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Theorem itgaddnclem2 31966
Description: Lemma for itgaddnc 31967; cf. itgaddlem2 22780. (Contributed by Brendan Leahy, 10-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 3-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
ibladdnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
itgaddnclem.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgaddnclem.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgaddnclem2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddnclem2
StepHypRef Expression
1 itgaddnclem.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 max0sub 11497 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
31, 2syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
4 itgaddnclem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
5 max0sub 11497 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
64, 5syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
73, 6oveq12d 6324 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( B  +  C
) )
8 0re 9651 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
101, 8, 9sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
1110recnd 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
12 ifcl 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
134, 8, 12sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
151renegcld 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
16 ifcl 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1715, 8, 16sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1817recnd 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
194renegcld 10054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
20 ifcl 3953 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2119, 8, 20sylancl 666 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2221recnd 9677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
2311, 14, 18, 22addsub4d 10041 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
241, 4readdcld 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
25 max0sub 11497 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  +  C )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
277, 23, 263eqtr4rd 2474 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
2824renegcld 10054 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  e.  RR )
29 ifcl 3953 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( B  +  C )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  e.  RR )
3028, 8, 29sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3130recnd 9677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3210, 13readdcld 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
3332recnd 9677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  CC )
34 ifcl 3953 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3524, 8, 34sylancl 666 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3635recnd 9677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3717, 21readdcld 9678 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  RR )
3837recnd 9677 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  CC )
3931, 33, 36, 38addsubeq4d 10045 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  <->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
4027, 39mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
4140itgeq2dv 22738 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x )
42 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
43 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
44 ibladdnc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
451, 42, 4, 43, 44ibladdnc 31964 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
4624iblre 22750 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
4745, 46mpbid 213 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
4847simprd 464 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
491iblre 22750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5042, 49mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5150simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L^1 )
524iblre 22750 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5343, 52mpbid 213 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5453simpld 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e.  L^1 )
55 iblmbf 22724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
5642, 55syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
57 iblmbf 22724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5843, 57syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5956, 1, 58, 4, 44mbfposadd 31953 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
6010, 51, 13, 54, 59ibladdnc 31964 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e.  L^1 )
61 max1 11488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
628, 1, 61sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
63 max1 11488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
648, 4, 63sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
6510, 13, 62, 64addge0d 10197 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6665iftrued 3919 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6766oveq2d 6322 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
6867mpteq2dva 4510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
6924, 44mbfneg 22605 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( B  +  C ) )  e. MblFn
)
701recnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
714recnd 9677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7270, 71negdid 10007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  =  ( -u B  +  -u C ) )
7372oveq1d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( (
-u B  +  -u C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
7415recnd 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
7519recnd 9677 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  CC )
7674, 75, 11, 14add4d 9866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  +  -u C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  +  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
77 negeq 9875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  -u B  =  -u 0 )
78 neg0 9928 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 0  =  0
7977, 78syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  -u B  =  0 )
80 0le0 10707 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  0
8180, 79syl5breqr 4460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  0  <_ 
-u B )
8281iftrued 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  -u B
)
83 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  0  ->  B  =  0 )
8480, 83syl5breqr 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  0  ->  0  <_  B )
8584iftrued 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
8685, 83eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0 )
8779, 86oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
88 00id 9816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  0 )  =  0
8987, 88syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  0 )
9079, 82, 893eqtr4rd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9190adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =  0 )  -> 
( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
92 ovif2 6389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u B  +  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B , 
( -u B  +  B
) ,  ( -u B  +  0 ) )
9370negne0bd 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  =/=  0  <->  -u B  =/=  0 ) )
9493biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -u B  =/=  0 )
951le0neg2d 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <_ 
0 ) )
96 leloe 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u B  <_  0  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
9715, 8, 96sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  0  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
9895, 97bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
99 df-ne 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -u B  =/=  0  <->  -.  -u B  =  0 )
100 biorf 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  -u B  =  0  ->  ( -u B  <  0  <->  ( -u B  =  0  \/  -u B  <  0 ) ) )
10199, 100sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u B  =/=  0  ->  ( -u B  <  0  <->  ( -u B  =  0  \/  -u B  <  0
) ) )
102 orcom 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u B  =  0  \/  -u B  <  0
)  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) )
