Theorem itgiccshift 37430

Description: The integral of a function, F stays the same if its closed interval domain is shifted by T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgiccshift.a	|- ( ph -> A e. RR )
itgiccshift.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgiccshift.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
itgiccshift.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
itgiccshift.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
itgiccshift.g	|- G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
itgiccshift	|- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, G   x, T   ph, x

Proof of Theorem itgiccshift

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgiccshift.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		itgiccshift.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		itgiccshift.t	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR+ )
4	3	rpred 11330	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
5		itgiccshift.aleb	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
6	1, 2, 4, 5	leadd1dd 10216	. . . 4 |- ( ph -> ( A + T ) <_ ( B + T ) )
7	6	ditgpos 22685	. . 3 |- ( ph -> S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x )
8	1, 4	readdcld 9659	. . . 4 |- ( ph -> ( A + T ) e. RR )
9	2, 4	readdcld 9659	. . . 4 |- ( ph -> ( B + T ) e. RR )
10		itgiccshift.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
11		cncff 21814	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
13	12	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
14	1	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A e. RR )
15	2	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> B e. RR )
16	8	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR )
17	9	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. RR )
18		simpr 462	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
19		eliccre 37192	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1264	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
21	4	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> T e. RR )
22	20, 21	resubcld 10036	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. RR )
23	1	recnd 9658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
24	4	recnd 9658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. CC )
25	23, 24	pncand 9976	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A + T ) - T ) = A )
26	25	eqcomd 2428	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A = ( ( A + T ) - T ) )
27	26	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A = ( ( A + T ) - T ) )
28		elicc2 11688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR ) -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) ) )
29	16, 17, 28	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) ) )
30	18, 29	mpbid 213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) )
31	30	simp2d 1018	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) <_ x )
32	16, 20, 21, 31	lesub1dd 10218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( A + T ) - T ) <_ ( x - T ) )
33	27, 32	eqbrtrd 4437	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A <_ ( x - T ) )
34	30	simp3d 1019	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x <_ ( B + T ) )
35	20, 17, 21, 34	lesub1dd 10218	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ ( ( B + T ) - T ) )
36	2	recnd 9658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
37	36, 24	pncand 9976	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B + T ) - T ) = B )
38	37	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( B + T ) - T ) = B )
39	35, 38	breqtrd 4441	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ B )
40	14, 15, 22, 33, 39	eliccd 37190	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. ( A [,] B ) )
41	13, 40	ffvelrnd 6029	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( F ` ( x - T ) ) e. CC )
42		itgiccshift.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) )
43	41, 42	fmptd 6052	. . . . 5 |- ( ph -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
44	43	fnvinran 36979	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
45	8, 9, 44	itgioo 22647	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x )
46	7, 45	eqtr2d 2462	. 2 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x )
47		eqid 2420	. . . 4 |- ( y e. CC |-> ( y + T ) ) = ( y e. CC |-> ( y + T ) )
48	47	addccncf 21837	. . . . 5 |- ( T e. CC -> ( y e. CC |-> ( y + T ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
49	24, 48	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( y + T ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
50	1, 2	iccssred 37191	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
51		ax-resscn 9585	. . . . 5 |- RR C_ CC
52	50, 51	syl6ss 3473	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
53	8, 9	iccssred 37191	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ RR )
54	53, 51	syl6ss 3473	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ CC )
55	8	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) e. RR )
56	9	adantr 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( B + T ) e. RR )
57	50	sselda 3461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. RR )
58	4	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
59	57, 58	readdcld 9659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) e. RR )
60	1	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
61		simpr 462	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
62	2	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
63		elicc2 11688	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
64	60, 62, 63	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
65	61, 64	mpbid 213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
66	65	simp2d 1018	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> A <_ y )
67	60, 57, 58, 66	leadd1dd 10216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) <_ ( y + T ) )
68	65	simp3d 1019	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y <_ B )
69	57, 62, 58, 68	leadd1dd 10216	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) <_ ( B + T ) )
70	55, 56, 59, 67, 69	eliccd 37190	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
