Theorem itgiccshift 37857

Description: The integral of a function, F stays the same if its closed interval domain is shifted by T. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgiccshift.a	|- ( ph -> A e. RR )
itgiccshift.b	|- ( ph -> B e. RR )
itgiccshift.aleb	|- ( ph -> A <_ B )
itgiccshift.f	|- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
itgiccshift.t	|- ( ph -> T e. RR+ )
itgiccshift.g	|- G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) )

Assertion

Ref	Expression
itgiccshift	|- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, F   x, G   x, T   ph, x

Proof of Theorem itgiccshift

Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgiccshift.a	. . . . 5 |- ( ph -> A e. RR )
2		itgiccshift.b	. . . . 5 |- ( ph -> B e. RR )
3		itgiccshift.t	. . . . . 6 |- ( ph -> T e. RR+ )
4	3	rpred 11341	. . . . 5 |- ( ph -> T e. RR )
5		itgiccshift.aleb	. . . . 5 |- ( ph -> A <_ B )
6	1, 2, 4, 5	leadd1dd 10227	. . . 4 |- ( ph -> ( A + T ) <_ ( B + T ) )
7	6	ditgpos 22811	. . 3 |- ( ph -> S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x )
8	1, 4	readdcld 9670	. . . 4 |- ( ph -> ( A + T ) e. RR )
9	2, 4	readdcld 9670	. . . 4 |- ( ph -> ( B + T ) e. RR )
10		itgiccshift.f	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) )
11		cncff 21925	. . . . . . . . 9 |- ( F e. ( ( A [,] B ) -cn-> CC ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : ( A [,] B ) --> CC )
13	12	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> F : ( A [,] B ) --> CC )
14	1	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A e. RR )
15	2	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> B e. RR )
16	8	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) e. RR )
17	9	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( B + T ) e. RR )
18		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
19		eliccre 37603	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
20	16, 17, 18, 19	syl3anc 1268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x e. RR )
21	4	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> T e. RR )
22	20, 21	resubcld 10047	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. RR )
23	1	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. CC )
24	4	recnd 9669	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> T e. CC )
25	23, 24	pncand 9987	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( A + T ) - T ) = A )
26	25	eqcomd 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A = ( ( A + T ) - T ) )
27	26	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A = ( ( A + T ) - T ) )
28		elicc2 11699	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A + T ) e. RR /\ ( B + T ) e. RR ) -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) ) )
29	16, 17, 28	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) <-> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) ) )
30	18, 29	mpbid 214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x e. RR /\ ( A + T ) <_ x /\ x <_ ( B + T ) ) )
31	30	simp2d 1021	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( A + T ) <_ x )
32	16, 20, 21, 31	lesub1dd 10229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( A + T ) - T ) <_ ( x - T ) )
33	27, 32	eqbrtrd 4423	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> A <_ ( x - T ) )
34	30	simp3d 1022	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> x <_ ( B + T ) )
35	20, 17, 21, 34	lesub1dd 10229	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ ( ( B + T ) - T ) )
36	2	recnd 9669	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> B e. CC )
37	36, 24	pncand 9987	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( ( B + T ) - T ) = B )
38	37	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( ( B + T ) - T ) = B )
39	35, 38	breqtrd 4427	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) <_ B )
40	14, 15, 22, 33, 39	eliccd 37601	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( x - T ) e. ( A [,] B ) )
41	13, 40	ffvelrnd 6023	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( F ` ( x - T ) ) e. CC )
42		itgiccshift.g	. . . . . 6 |- G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) )
43	41, 42	fmptd 6046	. . . . 5 |- ( ph -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
44	43	fnvinran 37335	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) -> ( G ` x ) e. CC )
45	8, 9, 44	itgioo 22773	. . 3 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) (,) ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x )
46	7, 45	eqtr2d 2486	. 2 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x )
47		eqid 2451	. . . 4 |- ( y e. CC |-> ( y + T ) ) = ( y e. CC |-> ( y + T ) )
48	47	addccncf 21948	. . . . 5 |- ( T e. CC -> ( y e. CC |-> ( y + T ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
49	24, 48	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. CC |-> ( y + T ) ) e. ( CC -cn-> CC ) )
50	1, 2	iccssred 37602	. . . . 5 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ RR )
51		ax-resscn 9596	. . . . 5 |- RR C_ CC
52	50, 51	syl6ss 3444	. . . 4 |- ( ph -> ( A [,] B ) C_ CC )
