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Theorem itgiccshift 31621
Description: The integral of a function,  F stays the same if its closed interval domain is shifted by  T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgiccshift.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgiccshift.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgiccshift.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
itgiccshift.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
itgiccshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
itgiccshift  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G    x, T    ph, x

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 itgiccshift.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 itgiccshift.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
43rpred 11268 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 itgiccshift.aleb . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
61, 2, 4, 5leadd1dd 10178 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  T
)  <_  ( B  +  T ) )
76ditgpos 22128 . . 3  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  +  T )  -> 
( B  +  T
) ] ( G `
 x )  _d x  =  S. ( ( A  +  T
) (,) ( B  +  T ) ) ( G `  x
)  _d x )
81, 4readdcld 9635 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  T
)  e.  RR )
92, 4readdcld 9635 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  +  T
)  e.  RR )
10 itgiccshift.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
11 cncff 21265 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
1312adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
148adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
159adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
16 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )
17 eliccre 31427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) )  ->  x  e.  RR )
1814, 15, 16, 17syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  e.  RR )
194adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  T  e.  RR )
2018, 19resubcld 9999 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  e.  RR )
21 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  C_  CC
2221, 1sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2321, 4sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
2422, 23pncand 9943 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T )  -  T
)  =  A )
2524eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( A  +  T )  -  T ) )
2625adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  =  ( ( A  +  T )  -  T ) )
27 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T )
) ) )
2814, 15, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T )
) ) )
2916, 28mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  ( A  +  T
)  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T ) ) )
3029simp2d 1009 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( A  +  T )  <_  x )
3114, 18, 19lesub1d 10171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( A  +  T
)  <_  x  <->  ( ( A  +  T )  -  T )  <_  (
x  -  T ) ) )
3230, 31mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( A  +  T
)  -  T )  <_  ( x  -  T ) )
3326, 32eqbrtrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  <_  ( x  -  T
) )
3429simp3d 1010 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  <_  ( B  +  T
) )
3518, 15, 19lesub1d 10171 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  <_  ( B  +  T )  <->  ( x  -  T )  <_  (
( B  +  T
)  -  T ) ) )
3634, 35mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  <_  ( ( B  +  T )  -  T ) )
3721, 2sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3837, 23pncand 9943 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  T )  -  T
)  =  B )
3938adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( B  +  T
)  -  T )  =  B )
4036, 39breqtrd 4477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  <_  B )
4120, 33, 403jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( x  -  T
)  e.  RR  /\  A  <_  ( x  -  T )  /\  (
x  -  T )  <_  B ) )
421adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  e.  RR )
432adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  B  e.  RR )
44 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( x  -  T )  e.  ( A [,] B )  <-> 
( ( x  -  T )  e.  RR  /\  A  <_  ( x  -  T )  /\  (
x  -  T )  <_  B ) ) )
4542, 43, 44syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( x  -  T
)  e.  ( A [,] B )  <->  ( (
x  -  T )  e.  RR  /\  A  <_  ( x  -  T
)  /\  ( x  -  T )  <_  B
) ) )
4641, 45mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  e.  ( A [,] B ) )
4713, 46ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )
48 itgiccshift.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
4947, 48fmptd 6056 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) ) --> CC )
5049adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  G : ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) --> CC )
51 ffvelrn 6030 . . . . 5  |-  ( ( G : ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) ) --> CC 
/\  x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
5250, 16, 51syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
538, 9, 52itgioo 22090 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) (,) ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) ( G `  x
)  _d x )
547, 53eqtr2d 2509 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S__ [
( A  +  T
)  ->  ( B  +  T ) ] ( G `  x )  _d x )
55 eqid 2467 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )
5655addccncf 21288 . . . . 5  |-  ( T  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
5723, 56syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
58 iccssre 11618 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
591, 2, 58syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
6059, 21syl6ss 3521 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
61 iccssre 11618 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR )  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  C_  RR )
628, 9, 61syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  C_  RR )
6321a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
6462, 63sstrd 3519 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  C_  CC )
6559sselda 3509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  e.  RR )
664adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  RR )
6765, 66readdcld 9635 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  e.  RR )
681adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
69 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
702adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
