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Theorem itgeqa 21291
Description: Approximate equality of integrals. If  C ( x )  =  D ( x ) for almost all  x, then  S. B C ( x )  _d x  =  S. B D ( x )  _d x and one is integrable iff the other is. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgeqa.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
itgeqa.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
itgeqa.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itgeqa.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itgeqa.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
Assertion
Ref Expression
itgeqa  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    ph, x
Allowed substitution hints:    C( x)    D( x)

Proof of Theorem itgeqa
Dummy variables  y 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgeqa.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
2 itgeqa.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
3 itgeqa.5 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( B  \  A ) )  ->  C  =  D )
4 itgeqa.1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
5 itgeqa.2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
61, 2, 3, 4, 5mbfeqa 21121 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e. MblFn ) )
7 ifan 3835 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
84adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  CC )
9 elfzelz 11453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
109ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  k  e.  ZZ )
11 ax-icn 9341 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  e.  CC
12 ine0 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  _i  =/=  0
13 expclz 11890 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1411, 12, 13mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1510, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
16 expne0i 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  _i  =/=  0  /\  k  e.  ZZ )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1711, 12, 16mp3an12 1304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  ZZ  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
1810, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
_i ^ k )  =/=  0 )
198, 15, 18divcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
2019recld 12683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
21 0re 9386 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
22 ifcl 3831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2320, 21, 22sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
2423rexrd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
25 max1 11157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
2621, 20, 25sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
27 elxrge0 11394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
2824, 26, 27sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
29 0e0iccpnf 11396 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
3029a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3128, 30ifclda 3821 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
327, 31syl5eqel 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
3332adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
34 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
3533, 34fmptd 5867 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
36 ifan 3835 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
375adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  D  e.  CC )
3837, 15, 18divcld 10107 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( D  /  ( _i ^
k ) )  e.  CC )
3938recld 12683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )
40 ifcl 3831 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4139, 21, 40sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR )
4241rexrd 9433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR* )
43 max1 11157 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  e.  RR )  -> 
0  <_  if (
0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )
4421, 39, 43sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
45 elxrge0 11394 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  RR*  /\  0  <_  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )
4642, 44, 45sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  B )  ->  if ( 0  <_  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4746, 30ifclda 3821 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( x  e.  B ,  if ( 0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
4836, 47syl5eqel 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4948adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
50 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
5149, 50fmptd 5867 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
521adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  A  C_  RR )
532adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
54 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ph )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
56 eldifn 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
5756ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  -.  x  e.  A )
5855, 57eldifd 3339 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  ( B  \  A
) )
5954, 58, 3syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  C  =  D )
6059oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  ( C  /  ( _i ^
k ) )  =  ( D  /  (
_i ^ k ) ) )
6160fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  ( RR  \  A
) )  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
6261ibllem 21242 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
63 eldifi 3478 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
6463adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  x  e.  RR )
65 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
66 c0ex 9380 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  _V
6765, 66ifex 3858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
6834fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
6964, 67, 68sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
70 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  e. 
_V
7170, 66ifex 3858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 )  e.  _V
7250fvmpt2 5781 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) )
7364, 71, 72sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )
7462, 69, 733eqtr4d 2485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x ) )
7574ralrimiva 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x ) )
76 nfv 1673 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ y ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )
77 nffvmpt1 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
78 nffvmpt1 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
7977, 78nfeq 2586 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )
80 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
81 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8280, 81eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 x )  <->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) ) )
8376, 79, 82cbvral 2943 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  x )  <->  A. y  e.  ( RR  \  A
) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8475, 83sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ( RR  \  A ) ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) `
 y ) )
8584r19.21bi 2814 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8685adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  /\  y  e.  ( RR  \  A
) )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) `  y ) )
8735, 51, 52, 53, 86itg2eqa 21223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
8887eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
8988ralbidva 2731 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR  <->  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
906, 89anbi12d 710 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
91 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
92 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9391, 92, 4isibl2 21244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  C )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
94 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
95 eqidd 2444 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  (
Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( D  /  (
_i ^ k ) ) ) )
9694, 95, 5isibl2 21244 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  D )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  B  |->  D )  e. MblFn  /\  A. k  e.  ( 0 ... 3
) ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
9790, 93, 963bitr4d 285 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L^1 ) )
9887oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
9998sumeq2dv 13180 . . 3  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_  ( Re `  ( C  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) ) )
100 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) )
101100dfitg 21247 . . 3  |-  S. B C  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( C  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( C  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
102 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) )
103102dfitg 21247 . . 3  |-  S. B D  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  B  /\  0  <_ 
( Re `  ( D  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( D  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
10499, 101, 1033eqtr4g 2500 . 2  |-  ( ph  ->  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x )
10597, 104jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( ( ( x  e.  B  |->  C )  e.  L^1  <->  ( x  e.  B  |->  D )  e.  L^1 )  /\  S. B C  _d x  =  S. B D  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    C_ wss 3328   ifcif 3791   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   _ici 9284    x. cmul 9287   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    <_ cle 9419    / cdiv 9993   3c3 10372   ZZcz 10646   [,]cicc 11303   ...cfz 11437   ^cexp 11865   Recre 12586   sum_csu 13163   vol*covol 20946  MblFncmbf 21094   S.2citg2 21096   L^1cibl 21097   S.citg 21098
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101  df-ibl 21102  df-itg 21103
This theorem is referenced by:  itgss3  21292
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