MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgcl Structured version   Unicode version

Theorem itgcl 22374
Description: The integral of an integrable function is a complex number. This is Metamath 100 proof #86. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgmpt.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgcl.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
Assertion
Ref Expression
itgcl  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgcl
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 22360 . 2  |-  S. A B  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 fzfid 12037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0 ... 3
)  e.  Fin )
4 ax-icn 9501 . . . . 5  |-  _i  e.  CC
5 elfznn0 11743 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
65adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  k  e.  NN0 )
7 expcl 12138 . . . . 5  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
84, 6, 7sylancr 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
9 elfzelz 11659 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  ZZ )
10 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )
11 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) )  =  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) )
12 itgcl.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
13 itgmpt.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
1410, 11, 12, 13iblitg 22359 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ZZ )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
159, 14sylan2 472 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
1615recnd 9572 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) )  e.  CC )
178, 16mulcld 9566 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( 0 ... 3
) )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_ 
( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( B  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
183, 17fsumcl 13611 . 2  |-  ( ph  -> 
sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^
k )  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  A  /\  0  <_  ( Re `  ( B  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( B  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ) ) )  e.  CC )
192, 18syl5eqel 2494 1  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842   ifcif 3884   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   ` cfv 5525  (class class class)co 6234   CCcc 9440   RRcr 9441   0cc0 9442   _ici 9444    x. cmul 9447    <_ cle 9579    / cdiv 10167   3c3 10547   NN0cn0 10756   ZZcz 10825   ...cfz 11643   ^cexp 12120   Recre 12986   sum_csu 13564   S.2citg2 22209   L^1cibl 22210   S.citg 22211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565  df-ibl 22215  df-itg 22216
This theorem is referenced by:  itgneg  22394  itgaddlem2  22414  itgadd  22415  itgsub  22416  itgfsum  22417  itgmulc2lem2  22423  itgmulc2  22424  itgabs  22425  itgsplitioo  22428  ditgcl  22446  ditgswap  22447  ftc1lem1  22620  ftc1lem2  22621  ftc1a  22622  ftc1lem4  22624  ftc2  22629  itgparts  22632  itgsubstlem  22633  itgulm  22987  itgaddnclem2  31428  itgaddnc  31429  itgsubnc  31431  itgmulc2nclem2  31436  itgmulc2nc  31437  itgabsnc  31438  ftc1cnnclem  31442  ftc1anc  31452  ftc2nc  31453  itgpowd  35527  itgsinexplem1  37102  itgsinexp  37103  itgspltprt  37128  fourierdlem30  37269  fourierdlem47  37286  fourierdlem73  37312  fourierdlem83  37322  fourierdlem87  37326  fourierdlem95  37334  fourierdlem103  37342  fourierdlem104  37343  fourierdlem107  37346  fourierdlem112  37351  sqwvfoura  37361  etransclem23  37390
  Copyright terms: Public domain W3C validator