71 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
7268, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  ( A [,] B
)  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
7369, 72mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) )
7473simp2d 1009 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  y )
7568, 65, 66, 74leadd1dd 10178 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  <_  (
y  +  T ) )
7673simp3d 1010 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  <_  B )
7765, 70, 66, 76leadd1dd 10178 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  <_  ( B  +  T )
)
7867, 75, 773jca 1176 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
y  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  ( y  +  T
)  /\  ( y  +  T )  <_  ( B  +  T )
) )
798adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
809adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
81 elicc2 11601 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR )  ->  ( ( y  +  T )  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  <->  ( ( y  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_ 
( y  +  T
)  /\  ( y  +  T )  <_  ( B  +  T )
) ) )
8279, 80, 81syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
y  +  T )  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  <->  ( (
y  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  ( y  +  T
)  /\  ( y  +  T )  <_  ( B  +  T )
) ) )
8378, 82mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )
8455, 57, 60, 64, 83cncfmptssg 31531 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( y  +  T
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ) )
85 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ w
( F `  (
x  -  T ) )
86 nfcv 2629 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( F `  (
w  -  T ) )
87 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  w  ->  (
x  -  T )  =  ( w  -  T ) )
8887fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  =  ( F `  (
w  -  T ) ) )
8985, 86, 88cbvmpt 4543 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  |->  ( F `
 ( x  -  T ) ) )  =  ( w  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) )
9089a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )  =  ( w  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) )  |->  ( F `  ( w  -  T ) ) ) )
91 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  =  x  ->  (
w  =  ( z  +  T )  <->  x  =  ( z  +  T
) ) )
9291rexbidv 2978 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )
93 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  y  ->  (
z  +  T )  =  ( y  +  T ) )
9493eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  =  y  ->  (
x  =  ( z  +  T )  <->  x  =  ( y  +  T
) ) )
9594cbvrexv 3094 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T )  <->  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) )
9695a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  x  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T )  <->  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) ) )
9792, 96bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  x  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T )  <->  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) ) )
9897cbvrabv 3117 . . . . . . . . . 10  |-  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }
9998eqcomi 2480 . . . . . . . . 9  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  =  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }
100 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x ph
101 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) } )  ->  x  e.  {
w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) } )
10292elrab 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }  <->  ( x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )
103101, 102sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) } )  ->  ( x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )
104 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )  ->  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) )
105 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ z
ph
106 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ z  x  e.  CC
107 nfre1 2928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ z E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T )
108106, 107nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ z ( x  e.  CC  /\ 
E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T ) )
109105, 108nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ z ( ph  /\  (
x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T ) ) )
110 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ z  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) )
111 simp3 998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  x  =  ( z  +  T ) )  ->  x  =  ( z  +  T
) )
11259sselda 3509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  z  e.  RR )
1134adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  RR )
114112, 113readdcld 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( z  +  T )  e.  RR )
115 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  z  e.  ( A [,] B ) )
1161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
1172adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
118 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( z  e.  ( A [,] B )  <-> 
( z  e.  RR  /\  A  <_  z  /\  z  <_  B ) ) )
119116, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( z  e.  ( A [,] B
)  <->  ( z  e.  RR  /\  A  <_ 
z  /\  z  <_  B ) ) )
120115, 119mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( z  e.  RR  /\  A  <_ 
z  /\  z  <_  B ) )
121120simp2d 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  z )
122116, 112, 113leadd1d 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  <_  z  <->  ( A  +  T )  <_  (
z  +  T ) ) )
123121, 122mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  <_  (
z  +  T ) )
124120simp3d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  z  <_  B )
125112, 117, 113leadd1d 10158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( z  <_  B  <->  ( z  +  T )  <_  ( B  +  T )
) )
126124, 125mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( z  +  T )  <_  ( B  +  T )
)
127114, 123, 1263jca 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
z  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  ( z  +  T
)  /\  ( z  +  T )  <_  ( B  +  T )
) )
1281273adant3 1016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  x  =  ( z  +  T ) )  ->  ( (
z  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  ( z  +  T
)  /\  ( z  +  T )  <_  ( B  +  T )
) )
