MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcnval Structured version   Unicode version

Theorem itgcnval 22634
Description: Decompose the integral of a complex function into real and imaginary parts. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcnval.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcnval.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgcnval  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgcnval
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
2 eqid 2429 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) )
3 eqid 2429 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
4 eqid 2429 . . 3  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) )
5 itgcnval.1 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
6 itgcnval.2 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
71, 2, 3, 4, 5, 6itgcnlem 22624 . 2  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) ) ) ) ) )
8 iblmbf 22602 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
96, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
109, 5mbfmptcl 22470 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
1110recld 13236 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
1210iblcn 22633 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) ) )
136, 12mpbid 213 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( Re `  B ) )  e.  L^1  /\  (
x  e.  A  |->  ( Im `  B ) )  e.  L^1 ) )
1413simpld 460 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Re `  B
) )  e.  L^1 )
1511, 14itgrevallem1 22629 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  B )  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re
`  B ) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Re `  B )
) ,  -u (
Re `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
1610imcld 13237 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1713simprd 464 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( Im `  B
) )  e.  L^1 )
1816, 17itgrevallem1 22629 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A ( Im
`  B )  _d x  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) ) ) )
1918oveq2d 6321 . . 3  |-  ( ph  ->  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x )  =  ( _i  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Im `  B
) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Im `  B
) ) ,  -u ( Im `  B ) ,  0 ) ) ) ) ) )
2015, 19oveq12d 6323 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A
( Im `  B
)  _d x ) )  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  B
) ) ,  ( Re `  B ) ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u ( Re `  B
) ) ,  -u ( Re `  B ) ,  0 ) ) ) )  +  ( _i  x.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Im
`  B ) ) ,  ( Im `  B ) ,  0 ) ) )  -  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  -u (
Im `  B )
) ,  -u (
Im `  B ) ,  0 ) ) ) ) ) ) )
217, 20eqtr4d 2473 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A ( Re `  B )  _d x  +  ( _i  x.  S. A ( Im `  B )  _d x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   RRcr 9537   0cc0 9538   _ici 9540    + caddc 9541    x. cmul 9543    <_ cle 9675    - cmin 9859   -ucneg 9860   Recre 13139   Imcim 13140  MblFncmbf 22449   S.2citg2 22451   L^1cibl 22452   S.citg 22453
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456  df-ibl 22457  df-itg 22458  df-0p 22505
This theorem is referenced by:  itgre  22635  itgim  22636  itgneg  22638  itgconst  22653  itgadd  22659  itgmulc2  22668  itgaddnc  31706  itgmulc2nc  31714
  Copyright terms: Public domain W3C validator