MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgge0 Structured version   Unicode version

Theorem itgge0 22383
Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgge0.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgge0.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgge0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
itgge0  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgge0
StepHypRef Expression
1 itgz 22353 . 2  |-  S. A
0  _d x  =  0
2 fconstmpt 5032 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  A  |->  0 )
3 itgge0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
4 iblmbf 22340 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6 itgge0.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
75, 6mbfdm2 22211 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 ibl0 22359 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L^1 )
102, 9syl5eqelr 2547 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  L^1 )
11 0red 9586 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
12 itgge0.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
1310, 3, 11, 6, 12itgle 22382 . 2  |-  ( ph  ->  S. A 0  _d x  <_  S. A B  _d x )
141, 13syl5eqbrr 4473 1  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A B  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1823   {csn 4016   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497    X. cxp 4986   dom cdm 4988   RRcr 9480   0cc0 9481    <_ cle 9618   volcvol 22041  MblFncmbf 22189   L^1cibl 22192   S.citg 22193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-xmet 18607  df-met 18608  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-itg1 22195  df-itg2 22196  df-ibl 22197  df-itg 22198  df-0p 22243
This theorem is referenced by:  itgabs  22407  areaf  23489  itgabsnc  30324  fourierdlem47  32175
  Copyright terms: Public domain W3C validator