71	47, 49, 52, 54, 70	cncfmptssg 37323	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) )
72		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x - T ) = ( w - T ) )
73	72	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( F ` ( x - T ) ) = ( F ` ( w - T ) ) )
74	73	cbvmptv 4509	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) ) = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) )
75	1, 2, 4	iccshift 37208	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) = { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } )
76	75	mpteq1d 4498	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
77	74, 76	syl5eq 2473	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
78	42, 77	syl5eq 2473	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
79		eqeq1 2424	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w = ( z + T ) <-> x = ( z + T ) ) )
80	79	rexbidv 2937	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) <-> E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) )
81		oveq1 6303	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( z + T ) = ( y + T ) )
82	81	eqeq2d 2434	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( x = ( z + T ) <-> x = ( y + T ) ) )
83	82	cbvrexv 3054	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) <-> E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) )
84	80, 83	syl6bb 264	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) <-> E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) ) )
85	84	cbvrabv 3077	. . . . . . 7 |- { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } = { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) }
86	85	eqcomi 2433	. . . . . 6 |- { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } = { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) }
87		eqid 2420	. . . . . 6 |- ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) )
88	52, 24, 86, 10, 87	cncfshift 37327	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) e. ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) )
89	78, 88	eqeltrd 2508	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) )
90	43	feqmptd 5925	. . . 4 |- ( ph -> G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( G ` x ) ) )
91	75	eqcomd 2428	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } = ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
92	91	oveq1d 6311	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) = ( ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) -cn-> CC ) )
93	89, 90, 92	3eltr3d 2522	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) -cn-> CC ) )
94		ioosscn 37180	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
95	94	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
96		1cnd 9648	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
97		ssid 3480	. . . . . 6 |- CC C_ CC
98	97	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> CC C_ CC )
99	95, 96, 98	constcncfg 37324	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
100		fconstmpt 4889	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 )
101		ioombl 22392	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) e. dom vol
102	101	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
103		ioovolcl 22396	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
104	1, 2, 103	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
105		iblconst 22649	. . . . . 6 |- ( ( ( A (,) B ) e. dom vol /\ ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) e. L^1 )
106	102, 104, 96, 105	syl3anc 1264	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) e. L^1 )
107	100, 106	syl5eqelr 2513	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. L^1 )
108	99, 107	elind 3647	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
109	50	resmptd 5167	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) = ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) )
110	109	eqcomd 2428	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) = ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) )
111	110	oveq2d 6312	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) )
112	51	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
113	112	sselda 3461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
114	24	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. CC )
115	113, 114	addcld 9651	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + T ) e. CC )
116		eqid 2420	. . . . . . 7 |- ( y e. RR |-> ( y + T ) ) = ( y e. RR |-> ( y + T ) )
117	115, 116	fmptd 6052	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( y + T ) ) : RR --> CC )
118		ssid 3480	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
119	118	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ RR )
120		eqid 2420	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
121	120	tgioo2 21725	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
122	120, 121	dvres 22740	. . . . . 6 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( y e. RR |-> ( y + T ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A [,] B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
123	112, 117, 119, 50, 122	syl22anc 1265	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
124	111, 123	eqtrd 2461	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
125		iccntr 21743	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
126	1, 2, 125	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
127	126	reseq2d 5116	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
128		reelprrecn 9620	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
129	128	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
130		1cnd 9648	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
131	129	dvmptid 22785	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
132		0cnd 9625	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 e. CC )
133	129, 24	dvmptc 22786	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> T ) ) = ( y e. RR |-> 0 ) )
134	129, 113, 130, 131, 114, 132, 133	dvmptadd 22788	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) = ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) )
