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Theorem itgfsum 22777
Description: Take a finite sum of integrals over the same domain. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgfsum.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itgfsum.2  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
itgfsum.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
itgfsum.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgfsum  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) )
Distinct variable groups:    x, k, A    B, k, x    ph, k, x
Allowed substitution hints:    C( x, k)    V( x, k)

Proof of Theorem itgfsum
Dummy variables  m  t  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3450 . 2  |-  B  C_  B
2 itgfsum.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
3 sseq1 3452 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( t 
C_  B  <->  (/)  C_  B
) )
4 sumeq1 13748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  (/)  C )
5 sum0 13780 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ k  e.  (/)  C  =  0
64, 5syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  C  = 
0 )
76mpteq2dv 4489 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  0 ) )
8 fconstmpt 4877 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  X.  { 0 } )  =  ( x  e.  A  |->  0 )
97, 8syl6eqr 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( A  X.  { 0 } ) )
109eleq1d 2512 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  <-> 
( A  X.  {
0 } )  e.  L^1 ) )
1110anbi1d 710 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )
12 itgz 22731 . . . . . . . . 9  |-  S. A
0  _d x  =  0
136adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( t  =  (/)  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  t  C  = 
0 )
1413itgeq2dv 22732 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A 0  _d x )
15 sumeq1 13748 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  (/)  S. A C  _d x )
16 sum0 13780 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  (/)  S. A C  _d x  =  0
1715, 16syl6eq 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  (/)  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  0 )
1812, 14, 173eqtr4a 2510 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  (/)  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)
1918biantrud 510 . . . . . . 7  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 
<->  ( ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x ) ) )
2011, 19bitr4d 260 . . . . . 6  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 ) )
213, 20imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( t  =  (/)  ->  ( ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L^1 ) ) )
2221imbi2d 318 . . . 4  |-  ( t  =  (/)  ->  ( (
ph  ->  ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x ) ) )  <-> 
( ph  ->  ( (/)  C_  B  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 ) ) ) )
23 sseq1 3452 . . . . . 6  |-  ( t  =  w  ->  (
t  C_  B  <->  w  C_  B
) )
24 sumeq1 13748 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  w  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  w  C )
2524mpteq2dv 4489 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )
)
2625eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( t  =  w  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1 ) )
2724adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  w  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  w  C )
2827itgeq2dv 22732 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x )
29 sumeq1 13748 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  w  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)
3028, 29eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( t  =  w  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x ) )
3126, 30anbi12d 716 . . . . . 6  |-  ( t  =  w  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )
3223, 31imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( t  =  w  ->  (
( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( w  C_  B  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) ) )
3332imbi2d 318 . . . 4  |-  ( t  =  w  ->  (
( ph  ->  ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) ) ) )
34 sseq1 3452 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( t  C_  B 
<->  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )
35 sumeq1 13748 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )
3635mpteq2dv 4489 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C ) )
3736eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L^1 ) )
3835adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  ( w  u.  { z } )  /\  x  e.  A )  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )
3938itgeq2dv 22732 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x )
40 sumeq1 13748 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x )
4139, 40eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) )
4237, 41anbi12d 716 . . . . . 6  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) )
4334, 42imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( (
w  u.  { z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
4443imbi2d 318 . . . 4  |-  ( t  =  ( w  u. 
