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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itgcn | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Transfer itg2cn 22733 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.) |
Ref | Expression |
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itgcn.1 |
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itgcn.2 |
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itgcn.3 |
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Ref | Expression |
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itgcn |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | itgcn.2 |
. . . . . . . . . 10
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2 | iblmbf 22737 |
. . . . . . . . . 10
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3 | 1, 2 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
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4 | itgcn.1 |
. . . . . . . . 9
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5 | 3, 4 | mbfmptcl 22605 |
. . . . . . . 8
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6 | 5 | abscld 13509 |
. . . . . . 7
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7 | 5 | absge0d 13517 |
. . . . . . 7
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8 | elrege0 11729 |
. . . . . . 7
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9 | 6, 7, 8 | sylanbrc 675 |
. . . . . 6
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10 | 0e0icopnf 11733 |
. . . . . . 7
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11 | 10 | a1i 11 |
. . . . . 6
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12 | 9, 11 | ifclda 3881 |
. . . . 5
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13 | 12 | adantr 471 |
. . . 4
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14 | eqid 2452 |
. . . 4
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15 | 13, 14 | fmptd 6030 |
. . 3
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16 | 3, 4 | mbfdm2 22606 |
. . . . 5
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17 | mblss 22496 |
. . . . 5
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18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . 4
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19 | rembl 22505 |
. . . . 5
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20 | 19 | a1i 11 |
. . . 4
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21 | 12 | adantr 471 |
. . . 4
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22 | eldifn 3524 |
. . . . . 6
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23 | 22 | adantl 472 |
. . . . 5
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24 | 23 | iffalsed 3860 |
. . . 4
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25 | iftrue 3855 |
. . . . . 6
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26 | 25 | mpteq2ia 4457 |
. . . . 5
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27 | 4, 1 | iblabs 22798 |
. . . . . . 7
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28 | 6, 7 | iblpos 22762 |
. . . . . . 7
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29 | 27, 28 | mpbid 215 |
. . . . . 6
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30 | 29 | simpld 465 |
. . . . 5
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31 | 26, 30 | syl5eqel 2534 |
. . . 4
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32 | 18, 20, 21, 24, 31 | mbfss 22614 |
. . 3
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33 | 29 | simprd 469 |
. . 3
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34 | itgcn.3 |
. . 3
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35 | 15, 32, 33, 34 | itg2cn 22733 |
. 2
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36 | simprr 771 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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37 | 36 | sselda 3400 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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38 | 5 | adantlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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39 | 37, 38 | syldan 477 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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40 | 39 | abscld 13509 |
. . . . . . . . . . . . 13
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41 | simprl 769 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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42 | 38 | abscld 13509 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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43 | 27 | adantr 471 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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44 | 36, 41, 42, 43 | iblss 22774 |
. . . . . . . . . . . . 13
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45 | 39 | absge0d 13517 |
. . . . . . . . . . . . 13
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46 | 40, 44, 45 | itgposval 22765 |
. . . . . . . . . . . 12
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47 | 36 | sseld 3399 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
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48 | 47 | pm4.71d 644 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
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49 | 48 | ifbid 3871 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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50 | ifan 3895 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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51 | 49, 50 | syl6eq 2502 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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52 | 51 | mpteq2dv 4462 |
. . . . . . . . . . . . 13
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53 | 52 | fveq2d 5852 |
. . . . . . . . . . . 12
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54 | 46, 53 | eqtrd 2486 |
. . . . . . . . . . 11
