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Theorem itgiccshift 37430
Description: The integral of a function,  F stays the same if its closed interval domain is shifted by  T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
itgiccshift.a  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
itgiccshift.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
itgiccshift.aleb  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
itgiccshift.f  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
itgiccshift.t  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
itgiccshift.g  |-  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
Assertion
Ref Expression
itgiccshift  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, F    x, G    x, T    ph, x

Proof of Theorem itgiccshift
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgiccshift.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 itgiccshift.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 itgiccshift.t . . . . . 6  |-  ( ph  ->  T  e.  RR+ )
43rpred 11330 . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  RR )
5 itgiccshift.aleb . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
61, 2, 4, 5leadd1dd 10216 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  T
)  <_  ( B  +  T ) )
76ditgpos 22685 . . 3  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  +  T )  -> 
( B  +  T
) ] ( G `
 x )  _d x  =  S. ( ( A  +  T
) (,) ( B  +  T ) ) ( G `  x
)  _d x )
81, 4readdcld 9659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  +  T
)  e.  RR )
92, 4readdcld 9659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  +  T
)  e.  RR )
10 itgiccshift.f . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e.  ( ( A [,] B )
-cn-> CC ) )
11 cncff 21814 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  ( ( A [,] B ) -cn-> CC )  ->  F :
( A [,] B
) --> CC )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
1312adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  F : ( A [,] B ) --> CC )
141adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  e.  RR )
152adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  B  e.  RR )
168adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
179adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
18 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )
19 eliccre 37192 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) )  ->  x  e.  RR )
2016, 17, 18, 19syl3anc 1264 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  e.  RR )
214adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  T  e.  RR )
2220, 21resubcld 10036 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  e.  RR )
231recnd 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
244recnd 9658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
2523, 24pncand 9976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T )  -  T
)  =  A )
2625eqcomd 2428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( A  +  T )  -  T ) )
2726adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  =  ( ( A  +  T )  -  T ) )
28 elicc2 11688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  +  T
)  e.  RR  /\  ( B  +  T
)  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T )
) ) )
2916, 17, 28syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( A  +  T )  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T )
) ) )
3018, 29mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  e.  RR  /\  ( A  +  T
)  <_  x  /\  x  <_  ( B  +  T ) ) )
3130simp2d 1018 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( A  +  T )  <_  x )
3216, 20, 21, 31lesub1dd 10218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( A  +  T
)  -  T )  <_  ( x  -  T ) )
3327, 32eqbrtrd 4437 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  A  <_  ( x  -  T
) )
3430simp3d 1019 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  x  <_  ( B  +  T
) )
3520, 17, 21, 34lesub1dd 10218 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  <_  ( ( B  +  T )  -  T ) )
362recnd 9658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3736, 24pncand 9976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  T )  -  T
)  =  B )
3837adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
( B  +  T
)  -  T )  =  B )
3935, 38breqtrd 4441 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  <_  B )
4014, 15, 22, 33, 39eliccd 37190 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  (
x  -  T )  e.  ( A [,] B ) )
4113, 40ffvelrnd 6029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  e.  CC )
42 itgiccshift.g . . . . . 6  |-  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )
4341, 42fmptd 6052 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G : ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T ) ) --> CC )
4443fnvinran 36979 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) )  ->  ( G `  x )  e.  CC )
458, 9, 44itgioo 22647 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) (,) ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) ( G `  x
)  _d x )
467, 45eqtr2d 2462 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S__ [
( A  +  T
)  ->  ( B  +  T ) ] ( G `  x )  _d x )
47 eqid 2420 . . . 4  |-  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )  =  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )
4847addccncf 21837 . . . . 5  |-  ( T  e.  CC  ->  (
y  e.  CC  |->  ( y  +  T ) )  e.  ( CC
-cn-> CC ) )
4924, 48syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  CC  |->  ( y  +  T
) )  e.  ( CC -cn-> CC ) )
501, 2iccssred 37191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  RR )
51 ax-resscn 9585 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
5250, 51syl6ss 3473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A [,] B