53	8, 9	iccssred 37602	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ RR )
54	53, 51	syl6ss 3444	. . . 4 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) C_ CC )
55	8	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) e. RR )
56	9	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( B + T ) e. RR )
57	50	sselda 3432	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. RR )
58	4	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
59	57, 58	readdcld 9670	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) e. RR )
60	1	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
61		simpr 463	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
62	2	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
63		elicc2 11699	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
64	60, 62, 63	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
65	61, 64	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
66	65	simp2d 1021	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> A <_ y )
67	60, 57, 58, 66	leadd1dd 10227	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) <_ ( y + T ) )
68	65	simp3d 1022	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> y <_ B )
69	57, 62, 58, 68	leadd1dd 10227	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) <_ ( B + T ) )
70	55, 56, 59, 67, 69	eliccd 37601	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( y + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
71	47, 49, 52, 54, 70	cncfmptssg 37747	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) e. ( ( A [,] B ) -cn-> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ) )
72		oveq1 6297	. . . . . . . . 9 |- ( x = w -> ( x - T ) = ( w - T ) )
73	72	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( x = w -> ( F ` ( x - T ) ) = ( F ` ( w - T ) ) )
74	73	cbvmptv 4495	. . . . . . 7 |- ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) ) = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) )
75	1, 2, 4	iccshift 37619	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) = { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } )
76	75	mpteq1d 4484	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
77	74, 76	syl5eq 2497	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( x - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
78	42, 77	syl5eq 2497	. . . . 5 |- ( ph -> G = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
79		eqeq1 2455	. . . . . . . . . 10 |- ( w = x -> ( w = ( z + T ) <-> x = ( z + T ) ) )
80	79	rexbidv 2901	. . . . . . . . 9 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) <-> E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) ) )
81		oveq1 6297	. . . . . . . . . . 11 |- ( z = y -> ( z + T ) = ( y + T ) )
82	81	eqeq2d 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( z = y -> ( x = ( z + T ) <-> x = ( y + T ) ) )
83	82	cbvrexv 3020	. . . . . . . . 9 |- ( E. z e. ( A [,] B ) x = ( z + T ) <-> E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) )
84	80, 83	syl6bb 265	. . . . . . . 8 |- ( w = x -> ( E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) <-> E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) ) )
85	84	cbvrabv 3044	. . . . . . 7 |- { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) } = { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) }
86	85	eqcomi 2460	. . . . . 6 |- { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } = { w e. CC | E. z e. ( A [,] B ) w = ( z + T ) }
87		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) = ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) )
88	52, 24, 86, 10, 87	cncfshift 37751	. . . . 5 |- ( ph -> ( w e. { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } |-> ( F ` ( w - T ) ) ) e. ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) )
89	78, 88	eqeltrd 2529	. . . 4 |- ( ph -> G e. ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) )
90	43	feqmptd 5918	. . . 4 |- ( ph -> G = ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( G ` x ) ) )
91	75	eqcomd 2457	. . . . 5 |- ( ph -> { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } = ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
92	91	oveq1d 6305	. . . 4 |- ( ph -> ( { x e. CC | E. y e. ( A [,] B ) x = ( y + T ) } -cn-> CC ) = ( ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) -cn-> CC ) )
93	89, 90, 92	3eltr3d 2543	. . 3 |- ( ph -> ( x e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( G ` x ) ) e. ( ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) -cn-> CC ) )
94		ioosscn 37591	. . . . . 6 |- ( A (,) B ) C_ CC
95	94	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ CC )
96		1cnd 9659	. . . . 5 |- ( ph -> 1 e. CC )
97		ssid 3451	. . . . . 6 |- CC C_ CC
98	97	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> CC C_ CC )
99	95, 96, 98	constcncfg 37748	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) )
100		fconstmpt 4878	. . . . 5 |- ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 )
101		ioombl 22518	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) e. dom vol
102	101	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) e. dom vol )
