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Theorem itgeqa 21948
Description: Approximate equality of integrals. If  C ( x )  =  D ( x ) for almost all  x, then  S. B C ( x )  _d x  =  S. B D ( x )  _d x and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
itgeqa.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
itgeqa.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itgeqa.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itgeqa.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
itgeqa  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 itgeqa.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
3 itgeqa.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
4 itgeqa.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5 itgeqa.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 21778 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
7 ifan 3978 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
84adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
9 elfzelz 11677 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ZZ )
11 ax-icn 9540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  e.  CC
12 ine0 9981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
13 expclz 12147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1411, 12, 13mp3an12 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1510, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
16 expne0i 12153 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1711, 12, 16mp3an12 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
198, 15, 18divcld 10309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
2019recld 12977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
21 0re 9585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
22 ifcl 3974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2423rexrd 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
25 max1 11375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2621, 20, 25sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
27 elxrge0 11618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2824, 26, 27sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
29 0e0iccpnf 11620 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3128, 30ifclda 3964 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
327, 31syl5eqel 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
34 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3533, 34fmptd 6036 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
36 ifan 3978 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
375adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
3837, 15, 18divcld 10309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( D  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
3938recld 12977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
40 ifcl 3974 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4139, 21, 40sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4241rexrd 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
43 max1 11375 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
4421, 39, 43sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
45 elxrge0 11618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
4642, 44, 45sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4746, 30ifclda 3964 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4836, 47syl5eqel 2552 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4948adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
50 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
5149, 50fmptd 6036 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
521adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  RR )
532adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
54 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
56 eldifn 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
5756ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
5855, 57eldifd 3480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
5954, 58, 3syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  D )
6059oveq1d 6290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( D  /  (
_i ^ k ) ) )
6160fveq2d 5861 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
6261ibllem 21899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
63 eldifi 3619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  x  e.  RR )
65 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
66 c0ex 9579 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
6765, 66ifex 4001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
6834fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
6964, 67, 68sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
70 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
7170, 66ifex 4001 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
7250fvmpt2 5948 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7364, 71, 72sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
7462, 69, 733eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
7574ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x ) )
76 nfv 1678 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )
77 nffvmpt1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
78 nffvmpt1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
7977, 78nfeq 2633 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
80 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
81 fveq2 5857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8280, 81eqeq12d 2482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  <->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) ) )
8376, 79, 82cbvral 3077 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  <->  A. y  e.  ( RR  \  A
) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8475, 83sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y ) )
8584r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8685adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  y  e.  ( RR  \  A
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8735, 51, 52, 53, 86itg2eqa 21880 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
8887eleq1d 2529 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
8988ralbidva 2893 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
906, 89anbi12d 710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
91 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
92 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9391, 92, 4isibl2 21901 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
94 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
95 eqidd 2461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9694, 95, 5isibl2 21901 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
9790, 93, 963bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L^1 ) )
9887oveq2d 6291 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
9998sumeq2dv 13474 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
100 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
101100dfitg 21904 . . 3  |-  S. B C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
102 eqid 2460 . . . 4  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )
103102dfitg 21904 . . 3  |-  S. B D  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
10499, 101, 1033eqtr4g 2526 . 2  |-  ( ph  ->  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x )
10597, 104jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    C_ wss 3469   ifcif 3932   class class class wbr 4440    |-> cmpt 4498   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   _ici 9483    x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    <_ cle 9618    / cdiv 10195   3c3 10575   ZZcz 10853   [,]cicc 11521   ...cfz 11661   ^cexp 12122   Recre 12880   sum_csu 13457   vol*covol 21602  MblFncmbf 21751   S.2citg2 21753   L^1cibl 21754   S.citg 21755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-rest 14667  df-topgen 14688  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-cmp 19646  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758  df-ibl 21759  df-itg 21760
This theorem is referenced by:  itgss3  21949
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