MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgeq2dv Structured version   Unicode version

Theorem itgeq2dv 22646
Description: Equality theorem for an integral. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
itgeq2dv.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  C )
Assertion
Ref Expression
itgeq2dv  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  S. A C  _d x )
Distinct variable group:    ph, x
Allowed substitution hints:    A( x)    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgeq2dv
StepHypRef Expression
1 itgeq2dv.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  =  C )
21ralrimiva 2837 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  =  C )
3 itgeq2 22642 . 2  |-  ( A. x  e.  A  B  =  C  ->  S. A B  _d x  =  S. A C  _d x )
42, 3syl 17 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  S. A C  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   A.wral 2773   S.citg 22483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-fz 11772  df-seq 12200  df-sum 13720  df-itg 22488
This theorem is referenced by:  itgmpt  22647  itgneg  22668  itgss2  22677  itgconst  22683  itgaddlem2  22688  itgadd  22689  itgsub  22690  itgfsum  22691  itgmulc2lem2  22697  itgmulc2  22698  itgabs  22699  ftc1lem4  22898  ftc2ditglem  22904  itgparts  22906  itgsubstlem  22907  itgsubst  22908  itgulm  23267  itgulm2  23268  areaval  23794  itgaddnclem2  31749  itgaddnc  31750  itgsubnc  31752  itgmulc2nclem2  31757  itgmulc2nc  31758  itgabsnc  31759  ftc1cnnclem  31763  areacirc  31785  itgpowd  35846  areaquad  35848  itgsin0pilem1  37443  itgsinexplem1  37447  itgsinexp  37448  ditgeqiooicc  37454  ditgeq3d  37458  itgcoscmulx  37463  itgsincmulx  37468  itgioocnicc  37471  itgiccshift  37474  itgperiod  37475  wallispilem1  37544  wallispilem2  37545  dirkeritg  37581  fourierdlem16  37602  fourierdlem21  37607  fourierdlem30  37616  fourierdlem73  37659  fourierdlem81  37667  fourierdlem82  37668  fourierdlem83  37669  fourierdlem87  37673  fourierdlem93  37679  fourierdlem95  37681  fourierdlem101  37687  fourierdlem103  37689  fourierdlem104  37690  fourierdlem111  37697  fourierdlem112  37698  fourierdlem115  37701  sqwvfoura  37708  sqwvfourb  37709
  Copyright terms: Public domain W3C validator