12983ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  x  =  ( z  +  T ) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
13093ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  x  =  ( z  +  T ) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
131 elicc2 11601 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR )  ->  ( ( z  +  T )  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  <->  ( ( z  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_ 
( z  +  T
)  /\  ( z  +  T )  <_  ( B  +  T )
) ) )
132129, 130, 131syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  x  =  ( z  +  T ) )  ->  ( (
z  +  T )  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  <->  ( (
z  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  ( z  +  T
)  /\  ( z  +  T )  <_  ( B  +  T )
) ) )
133128, 132mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  x  =  ( z  +  T ) )  ->  ( z  +  T )  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )
134111, 133eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( A [,] B )  /\  x  =  ( z  +  T ) )  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )
1351343exp 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( A [,] B )  ->  ( x  =  ( z  +  T
)  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) ) ) )
136135adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )  ->  (
z  e.  ( A [,] B )  -> 
( x  =  ( z  +  T )  ->  x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) ) ) )
137109, 110, 136rexlimd 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T )  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) ) )
138104, 137mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )
139138ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) )  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) ) )
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) } )  ->  ( ( x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T
) )  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) ) )
141103, 140mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) } )  ->  x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )
142141ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) }  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ) )
14321, 18sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  e.  CC )
14423adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  T  e.  CC )
145143, 144npcand 9946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( x  -  T
)  +  T )  =  x )
146145eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  =  ( ( x  -  T )  +  T ) )
147 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( z  =  ( x  -  T )  ->  (
z  +  T )  =  ( ( x  -  T )  +  T ) )
148147eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  =  ( x  -  T )  ->  (
x  =  ( z  +  T )  <->  x  =  ( ( x  -  T )  +  T
) ) )
149148rspcev 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( x  -  T
)  e.  ( A [,] B )  /\  x  =  ( (
x  -  T )  +  T ) )  ->  E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T ) )
15046, 146, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) )
151143, 150jca 532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  e.  CC  /\  E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T ) ) )
152151, 102sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) } )
153152ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) )  ->  x  e.  {
w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) } ) )
154142, 153impbid 191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  {
w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) }  <->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) ) )
155100, 154alrimi 1825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x ( x  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }  <->  x  e.  (
( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) ) )
156 dfcleq 2460 . . . . . . . . . 10  |-  ( { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) }  =  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  <->  A. x ( x  e.  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }  <->  x  e.  (
( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) ) )
157155, 156sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T ) }  =  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) )
15899, 157syl5req 2521 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) } )
159158mpteq1d 4534 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) )  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
16090, 159eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
16148, 160syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
162 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) )  =  ( w  e.  {
x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T ) ) )
16360, 23, 99, 10, 162cncfshift 31535 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T ) ) )  e.  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC ) )
164161, 163eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC ) )
16549feqmptd 5927 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  |->  ( G `
 x ) ) )
1661, 2, 4iccshift 31445 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) } )
167166eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  =  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) )
168 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  =  CC )
169167, 168oveq12d 6313 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC )  =  ( ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) -cn-> CC ) )
170165, 169eleq12d 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }
-cn-> CC )  <->  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  |->  ( G `  x ) )  e.  ( ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) -cn-> CC ) ) )
171164, 170mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) -cn-> CC ) )
172 ax-1cn 9562 . . . . . . 7  |-  1  e.  CC
173172a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
174 ioosscn 31414 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  C_  CC
175174a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
176 ssid 3528 . . . . . . 7  |-  CC  C_  CC
177176a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
178 cncfmptc 21283 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  CC  /\  ( A (,) B ) 
C_  CC  /\  CC  C_  CC )  ->  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
179173, 175, 177, 178syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
180 fconstmpt 5049 . . . . . . . 8  |-  ( ( A (,) B )  X.  { 1 } )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 )
181180eqcomi 2480 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  =  ( ( A (,) B )  X. 