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55 | nfv 1765 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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56 | nffvmpt1 5856 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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57 | nfcv 2593 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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58 | 55, 56, 57 | nfif 3878 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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59 | nfcv 2593 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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60 | elequ1 1898 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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61 | fveq2 5848 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
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62 | 60, 61 | ifbieq1d 3872 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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63 | 58, 59, 62 | cbvmpt 4466 |
. . . . . . . . . . . . 13
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64 | fvex 5858 |
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65 | c0ex 9624 |
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66 | 64, 65 | ifex 3917 |
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67 | 14 | fvmpt2 5941 |
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68 | 66, 67 | mpan2 682 |
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69 | 68 | ifeq1d 3867 |
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70 | 69 | mpteq2ia 4457 |
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71 | 63, 70 | eqtri 2474 |
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72 | 71 | fveq2i 5851 |
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73 | 54, 72 | syl6eqr 2504 |
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74 | 73 | breq1d 4384 |
. . . . . . . . 9
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75 | 74 | biimprd 231 |
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76 | 75 | imim2d 54 |
. . . . . . 7
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77 | 76 | expr 624 |
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78 | 77 | com23 81 |
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79 | 78 | imp4a 598 |
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80 | 79 | ralimdva 2786 |
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81 | 80 | reximdv 2838 |
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82 | 35, 81 | mpd 15 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1673 ax-4 1686 ax-5 1762 ax-6 1809 ax-7 1855 ax-8 1893 ax-9 1900 ax-10 1919 ax-11 1924 ax-12 1937 ax-13 2092 ax-ext 2432 ax-rep 4487 ax-sep 4497 ax-nul 4506 ax-pow 4554 ax-pr 4612 ax-un 6571 ax-inf2 8133 ax-cc 8852 ax-cnex 9582 ax-resscn 9583 ax-1cn 9584 ax-icn 9585 ax-addcl 9586 ax-addrcl 9587 ax-mulcl 9588 ax-mulrcl 9589 ax-mulcom 9590 ax-addass 9591 ax-mulass 9592 ax-distr 9593 ax-i2m1 9594 ax-1ne0 9595 ax-1rid 9596 ax-rnegex 9597 ax-rrecex 9598 ax-cnre 9599 ax-pre-lttri 9600 ax-pre-lttrn 9601 ax-pre-ltadd 9602 ax-pre-mulgt0 9603 ax-pre-sup 9604 ax-addf 9605 ax-mulf 9606 |
This theorem depends on definitions: df-bi 190 df-or 376 df-an 377 df-3or 987 df-3an 988 df-tru 1451 df-fal 1454 df-ex 1668 df-nf 1672 df-sb 1802 df-eu 2304 df-mo 2305 df-clab 2439 df-cleq 2445 df-clel 2448 df-nfc 2582 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3015 df-sbc 3236 df-csb 3332 df-dif 3375 df-un 3377 df-in 3379 df-ss 3386 df-pss 3388 df-nul 3700 df-if 3850 df-pw 3921 df-sn 3937 df-pr 3939 df-tp 3941 df-op 3943 df-uni 4169 df-int 4205 df-iun 4250 df-iin 4251 df-disj 4346 df-br 4375 df-opab 4434 df-mpt 4435 df-tr 4470 df-eprel 4723 df-id 4727 df-po 4733 df-so 4734 df-fr 4771 df-se 4772 df-we 4773 df-xp 4818 df-rel 4819 df-cnv 4820 df-co 4821 df-dm 4822 df-rn 4823 df-res 4824 df-ima 4825 df-pred 5359 df-ord 5405 df-on 5406 df-lim 5407 df-suc 5408 df-iota 5525 df-fun 5563 df-fn 5564 df-f 5565 df-f1 5566 df-fo 5567 df-f1o 5568 df-fv 5569 df-isom 5570 df-riota 6238 df-ov 6279 df-oprab 6280 df-mpt2 6281 df-of 6519 df-ofr 6520 df-om 6681 df-1st 6781 df-2nd 6782 df-supp 6903 df-wrecs 7015 df-recs 7077 df-rdg 7115 df-1o 7169 df-2o 7170 df-oadd 7173 df-omul 7174 df-er 7350 df-map 7461 df-pm 7462 df-ixp 7510 df-en 7557 df-dom 7558 df-sdom 7559 df-fin 7560 df-fsupp 7871 df-fi 7912 df-sup 7943 df-inf 7944 df-oi 8012 df-card 8360 df-acn 8363 df-cda 8585 df-pnf 9664 df-mnf 9665 df-xr 9666 df-ltxr 9667 df-le 9668 df-sub 9849 df-neg 9850 df-div 10259 df-nn 10599 df-2 10657 df-3 10658 df-4 10659 df-5 10660 df-6 10661 df-7 10662 df-8 10663 df-9 10664 df-10 10665 df-n0 10860 df-z 10928 df-dec 11042 df-uz 11150 df-q 11255 df-rp 11293 df-xneg 11399 df-xadd 11400 df-xmul 11401 df-ioo 11629 df-ioc 11630 df-ico 11631 df-icc 11632 df-fz 11776 df-fzo 11909 df-fl 12022 df-mod 12091 df-seq 12208 df-exp 12267 df-hash 12510 df-cj 13173 df-re 13174 df-im 13175 df-sqrt 13309 df-abs 13310 df-clim 13563 df-rlim 13564 df-sum 13764 df-struct 15134 df-ndx 15135 df-slot 15136 df-base 15137 df-sets 15138 df-ress 15139 df-plusg 15214 df-mulr 15215 df-starv 15216 df-sca 15217 df-vsca 15218 df-ip 15219 df-tset 15220 df-ple 15221 df-ds 15223 df-unif 15224 df-hom 15225 df-cco 15226 df-rest 15332 df-topn 15333 df-0g 15351 df-gsum 15352 df-topgen 15353 df-pt 15354 df-prds 15357 df-xrs 15411 df-qtop 15417 df-imas 15418 df-xps 15421 df-mre 15503 df-mrc 15504 df-acs 15506 df-mgm 16499 df-sgrp 16538 df-mnd 16548 df-submnd 16594 df-mulg 16687 df-cntz 16982 df-cmn 17443 df-psmet 18973 df-xmet 18974 df-met 18975 df-bl 18976 df-mopn 18977 df-cnfld 18982 df-top 19932 df-bases 19933 df-topon 19934 df-topsp 19935 df-cn 20254 df-cnp 20255 df-cmp 20413 df-tx 20588 df-hmeo 20781 df-xms 21346 df-ms 21347 df-tms 21348 df-cncf 21921 df-ovol 22427 df-vol 22429 df-mbf 22589 df-itg1 22590 df-itg2 22591 df-ibl 22592 df-itg 22593 df-0p 22640 |
This theorem is referenced by: ftc1a 23001 |
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