid 3451 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR
119118a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
120 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
121120tgioo2 21821 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
122120, 121dvres 22866 . . . . . 6  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( A [,] B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B
) ) )  =  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) ) )
123112, 117, 119, 50, 122syl22anc 1269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) )  |`  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A [,] B ) ) ) )
124111, 123eqtrd 2485 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) ) )
125 iccntr 21839 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
1261, 2, 125syl2anc 667 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
127126reseq2d 5105 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  ( A (,) B
) ) )
128 reelprrecn 9631 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
129128a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
130 1cnd 9659 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
131129dvmptid 22911 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
132 0cnd 9636 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
133129, 24dvmptc 22912 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  T ) )  =  ( y  e.  RR  |->  0 ) )
134129, 113, 130, 131, 114, 132, 133dvmptadd 22914 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) ) )
135134reseq1d 5104 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
136 ioossre 11696 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  C_  RR
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
138137resmptd 5156 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  +  0 ) ) )
139 1p0e1 10722 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  0 )  =  1
140139mpteq2i 4486 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  +  0 ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  1 )
141140a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  +  0 ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
142135, 138, 1413eqtrd 2489 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
143124, 127, 1423eqtrd 2489 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
144 fveq2 5865 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  T )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( y  +  T
) ) )
145 oveq1 6297 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  +  T )  =  ( A  +  T ) )
146 oveq1 6297 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
y  +  T )  =  ( B  +  T ) )
1471, 2, 5, 71, 93, 108, 143, 144, 145, 146, 8, 9itgsubsticc 37853 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  +  T )  -> 
( B  +  T
) ] ( G `
 x )  _d x  =  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  _d y )
1485ditgpos 22811 . . 3  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `
 ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A (,) B ) ( ( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  _d y )
14943adantr 467 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  G :
( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) --> CC )
150149, 70ffvelrnd 6023 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( y  +  T
) )  e.  CC )
151 1cnd 9659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  1  e.  CC )
152150, 151mulcld 9663 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  e.  CC )
1531, 2, 152itgioo 22773 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T
) )  x.  1 )  _d y )
154 oveq1 6297 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  T )  =  ( x  +  T ) )
155154fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( G `  ( y  +  T ) )  =  ( G `  (
x  +  T ) ) )
156155oveq1d 6305 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  =  ( ( G `
 ( x  +  T ) )  x.  1 ) )
157156cbvitgv 22734 . . . 4  |-  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T
) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  _d x
15843adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  G :
( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) --> CC )
1598adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
1609adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
16150sselda 3432 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  RR )
1624adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  RR )
163161, 162readdcld 9670 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  e.  RR )
1641adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
1651rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
166165adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR* )
1672rexrd 9690 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
168167adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR* )
169 simpr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
170 iccgelb 11691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  x )
171166, 168, 169, 170syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  x )
172164, 161, 162, 171leadd1dd 10227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  <_  (
x  +  T ) )
1732adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
174 iccleub 11690 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  <_  B )
175166, 168, 169, 174syl3anc 1268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
176161, 173, 162, 175leadd1dd 10227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  <_  ( B  +  T )
)
177159, 160, 163, 172, 176eliccd 37601 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )
178158, 177ffvelrnd 6023 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( x  +  T
) )  e.  CC )
179178mulid1d 9660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  =  ( G `  ( x  +  T ) ) )
18042, 74eqtri 2473 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( w  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) )
181180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  G  =  ( w  e.  (
( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) ) )
182 oveq1 6297 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  +  T )  ->  (
w  -  T )  =  ( ( x  +  T )  -  T ) )
183182fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  +  T )  ->  ( F `  ( w  -  T ) )  =  ( F `  (
( x  +  T
)  -  T ) ) )
184161recnd 9669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
18524adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  CC )
186184, 185pncand 9987 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
x  +  T )  -  T )  =  x )
187186fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  ( ( x  +  T )  -  T
) )  =  ( F `  x ) )
188183, 187sylan9eqr 2507 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  w  =  ( x  +  T ) )  -> 
( F `  (
w  -  T ) )  =  ( F `
 x ) )
18912ffvelrnda 6022 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
190181, 188, 177, 189fvmptd 5954 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) )
191179, 190eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  =  ( F `  x ) )
192191itgeq2dv 22739 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
193157, 192syl5eq 2497 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
194148, 153, 1933eqtrd 2489 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `
 ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x )
19546, 147, 1943eqtrd 2489 1  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   E.wrex 2738   {crab 2741    C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835    |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   RR*cxr 9674    <_ cle 9676    - cmin 9860   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂfldccnfld 18970   intcnt 20032   -cn->ccncf 21908   volcvol 22415   L^1cibl 22575   S.citg 22576   S__cdit 22801    _D cdv 22818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-ditg 22802  df-limc 22821  df-dv 22822
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  38051
  Copyright terms: Public domain W3C validator