{ z } )  ->  ( ( ph  ->  ( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
45 sseq1 3452 . . . . . 6  |-  ( t  =  B  ->  (
t  C_  B  <->  B  C_  B
) )
46 sumeq1 13748 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  B  ->  sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  B  C
)
4746mpteq2dv 4489 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )
)
4847eleq1d 2512 . . . . . . 7  |-  ( t  =  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  B  C )  e.  L^1 ) )
4946adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  B  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  t  C  =  sum_ k  e.  B  C )
5049itgeq2dv 22732 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x )
51 sumeq1 13748 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  B  ->  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
)
5250, 51eqeq12d 2465 . . . . . . 7  |-  ( t  =  B  ->  ( S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  = 
sum_ k  e.  t  S. A C  _d x  <->  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x ) )
5348, 52anbi12d 716 . . . . . 6  |-  ( t  =  B  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
)  <->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) )
5445, 53imbi12d 322 . . . . 5  |-  ( t  =  B  ->  (
( t  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) )  <->  ( B  C_  B  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C
)  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) )
5554imbi2d 318 . . . 4  |-  ( t  =  B  ->  (
( ph  ->  ( t 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  t  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  t  C  _d x  =  sum_ k  e.  t  S. A C  _d x
) ) )  <->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) ) )
56 itgfsum.1 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
57 ibl0 22737 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( A  X.  { 0 } )  e.  L^1 )
5856, 57syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
0 } )  e.  L^1 )
5958a1d 26 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( (/)  C_  B  -> 
( A  X.  {
0 } )  e.  L^1 ) )
60 ssun1 3596 . . . . . . . . . 10  |-  w  C_  ( w  u.  { z } )
61 sstr 3439 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  C_  ( w  u.  { z } )  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B )  ->  w  C_  B )
6260, 61mpan 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( w  u.  { z } )  C_  B  ->  w  C_  B )
6362imim1i 60 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )
64 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m C
65 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k [_ m  /  k ]_ C
66 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C )
6764, 65, 66cbvsumi 13756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C
68 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  -.  z  e.  w )
69 disjsn 4031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( w  i^i  { z } )  =  (/)  <->  -.  z  e.  w )
7068, 69sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  i^i  { z } )  =  (/) )
7170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  i^i  {
z } )  =  (/) )
72 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  =  ( w  u.  {
z } ) )
732adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  B  e.  Fin )
74 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  C_  B
)
75 ssfi 7789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( B  e.  Fin  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
)  ->  ( w  u.  { z } )  e.  Fin )
7673, 74, 75syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  e.  Fin )
7776adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  e. 
Fin )
78 simplrr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( w  u.  {
z } )  C_  B )
7978sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  m  e.  B )
80 itgfsum.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
81 iblmbf 22718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
8280, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  k  e.  B )  ->  (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
83 itgfsum.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  A  /\  k  e.  B ) )  ->  C  e.  V )
8483anass1rs 815 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
8582, 84mbfmptcl 22586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  B )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
8685an32s 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  B )  ->  C  e.  CC )
8786ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8887adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. k  e.  B  C  e.  CC )
8964nfel1 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ m  C  e.  CC
9065nfel1 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  F/ k
[_ m  /  k ]_ C  e.  CC
9166eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( k  =  m  ->  ( C  e.  CC  <->  [_ m  / 
k ]_ C  e.  CC ) )
9289, 90, 91cbvral 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A. k  e.  B  C  e.  CC  <->  A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9388, 92sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9493r19.21bi 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  B )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9579, 94syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  x  e.  A
)  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
9671, 72, 77, 95fsumsplit 13799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  (
w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  sum_ m  e.  { z }
[_ m  /  k ]_ C ) )
97 vex 3047 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  z  e. 
_V
9874unssbd 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  { z }  C_  B )
9997snss 4095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  e.  B  <->  { z }  C_  B )
10098, 99sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  z  e.  B )
101100adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  z  e.  B )
102 csbeq1 3365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( m  =  z  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C )
103102eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( m  =  z  ->  ( [_ m  /  k ]_ C  e.  CC  <->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
104103rspcv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. m  e.  B  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
)
105101, 93, 104sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )
106102sumsn 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( z  e.  _V  /\  [_ z  /  k ]_ C  e.  CC )  -> 
sum_ m  e.  { z } [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
10797, 105, 106sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  { z } [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
108107oveq2d 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  sum_ m  e. 
