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Theorem itgconst 22091
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( B  x.  ( vol `  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem itgconst
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recl 12922 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
213ad2ant3 1019 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
3 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
4 fconstmpt 5049 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { y } )  =  ( x  e.  A  |->  y )
5 simpl1 999 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
6 simp2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
98recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
10 iblconst 22090 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  X.  {
y } )  e.  L^1 )
115, 7, 9, 10syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  X.  { y } )  e.  L^1 )
124, 11syl5eqelr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  y )  e.  L^1 )
133, 12itgrevallem1 22067 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  S. A y  _d x  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) ) )
14 ifan 3991 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ,  0 )
1514mpteq2i 4536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) )
1615fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )
17 0re 9608 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
18 ifcl 3987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR )
198, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
20 max1 11398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
2117, 8, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
22 elrege0 11639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ) )
2319, 21, 22sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
24 itg2const 22013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
255, 7, 23, 24syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
2616, 25syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
27 ifan 3991 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y
) ,  -u y ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) ,  0 )
2827mpteq2i 4536 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y
) ,  -u y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) )
2928fveq2i 5875 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )
30 renegcl 9894 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  -u y  e.  RR )
32 ifcl 3987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR )
3331, 17, 32sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR )
34 max1 11398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )
3517, 31, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )
36 elrege0 11639 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ) )
3733, 35, 36sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
38 itg2const 22013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
395, 7, 37, 38syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
4029, 39syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
4126, 40oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) )  -  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
4219recnd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  CC )
4333recnd 9634 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  CC )
446recnd 9634 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( vol `  A
)  e.  CC )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  CC )
4642, 43, 45subdird 10025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) )  -  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
47 max0sub 11407 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  =  y )
4847adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )  =  y )
4948oveq1d 6310 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( y  x.  ( vol `  A
) ) )
5041, 46, 493eqtr2rd 2515 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  x.  ( vol `  A
) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) ) )
5113, 50eqtr4d 2511 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A ) ) )
5251ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) ) )
53 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  ( Re
`  B )  /\  x  e.  A )  ->  y  =  ( Re
`  B ) )
5453itgeq2dv 22054 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  S. A y  _d x  =  S. A ( Re `  B )  _d x )
55 oveq1 6302 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  (
y  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A ) ) )
5654, 55eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  ( S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  <->  S. A
( Re `  B
)  _d x  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
5756rspcv 3215 . . . . 5  |-  ( ( Re `  B )  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  ->  S. A ( Re `  B )  _d x  =  ( ( Re
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
582, 52, 57sylc 60 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A
) ) )
59 imcl 12923 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
60593ad2ant3 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
61 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  ( Im
`  B )  /\  x  e.  A )  ->  y  =  ( Im
`  B ) )
6261itgeq2dv 22054 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  S. A y  _d x  =  S. A ( Im `  B )  _d x )
63 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  (
y  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A ) ) )
6462, 63eqeq12d 2489 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  ( S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  <->  S. A
( Im `  B
)  _d x  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
6564rspcv 3215 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  B )  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  ->  S. A ( Im `  B )  _d x  =  ( ( Im
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
6660, 52, 65sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A
) ) )
6766oveq2d 6311 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
68 ax-icn 9563 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
7060recnd 9634 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
7169, 70, 44mulassd 9631 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  B ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  B
)  x.  ( vol `  A ) ) ) )
7267, 71eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  B ) )  x.  ( vol `  A
) ) )
7358, 72oveq12d 6313 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( Re `  B
)  x.  ( vol `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  B ) )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
742recnd 9634 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
75 mulcl 9588 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
7668, 70, 75sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
7774, 76, 44adddird 9633 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  B )
)  x.  ( vol `  A ) ) ) )
7873, 77eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  x.  ( vol `  A
) ) )
79 simpl3 1001 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
80 fconstmpt 5049 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
81 iblconst 22090 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  L^1 )
8280, 81syl5eqelr 2560 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
8379, 82itgcnval 22072 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
84 replim 12928 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
85843ad2ant3 1019 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  B  =  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
8685oveq1d 6310 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  x.  ( vol `  A ) ) )
8778, 83, 863eqtr4d 2518 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( B  x.  ( vol `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   ifcif 3945   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   dom cdm 5005   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   _ici 9506    + caddc 9507    x. cmul 9509   +oocpnf 9637    <_ cle 9641    - cmin 9817   -ucneg 9818   [,)cico 11543   Recre 12909   Imcim 12910   volcvol 21741   S.2citg2 21891   L^1cibl 21892   S.citg 21893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xadd 11331  df-ioo 11545  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-xmet 18280  df-met 18281  df-ovol 21742  df-vol 21743  df-mbf 21894  df-itg1 21895  df-itg2 21896  df-ibl 21897  df-itg 21898  df-0p 21943
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  22306  itgulm  22668  ftc1cnnclem  30022  arearect  31118  areaquad  31119  wallispilem2  31695  fourierdlem87  31823  sqwvfoura  31858
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