{ 1 } )
182181a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  =  ( ( A (,) B
)  X.  { 1 } ) )
183 ioombl 21843 . . . . . . . 8  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
184183a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
185 ioovolcl 21847 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
1861, 2, 185syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
187 iblconst 22092 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
( A (,) B
)  X.  { 1 } )  e.  L^1 )
188184, 186, 173, 187syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  X.  {
1 } )  e.  L^1 )
189182, 188eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  L^1 )
190179, 189jca 532 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  /\  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  1 )  e.  L^1 ) )
191 elin 3692 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( ( A (,) B
) -cn-> CC )  i^i  L^1 )  <->  ( ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  /\  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 )  e.  L^1 ) )
192190, 191sylibr 212 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
193 resmpt 5329 . . . . . . . 8  |-  ( ( A [,] B ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( y  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( y  +  T
) ) )
19459, 193syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )
195194eqcomd 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( y  +  T
) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) )  |`  ( A [,] B ) ) )
196195oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B ) ) ) )
19763sselda 3509 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
19823adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  T  e.  CC )
199197, 198addcld 9627 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  T )  e.  CC )
200 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )
201199, 200fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) : RR --> CC )
20263, 201jca 532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) : RR --> CC ) )
203 ssid 3528 . . . . . . . 8  |-  RR  C_  RR
204203a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
205204, 59jca 532 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  C_  RR  /\  ( A [,] B
)  C_  RR )
)
206 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
207206tgioo2 21176 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
208206, 207dvres 22183 . . . . . 6  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( A [,] B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B
) ) )  =  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) ) )
209202, 205, 208syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) )  |`  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A [,] B ) ) ) )
210196, 209eqtrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) ) )
211 iccntr 21194 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
2121, 2, 211syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
213212reseq2d 5279 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  ( A (,) B
) ) )
214 reex 9595 . . . . . . . . 9  |-  RR  e.  _V
215214prid1 4141 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
216215a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
217172a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
218216dvmptid 22228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
219 0cn 9600 . . . . . . . 8  |-  0  e.  CC
220219a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
221216, 23dvmptc 22229 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  T ) )  =  ( y  e.  RR  |->  0 ) )
222216, 197, 217, 218, 198, 220, 221dvmptadd 22231 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) ) )
223222reseq1d 5278 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
224 ioossre 11598 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  C_  RR
225224a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
226 resmpt 5329 . . . . . 6  |-  ( ( A (,) B ) 
C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  +  0 ) ) )
227225, 226syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  +  0 ) ) )
228172addid1i 9778 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  0 )  =  1
229228mpteq2i 4536 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  +  0 ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  1 )
230229a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  +  0 ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
231223, 227, 2303eqtrd 2512 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
232210, 213, 2313eqtrd 2512 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
233 fveq2 5872 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  T )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( y  +  T
) ) )
234 oveq1 6302 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  +  T )  =  ( A  +  T ) )
235 oveq1 6302 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
y  +  T )  =  ( B  +  T ) )
2361, 2, 5, 84, 171, 192, 232, 233, 234, 235, 8, 9itgsubsticc 31617 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  +  T )  -> 
( B  +  T
) ] ( G `
 x )  _d x  =  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  _d y )
2375ditgpos 22128 . . 3  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `
 ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A (,) B ) ( ( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  _d y )
23849adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  G :
( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) --> CC )
239 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( G : ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) ) --> CC 
/\  ( y  +  T )  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )  ->  ( G `  ( y  +  T
) )  e.  CC )
240238, 83, 239syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( y  +  T
) )  e.  CC )
241172a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  1  e.  CC )
242240, 241mulcld 9628 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  e.  CC )
2431, 2, 242itgioo 22090 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T
) )  x.  1 )  _d y )
244 oveq1 6302 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  T )  =  ( x  +  T ) )
245244fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  ( G `  ( y  +  T ) )  =  ( G `  (
x  +  T ) ) )
246245oveq1d 6310 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  =  ( ( G `
 ( x  +  T ) )  x.  1 ) )
247 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ x