103		ioovolcl 22522	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
104	1, 2, 103	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR )
105		iblconst 22775	. . . . . 6 |- ( ( ( A (,) B ) e. dom vol /\ ( vol ` ( A (,) B ) ) e. RR /\ 1 e. CC ) -> ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) e. L^1 )
106	102, 104, 96, 105	syl3anc 1268	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( A (,) B ) X. { 1 } ) e. L^1 )
107	100, 106	syl5eqelr 2534	. . . 4 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. L^1 )
108	99, 107	elind 3618	. . 3 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) e. ( ( ( A (,) B ) -cn-> CC ) i^i L^1 ) )
109	50	resmptd 5156	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) = ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) )
110	109	eqcomd 2457	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) = ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) )
111	110	oveq2d 6306	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) )
112	51	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ CC )
113	112	sselda 3432	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> y e. CC )
114	24	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> T e. CC )
115	113, 114	addcld 9662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( y + T ) e. CC )
116		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( y e. RR |-> ( y + T ) ) = ( y e. RR |-> ( y + T ) )
117	115, 116	fmptd 6046	. . . . . 6 |- ( ph -> ( y e. RR |-> ( y + T ) ) : RR --> CC )
118		ssid 3451	. . . . . . 7 |- RR C_ RR
119	118	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> RR C_ RR )
120		eqid 2451	. . . . . . 7 |- ( TopOpen ` ℂfld ) = ( TopOpen ` ℂfld )
121	120	tgioo2 21821	. . . . . . 7 |- ( topGen ` ran (,) ) = ( ( TopOpen ` ℂfld ) ↾t RR )
122	120, 121	dvres 22866	. . . . . 6 |- ( ( ( RR C_ CC /\ ( y e. RR |-> ( y + T ) ) : RR --> CC ) /\ ( RR C_ RR /\ ( A [,] B ) C_ RR ) ) -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
123	112, 117, 119, 50, 122	syl22anc 1269	. . . . 5 |- ( ph -> ( RR _D ( ( y e. RR |-> ( y + T ) ) |` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
124	111, 123	eqtrd 2485	. . . 4 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) )
125		iccntr 21839	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
126	1, 2, 125	syl2anc 667	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) = ( A (,) B ) )
127	126	reseq2d 5105	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( ( int ` ( topGen ` ran (,) ) ) ` ( A [,] B ) ) ) = ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) )
128		reelprrecn 9631	. . . . . . . 8 |- RR e. { RR , CC }
129	128	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> RR e. { RR , CC } )
130		1cnd 9659	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. CC )
131	129	dvmptid 22911	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> y ) ) = ( y e. RR |-> 1 ) )
132		0cnd 9636	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 0 e. CC )
133	129, 24	dvmptc 22912	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> T ) ) = ( y e. RR |-> 0 ) )
134	129, 113, 130, 131, 114, 132, 133	dvmptadd 22914	. . . . . 6 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) = ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) )
135	134	reseq1d 5104	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) |` ( A (,) B ) ) )
136		ioossre 11696	. . . . . . 7 |- ( A (,) B ) C_ RR
137	136	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A (,) B ) C_ RR )
138	137	resmptd 5156	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( y e. RR |-> ( 1 + 0 ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) )
139		1p0e1 10722	. . . . . . 7 |- ( 1 + 0 ) = 1
140	139	mpteq2i 4486	. . . . . 6 |- ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 )
141	140	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. ( A (,) B ) |-> ( 1 + 0 ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
142	135, 138, 141	3eqtrd 2489	. . . 4 |- ( ph -> ( ( RR _D ( y e. RR |-> ( y + T ) ) ) |` ( A (,) B ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
143	124, 127, 142	3eqtrd 2489	. . 3 |- ( ph -> ( RR _D ( y e. ( A [,] B ) |-> ( y + T ) ) ) = ( y e. ( A (,) B ) |-> 1 ) )
144		fveq2 5865	. . 3 |- ( x = ( y + T ) -> ( G ` x ) = ( G ` ( y + T ) ) )
145		oveq1 6297	. . 3 |- ( y = A -> ( y + T ) = ( A + T ) )
146		oveq1 6297	. . 3 |- ( y = B -> ( y + T ) = ( B + T ) )
147	1, 2, 5, 71, 93, 108, 143, 144, 145, 146, 8, 9	itgsubsticc 37853	. 2 |- ( ph -> S__ [ ( A + T ) -> ( B + T ) ] ( G ` x ) _d x = S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
148	5	ditgpos 22811	. . 3 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A (,) B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
149	43	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
150	149, 70	ffvelrnd 6023	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( y + T ) ) e. CC )
151		1cnd 9659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> 1 e. CC )
152	150, 151	mulcld 9663	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) e. CC )