{ z } [_ m  /  k ]_ C
)  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )
10996, 108eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ m  e.  (
w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
) )
11067, 109syl5eq 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  -> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  =  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C ) )
111110mpteq2dva 4488 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( x  e.  A  |->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
112 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ y
( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C )
113 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
114 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x  +
115 nfcsb1v 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
116113, 114, 115nfov 6314 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ x
( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C )
117 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  =  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)
118 csbeq1a 3371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  [_ z  /  k ]_ C  =  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C )
119117, 118oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C )  =  (
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )
120112, 116, 119cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  ( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )
121111, 120syl6eq 2500 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
122121adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  =  ( y  e.  A  |->  ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) ) )
123 sumex 13747 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V
124123csbex 4537 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  e.  _V )
12664, 65, 66cbvsumi 13756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
127126mpteq2i 4485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( x  e.  A  |->  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
128 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
129128, 113, 117cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C )  =  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
130127, 129eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C )
131 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1 )
132130, 131syl5eqelr 2533 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L^1 )
133 elex 3053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  CC  ->  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
134105, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  x  e.  A )  ->  [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
135134ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
136135adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  A. x  e.  A  [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
137 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y
[_ z  /  k ]_ C  e.  _V
138115nfel1 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V
139118eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  ( [_ z  /  k ]_ C  e.  _V  <->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
)
140137, 138, 139cbvral 3014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  A  [_ z  /  k ]_ C  e.  _V  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
141136, 140sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C  e.  _V )
142141r19.21bi 2756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  e.  _V )
143 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ y [_ z  /  k ]_ C
144143, 115, 118cbvmpt 4493 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)
14580ralrimiva 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  A. k  e.  B  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
146 nfv 1760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ m
( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1
147 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ k A
148147, 65nfmpt 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ k
( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )
149148nfel1 2605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ k ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L^1
15066mpteq2dv 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  m  ->  (
x  e.  A  |->  C )  =  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
) )
151150eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  m  ->  (
( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L^1 ) )
152146, 149, 151cbvral 3014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A. k  e.  B  (
x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L^1 )
153145, 152sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L^1 )
154153adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  A. m  e.  B  ( x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  e.  L^1 )
155102mpteq2dv 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  z  ->  (
x  e.  A  |->  [_ m  /  k ]_ C
)  =  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
) )
156155eleq1d 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  z  ->  (
( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L^1 
<->  ( x  e.  A  |-> 
[_ z  /  k ]_ C )  e.  L^1 ) )
157156rspcv 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  B  ->  ( A. m  e.  B  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L^1  ->  ( x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C )  e.  L^1 ) )
158100, 154, 157sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
x  e.  A  |->  [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L^1 )
159144, 158syl5eqelr 2533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L^1 )
160159adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  e.  L^1 )
161125, 132, 142, 160ibladd 22771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
y  e.  A  |->  (
[_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C ) )  e.  L^1 )
162122, 161eqeltrd 2528 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L^1 )
163125, 132, 142, 160itgadd 22775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A ( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C
)  _d y  =  ( S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y  +  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
) )
164119, 112, 116cbvitg 22726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  S. A
( sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ z  / 
k ]_ C )  _d x  =  S. A
( [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  +  [_ y  /  x ]_ [_ z  / 
k ]_ C )  _d y
165117, 128, 113cbvitg 22726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y
166118, 143, 115cbvitg 22726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
167165, 166oveq12i 6300 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)  =  ( S. A [_ y  /  x ]_ sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d y  +  S. A [_ y  /  x ]_ [_ z  /  k ]_ C  _d y
)
168163, 164, 1673eqtr4g 2509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x  =  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
