Theorem itgge0 21414

Description: The integral of a positive function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgge0.1	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgge0.2	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
itgge0.3	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )

Assertion

Ref	Expression
itgge0	|- ( ph -> 0 <_ S. A B _d x )

Distinct variable groups:   x, A   ph, x

Allowed substitution hint:   B( x)

Proof of Theorem itgge0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgz 21384	. 2 |- S. A 0 _d x = 0
2		fconstmpt 4983	. . . 4 |- ( A X. { 0 } ) = ( x e. A |-> 0 )
3		itgge0.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
4		iblmbf 21371	. . . . . . 7 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
5	3, 4	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
6		itgge0.2	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. RR )
7	5, 6	mbfdm2 21242	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
8		ibl0 21390	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 )
9	7, 8	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( A X. { 0 } ) e. L^1 )
10	2, 9	syl5eqelr 2544	. . 3 |- ( ph -> ( x e. A |-> 0 ) e. L^1 )
11		0red 9491	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 e. RR )
12		itgge0.3	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ B )
13	10, 3, 11, 6, 12	itgle 21413	. 2 |- ( ph -> S. A 0 _d x <_ S. A B _d x )
14	1, 13	syl5eqbrr 4427	1 |- ( ph -> 0 <_ S. A B _d x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   e. wcel 1758   {csn 3978   class class class wbr 4393   |-> cmpt 4451   X. cxp 4939   dom cdm 4941   RRcr 9385   0cc0 9386   <_ cle 9523   volcvol 21072  MblFncmbf 21220   L^1cibl 21223   S.citg 21224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-disj 4364  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-ofr 6424  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xadd 11194  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-xmet 17928  df-met 17929  df-ovol 21073  df-vol 21074  df-mbf 21225  df-itg1 21226  df-itg2 21227  df-ibl 21228  df-itg 21229  df-0p 21274

This theorem is referenced by:  itgabs  21438  areaf  22481  itgabsnc  28602