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Theorem itgcn 22812
Description: Transfer itg2cn 22733 to the full Lebesgue integral. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgcn.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcn.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgcn.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itgcn  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) )
Distinct variable groups:    u, d, x, A    B, d, u    C, d, u    ph, d, u, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)    V( x, u, d)

Proof of Theorem itgcn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgcn.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
2 iblmbf 22737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
4 itgcn.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
53, 4mbfmptcl 22605 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
65abscld 13509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
75absge0d 13517 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
8 elrege0 11729 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( abs `  B )  e.  RR  /\  0  <_  ( abs `  B ) ) )
96, 7, 8sylanbrc 675 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
10 0e0icopnf 11733 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
1110a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
129, 11ifclda 3881 . . . . 5  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
1312adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
14 eqid 2452 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )
1513, 14fmptd 6030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
163, 4mbfdm2 22606 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
17 mblss 22496 . . . . 5  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1816, 17syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
19 rembl 22505 . . . . 5  |-  RR  e.  dom  vol
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
2112adantr 471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
22 eldifn 3524 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
2322adantl 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
2423iffalsed 3860 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  =  0 )
25 iftrue 3855 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  ( abs `  B
) )
2625mpteq2ia 4457 . . . . 5  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )
274, 1iblabs 22798 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
286, 7iblpos 22762 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 
<->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
2927, 28mpbid 215 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
3029simpld 465 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
3126, 30syl5eqel 2534 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )  e. MblFn )
3218, 20, 21, 24, 31mbfss 22614 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  e. MblFn )
3329simprd 469 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
34 itgcn.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
3515, 32, 33, 34itg2cn 22733 . 2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
36 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  u  C_  A )
3736sselda 3400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  x  e.  A )
385adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3937, 38syldan 477 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  B  e.  CC )
4039abscld 13509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
41 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  u  e.  dom  vol )
4238abscld 13509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
4327adantr 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
4436, 41, 42, 43iblss 22774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
4539absge0d 13517 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A )
)  /\  x  e.  u )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
4640, 44, 45itgposval 22765 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) ) )
4736sseld 3399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  ->  x  e.  A ) )
4847pm4.71d 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  u  <->  ( x  e.  u  /\  x  e.  A )
) )
4948ifbid 3871 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  if ( ( x  e.  u  /\  x  e.  A ) ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )
50 ifan 3895 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( ( x  e.  u  /\  x  e.  A
) ,  ( abs `  B ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 )
5149, 50syl6eq 2502 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ,  0 ) )
5251mpteq2dv 4462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) )
5352fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
5446, 53eqtrd 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) ) )
55 nfv 1765 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/ x  y  e.  u
56 nffvmpt1 5856 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y )
57 nfcv 2593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
0
5855, 56, 57nfif 3878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 )
59 nfcv 2593 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ y if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 )
60 elequ1 1898 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  u  <->  x  e.  u ) )
61 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  x  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) )
6260, 61ifbieq1d 3872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 ) )
6358, 59, 62cbvmpt 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 ) )
64 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( abs `  B )  e.  _V
65 c0ex 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  _V
6664, 65ifex 3917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 )  e.  _V
6714fvmpt2 5941 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 )  e.  _V )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
6866, 67mpan2 682 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x )  =  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) )
6968ifeq1d 3867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ,  0 ) )
7069mpteq2ia 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
7163, 70eqtri 2474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) )
7271fveq2i 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ,  0 ) ) )
7354, 72syl6eqr 2504 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) ) )
7473breq1d 4384 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( S. u ( abs `  B )  _d x  <  C  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
7574biimprd 231 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) )
7675imim2d 54 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  u  C_  A ) )  -> 
( ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  ( ( vol `  u )  <  d  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
7776expr 624 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
u  C_  A  ->  ( ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( ( vol `  u
)  <  d  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) ) )
7877com23 81 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( u  C_  A  ->  ( ( vol `  u
)  <  d  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) ) )
7978imp4a 598 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  -> 
( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
8079ralimdva 2786 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A. u  e. 
dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( abs `  B
) ,  0 ) ) `  y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) ) )
8180reximdv 2838 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( abs `  B ) ,  0 ) ) `
 y ) ,  0 ) ) )  <  C )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u )  <  d )  ->  S. u ( abs `  B
)  _d x  < 
C ) ) )
8235, 81mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( u  C_  A  /\  ( vol `  u
)  <  d )  ->  S. u ( abs `  B )  _d x  <  C ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 375    = wceq 1448    e. wcel 1891   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3013    \ cdif 3369    C_ wss 3372   ifcif 3849   class class class wbr 4374    |-> cmpt 4433   dom cdm 4812   ` cfv 5561  (class class class)co 6276   CCcc 9524   RRcr 9525   0cc0 9526   +oocpnf 9659    < clt 9662    <_ cle 9663   RR+crp 11292   [,)cico 11627   abscabs 13308   volcvol 22426  MblFncmbf 22584   S.2citg2 22586   L^1cibl 22587   S.citg 22588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1673  ax-4 1686  ax-5 1762  ax-6 1809  ax-7 1855  ax-8 1893  ax-9 1900  ax-10 1919  ax-11 1924  ax-12 1937  ax-13 2092  ax-ext 2432  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4506  ax-pow 4554  ax-pr 4612  ax-un 6571  ax-inf2 8133  ax-cc 8852  ax-cnex 9582  ax-resscn 9583  ax-1cn 9584  ax-icn 9585  ax-addcl 9586  ax-addrcl 9587  ax-mulcl 9588  ax-mulrcl 9589  ax-mulcom 9590  ax-addass 9591  ax-mulass 9592  ax-distr 9593  ax-i2m1 9594  ax-1ne0 9595  ax-1rid 9596  ax-rnegex 9597  ax-rrecex 9598  ax-cnre 9599  ax-pre-lttri 9600  ax-pre-lttrn 9601  ax-pre-ltadd 9602  ax-pre-mulgt0 9603  ax-pre-sup 9604  ax-addf 9605  ax-mulf 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1451  df-fal 1454  df-ex 1668  df-nf 1672  df-sb 1802  df-eu 2304  df-mo 2305  df-clab 2439  df-cleq 2445  df-clel 2448  df-nfc 2582  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3015  df-sbc 3236  df-csb 3332  df-dif 3375  df-un 3377  df-in 3379  df-ss 3386  df-pss 3388  df-nul 3700  df-if 3850  df-pw 3921  df-sn 3937  df-pr 3939  df-tp 3941  df-op 3943  df-uni 4169  df-int 4205  df-iun 4250  df-iin 4251  df-disj 4346  df-br 4375  df-opab 4434  df-mpt 4435  df-tr 4470  df-eprel 4723  df-id 4727  df-po 4733  df-so 4734  df-fr 4771  df-se 4772  df-we 4773  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-pred 5359  df-ord 5405  df-on 5406  df-lim 5407  df-suc 5408  df-iota 5525  df-fun 5563  df-fn 5564  df-f 5565  df-f1 5566  df-fo 5567  df-f1o 5568  df-fv 5569  df-isom 5570  df-riota 6238  df-ov 6279  df-oprab 6280  df-mpt2 6281  df-of 6519  df-ofr 6520  df-om 6681  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6903  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-ixp 7510  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fsupp 7871  df-fi 7912  df-sup 7943  df-inf 7944  df-oi 8012  df-card 8360  df-acn 8363  df-cda 8585  df-pnf 9664  df-mnf 9665  df-xr 9666  df-ltxr 9667  df-le 9668  df-sub 9849  df-neg 9850  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10860  df-z 10928  df-dec 11042  df-uz 11150  df-q 11255  df-rp 11293  df-xneg 11399  df-xadd 11400  df-xmul 11401  df-ioo 11629  df-ioc 11630  df-ico 11631  df-icc 11632  df-fz 11776  df-fzo 11909  df-fl 12022  df-mod 12091  df-seq 12208  df-exp 12267  df-hash 12510  df-cj 13173  df-re 13174  df-im 13175  df-sqrt 13309  df-abs 13310  df-clim 13563  df-rlim 13564  df-sum 13764  df-struct 15134  df-ndx 15135  df-slot 15136  df-base 15137  df-sets 15138  df-ress 15139  df-plusg 15214  df-mulr 15215  df-starv 15216  df-sca 15217  df-vsca 15218  df-ip 15219  df-tset 15220  df-ple 15221  df-ds 15223  df-unif 15224  df-hom 15225  df-cco 15226  df-rest 15332  df-topn 15333  df-0g 15351  df-gsum 15352  df-topgen 15353  df-pt 15354  df-prds 15357  df-xrs 15411  df-qtop 15417  df-imas 15418  df-xps 15421  df-mre 15503  df-mrc 15504  df-acs 15506  df-mgm 16499  df-sgrp 16538  df-mnd 16548  df-submnd 16594  df-mulg 16687  df-cntz 16982  df-cmn 17443  df-psmet 18973  df-xmet 18974  df-met 18975  df-bl 18976  df-mopn 18977  df-cnfld 18982  df-top 19932  df-bases 19933  df-topon 19934  df-topsp 19935  df-cn 20254  df-cnp 20255  df-cmp 20413  df-tx 20588  df-hmeo 20781  df-xms 21346  df-ms 21347  df-tms 21348  df-cncf 21921  df-ovol 22427  df-vol 22429  df-mbf 22589  df-itg1 22590  df-itg2 22591  df-ibl 22592  df-itg 22593  df-0p 22640
This theorem is referenced by:  ftc1a  23001
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