( ( G `  ( y  +  T
) )  x.  1 )
248 nfcv 2629 . . . . . 6  |-  F/_ y
( ( G `  ( x  +  T
) )  x.  1 )
249246, 247, 248cbvitg 22050 . . . . 5  |-  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T
) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  _d x
250249a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( x  +  T
) )  x.  1 )  _d x )
25149adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  G :
( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) --> CC )
25259sselda 3509 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  RR )
2534adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  RR )
254252, 253readdcld 9635 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  e.  RR )
2551rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
256255adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR* )
2572rexrd 9655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
258257adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR* )
259 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
260 iccgelb 11593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  x )
261256, 258, 259, 260syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  x )
2621adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
263262, 252, 253leadd1d 10158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  <_  x  <->  ( A  +  T )  <_  (
x  +  T ) ) )
264261, 263mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  <_  (
x  +  T ) )
265 iccleub 11592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  <_  B )
266256, 258, 259, 265syl3anc 1228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
2672adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
268252, 267, 253leadd1d 10158 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  <_  B  <->  ( x  +  T )  <_  ( B  +  T )
) )
269266, 268mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  <_  ( B  +  T )
)
270254, 264, 2693jca 1176 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
x  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  ( x  +  T
)  /\  ( x  +  T )  <_  ( B  +  T )
) )
2718adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
2729adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
273 elicc2 11601 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR )  ->  ( ( x  +  T )  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  <->  ( ( x  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_ 
( x  +  T
)  /\  ( x  +  T )  <_  ( B  +  T )
) ) )
274271, 272, 273syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
x  +  T )  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  <->  ( (
x  +  T )  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  ( x  +  T
)  /\  ( x  +  T )  <_  ( B  +  T )
) ) )
275270, 274mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )
276251, 275ffvelrnd 6033 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( x  +  T
) )  e.  CC )
277276mulid1d 9625 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  =  ( G `  ( x  +  T ) ) )
27848, 89eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( w  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) )
279278a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  G  =  ( w  e.  (
( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) ) )
280 oveq1 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( x  +  T )  ->  (
w  -  T )  =  ( ( x  +  T )  -  T ) )
281280fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  +  T )  ->  ( F `  ( w  -  T ) )  =  ( F `  (
( x  +  T
)  -  T ) ) )
282281adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  w  =  ( x  +  T ) )  -> 
( F `  (
w  -  T ) )  =  ( F `
 ( ( x  +  T )  -  T ) ) )
28321, 252sseldi 3507 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
28423adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  CC )
285283, 284pncand 9943 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
x  +  T )  -  T )  =  x )
286285fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  ( ( x  +  T )  -  T
) )  =  ( F `  x ) )
287286adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  w  =  ( x  +  T ) )  -> 
( F `  (
( x  +  T
)  -  T ) )  =  ( F `
 x ) )
288282, 287eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  w  =  ( x  +  T ) )  -> 
( F `  (
w  -  T ) )  =  ( F `
 x ) )
28912ffvelrnda 6032 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
290279, 288, 275, 289fvmptd 5962 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) )
291277, 290eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  =  ( F `  x ) )
292291itgeq2dv 22056 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
293250, 292eqtrd 2508 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
294237, 243, 2933eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `
 ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x )
29554, 236, 2943eqtrd 2512 1  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973   A.wal 1377    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2818   {crab 2821    i^i cin 3480    C_ wss 3481   {csn 4033   {cpr 4035   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   dom cdm 5005   ran crn 5006    |` cres 5007   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509   RR*cxr 9639    <_ cle 9641    - cmin 9817   RR+crp 11232   (,)cioo 11541   [,]cicc 11544   TopOpenctopn 14694   topGenctg 14710  ℂfldccnfld 18290   intcnt 19386   -cn->ccncf 21248   volcvol 21743   L^1cibl 21894   S.citg 21895   S__cdit 22118    _D cdv 22135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-limsup 13274  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-rest 14695  df-topn 14696  df-0g 14714  df-gsum 14715  df-topgen 14716  df-pt 14717  df-prds 14720  df-xrs 14774  df-qtop 14779  df-imas 14780  df-xps 14782  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-mulg 15932  df-cntz 16227  df-cmn 16673  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-fbas 18286  df-fg 18287  df-cnfld 18291  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-topsp 19272  df-cld 19388  df-ntr 19389  df-cls 19390  df-nei 19467  df-lp 19505  df-perf 19506  df-cn 19596  df-cnp 19597  df-haus 19684  df-cmp 19755  df-tx 19931  df-hmeo 20124  df-fil 20215  df-fm 20307  df-flim 20308  df-flf 20309  df-xms 20691  df-ms 20692  df-tms 20693  df-cncf 21250  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-ibl 21899  df-itg 21900  df-0p 21945  df-ditg 22119  df-limc 22138  df-dv 22139
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  31811
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