Theorem itgcn 22012

Description: Transfer itg2cn 21933 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgcn.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgcn.3	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
itgcn	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )

Distinct variable groups:   u, d, x, A   B, d, u   C, d, u   ph, d, u, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x, u, d)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
2		iblmbf 21937	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	3, 4	mbfmptcl 21807	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
6	5	abscld 13230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7	5	absge0d 13238	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
8		elrege0 11627	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
9	6, 7, 8	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10		0e0icopnf 11630	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
12	9, 11	ifclda 3971	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
13	12	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
14		eqid 2467	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
15	13, 14	fmptd 6045	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
16	3, 4	mbfdm2 21808	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
17		mblss 21705	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
18	16, 17	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
19		rembl 21714	. . . . 5 |- RR e. dom vol
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
21	12	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
22		eldifn 3627	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
23	22	adantl 466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
24		iffalse 3948	. . . . 5 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
25	23, 24	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
26		iftrue 3945	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
27	26	mpteq2ia 4529	. . . . 5 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` B ) )
28	4, 1	iblabs 21998	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
29	6, 7	iblpos 21962	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
30	28, 29	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
31	30	simpld 459	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
32	27, 31	syl5eqel 2559	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
33	18, 20, 21, 25, 32	mbfss 21816	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
34	30	simprd 463	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
35		itgcn.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
36	15, 33, 34, 35	itg2cn 21933	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
37		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> u C_ A )
38	37	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> x e. A )
39	5	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
40	38, 39	syldan 470	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> B e. CC )
41	40	abscld 13230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> ( abs ` B ) e. RR )
42		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> u e. dom vol )
43	39	abscld 13230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
44	28	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
45	37, 42, 43, 44	iblss 21974	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
46	40	absge0d 13238	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
47	41, 45, 46	itgposval 21965	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) )
48	37	sseld 3503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u -> x e. A ) )
49	48	pm4.71d 634	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u <-> ( x e. u /\ x e. A ) ) )
50	49	ifbid 3961	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. u /\ x e. A ) , ( abs ` B ) , 0 ) )
51		ifan 3985	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( x e. u /\ x e. A ) , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 )
52	50, 51	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
53	52	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) )
54	53	fveq2d 5870	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) ) )
55	47, 54	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) ) )
56		nfv 1683	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x y e. u
57		nffvmpt1 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y )
58		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x 0
59	56, 57, 58	nfif 3968	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 )
60		nfcv 2629	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 )
61		elequ1 1770	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. u <-> x e. u ) )
62		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) )
63	61, 62	ifbieq1d 3962	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) = if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) )
64	59, 60, 63	cbvmpt 4537	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) )
65		fvex 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs ` B ) e. _V
66		c0ex 9590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. _V
67	65, 66	ifex 4008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. _V
68	14	fvmpt2 5957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. _V ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
69	67, 68	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
70	69	ifeq1d 3957	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
71	70	mpteq2ia 4529	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
72	64, 71	eqtri 2496	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
73	72	fveq2i 5869	. . . . . . . . . . 11 |- ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) )
74	55, 73	syl6eqr 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) )
75	74	breq1d 4457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( S. u ( abs ` B ) _d x < C <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
76	75	biimprd 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )
77	76	imim2d 52	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
78	77	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( u C_ A -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) ) )
79	78	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( u C_ A -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) ) )
80	79	imp4a 589	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
81	80	ralimdva 2872	. . 3 |- ( ph -> ( A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
82	81	reximdv 2937	. 2 |- ( ph -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
83	36, 82	mpd 15	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   \ cdif 3473   C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   0cc0 9492   +oocpnf 9625   < clt 9628   <_ cle 9629   RR+crp 11220   [,)cico 11531   abscabs 13030   volcvol 21638  MblFncmbf 21786   S.2citg2 21788   L^1cibl 21789   S.citg 21790

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cc 8815  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571  ax-mulf 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-fi 7871  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xneg 11318  df-xadd 11319  df-xmul 11320  df-ioo 11533  df-ioc 11534  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-rlim 13275  df-sum 13472  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-mulr 14569  df-starv 14570  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ip 14573  df-tset 14574  df-ple 14575  df-ds 14577  df-unif 14578  df-hom 14579  df-cco 14580  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-gsum 14698  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-prds 14703  df-xrs 14757  df-qtop 14762  df-imas 14763  df-xps 14765  df-mre 14841  df-mrc 14842  df-acs 14844  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-mulg 15870  df-cntz 16160  df-cmn 16606  df-psmet 18210  df-xmet 18211  df-met 18212  df-bl 18213  df-mopn 18214  df-cnfld 18220  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-cmp 19681  df-tx 19826  df-hmeo 20019  df-xms 20586  df-ms 20587  df-tms 20588  df-cncf 21145  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791  df-itg1 21792  df-itg2 21793  df-ibl 21794  df-itg 21795  df-0p 21840

This theorem is referenced by:  ftc1a  22201