Theorem itgcn 22812

Description: Transfer itg2cn 22733 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgcn.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgcn.3	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
itgcn	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )

Distinct variable groups:   u, d, x, A   B, d, u   C, d, u   ph, d, u, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x, u, d)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
2		iblmbf 22737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
3	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	3, 4	mbfmptcl 22605	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
6	5	abscld 13509	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7	5	absge0d 13517	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
8		elrege0 11729	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
9	6, 7, 8	sylanbrc 675	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10		0e0icopnf 11733	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
12	9, 11	ifclda 3881	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
13	12	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
14		eqid 2452	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
15	13, 14	fmptd 6030	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
16	3, 4	mbfdm2 22606	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
17		mblss 22496	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
18	16, 17	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
19		rembl 22505	. . . . 5 |- RR e. dom vol
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
21	12	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
22		eldifn 3524	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
23	22	adantl 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
24	23	iffalsed 3860	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
25		iftrue 3855	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
26	25	mpteq2ia 4457	. . . . 5 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` B ) )
27	4, 1	iblabs 22798	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
28	6, 7	iblpos 22762	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
29	27, 28	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
30	29	simpld 465	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
31	26, 30	syl5eqel 2534	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
32	18, 20, 21, 24, 31	mbfss 22614	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
33	29	simprd 469	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
34		itgcn.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
35	15, 32, 33, 34	itg2cn 22733	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
36		simprr 771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> u C_ A )
37	36	sselda 3400	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> x e. A )
38	5	adantlr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
39	37, 38	syldan 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> B e. CC )
40	39	abscld 13509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> ( abs ` B ) e. RR )
41		simprl 769	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> u e. dom vol )
42	38	abscld 13509	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
43	27	adantr 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
44	36, 41, 42, 43	iblss 22774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
45	39	absge0d 13517	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
46	40, 44, 45	itgposval 22765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) )
47	36	sseld 3399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u -> x e. A ) )
48	47	pm4.71d 644	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u <-> ( x e. u /\ x e. A ) ) )
49	48	ifbid 3871	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. u /\ x e. A ) , ( abs ` B ) , 0 ) )
50		ifan 3895	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( x e. u /\ x e. A ) , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 )
51	49, 50	syl6eq 2502	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
52	51	mpteq2dv 4462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) )
53	52	fveq2d 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) ) )
54	46, 53	eqtrd 2486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) ) )
55		nfv 1765	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x y e. u
56		nffvmpt1 5856	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y )
57		nfcv 2593	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x 0
58	55, 56, 57	nfif 3878	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 )
59		nfcv 2593	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 )
60		elequ1 1898	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. u <-> x e. u ) )
61		fveq2 5848	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) )
62	60, 61	ifbieq1d 3872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) = if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) )
63	58, 59, 62	cbvmpt 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) )
64		fvex 5858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs ` B ) e. _V
65		c0ex 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. _V
66	64, 65	ifex 3917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. _V
67	14	fvmpt2 5941	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. _V ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
68	66, 67	mpan2 682	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
69	68	ifeq1d 3867	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
70	69	mpteq2ia 4457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
71	63, 70	eqtri 2474	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
72	71	fveq2i 5851	. . . . . . . . . . 11 |- ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) )
73	54, 72	syl6eqr 2504	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) )
74	73	breq1d 4384	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( S. u ( abs ` B ) _d x < C <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
75	74	biimprd 231	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )
76	75	imim2d 54	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
77	76	expr 624	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( u C_ A -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) ) )
78	77	com23 81	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( u C_ A -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) ) )
79	78	imp4a 598	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
80	79	ralimdva 2786	. . 3 |- ( ph -> ( A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
81	80	reximdv 2838	. 2 |- ( ph -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
82	35, 81	mpd 15	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 375   = wceq 1448   e. wcel 1891   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3013   \ cdif 3369   C_ wss 3372   ifcif 3849   class class class wbr 4374   |-> cmpt 4433   dom cdm 4812   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   CCcc 9524   RRcr 9525   0cc0 9526   +oocpnf 9659   < clt 9662   <_ cle 9663   RR+crp 11292   [,)cico 11627   abscabs 13308   volcvol 22426  MblFncmbf 22584   S.2citg2 22586   L^1cibl 22587   S.citg 22588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cc 8852  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604  ax-addf 9605  ax-mulf 9606

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-iin 4251  df-disj 4346  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-of 6519  df-ofr 6520  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6903  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7871  df-fi 7912  df-sup 7943  df-inf 7944  df-oi 8012  df-card 8360  df-acn 8363  df-cda 8585  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10860  df-z 10928  df-dec 11042  df-uz 11150  df-q 11255  df-rp 11293  df-xneg 11399  df-xadd 11400  df-xmul 11401  df-ioo 11629  df-ioc 11630  df-ico 11631  df-icc 11632  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-fl 12022  df-mod 12091  df-seq 12208  df-exp 12267  df-hash 12510  df-cj 13173  df-re 13174  df-im 13175  df-sqrt 13309  df-abs 13310  df-clim 13563  df-rlim 13564  df-sum 13764  df-struct 15134  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-ress 15139  df-plusg 15214  df-mulr 15215  df-starv 15216  df-sca 15217  df-vsca 15218  df-ip 15219  df-tset 15220  df-ple 15221  df-ds 15223  df-unif 15224  df-hom 15225  df-cco 15226  df-rest 15332  df-topn 15333  df-0g 15351  df-gsum 15352  df-topgen 15353  df-pt 15354  df-prds 15357  df-xrs 15411  df-qtop 15417  df-imas 15418  df-xps 15421  df-mre 15503  df-mrc 15504  df-acs 15506  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-submnd 16594  df-mulg 16687  df-cntz 16982  df-cmn 17443  df-psmet 18973  df-xmet 18974  df-met 18975  df-bl 18976  df-mopn 18977  df-cnfld 18982  df-top 19932  df-bases 19933  df-topon 19934  df-topsp 19935  df-cn 20254  df-cnp 20255  df-cmp 20413  df-tx 20588  df-hmeo 20781  df-xms 21346  df-ms 21347  df-tms 21348  df-cncf 21921  df-ovol 22427  df-vol 22429  df-mbf 22589  df-itg1 22590  df-itg2 22591  df-ibl 22592  df-itg 22593  df-0p 22640

This theorem is referenced by:  ftc1a  23001