MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgge0 Structured version   Unicode version

Theorem itgge0 21414
Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgge0.1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgge0.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgge0.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
Assertion
Ref Expression
itgge0  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A B  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgge0
StepHypRef Expression
1 itgz 21384 . 2  |-  S. A
0  _d x  =  0
2 fconstmpt 4983 . . . 4  |-  ( A  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  A  |->  0 )
3 itgge0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
4 iblmbf 21371 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
6 itgge0.2 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
75, 6mbfdm2 21242 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
8 ibl0 21390 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 )
97, 8syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L^1 )
102, 9syl5eqelr 2544 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  0 )  e.  L^1 )
11 0red 9491 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
12 itgge0.3 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
1310, 3, 11, 6, 12itgle 21413 . 2  |-  ( ph  ->  S. A 0  _d x  <_  S. A B  _d x )
141, 13syl5eqbrr 4427 1  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A B  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   {csn 3978   class class class wbr 4393    |-> cmpt 4451    X. cxp 4939   dom cdm 4941   RRcr 9385   0cc0 9386    <_ cle 9523   volcvol 21072  MblFncmbf 21220   L^1cibl 21223   S.citg 21224
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-disj 4364  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-ofr 6424  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xadd 11194  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-xmet 17928  df-met 17929  df-ovol 21073  df-vol 21074  df-mbf 21225  df-itg1 21226  df-itg2 21227  df-ibl 21228  df-itg 21229  df-0p 21274
This theorem is referenced by:  itgabs  21438  areaf  22481  itgabsnc  28602
  Copyright terms: Public domain W3C validator