Theorem itgge0 21263

Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgge0.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgge0.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
itgge0.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
itgge0	|- ( ph -> 0 <_ S. A B _d x )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgz 21233	. 2 |- S. A 0 _d x = 0
2		fconstmpt 4877	. . . 4 |- ( A X. { 0 } ) = ( x e. A |-> 0 )
3		itgge0.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
4		iblmbf 21220	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
6		itgge0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
7	5, 6	mbfdm2 21091	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		ibl0 21239	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 )
10	2, 9	syl5eqelr 2523	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> 0 ) e. L^1 )
11		0red 9379	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
12		itgge0.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )
13	10, 3, 11, 6, 12	itgle 21262	. 2 |- ( ph -> S. A 0 _d x <_ S. A B _d x )
14	1, 13	syl5eqbrr 4321	1 |- ( ph -> 0 <_ S. A B _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1756   {csn 3872   class class class wbr 4287   e. cmpt 4345   X. cxp 4833   dom cdm 4835   RRcr 9273   0cc0 9274   <_ cle 9411   volcvol 20922  MblFncmbf 21069   L^1cibl 21072   S.citg 21073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-ofr 6316  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xadd 11082  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-xmet 17785  df-met 17786  df-ovol 20923  df-vol 20924  df-mbf 21074  df-itg1 21075  df-itg2 21076  df-ibl 21077  df-itg 21078  df-0p 21123

This theorem is referenced by:  itgabs  21287  areaf  22330  itgabsnc  28414