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Theorem itgcn 21220
Description: Transfer itg2cn 21141 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcn.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcn.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgcn.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itgcn  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) )
Distinct variable groups:    u, d, x, A    B, d, u    C, d, u    ph, d, u, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x, u, d)

Proof of Theorem itgcn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcn.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 21145 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcn.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 21015 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65abscld 12918 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
75absge0d 12926 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
8 elrege0 11388 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
96, 7, 8sylanbrc 659 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10 0e0icopnf 11391 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
129, 11ifclda 3818 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1312adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
14 eqid 2441 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
1513, 14fmptd 5864 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
163, 4mbfdm2 21016 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
17 mblss 20914 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
19 rembl 20922 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
2112adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
22 eldifn 3476 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
2322adantl 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
24 iffalse 3796 . . . . 5  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
2523, 24syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
26 iftrue 3794 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
2726mpteq2ia 4371 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )
284, 1iblabs 21206 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
296, 7iblpos 21170 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
3028, 29mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3130simpld 456 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
3227, 31syl5eqel 2525 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
3318, 20, 21, 25, 32mbfss 21024 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  e. MblFn )
3430simprd 460 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
35 itgcn.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3615, 33, 34, 35itg2cn 21141 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
37 simprr 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  u  C_  A )
3837sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  x  e.  A )
395adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
4038, 39syldan 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  B  e.  CC )
4140abscld 12918 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
42 simprl 750 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  u  e.  dom  vol )
4339abscld 12918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
4428adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
4537, 42, 43, 44iblss 21182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
4640absge0d 12926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
4741, 45, 46itgposval 21173 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
4837sseld 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  ->  x  e.  A ) )
4948pm4.71d 629 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  A )
) )
5049ifbid 3808 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  u  /\  x  e.  A ) ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
51 ifan 3832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( x  e.  u  /\  x  e.  A
) ,  ( abs `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 )
5250, 51syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ,  0 ) )
5352mpteq2dv 4376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) )
5453fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
5547, 54eqtrd 2473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
56 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  y  e.  u
57 nffvmpt1 5696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y )
58 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
0
5956, 57, 58nfif 3815 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 )
60 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 )
61 elequ1 1764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  u  <->  x  e.  u ) )
62 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) )
6361, 62ifbieq1d 3809 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 ) )
6459, 60, 63cbvmpt 4379 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 ) )
65 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  B )  e.  _V
66 c0ex 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
6765, 66ifex 3855 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  _V
6814fvmpt2 5778 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
6967, 68mpan2 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
7069ifeq1d 3804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ,  0 ) )
7170mpteq2ia 4371 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
7264, 71eqtri 2461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
7372fveq2i 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) )
7455, 73syl6eqr 2491 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) ) )
7574breq1d 4299 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( S. u ( abs `  B )  _d x  <  C  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
7675biimprd 223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) )
7776imim2d 52 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  ( ( vol `  u )  <  d  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
7877expr 612 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
u  C_  A  ->  ( ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( ( vol `  u
)  <  d  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) ) )
7978com23 78 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( u  C_  A  ->  ( ( vol `  u
)  <  d  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) ) )
8079imp4a 586 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
8180ralimdva 2792 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e. 
dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
8281reximdv 2825 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) )
8336, 82mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    \ cdif 3322    C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   +oocpnf 9411    < clt 9414    <_ cle 9415   RR+crp 10987   [,)cico 11298   abscabs 12719   volcvol 20847  MblFncmbf 20994   S.2citg2 20996   L^1cibl 20997   S.citg 20998
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-ovol 20848  df-vol 20849  df-mbf 20999  df-itg1 21000  df-itg2 21001  df-ibl 21002  df-itg 21003  df-0p 21048
This theorem is referenced by:  ftc1a  21409
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