Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itggt0cn Structured version   Unicode version

Theorem itggt0cn 28632
Description: itggt0 21455 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 8718. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0cn.1  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
itggt0cn.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
itggt0cn.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR+ )
itggt0cn.cn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
itggt0cn  |-  ( ph  ->  0  <  S. ( X (,) Y ) B  _d x )
Distinct variable groups:    x, X    x, Y    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itggt0cn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0cn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
2 itggt0cn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR+ )
32rpred 11141 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR )
42rpge0d 11145 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <_  B )
5 elrege0 11512 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
63, 4, 5sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7 0e0icopnf 11515 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( X (,) Y
) )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
96, 8ifclda 3932 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y
) ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
109adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
11 eqid 2454 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
1210, 11fmptd 5979 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
132rpgt0d 11144 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  B )
14 elioore 11444 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  x  e.  RR )
16 iftrue 3908 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  =  B )
1716adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  if (
x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  =  B )
1817, 2eqeltrd 2542 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  if (
x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  RR+ )
1911fvmpt2 5893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( X (,) Y
) ,  B , 
0 ) )
2015, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
2120, 17eqtrd 2495 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)  =  B )
2213, 21breqtrrd 4429 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
2322ralrimiva 2830 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
24 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
25 nfcv 2616 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
26 nffvmpt1 5810 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 y )
2724, 25, 26nfbr 4447 . . . . . 6  |-  F/ x
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)
28 nfv 1674 . . . . . 6  |-  F/ y 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)
29 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
3029breq2d 4415 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)  <->  0  <  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) ) )
3127, 28, 30cbvral 3049 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( X (,) Y ) 0  < 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 y )  <->  A. x  e.  ( X (,) Y
) 0  <  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
3223, 31sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,) Y ) 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
) )
3332r19.21bi 2920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
) )
34 ioossre 11471 . . . . . 6  |-  ( X (,) Y )  C_  RR
35 resmpt 5267 . . . . . 6  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) )
3634, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
3716mpteq2ia 4485 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )
3836, 37eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
39 itggt0cn.cn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
4038, 39syl5eqel 2546 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
411, 12, 33, 40itg2gt0cn 28615 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) ) )
42 itggt0cn.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
433, 42, 4itgposval 21409 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) ) )
4441, 43breqtrrd 4429 1  |-  ( ph  ->  0  <  S. ( X (,) Y ) B  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799    C_ wss 3439   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461    |` cres 4953   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   RRcr 9395   0cc0 9396   +oocpnf 9529    < clt 9532    <_ cle 9533   RR+crp 11105   (,)cioo 11414   [,)cico 11416   -cn->ccncf 20587   S.2citg2 21232   L^1cibl 21233   S.citg 21234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fi 7775  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xneg 11203  df-xadd 11204  df-xmul 11205  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-mod 11829  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-rest 14483  df-topgen 14504  df-psmet 17937  df-xmet 17938  df-met 17939  df-bl 17940  df-mopn 17941  df-top 18638  df-bases 18640  df-topon 18641  df-cmp 19125  df-cncf 20589  df-ovol 21083  df-vol 21084  df-mbf 21235  df-itg1 21236  df-itg2 21237  df-ibl 21238  df-itg 21239  df-0p 21284
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  28633
  Copyright terms: Public domain W3C validator