)  C_  CC )
538, 9iccssred 37191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  C_  RR )
5453, 51syl6ss 3473 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  C_  CC )
558adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
569adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
5750sselda 3461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  e.  RR )
584adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  RR )
5957, 58readdcld 9659 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  e.  RR )
601adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
61 simpr 462 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  e.  ( A [,] B ) )
622adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
63 elicc2 11688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( y  e.  ( A [,] B )  <-> 
( y  e.  RR  /\  A  <_  y  /\  y  <_  B ) ) )
6460, 62, 63syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  ( A [,] B
)  <->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) ) )
6561, 64mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  e.  RR  /\  A  <_ 
y  /\  y  <_  B ) )
6665simp2d 1018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  y )
6760, 57, 58, 66leadd1dd 10216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  <_  (
y  +  T ) )
6865simp3d 1019 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  y  <_  B )
6957, 62, 58, 68leadd1dd 10216 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  <_  ( B  +  T )
)
7055, 56, 59, 67, 69eliccd 37190 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( y  +  T )  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )
7147, 49, 52, 54, 70cncfmptssg 37323 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( y  +  T
) )  e.  ( ( A [,] B
) -cn-> ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ) )
72 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  w  ->  (
x  -  T )  =  ( w  -  T ) )
7372fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  w  ->  ( F `  ( x  -  T ) )  =  ( F `  (
w  -  T ) ) )
7473cbvmptv 4509 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  |->  ( F `
 ( x  -  T ) ) )  =  ( w  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) )
751, 2, 4iccshift 37208 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
)  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) } )
7675mpteq1d 4498 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) )  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
7774, 76syl5eq 2473 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
x  -  T ) ) )  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
7842, 77syl5eq 2473 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  =  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) ) )
79 eqeq1 2424 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  x  ->  (
w  =  ( z  +  T )  <->  x  =  ( z  +  T
) ) )
8079rexbidv 2937 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  x  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T )  <->  E. z  e.  ( A [,] B
) x  =  ( z  +  T ) ) )
81 oveq1 6303 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  y  ->  (
z  +  T )  =  ( y  +  T ) )
8281eqeq2d 2434 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  y  ->  (
x  =  ( z  +  T )  <->  x  =  ( y  +  T
) ) )
8382cbvrexv 3054 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z  e.  ( A [,] B ) x  =  ( z  +  T )  <->  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) )
8480, 83syl6bb 264 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  x  ->  ( E. z  e.  ( A [,] B ) w  =  ( z  +  T )  <->  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) ) )
8584cbvrabv 3077 . . . . . . 7  |-  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }  =  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }
8685eqcomi 2433 . . . . . 6  |-  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  =  { w  e.  CC  |  E. z  e.  ( A [,] B
) w  =  ( z  +  T ) }
87 eqid 2420 . . . . . 6  |-  ( w  e.  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T
) ) )  =  ( w  e.  {
x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T ) ) )
8852, 24, 86, 10, 87cncfshift 37327 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( w  e.  {
x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  |->  ( F `  ( w  -  T ) ) )  e.  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC ) )
8978, 88eqeltrd 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC ) )
9043feqmptd 5925 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  =  ( x  e.  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) )  |->  ( G `
 x ) ) )
9175eqcomd 2428 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B ) x  =  ( y  +  T ) }  =  ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) )
9291oveq1d 6311 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { x  e.  CC  |  E. y  e.  ( A [,] B
) x  =  ( y  +  T ) } -cn-> CC )  =  ( ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) -cn-> CC ) )
9389, 90, 923eltr3d 2522 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( G `  x
) )  e.  ( ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) -cn-> CC ) )
94 ioosscn 37180 . . . . . 6  |-  ( A (,) B )  C_  CC
9594a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  CC )
96 1cnd 9648 . . . . 5  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
97 ssid 3480 . . . . . 6  |-  CC  C_  CC
9897a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  CC  C_  CC )
9995, 96, 98constcncfg 37324 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( A (,) B
) -cn-> CC ) )
100 fconstmpt 4889 . . . . 5  |-  ( ( A (,) B )  X.  { 1 } )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 )
101 ioombl 22392 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  e. 