135	134	reseq1d 5115	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) |` ( A (,) B ) ) )
136		ioossre 11685	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ RR
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
138	137	resmptd 5167	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) )
139		1p0e1 10711	. . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
140	139	mpteq2i 4500	. . . . . 6 |- ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 )
141	140	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
142	135, 138, 141	3eqtrd 2465	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
143	124, 127, 142	3eqtrd 2465	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
144		fveq2 5872	. . 3 |- ( x = ( y + T ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( y + T ) ) )
145		oveq1 6303	. . 3 |- ( y = A -> ( y + T ) = ( A + T ) )
146		oveq1 6303	. . 3 |- ( y = B -> ( y + T ) = ( B + T ) )
147	1, 2, 5, 71, 93, 108, 143, 144, 145, 146, 8, 9	itgsubsticc 37426	. 2 |- ( ph -> S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x = S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
148	5	ditgpos 22685	. . 3 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A (,) B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
149	43	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
150	149, 70	ffvelrnd 6029	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( y + T ) ) e. CC )
151		1cnd 9648	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	mulcld 9652	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) e. CC )
153	1, 2, 152	itgioo 22647	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
154		oveq1 6303	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y + T ) = ( x + T ) )
155	154	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( G ` ( y + T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) )
156	155	oveq1d 6311	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) = ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) )
157	156	cbvitgv 22608	. . . 4 |- S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) _d x
158	43	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
159	8	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) e. RR )
160	9	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( B + T ) e. RR )
161	50	sselda 3461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
162	4	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
163	161, 162	readdcld 9659	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) e. RR )
164	1	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
165	1	rexrd 9679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
166	165	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR* )
167	2	rexrd 9679	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
168	167	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR* )
169		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
170		iccgelb 11680	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
171	166, 168, 169, 170	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
172	164, 161, 162, 171	leadd1dd 10216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) <_ ( x + T ) )
173	2	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
174		iccleub 11679	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
175	166, 168, 169, 174	syl3anc 1264	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
176	161, 173, 162, 175	leadd1dd 10216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) <_ ( B + T ) )
177	159, 160, 163, 172, 176	eliccd 37190	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
178	158, 177	ffvelrnd 6029	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( x + T ) ) e. CC )
179	178	mulid1d 9649	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) = ( G ` ( x + T ) ) )
180	42, 74	eqtri 2449	. . . . . . . 8 |- G = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) )
181	180	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> G = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
182		oveq1 6303	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x + T ) -> ( w - T ) = ( ( x + T ) - T ) )
183	182	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x + T ) -> ( F ` ( w - T ) ) = ( F ` ( ( x + T ) - T ) ) )
184	161	recnd 9658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. CC )
185	24	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> T e. CC )
186	184, 185	pncand 9976	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( x + T ) - T ) = x )
187	186	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( ( x + T ) - T ) ) = ( F ` x ) )
188	183, 187	sylan9eqr 2483	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ w = ( x + T ) ) -> ( F ` ( w - T ) ) = ( F ` x ) )
189	12	ffvelrnda 6028	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
190	181, 188, 177, 189	fvmptd 5961	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
191	179, 190	eqtrd 2461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) = ( F ` x ) )
192	191	itgeq2dv 22613	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
193	157, 192	syl5eq 2473	. . 3 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
194	148, 153, 193	3eqtrd 2465	. 2 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
195	46, 147, 194	3eqtrd 2465	1 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1867   E.wrex 2774   {crab 2777   C_ wss 3433   {csn 3993   {cpr 3995   class class class wbr 4417   |-> cmpt 4475   X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846   |` cres 4847   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529   + caddc 9531   x. cmul 9533   RR*cxr 9663   <_ cle 9665   - cmin 9849   RR+crp 11291   (,)cioo 11624   [,]cicc 11627   TopOpenctopn 15272   topGenctg 15288  ℂ_fldccnfld 18898   intcnt 19956   -cn->ccncf 21797   volcvol 22289   L^1cibl 22449   S.citg 22450   S__cdit 22675   _D cdv 22692

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-cmp 20326  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21799  df-ovol 22290  df-vol 22292  df-mbf 22451  df-itg1 22452  df-itg2 22453  df-ibl 22454  df-itg 22455  df-0p 22502  df-ditg 22676  df-limc 22695  df-dv 22696

This theorem is referenced by:  fourierdlem81  37623