Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itggt0cn Structured version   Unicode version

Theorem itggt0cn 30249
Description: itggt0 22373 holds for continuous functions in the absence of ax-cc 8832. (Contributed by Brendan Leahy, 16-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0cn.1  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
itggt0cn.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
itggt0cn.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR+ )
itggt0cn.cn  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
Assertion
Ref Expression
itggt0cn  |-  ( ph  ->  0  <  S. ( X (,) Y ) B  _d x )
Distinct variable groups:    x, X    x, Y    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itggt0cn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0cn.1 . . 3  |-  ( ph  ->  X  <  Y )
2 itggt0cn.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR+ )
32rpred 11281 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  RR )
42rpge0d 11285 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <_  B )
5 elrege0 11652 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
63, 4, 5sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
7 0e0icopnf 11655 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
87a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  ( X (,) Y
) )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
96, 8ifclda 3976 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y
) ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
109adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
11 eqid 2457 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
1210, 11fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
132rpgt0d 11284 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  B )
14 elioore 11584 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  x  e.  RR )
1514adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  x  e.  RR )
16 iftrue 3950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  ->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  =  B )
1716adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  if (
x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  =  B )
1817, 2eqeltrd 2545 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  if (
x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  RR+ )
1911fvmpt2 5964 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 )  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  ( X (,) Y
) ,  B , 
0 ) )
2015, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
2120, 17eqtrd 2498 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)  =  B )
2213, 21breqtrrd 4482 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
2322ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( X (,) Y ) 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
24 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
25 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
26 nffvmpt1 5880 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 y )
2724, 25, 26nfbr 4500 . . . . . 6  |-  F/ x
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)
28 nfv 1708 . . . . . 6  |-  F/ y 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
)
29 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
3029breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
)  <->  0  <  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) ) )
3127, 28, 30cbvral 3080 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ( X (,) Y ) 0  < 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `
 y )  <->  A. x  e.  ( X (,) Y
) 0  <  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  x
) )
3223, 31sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( X (,) Y ) 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
) )
3332r19.21bi 2826 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( X (,) Y ) )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) `  y
) )
34 ioossre 11611 . . . . . 6  |-  ( X (,) Y )  C_  RR
35 resmpt 5333 . . . . . 6  |-  ( ( X (,) Y ) 
C_  RR  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) )
3634, 35ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )
3716mpteq2ia 4539 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y )  |->  B )
3836, 37eqtri 2486 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y ) )  =  ( x  e.  ( X (,) Y
)  |->  B )
39 itggt0cn.cn . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
4038, 39syl5eqel 2549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) )  |`  ( X (,) Y
) )  e.  ( ( X (,) Y
) -cn-> CC ) )
411, 12, 33, 40itg2gt0cn 30232 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) ) )
42 itggt0cn.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( X (,) Y ) 
|->  B )  e.  L^1 )
433, 42, 4itgposval 22327 . 2  |-  ( ph  ->  S. ( X (,) Y ) B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( X (,) Y ) ,  B ,  0 ) ) ) )
4441, 43breqtrrd 4482 1  |-  ( ph  ->  0  <  S. ( X (,) Y ) B  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    |` cres 5010   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   +oocpnf 9642    < clt 9645    <_ cle 9646   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   -cn->ccncf 21505   S.2citg2 22150   L^1cibl 22151   S.citg 22152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-rlim 13323  df-sum 13520  df-rest 14839  df-topgen 14860  df-psmet 18537  df-xmet 18538  df-met 18539  df-bl 18540  df-mopn 18541  df-top 19525  df-bases 19527  df-topon 19528  df-cmp 20013  df-cncf 21507  df-ovol 22001  df-vol 22002  df-mbf 22153  df-itg1 22154  df-itg2 22155  df-ibl 22156  df-itg 22157  df-0p 22202
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  30250
  Copyright terms: Public domain W3C validator