dom  vol
102101a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  e.  dom  vol )
103 ioovolcl 22396 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
1041, 2, 103syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR )
105 iblconst 22649 . . . . . 6  |-  ( ( ( A (,) B
)  e.  dom  vol  /\  ( vol `  ( A (,) B ) )  e.  RR  /\  1  e.  CC )  ->  (
( A (,) B
)  X.  { 1 } )  e.  L^1 )
106102, 104, 96, 105syl3anc 1264 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( A (,) B )  X.  {
1 } )  e.  L^1 )
107100, 106syl5eqelr 2513 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  L^1 )
10899, 107elind 3647 . . 3  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  1 )  e.  ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC )  i^i  L^1 ) )
10950resmptd 5167 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B ) )  =  ( y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )
110109eqcomd 2428 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A [,] B ) 
|->  ( y  +  T
) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) )  |`  ( A [,] B ) ) )
111110oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( RR  _D  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B ) ) ) )
11251a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  CC )
113112sselda 3461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
11424adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  T  e.  CC )
115113, 114addcld 9651 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  +  T )  e.  CC )
116 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )
117115, 116fmptd 6052 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) : RR --> CC )
118 ssid 3480 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR
119118a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  C_  RR )
120 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( TopOpen ` fld )  =  ( TopOpen ` fld )
121120tgioo2 21725 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  ( ( TopOpen ` fld )t  RR )
122120, 121dvres 22740 . . . . . 6  |-  ( ( ( RR  C_  CC  /\  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) : RR --> CC )  /\  ( RR  C_  RR  /\  ( A [,] B )  C_  RR ) )  ->  ( RR  _D  ( ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) )  |`  ( A [,] B
) ) )  =  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) ) )
123112, 117, 119, 50, 122syl22anc 1265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) )  |`  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `  ran  (,) ) ) `  ( A [,] B ) ) ) )
124111, 123eqtrd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  (
( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) ) )
125 iccntr 21743 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
1261, 2, 125syl2anc 665 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) )  =  ( A (,) B
) )
127126reseq2d 5116 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( ( int `  ( topGen `
 ran  (,) )
) `  ( A [,] B ) ) )  =  ( ( RR 
_D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  |`  ( A (,) B
) ) )
128 reelprrecn 9620 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  { RR ,  CC }
129128a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  { RR ,  CC } )
130 1cnd 9648 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  CC )
131129dvmptid 22785 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  y ) )  =  ( y  e.  RR  |->  1 ) )
132 0cnd 9625 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  0  e.  CC )
133129, 24dvmptc 22786 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  T ) )  =  ( y  e.  RR  |->  0 ) )
134129, 113, 130, 131, 114, 132, 133dvmptadd 22788 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  RR  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) ) )
135134reseq1d 5115 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) )  |`  ( A (,) B ) ) )
136 ioossre 11685 . . . . . . 7  |-  ( A (,) B )  C_  RR
137136a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A (,) B
)  C_  RR )
138137resmptd 5167 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( 1  +  0 ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  +  0 ) ) )
139 1p0e1 10711 . . . . . . 7  |-  ( 1  +  0 )  =  1
140139mpteq2i 4500 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  ( 1  +  0 ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B
)  |->  1 )
141140a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( A (,) B ) 
|->  ( 1  +  0 ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
142135, 138, 1413eqtrd 2465 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( RR  _D  ( y  e.  RR  |->  ( y  +  T
) ) )  |`  ( A (,) B ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
143124, 127, 1423eqtrd 2465 . . 3  |-  ( ph  ->  ( RR  _D  (
y  e.  ( A [,] B )  |->  ( y  +  T ) ) )  =  ( y  e.  ( A (,) B )  |->  1 ) )
144 fveq2 5872 . . 3  |-  ( x  =  ( y  +  T )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  ( y  +  T
) ) )
145 oveq1 6303 . . 3  |-  ( y  =  A  ->  (
y  +  T )  =  ( A  +  T ) )
146 oveq1 6303 . . 3  |-  ( y  =  B  ->  (
y  +  T )  =  ( B  +  T ) )
1471, 2, 5, 71, 93, 108, 143, 144, 145, 146, 8, 9itgsubsticc 37426 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ ( A  +  T )  -> 
( B  +  T
) ] ( G `
 x )  _d x  =  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  _d y )
1485ditgpos 22685 . . 3  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `
 ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A (,) B ) ( ( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  _d y )
14943adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  G :
( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) --> CC )
150149, 70ffvelrnd 6029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( y  +  T
) )  e.  CC )
151 1cnd 9648 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  1  e.  CC )
152150, 151mulcld 9652 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  e.  CC )
1531, 2, 152itgioo 22647 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A (,) B ) ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T
) )  x.  1 )  _d y )
154 oveq1 6303 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  +  T )  =  ( x  +  T ) )
155154fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  ( G `  ( y  +  T ) )  =  ( G `  (
x  +  T ) ) )
156155oveq1d 6311 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  (
( G `  (
y  +  T ) )  x.  1 )  =  ( ( G `
 ( x  +  T ) )  x.  1 ) )
157156cbvitgv 22608 . . . 4  |-  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T
) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  _d x
