Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itggt0cn Structured version   Unicode version

Theorem itggt0cn 29662
Description: itggt0 21980 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 8811. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0cn.1  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
itggt0cn.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
itggt0cn.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR+ )
itggt0cn.cn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
itggt0cn  |-  ( ph  ->  0  <  S. ( X (,) Y ) B  _d x )
Distinct variable groups:    x, X    x, Y    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itggt0cn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0cn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
2 itggt0cn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR+ )
32rpred 11252 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR )
42rpge0d 11256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <_  B )
5 elrege0 11623 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
63, 4, 5sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7 0e0icopnf 11626 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( X (,) Y
) )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
96, 8ifclda 3971 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y
) ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
109adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
11 eqid 2467 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
1210, 11fmptd 6043 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
132rpgt0d 11255 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  B )
14 elioore 11555 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  x  e.  RR )
16 iftrue 3945 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  =  B )
1716adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  if (
x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  =  B )
1817, 2eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  if (
x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  RR+ )
1911fvmpt2 5955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( X (,) Y
) ,  B , 
0 ) )
2015, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
2120, 17eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)  =  B )
2213, 21breqtrrd 4473 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
2322ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
24 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
25 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
26 nffvmpt1 5872 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 y )
2724, 25, 26nfbr 4491 . . . . . 6  |-  F/ x
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)
28 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ y 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)
29 fveq2 5864 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
3029breq2d 4459 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)  <->  0  <  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) ) )
3127, 28, 30cbvral 3084 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( X (,) Y ) 0  < 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 y )  <->  A. x  e.  ( X (,) Y
) 0  <  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
3223, 31sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,) Y ) 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
) )
3332r19.21bi 2833 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
) )
34 ioossre 11582 . . . . . 6  |-  ( X (,) Y )  C_  RR
35 resmpt 5321 . . . . . 6  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) )
3634, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
3716mpteq2ia 4529 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )
3836, 37eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
39 itggt0cn.cn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
4038, 39syl5eqel 2559 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
411, 12, 33, 40itg2gt0cn 29645 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) ) )
42 itggt0cn.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
433, 42, 4itgposval 21934 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) ) )
4441, 43breqtrrd 4473 1  |-  ( ph  ->  0  <  S. ( X (,) Y ) B  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    |` cres 5001   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621    < clt 9624    <_ cle 9625   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   -cn->ccncf 21112   S.2citg2 21757   L^1cibl 21758   S.citg 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-rest 14671  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cmp 19650  df-cncf 21114  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760  df-itg1 21761  df-itg2 21762  df-ibl 21763  df-itg 21764  df-0p 21809
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  29663
  Copyright terms: Public domain W3C validator