MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeq2dv Structured version   Unicode version

Theorem itgeq2dv 22015
Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itgeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
itgeq2dv  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  S. A C  _d x )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgeq2dv
StepHypRef Expression
1 itgeq2dv.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  C )
21ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
3 itgeq2 22011 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =  C  ->  S. A B  _d x  =  S. A C  _d x )
42, 3syl 16 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  S. A C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   S.citg 21854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-seq 12077  df-sum 13475  df-itg 21859
This theorem is referenced by:  itgmpt  22016  itgneg  22037  itgss2  22046  itgconst  22052  itgaddlem2  22057  itgadd  22058  itgsub  22059  itgfsum  22060  itgmulc2lem2  22066  itgmulc2  22067  itgabs  22068  ftc1lem4  22267  ftc2ditglem  22273  itgparts  22275  itgsubstlem  22276  itgsubst  22277  itgulm  22629  itgulm2  22630  areaval  23119  itgaddnclem2  29927  itgaddnc  29928  itgsubnc  29930  itgmulc2nclem2  29935  itgmulc2nc  29936  itgabsnc  29937  ftc1cnnclem  29941  areacirc  29965  itgpowd  31014  areaquad  31016  itgsin0pilem1  31494  itgsinexplem1  31498  itgsinexp  31499  ditgeqiooicc  31505  ditgeq3d  31509  itgcoscmulx  31514  itgsincmulx  31519  itgioocnicc  31522  itgiccshift  31525  itgperiod  31526  wallispilem1  31592  wallispilem2  31593  dirkeritg  31629  fourierdlem16  31650  fourierdlem21  31655  fourierdlem30  31664  fourierdlem73  31707  fourierdlem81  31715  fourierdlem82  31716  fourierdlem83  31717  fourierdlem87  31721  fourierdlem93  31727  fourierdlem95  31729  fourierdlem101  31735  fourierdlem103  31737  fourierdlem104  31738  fourierdlem111  31745  fourierdlem112  31746  fourierdlem115  31749  sqwvfoura  31756  sqwvfourb  31757
  Copyright terms: Public domain W3C validator