15843adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  G :
( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T )
) --> CC )
1598adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  e.  RR )
1609adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( B  +  T )  e.  RR )
16150sselda 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  RR )
1624adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  RR )
163161, 162readdcld 9659 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  e.  RR )
1641adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR )
1651rexrd 9679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  e.  RR* )
166165adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  e.  RR* )
1672rexrd 9679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  RR* )
168167adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR* )
169 simpr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  ( A [,] B ) )
170 iccgelb 11680 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  A  <_  x )
171166, 168, 169, 170syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  A  <_  x )
172164, 161, 162, 171leadd1dd 10216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( A  +  T )  <_  (
x  +  T ) )
1732adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  B  e.  RR )
174 iccleub 11679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR*  /\  B  e.  RR*  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  ->  x  <_  B )
175166, 168, 169, 174syl3anc 1264 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  <_  B )
176161, 173, 162, 175leadd1dd 10216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  <_  ( B  +  T )
)
177159, 160, 163, 172, 176eliccd 37190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( x  +  T )  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) )
178158, 177ffvelrnd 6029 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( x  +  T
) )  e.  CC )
179178mulid1d 9649 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  =  ( G `  ( x  +  T ) ) )
18042, 74eqtri 2449 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( w  e.  ( ( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) )
181180a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  G  =  ( w  e.  (
( A  +  T
) [,] ( B  +  T ) ) 
|->  ( F `  (
w  -  T ) ) ) )
182 oveq1 6303 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  ( x  +  T )  ->  (
w  -  T )  =  ( ( x  +  T )  -  T ) )
183182fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  ( x  +  T )  ->  ( F `  ( w  -  T ) )  =  ( F `  (
( x  +  T
)  -  T ) ) )
184161recnd 9658 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  x  e.  CC )
18524adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  T  e.  CC )
186184, 185pncand 9976 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( (
x  +  T )  -  T )  =  x )
187186fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  ( ( x  +  T )  -  T
) )  =  ( F `  x ) )
188183, 187sylan9eqr 2483 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( A [,] B
) )  /\  w  =  ( x  +  T ) )  -> 
( F `  (
w  -  T ) )  =  ( F `
 x ) )
18912ffvelrnda 6028 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( F `  x )  e.  CC )
190181, 188, 177, 189fvmptd 5961 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( G `  ( x  +  T
) )  =  ( F `  x ) )
191179, 190eqtrd 2461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( A [,] B ) )  ->  ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  =  ( F `  x ) )
192191itgeq2dv 22613 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( x  +  T ) )  x.  1 )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
193157, 192syl5eq 2473 . . 3  |-  ( ph  ->  S. ( A [,] B ) ( ( G `  ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
194148, 153, 1933eqtrd 2465 . 2  |-  ( ph  ->  S__ [ A  ->  B ] ( ( G `
 ( y  +  T ) )  x.  1 )  _d y  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x )  _d x )
19546, 147, 1943eqtrd 2465 1  |-  ( ph  ->  S. ( ( A  +  T ) [,] ( B  +  T
) ) ( G `
 x )  _d x  =  S. ( A [,] B ) ( F `  x
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   E.wrex 2774   {crab 2777    C_ wss 3433   {csn 3993   {cpr 3995   class class class wbr 4417    |-> cmpt 4475    X. cxp 4843   dom cdm 4845   ran crn 4846    |` cres 4847   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533   RR*cxr 9663    <_ cle 9665    - cmin 9849   RR+crp 11291   (,)cioo 11624   [,]cicc 11627   TopOpenctopn 15272   topGenctg 15288  ℂfldccnfld 18898   intcnt 19956   -cn->ccncf 21797   volcvol 22289   L^1cibl 22449   S.citg 22450   S__cdit 22675    _D cdv 22692
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-iin 4296  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6917  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-omul 7186  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-ixp 7522  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fsupp 7881  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-acn 8366  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ioc 11629  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-mod 12083  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-limsup 13493  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-struct 15075  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-ress 15080  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-starv 15157  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-ip 15160  df-tset 15161  df-ple 15162  df-ds 15164  df-unif 15165  df-hom 15166  df-cco 15167  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-gsum 15293  df-topgen 15294  df-pt 15295  df-prds 15298  df-xrs 15352  df-qtop 15357  df-imas 15358  df-xps 15360  df-mre 15436  df-mrc 15437  df-acs 15439  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-submnd 16527  df-mulg 16620  df-cntz 16915  df-cmn 17360  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-fbas 18895  df-fg 18896  df-cnfld 18899  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-cld 19958  df-ntr 19959  df-cls 19960  df-nei 20038  df-lp 20076  df-perf 20077  df-cn 20167  df-cnp 20168  df-haus 20255  df-cmp 20326  df-tx 20501  df-hmeo 20694  df-fil 20785  df-fm 20877  df-flim 20878  df-flf 20879  df-xms 21259  df-ms 21260  df-tms 21261  df-cncf 21799  df-ovol 22290  df-vol 22292  df-mbf 22451  df-itg1 22452  df-itg2 22453  df-ibl 22454  df-itg 22455  df-0p 22502  df-ditg 22676  df-limc 22695  df-dv 22696
This theorem is referenced by:  fourierdlem81  37623
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