MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itggt0 Structured version   Unicode version

Theorem itggt0 22225
Description: The integral of a strictly positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itggt0.1  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itggt0.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itggt0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itggt0  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itggt0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itggt0.2 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 22151 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itggt0.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR+ )
53, 4mbfdm2 22022 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
6 itggt0.1 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
74rpred 11266 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
84rpge0d 11270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
9 elrege0 11637 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
107, 8, 9sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
11 0e0icopnf 11640 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
1211a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1310, 12ifclda 3958 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
1413adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
15 eqid 2443 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
1614, 15fmptd 6040 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
17 mblss 21919 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
185, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
19 rembl 21928 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
2113adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
22 eldifn 3612 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
2322adantl 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
2423iffalsed 3937 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
25 iftrue 3932 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
2625mpteq2ia 4519 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
2726, 3syl5eqel 2535 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
2818, 20, 21, 24, 27mbfss 22030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
294rpgt0d 11269 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  B )
3018sselda 3489 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
3125adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3231, 4eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )
3315fvmpt2 5948 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  RR+ )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3430, 32, 33syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3534, 31eqtrd 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )  =  B )
3629, 35breqtrrd 4463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 x ) )
3736ralrimiva 2857 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
38 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ x
0
39 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ x  <
40 nffvmpt1 5864 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )
4138, 39, 40nfbr 4481 . . . . . 6  |-  F/ x
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )
42 nfv 1694 . . . . . 6  |-  F/ y 0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x )
43 fveq2 5856 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
4443breq2d 4449 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y )  <->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) ) )
4541, 42, 44cbvral 3066 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y )  <->  A. x  e.  A  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  x ) )
4637, 45sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A 
0  <  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `  y ) )
4746r19.21bi 2812 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  0  <  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) `
 y ) )
485, 6, 16, 28, 47itg2gt0 22144 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
497, 1, 8itgposval 22179 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
5048, 49breqtrrd 4463 1  |-  ( ph  ->  0  <  S. A B  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495   +oocpnf 9628    < clt 9631    <_ cle 9632   RR+crp 11230   [,)cico 11541   volcvol 21852  MblFncmbf 22000   S.2citg2 22002   L^1cibl 22003   S.citg 22004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xneg 11328  df-xadd 11329  df-xmul 11330  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-mod 11978  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-rlim 13293  df-sum 13490  df-rest 14801  df-topgen 14822  df-psmet 18389  df-xmet 18390  df-met 18391  df-bl 18392  df-mopn 18393  df-top 19376  df-bases 19378  df-topon 19379  df-cmp 19864  df-cncf 21359  df-ovol 21853  df-vol 21854  df-mbf 22005  df-itg1 22006  df-itg2 22007  df-ibl 22008  df-itg 22009  df-0p 22054
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  22417
  Copyright terms: Public domain W3C validator