Theorem itgcn 21220

Description: Transfer itg2cn 21141 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itgcn.1	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
itgcn.2	|- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
itgcn.3	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
itgcn	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )

Distinct variable groups:   u, d, x, A   B, d, u   C, d, u   ph, d, u, x

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   V( x, u, d)

Proof of Theorem itgcn

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itgcn.2	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. L^1 )
2		iblmbf 21145	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. A |-> B ) e. L^1 -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
3	1, 2	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A |-> B ) e. MblFn )
4		itgcn.1	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. V )
5	3, 4	mbfmptcl 21015	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> B e. CC )
6	5	abscld 12918	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
7	5	absge0d 12926	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
8		elrege0 11388	. . . . . . 7 |- ( ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( abs ` B ) e. RR /\ 0 <_ ( abs ` B ) ) )
9	6, 7, 8	sylanbrc 659	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. ( 0 [,) +oo ) )
10		0e0icopnf 11391	. . . . . . 7 |- 0 e. ( 0 [,) +oo )
11	10	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. x e. A ) -> 0 e. ( 0 [,) +oo ) )
12	9, 11	ifclda 3818	. . . . 5 |- ( ph -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
13	12	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
14		eqid 2441	. . . 4 |- ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
15	13, 14	fmptd 5864	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
16	3, 4	mbfdm2 21016	. . . . 5 |- ( ph -> A e. dom vol )
17		mblss 20914	. . . . 5 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
18	16, 17	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> A C_ RR )
19		rembl 20922	. . . . 5 |- RR e. dom vol
20	19	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> RR e. dom vol )
21	12	adantr 462	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. ( 0 [,) +oo ) )
22		eldifn 3476	. . . . . 6 |- ( x e. ( RR \ A ) -> -. x e. A )
23	22	adantl 463	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> -. x e. A )
24		iffalse 3796	. . . . 5 |- ( -. x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
25	23, 24	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( RR \ A ) ) -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = 0 )
26		iftrue 3794	. . . . . 6 |- ( x e. A -> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) = ( abs ` B ) )
27	26	mpteq2ia 4371	. . . . 5 |- ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. A |-> ( abs ` B ) )
28	4, 1	iblabs 21206	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
29	6, 7	iblpos 21170	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 <-> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) ) )
30	28, 29	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
31	30	simpld 456	. . . . 5 |- ( ph -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. MblFn )
32	27, 31	syl5eqel 2525	. . . 4 |- ( ph -> ( x e. A |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
33	18, 20, 21, 25, 32	mbfss 21024	. . 3 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) e. MblFn )
34	30	simprd 460	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) e. RR )
35		itgcn.3	. . 3 |- ( ph -> C e. RR+ )
36	15, 33, 34, 35	itg2cn 21141	. 2 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
37		simprr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> u C_ A )
38	37	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> x e. A )
39	5	adantlr 709	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. A ) -> B e. CC )
40	38, 39	syldan 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> B e. CC )
41	40	abscld 12918	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> ( abs ` B ) e. RR )
42		simprl 750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> u e. dom vol )
43	39	abscld 12918	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. A ) -> ( abs ` B ) e. RR )
44	28	adantr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. A |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
45	37, 42, 43, 44	iblss 21182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u |-> ( abs ` B ) ) e. L^1 )
46	40	absge0d 12926	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) /\ x e. u ) -> 0 <_ ( abs ` B ) )
47	41, 45, 46	itgposval 21173	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) )
48	37	sseld 3352	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u -> x e. A ) )
49	48	pm4.71d 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. u <-> ( x e. u /\ x e. A ) ) )
50	49	ifbid 3808	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( ( x e. u /\ x e. A ) , ( abs ` B ) , 0 ) )
51		ifan 3832	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- if ( ( x e. u /\ x e. A ) , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 )
52	50, 51	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
53	52	mpteq2dv 4376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) )
54	53	fveq2d 5692	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( abs ` B ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) ) )
55	47, 54	eqtrd 2473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) ) )
56		nfv 1678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/ x y e. u
57		nffvmpt1 5696	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y )
58		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x 0
59	56, 57, 58	nfif 3815	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 )
60		nfcv 2577	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ y if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 )
61		elequ1 1764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( y e. u <-> x e. u ) )
62		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) = ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) )
63	61, 62	ifbieq1d 3809	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) = if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) )
64	59, 60, 63	cbvmpt 4379	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) )
65		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( abs ` B ) e. _V
66		c0ex 9376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- 0 e. _V
67	65, 66	ifex 3855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. _V
68	14	fvmpt2 5778	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) e. _V ) -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
69	67, 68	mpan2 666	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x e. RR -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) = if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) )
70	69	ifeq1d 3804	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. RR -> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) = if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
71	70	mpteq2ia 4371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
72	64, 71	eqtri 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) )
73	72	fveq2i 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) , 0 ) ) )
74	55, 73	syl6eqr 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> S. u ( abs ` B ) _d x = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) )
75	74	breq1d 4299	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( S. u ( abs ` B ) _d x < C <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
76	75	biimprd 223	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )
77	76	imim2d 52	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. dom vol /\ u C_ A ) ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
78	77	expr 612	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( u C_ A -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) ) )
79	78	com23 78	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( u C_ A -> ( ( vol ` u ) < d -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) ) )
80	79	imp4a 586	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. dom vol ) -> ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
81	80	ralimdva 2792	. . 3 |- ( ph -> ( A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
82	81	reximdv 2825	. 2 |- ( ph -> ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( ( x e. RR |-> if ( x e. A , ( abs ` B ) , 0 ) ) ` y ) , 0 ) ) ) < C ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) ) )
83	36, 82	mpd 15	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( u C_ A /\ ( vol ` u ) < d ) -> S. u ( abs ` B ) _d x < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   \ cdif 3322   C_ wss 3325   ifcif 3788   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   +oocpnf 9411   < clt 9414   <_ cle 9415   RR+crp 10987   [,)cico 11298   abscabs 12719   volcvol 20847  MblFncmbf 20994   S.2citg2 20996   L^1cibl 20997   S.citg 20998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-cnfld 17719  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmp 18890  df-tx 19035  df-hmeo 19228  df-xms 19795  df-ms 19796  df-tms 19797  df-cncf 20354  df-ovol 20848  df-vol 20849  df-mbf 20999  df-itg1 21000  df-itg2 21001  df-ibl 21002  df-itg 21003  df-0p 21048

This theorem is referenced by:  ftc1a  21409