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Theorem itgconst 21398
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( B  x.  ( vol `  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem itgconst
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recl 12687 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
213ad2ant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
3 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
4 fconstmpt 4966 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { y } )  =  ( x  e.  A  |->  y )
5 simpl1 991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
6 simp2 989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
8 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
98recnd 9499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
10 iblconst 21397 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  X.  {
y } )  e.  L^1 )
115, 7, 9, 10syl3anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  X.  { y } )  e.  L^1 )
124, 11syl5eqelr 2541 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  y )  e.  L^1 )
133, 12itgrevallem1 21374 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  S. A y  _d x  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) ) )
14 ifan 3919 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ,  0 )
1514mpteq2i 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) )
1615fveq2i 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )
17 0re 9473 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
18 ifcl 3915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR )
198, 17, 18sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
20 max1 11244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
2117, 8, 20sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
22 elrege0 11479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ) )
2319, 21, 22sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
24 itg2const 21320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
255, 7, 23, 24syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
2616, 25syl5eq 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
27 ifan 3919 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y
) ,  -u y ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) ,  0 )
2827mpteq2i 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y
) ,  -u y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) )
2928fveq2i 5778 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )
30 renegcl 9759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3130adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  -u y  e.  RR )
32 ifcl 3915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR )
3331, 17, 32sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR )
34 max1 11244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )
3517, 31, 34sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )
36 elrege0 11479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ) )
3733, 35, 36sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
38 itg2const 21320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
395, 7, 37, 38syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
4029, 39syl5eq 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
4126, 40oveq12d 6194 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) )  -  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
4219recnd 9499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  CC )
4333recnd 9499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  CC )
446recnd 9499 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( vol `  A
)  e.  CC )
4544adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  CC )
4642, 43, 45subdird 9888 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) )  -  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
47 max0sub 11253 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  =  y )
4847adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )  =  y )
4948oveq1d 6191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( y  x.  ( vol `  A
) ) )
5041, 46, 493eqtr2rd 2497 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  x.  ( vol `  A
) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) ) )
5113, 50eqtr4d 2493 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A ) ) )
5251ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) ) )
53 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  ( Re
`  B )  /\  x  e.  A )  ->  y  =  ( Re
`  B ) )
5453itgeq2dv 21361 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  S. A y  _d x  =  S. A ( Re `  B )  _d x )
55 oveq1 6183 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  (
y  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A ) ) )
5654, 55eqeq12d 2471 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  ( S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  <->  S. A
( Re `  B
)  _d x  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
5756rspcv 3151 . . . . 5  |-  ( ( Re `  B )  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  ->  S. A ( Re `  B )  _d x  =  ( ( Re
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
582, 52, 57sylc 60 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A
) ) )
59 imcl 12688 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
60593ad2ant3 1011 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
61 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  ( Im
`  B )  /\  x  e.  A )  ->  y  =  ( Im
`  B ) )
6261itgeq2dv 21361 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  S. A y  _d x  =  S. A ( Im `  B )  _d x )
63 oveq1 6183 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  (
y  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A ) ) )
6462, 63eqeq12d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  ( S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  <->  S. A
( Im `  B
)  _d x  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
6564rspcv 3151 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  B )  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  ->  S. A ( Im `  B )  _d x  =  ( ( Im
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
6660, 52, 65sylc 60 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A
) ) )
6766oveq2d 6192 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
68 ax-icn 9428 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
7060recnd 9499 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
7169, 70, 44mulassd 9496 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  B ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  B
)  x.  ( vol `  A ) ) ) )
7267, 71eqtr4d 2493 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  B ) )  x.  ( vol `  A
) ) )
7358, 72oveq12d 6194 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( Re `  B
)  x.  ( vol `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  B ) )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
742recnd 9499 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
75 mulcl 9453 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
7668, 70, 75sylancr 663 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
7774, 76, 44adddird 9498 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  B )
)  x.  ( vol `  A ) ) ) )
7873, 77eqtr4d 2493 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  x.  ( vol `  A
) ) )
79 simpl3 993 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
80 fconstmpt 4966 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
81 iblconst 21397 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  L^1 )
8280, 81syl5eqelr 2541 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
8379, 82itgcnval 21379 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
84 replim 12693 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
85843ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  B  =  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
8685oveq1d 6191 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  x.  ( vol `  A ) ) )
8778, 83, 863eqtr4d 2500 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( B  x.  ( vol `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   ifcif 3875   {csn 3961   class class class wbr 4376    |-> cmpt 4434    X. cxp 4922   dom cdm 4924   ` cfv 5502  (class class class)co 6176   CCcc 9367   RRcr 9368   0cc0 9369   _ici 9371    + caddc 9372    x. cmul 9374   +oocpnf 9502    <_ cle 9506    - cmin 9682   -ucneg 9683   [,)cico 11389   Recre 12674   Imcim 12675   volcvol 21049   S.2citg2 21198   L^1cibl 21199   S.citg 21200
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447  ax-addf 9448
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-disj 4347  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-ofr 6407  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-cda 8424  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-4 10469  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xadd 11177  df-ioo 11391  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-mod 11796  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-clim 13054  df-sum 13252  df-xmet 17905  df-met 17906  df-ovol 21050  df-vol 21051  df-mbf 21201  df-itg1 21202  df-itg2 21203  df-ibl 21204  df-itg 21205  df-0p 21250
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  21613  itgulm  21975  ftc1cnnclem  28589  arearect  29715  areaquad  29716  wallispilem2  29985
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