MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itggt0 Structured version   Unicode version

Theorem itggt0 21338
Description: The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0.1  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itggt0.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itggt0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itggt0  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itggt0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 21264 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itggt0.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
53, 4mbfdm2 21135 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
6 itggt0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
74rpred 11046 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
84rpge0d 11050 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
9 elrege0 11411 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
107, 8, 9sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
11 0e0icopnf 11414 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1310, 12ifclda 3840 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
15 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
1614, 15fmptd 5886 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
17 mblss 21033 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
185, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
19 rembl 21041 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
2113adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
22 eldifn 3498 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
2322adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
24 iffalse 3818 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
26 iftrue 3816 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2726mpteq2ia 4393 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
2827, 3syl5eqel 2527 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
2918, 20, 21, 25, 28mbfss 21143 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
304rpgt0d 11049 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  B )
3118sselda 3375 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
3226adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3332, 4eqeltrd 2517 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )
3415fvmpt2 5800 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3531, 33, 34syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3635, 32eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  B )
3730, 36breqtrrd 4337 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 x ) )
3837ralrimiva 2818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
39 nfcv 2589 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
40 nfcv 2589 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
41 nffvmpt1 5718 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )
4239, 40, 41nfbr 4355 . . . . . 6  |-  F/ x
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )
43 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ y 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )
44 fveq2 5710 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
4544breq2d 4323 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  <->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) ) )
4642, 43, 45cbvral 2962 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )  <->  A. x  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
4738, 46sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y ) )
4847r19.21bi 2833 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y ) )
495, 6, 16, 29, 48itg2gt0 21257 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
507, 1, 8itgposval 21292 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
5149, 50breqtrrd 4337 1  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734    \ cdif 3344    C_ wss 3347   ifcif 3810   class class class wbr 4311    e. cmpt 4369   dom cdm 4859   ` cfv 5437  (class class class)co 6110   RRcr 9300   0cc0 9301   +oocpnf 9434    < clt 9437    <_ cle 9438   RR+crp 11010   [,)cico 11321   volcvol 20966  MblFncmbf 21113   S.2citg2 21115   L^1cibl 21116   S.citg 21117
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-inf2 7866  ax-cc 8623  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-pre-sup 9379  ax-addf 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-disj 4282  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-se 4699  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-isom 5446  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-of 6339  df-ofr 6340  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-2o 6940  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-pm 7236  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fi 7680  df-sup 7710  df-oi 7743  df-card 8128  df-cda 8356  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-div 10013  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-n0 10599  df-z 10666  df-uz 10881  df-q 10973  df-rp 11011  df-xneg 11108  df-xadd 11109  df-xmul 11110  df-ioo 11323  df-ico 11325  df-icc 11326  df-fz 11457  df-fzo 11568  df-fl 11661  df-mod 11728  df-seq 11826  df-exp 11885  df-hash 12123  df-cj 12607  df-re 12608  df-im 12609  df-sqr 12743  df-abs 12744  df-clim 12985  df-rlim 12986  df-sum 13183  df-rest 14380  df-topgen 14401  df-psmet 17828  df-xmet 17829  df-met 17830  df-bl 17831  df-mopn 17832  df-top 18522  df-bases 18524  df-topon 18525  df-cmp 19009  df-cncf 20473  df-ovol 20967  df-vol 20968  df-mbf 21118  df-itg1 21119  df-itg2 21120  df-ibl 21121  df-itg 21122  df-0p 21167
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  21530
  Copyright terms: Public domain W3C validator