103101, 102syl6rbb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u B  =/=  0  ->  (
( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 )  <->  -u B  <  0
) )
10498, 103sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -u B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <  0 ) )
10594, 104syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <  0 ) )
106 ltnle 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
10715, 8, 106sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
108107adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
109105, 108bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -.  0  <_ 
-u B ) )
11074, 70addcomd 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  B )  =  ( B  +  -u B ) )
11170negidd 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
112110, 111eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  B )  =  0 )
113112adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  B )  =  0 )
11474addid1d 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  0 )  =  -u B )
115114adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  0 )  =  -u B )
116109, 113, 115ifbieq12d 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  B ,  ( -u B  +  B ) ,  (
-u B  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  -u B ,  0 , 
-u B ) )
117 ifnot 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  -u B ,  0 ,  -u B )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )
118116, 117syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  B ,  ( -u B  +  B ) ,  (
-u B  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
11992, 118syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
12091, 119pm2.61dane 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
121 negeq 9875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  -u C  =  -u 0 )
122121, 78syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  -u C  =  0 )
12380, 122syl5breqr 4460 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  0  <_ 
-u C )
124123iftrued 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  -u C
)
125 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  =  0  ->  C  =  0 )
12680, 125syl5breqr 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  =  0  ->  0  <_  C )
127126iftrued 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
128127, 125eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0 )
129122, 128oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
130129, 88syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  0 )
131122, 124, 1303eqtr4rd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
132131adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =  0 )  -> 
( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
133 ovif2 6389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C , 
( -u C  +  C
) ,  ( -u C  +  0 ) )
13471negne0bd 9987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  =/=  0  <->  -u C  =/=  0 ) )
135134biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  -u C  =/=  0 )
1364le0neg2d 10194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <_ 
0 ) )
137 leloe 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u C  <_  0  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
13819, 8, 137sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  <_  0  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
139136, 138bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
140 df-ne 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -u C  =/=  0  <->  -.  -u C  =  0 )
141 biorf 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  -u C  =  0  ->  ( -u C  <  0  <->  ( -u C  =  0  \/  -u C  <  0 ) ) )
142140, 141sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u C  =/=  0  ->  ( -u C  <  0  <->  ( -u C  =  0  \/  -u C  <  0
) ) )
143 orcom 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u C  =  0  \/  -u C  <  0
)  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) )
144142, 143syl6rbb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u C  =/=  0  ->  (
( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 )  <->  -u C  <  0
) )
145139, 144sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -u C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <  0 ) )
146135, 145syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <  0 ) )
147 ltnle 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
14819, 8, 147sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
149148adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
150146, 149bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -.  0  <_ 
-u C ) )
15175, 71addcomd 9843 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  C )  =  ( C  +  -u C ) )
15271negidd 9984 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  -u C )  =  0 )
153151, 152eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  C )  =  0 )
154153adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  C )  =  0 )
15575addid1d 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  0 )  =  -u C )
156155adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  0 )  =  -u C )
157150, 154, 156ifbieq12d 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  ( -u C  +  C ) ,  (
-u C  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  -u C ,  0 , 
-u C ) )
158 ifnot 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  -u C ,  0 ,  -u C )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )
159157, 158syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  ( -u C  +  C ) ,  (
-u C  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
160133, 159syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
161132, 160pm2.61dane 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
162120, 161oveq12d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  +  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
16373, 76, 1623eqtrd 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
164163mpteq2dva 4510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
1651, 56mbfneg 22605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
1664, 58mbfneg 22605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u C )  e. MblFn
)
16772mpteq2dva 4510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( -u B  +  -u C ) ) )
168167, 69eqeltrrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u B  +  -u C ) )  e. MblFn
)
169165, 15, 166, 19, 168mbfposadd 31953 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e. MblFn )
170164, 169eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )  e. MblFn )
17169, 28, 59, 32, 170mbfposadd 31953 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e. MblFn )
17268, 171eqeltrrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn )
173 max1 11488 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
1748, 28, 173sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
17530, 48, 32, 60, 172, 30, 32, 174, 65itgaddnclem1 31965 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x ) )
17647simpld 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
17750simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 )
17853simprd 464 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 )
17917, 177, 21, 178, 169ibladdnc 31964 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
180 max1 11488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1818, 15, 180sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
182 max1 11488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
1838, 19, 182sylancr 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
18417, 21, 181, 183addge0d 10197 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
185184iftrued 3919 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
186185oveq2d 6322 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
187186mpteq2dva 4510 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_ 
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
18870, 71, 18, 22add4d 9866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
18982, 79eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  0 )
19083, 189oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
191190, 88syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  0 )
19283, 85, 1913eqtr4rd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
193192adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =  0 )  -> 
( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
194 ovif2 6389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B , 
( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )
