MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgex Structured version   Unicode version

Theorem itgex 22605
Description: An integral is a set. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgex  |-  S. A B  _d x  e.  _V

Proof of Theorem itgex
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-itg 22458 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )
2 sumex 13732 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  [_ ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  /  y ]_ if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) ) )  e.  _V
31, 2eqeltri 2513 1  |-  S. A B  _d x  e.  _V
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    e. wcel 1870   _Vcvv 3087   [_csb 3401   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   _ici 9540    x. cmul 9543    <_ cle 9675    / cdiv 10268   3c3 10660   ...cfz 11782   ^cexp 12269   Recre 13139   sum_csu 13730   S.2citg2 22451   S.citg 22453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-nul 4556
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-ral 2787  df-rex 2788  df-v 3089  df-sbc 3306  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-sn 4003  df-pr 4005  df-uni 4223  df-iota 5565  df-sum 13731  df-itg 22458
This theorem is referenced by:  ditgex  22684  ftc1lem1  22864  itgulm  23228  dmarea  23748  dfarea  23751  areaval  23755  ftc1anc  31728  itgsinexp  37399  wallispilem1  37495  wallispilem2  37496
  Copyright terms: Public domain W3C validator