) )
169109itgeq2dv 22732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x )
170169adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A ( sum_ m  e.  w  [_ m  / 
k ]_ C  +  [_ z  /  k ]_ C
)  _d x )
171 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
w  u.  { z } )  =  ( w  u.  { z } ) )
17274sselda 3431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  m  e.  B )
17394an32s 812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B ) )  /\  m  e.  B
)  /\  x  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  e.  CC )
174154r19.21bi 2756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  B )  ->  ( x  e.  A  |-> 
[_ m  /  k ]_ C )  e.  L^1 )
175173, 174itgcl 22734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  B )  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
176172, 175syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  m  e.  ( w  u.  { z } ) )  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
17770, 171, 76, 176fsumsplit 13799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
178177adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
179 simprr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)
180 itgeq2 22728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  ->  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x )
181126a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  A  ->  sum_ k  e.  w  C  =  sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C
)
182180, 181mprg 2750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x
183 nfcv 2591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ m S. A C  _d x
184147, 65nfitg 22725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ k S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x
18566adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( k  =  m  /\  x  e.  A )  ->  C  =  [_ m  /  k ]_ C
)
186185itgeq2dv 22732 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  m  ->  S. A C  _d x  =  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x )
187183, 184, 186cbvsumi 13756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x  =  sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
188179, 182, 1873eqtr3g 2507 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
)
189105, 158itgcl 22734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
190189adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  e.  CC )
191102adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( m  =  z  /\  x  e.  A )  ->  [_ m  /  k ]_ C  =  [_ z  /  k ]_ C
)
192191itgeq2dv 22732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  z  ->  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x )
193192sumsn 13800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( z  e.  _V  /\  S. A [_ z  / 
k ]_ C  _d x  e.  CC )  ->  sum_ m  e.  { z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)
19497, 190, 193sylancr 668 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  { z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x )
195194eqcomd 2456 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
)
196188, 195oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
)  =  ( sum_ m  e.  w  S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  sum_ m  e.  {
z } S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
) )
197178, 196eqtr4d 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A [_ m  / 
k ]_ C  _d x  =  ( S. A sum_ m  e.  w  [_ m  /  k ]_ C  _d x  +  S. A [_ z  /  k ]_ C  _d x
) )
198168, 170, 1973eqtr4d 2494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x  =  sum_ m  e.  ( w  u. 
{ z } ) S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x )
199 itgeq2 22728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. x  e.  A  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  {
z } ) [_ m  /  k ]_ C  ->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C  _d x )
20067a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  A  ->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) [_ m  /  k ]_ C
)
201199, 200mprg 2750 . . . . . . . . . . . . 13  |-  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  S. A sum_ m  e.  ( w  u. 
{ z } )
[_ m  /  k ]_ C  _d x
202183, 184, 186cbvsumi 13756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x  =  sum_ m  e.  ( w  u.  { z } ) S. A [_ m  /  k ]_ C  _d x
203198, 201, 2023eqtr4g 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x )
204162, 203jca 535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  {
z } )  C_  B ) )  /\  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) )
205204ex 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( -.  z  e.  w  /\  ( w  u.  { z } )  C_  B
) )  ->  (
( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) )
206205expr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
)  ->  ( (
x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
207206a2d 29 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( ( w  u. 
{ z } ) 
C_  B  ->  (
( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
20863, 207syl5 33 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  z  e.  w )  ->  (
( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) )
209208expcom 437 . . . . . 6  |-  ( -.  z  e.  w  -> 
( ph  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |-> 
sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
210209adantl 468 . . . . 5  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ph  ->  ( ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) )  ->  (
( w  u.  {
z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) C )  e.  L^1 
/\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  = 
sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
211210a2d 29 . . . 4  |-  ( ( w  e.  Fin  /\  -.  z  e.  w
)  ->  ( ( ph  ->  ( w  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  w  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  w  C  _d x  =  sum_ k  e.  w  S. A C  _d x
) ) )  -> 
( ph  ->  ( ( w  u.  { z } )  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  ( w  u.  { z } ) C  _d x  =  sum_ k  e.  ( w  u.  {
z } ) S. A C  _d x ) ) ) ) )
21222, 33, 44, 55, 59, 211findcard2s 7809 . . 3  |-  ( B  e.  Fin  ->  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) ) )
2132, 212mpcom 37 . 2  |-  ( ph  ->  ( B  C_  B  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) ) )
2141, 213mpi 20 1  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  sum_ k  e.  B  C )  e.  L^1  /\  S. A sum_ k  e.  B  C  _d x  =  sum_ k  e.  B  S. A C  _d x
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   _Vcvv 3044   [_csb 3362    u. cun 3401    i^i cin 3402    C_ wss 3403   (/)c0 3730   {csn 3967    |-> cmpt 4460    X. cxp 4831   dom cdm 4833  (class class class)co 6288   Fincfn 7566   CCcc 9534   0cc0 9536    + caddc 9539   sum_csu 13745   volcvol 22408  MblFncmbf 22565   L^1cibl 22568   S.citg 22569
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-4 10667  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-ibl 22573  df-itg 22574  df-0p 22621
This theorem is referenced by:  fourierdlem83  38047
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