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Theorem itgconst 22515
Description: Integral of a constant function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itgconst  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( B  x.  ( vol `  A
) ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem itgconst
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 recl 13090 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
213ad2ant3 1020 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  RR )
3 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  ( vol `  A )  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  /\  x  e.  A
)  ->  y  e.  RR )
4 fconstmpt 4866 . . . . . . . . 9  |-  ( A  X.  { y } )  =  ( x  e.  A  |->  y )
5 simpl1 1000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
6 simp2 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
76adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
8 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
98recnd 9651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  CC )
10 iblconst 22514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  y  e.  CC )  ->  ( A  X.  {
y } )  e.  L^1 )
115, 7, 9, 10syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( A  X.  { y } )  e.  L^1 )
124, 11syl5eqelr 2495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  e.  A  |->  y )  e.  L^1 )
133, 12itgrevallem1 22491 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  S. A y  _d x  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) ) )
14 ifan 3930 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ,  0 )
1514mpteq2i 4477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  y ) ,  y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) )
1615fveq2i 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )
17 0re 9625 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
18 ifcl 3926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 )  e.  RR )
198, 17, 18sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR )
20 max1 11438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  y , 
y ,  0 ) )
2117, 8, 20sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) )
22 elrege0 11679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 ) ) )
2319, 21, 22sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
24 itg2const 22437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
255, 7, 23, 24syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_ 
y ,  y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
2616, 25syl5eq 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
27 ifan 3930 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y
) ,  -u y ,  0 )  =  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) ,  0 )
2827mpteq2i 4477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y
) ,  -u y ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) )
2928fveq2i 5851 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )
30 renegcl 9917 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR  ->  -u y  e.  RR )
3130adantl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  -u y  e.  RR )
32 ifcl 3926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
-u y  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR )
3331, 17, 32sylancl 660 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR )
34 max1 11438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )
3517, 31, 34sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )
36 elrege0 11679 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  RR  /\  0  <_  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ) )
3733, 35, 36sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
38 itg2const 22437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
395, 7, 37, 38syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) )
4029, 39syl5eq 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) )
4126, 40oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) )  -  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
4219recnd 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  e.  CC )
4333recnd 9651 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  e.  CC )
446recnd 9651 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( vol `  A
)  e.  CC )
4544adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  CC )
4642, 43, 45subdird 10053 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  x.  ( vol `  A ) )  -  ( if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
47 max0sub 11447 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  =  y )
4847adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( if ( 0  <_  y , 
y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y ,  -u y ,  0 ) )  =  y )
4948oveq1d 6292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( if ( 0  <_  y ,  y ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u y , 
-u y ,  0 ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( y  x.  ( vol `  A
) ) )
5041, 46, 493eqtr2rd 2450 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  ( y  x.  ( vol `  A
) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
y ) ,  y ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u y ) ,  -u y ,  0 ) ) ) ) )
5113, 50eqtr4d 2446 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  y  e.  RR )  ->  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A ) ) )
5251ralrimiva 2817 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) ) )
53 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  ( Re
`  B )  /\  x  e.  A )  ->  y  =  ( Re
`  B ) )
5453itgeq2dv 22478 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  S. A y  _d x  =  S. A ( Re `  B )  _d x )
55 oveq1 6284 . . . . . . 7  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  (
y  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A ) ) )
5654, 55eqeq12d 2424 . . . . . 6  |-  ( y  =  ( Re `  B )  ->  ( S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  <->  S. A
( Re `  B
)  _d x  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
5756rspcv 3155 . . . . 5  |-  ( ( Re `  B )  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  ->  S. A ( Re `  B )  _d x  =  ( ( Re
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
582, 52, 57sylc 59 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  =  ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A
) ) )
59 imcl 13091 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
60593ad2ant3 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  RR )
61 simpl 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  ( Im
`  B )  /\  x  e.  A )  ->  y  =  ( Im
`  B ) )
6261itgeq2dv 22478 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  S. A y  _d x  =  S. A ( Im `  B )  _d x )
63 oveq1 6284 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  (
y  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A ) ) )
6462, 63eqeq12d 2424 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( Im `  B )  ->  ( S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  <->  S. A
( Im `  B
)  _d x  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
6564rspcv 3155 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  B )  e.  RR  ->  ( A. y  e.  RR  S. A y  _d x  =  ( y  x.  ( vol `  A
) )  ->  S. A ( Im `  B )  _d x  =  ( ( Im
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
6660, 52, 65sylc 59 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  =  ( ( Im `  B )  x.  ( vol `  A
) ) )
6766oveq2d 6293 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( Im
`  B )  x.  ( vol `  A
) ) ) )
68 ax-icn 9580 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
6968a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  _i  e.  CC )
7060recnd 9651 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  B
)  e.  CC )
7169, 70, 44mulassd 9648 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( _i  x.  ( Im `  B ) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( _i  x.  (
( Im `  B
)  x.  ( vol `  A ) ) ) )
7267, 71eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( ( _i  x.  ( Im
`  B ) )  x.  ( vol `  A
) ) )
7358, 72oveq12d 6295 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( Re `  B
)  x.  ( vol `  A ) )  +  ( ( _i  x.  ( Im `  B ) )  x.  ( vol `  A ) ) ) )
742recnd 9651 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  B
)  e.  CC )
75 mulcl 9605 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
7668, 70, 75sylancr 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( _i  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
7774, 76, 44adddird 9650 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) )  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( ( Re `  B )  x.  ( vol `  A
) )  +  ( ( _i  x.  (
Im `  B )
)  x.  ( vol `  A ) ) ) )
7873, 77eqtr4d 2446 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( Re `  B
)  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  x.  ( vol `  A
) ) )
79 simpl3 1002 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  /\  x  e.  A
)  ->  B  e.  CC )
80 fconstmpt 4866 . . . 4  |-  ( A  X.  { B }
)  =  ( x  e.  A  |->  B )
81 iblconst 22514 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  X.  { B } )  e.  L^1 )
8280, 81syl5eqelr 2495 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
8379, 82itgcnval 22496 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
84 replim 13096 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  B  =  ( ( Re
`  B )  +  ( _i  x.  (
Im `  B )
) ) )
85843ad2ant3 1020 . . 3  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  B  =  ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) ) )
8685oveq1d 6292 . 2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  =  ( ( ( Re `  B )  +  ( _i  x.  ( Im `  B ) ) )  x.  ( vol `  A ) ) )
8778, 83, 863eqtr4d 2453 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  S. A B  _d x  =  ( B  x.  ( vol `  A
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2753   ifcif 3884   {csn 3971   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820   dom cdm 4822   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   CCcc 9519   RRcr 9520   0cc0 9521   _ici 9523    + caddc 9524    x. cmul 9526   +oocpnf 9654    <_ cle 9658    - cmin 9840   -ucneg 9841   [,)cico 11583   Recre 13077   Imcim 13078   volcvol 22165   S.2citg2 22315   L^1cibl 22316   S.citg 22317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xadd 11371  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-sum 13656  df-xmet 18730  df-met 18731  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318  df-itg1 22319  df-itg2 22320  df-ibl 22321  df-itg 22322  df-0p 22367
This theorem is referenced by:  ftc1lem4  22730  itgulm  23093  ftc1cnnclem  31441  arearect  35527  areaquad  35528  wallispilem2  37197  fourierdlem87  37325  sqwvfoura  37360  etransclem23  37389
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