153	1, 2, 152	itgioo 22773	. . 3 |- ( ph -> S. ( A (,) B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y )
154		oveq1 6297	. . . . . . 7 |- ( y = x -> ( y + T ) = ( x + T ) )
155	154	fveq2d 5869	. . . . . 6 |- ( y = x -> ( G ` ( y + T ) ) = ( G ` ( x + T ) ) )
156	155	oveq1d 6305	. . . . 5 |- ( y = x -> ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) = ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) )
157	156	cbvitgv 22734	. . . 4 |- S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) _d x
158	43	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> G : ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) --> CC )
159	8	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) e. RR )
160	9	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( B + T ) e. RR )
161	50	sselda 3432	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. RR )
162	4	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> T e. RR )
163	161, 162	readdcld 9670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) e. RR )
164	1	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR )
165	1	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A e. RR* )
166	165	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A e. RR* )
167	2	rexrd 9690	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> B e. RR* )
168	167	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR* )
169		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
170		iccgelb 11691	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
171	166, 168, 169, 170	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> A <_ x )
172	164, 161, 162, 171	leadd1dd 10227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( A + T ) <_ ( x + T ) )
173	2	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> B e. RR )
174		iccleub 11690	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
175	166, 168, 169, 174	syl3anc 1268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x <_ B )
176	161, 173, 162, 175	leadd1dd 10227	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) <_ ( B + T ) )
177	159, 160, 163, 172, 176	eliccd 37601	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( x + T ) e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) )
178	158, 177	ffvelrnd 6023	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( x + T ) ) e. CC )
179	178	mulid1d 9660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) = ( G ` ( x + T ) ) )
180	42, 74	eqtri 2473	. . . . . . . 8 |- G = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) )
181	180	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> G = ( w e. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) |-> ( F ` ( w - T ) ) ) )
182		oveq1 6297	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( x + T ) -> ( w - T ) = ( ( x + T ) - T ) )
183	182	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( w = ( x + T ) -> ( F ` ( w - T ) ) = ( F ` ( ( x + T ) - T ) ) )
184	161	recnd 9669	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> x e. CC )
185	24	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> T e. CC )
186	184, 185	pncand 9987	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( x + T ) - T ) = x )
187	186	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` ( ( x + T ) - T ) ) = ( F ` x ) )
188	183, 187	sylan9eqr 2507	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) /\ w = ( x + T ) ) -> ( F ` ( w - T ) ) = ( F ` x ) )
189	12	ffvelrnda 6022	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( F ` x ) e. CC )
190	181, 188, 177, 189	fvmptd 5954	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( G ` ( x + T ) ) = ( F ` x ) )
191	179, 190	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( A [,] B ) ) -> ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) = ( F ` x ) )
192	191	itgeq2dv 22739	. . . 4 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( x + T ) ) x. 1 ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
193	157, 192	syl5eq 2497	. . 3 |- ( ph -> S. ( A [,] B ) ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
194	148, 153, 193	3eqtrd 2489	. 2 |- ( ph -> S__ [ A -> B ] ( ( G ` ( y + T ) ) x. 1 ) _d y = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )
195	46, 147, 194	3eqtrd 2489	1 |- ( ph -> S. ( ( A + T ) [,] ( B + T ) ) ( G ` x ) _d x = S. ( A [,] B ) ( F ` x ) _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   E.wrex 2738   {crab 2741   C_ wss 3404   {csn 3968   {cpr 3970   class class class wbr 4402   |-> cmpt 4461   X. cxp 4832   dom cdm 4834   ran crn 4835   |` cres 4836   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540   + caddc 9542   x. cmul 9544   RR*cxr 9674   <_ cle 9676   - cmin 9860   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,]cicc 11638   TopOpenctopn 15320   topGenctg 15336  ℂ_fldccnfld 18970   intcnt 20032   -cn->ccncf 21908   volcvol 22415   L^1cibl 22575   S.citg 22576   S__cdit 22801   _D cdv 22818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-ibl 22580  df-itg 22581  df-0p 22628  df-ditg 22802  df-limc 22821  df-dv 22822

This theorem is referenced by:  fourierdlem81  38051