Theorem itgge0 22383

Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgge0.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgge0.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
itgge0.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
itgge0	|- ( ph -> 0 <_ S. A B _d x )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgz 22353	. 2 |- S. A 0 _d x = 0
2		fconstmpt 5032	. . . 4 |- ( A X. { 0 } ) = ( x e. A |-> 0 )
3		itgge0.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
4		iblmbf 22340	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
6		itgge0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
7	5, 6	mbfdm2 22211	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		ibl0 22359	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 )
10	2, 9	syl5eqelr 2547	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> 0 ) e. L^1 )
11		0red 9586	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
12		itgge0.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )
13	10, 3, 11, 6, 12	itgle 22382	. 2 |- ( ph -> S. A 0 _d x <_ S. A B _d x )
14	1, 13	syl5eqbrr 4473	1 |- ( ph -> 0 <_ S. A B _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 367   e. wcel 1823   {csn 4016   class class class wbr 4439   |-> cmpt 4497   X. cxp 4986   dom cdm 4988   RRcr 9480   0cc0 9481   <_ cle 9618   volcvol 22041  MblFncmbf 22189   L^1cibl 22192   S.citg 22193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11322  df-ioo 11536  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-clim 13393  df-sum 13591  df-xmet 18607  df-met 18608  df-ovol 22042  df-vol 22043  df-mbf 22194  df-itg1 22195  df-itg2 22196  df-ibl 22197  df-itg 22198  df-0p 22243

This theorem is referenced by:  itgabs  22407  areaf  23489  itgabsnc  30324  fourierdlem47  32175