1951le0neg1d 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
196 leloe 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <_  0  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
1971, 8, 196sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  0  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
198195, 197bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u B  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
199 df-ne 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =/=  0  <->  -.  B  =  0 )
200 biorf 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  B  =  0  -> 
( B  <  0  <->  ( B  =  0  \/  B  <  0 ) ) )
201199, 200sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =/=  0  ->  ( B  <  0  <->  ( B  =  0  \/  B  <  0 ) ) )
202 orcom 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  =  0  \/  B  <  0 )  <-> 
( B  <  0  \/  B  =  0
) )
203201, 202syl6rbb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =/=  0  ->  (
( B  <  0  \/  B  =  0
)  <->  B  <  0
) )
204198, 203sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u B  <->  B  <  0 ) )
205 ltnle 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B )
)
2061, 8, 205sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
207206adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
208204, 207bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u B  <->  -.  0  <_  B ) )
209111adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
21070addid1d 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
211210adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
212208, 209, 211ifbieq12d 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  ( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  B ,  0 ,  B
) )
213 ifnot 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  B ,  0 ,  B
)  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
214212, 213syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  ( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
215194, 214syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
216193, 215pm2.61dane 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
217124, 122eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  0 )
218125, 217oveq12d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
219218, 88syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  0 )
220125, 127, 2193eqtr4rd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
221220adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =  0 )  -> 
( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
222 ovif2 6389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C , 
( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )
2234le0neg1d 10193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  0  <->  0  <_  -u C ) )
224 leloe 9728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <_  0  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
2254, 8, 224sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  0  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
226223, 225bitr3d 258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u C  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
227 df-ne 2616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  =/=  0  <->  -.  C  =  0 )
228 biorf 406 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  C  =  0  -> 
( C  <  0  <->  ( C  =  0  \/  C  <  0 ) ) )
229227, 228sylbi 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  =/=  0  ->  ( C  <  0  <->  ( C  =  0  \/  C  <  0 ) ) )
230 orcom 388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  =  0  \/  C  <  0 )  <-> 
( C  <  0  \/  C  =  0
) )
231229, 230syl6rbb 265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  =/=  0  ->  (
( C  <  0  \/  C  =  0
)  <->  C  <  0
) )
232226, 231sylan9bb 704 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u C  <->  C  <  0 ) )
233 ltnle 9721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C )
)
2344, 8, 233sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
235234adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
236232, 235bitrd 256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u C  <->  -.  0  <_  C ) )
237152adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  -u C )  =  0 )
23871addid1d 9841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
239238adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
240236, 237, 239ifbieq12d 3938 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  ( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  C ,  0 ,  C
) )
241 ifnot 3956 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  C ,  0 ,  C
)  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )
242240, 241syl6eq 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  ( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
243222, 242syl5eq 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
244221, 243pm2.61dane 2738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
245216, 244oveq12d 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
246188, 245eqtrd 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
247246mpteq2dva 4510 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
248247, 59eqeltrd 2507 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn )
24944, 24, 169, 37, 248mbfposadd 31953 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_ 
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e. MblFn )
250187, 249eqeltrrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
251 max1 11488 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
2528, 24, 251sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
25335, 176, 37, 179, 250, 35, 37, 252, 184itgaddnclem1 31965 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
25441, 175, 2533eqtr3d 2471 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
25530, 48itgcl 22740 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
25610, 51, 13, 54, 59, 10, 13, 62, 64itgaddnclem1 31965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x ) )
25710, 51itgcl 22740 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
25813, 54itgcl 22740 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  e.  CC )
259257, 258addcld 9670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  e.  CC )
260256, 259eqeltrd 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
26135, 176itgcl 22740 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
26217, 177, 21, 178, 169, 17, 21, 181, 183itgaddnclem1 31965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
26317, 177itgcl 22740 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
26421, 178itgcl 22740 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x  e.  CC )
265263, 264addcld 9670 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x )  e.  CC )
266262, 265eqeltrd 2507 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
267255, 260, 261, 266addsubeq4d 10045 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  <-> 
( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) ) )
268254, 267mpbid 213 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
269256, 262oveq12d 6324 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
270257, 258, 263, 264addsub4d 10041 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
271268, 269, 2703eqtrd 2467 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
27224, 45itgreval 22753 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x ) )
2731, 42itgreval 22753 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
2744, 43itgreval 22753 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
275273, 274oveq12d 6324 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
276271, 272, 2753eqtr4d 2473 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   ifcif 3911   class class class wbr 4423    |-> cmpt 4482  (class class class)co 6306   CCcc 9545   RRcr 9546   0cc0 9547    + caddc 9550    < clt 9683    <_ cle 9684    - cmin 9868   -ucneg 9869  MblFncmbf 22571   L^1cibl 22574   S.citg 22575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-inf2 8156  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-pre-sup 9625  ax-addf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-disj 4395  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-of 6546  df-ofr 6547  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-2o 7195  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-pm 7487  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-fi 7935  df-sup 7966  df-inf 7967  df-oi 8035  df-card 8382  df-cda 8606  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-div 10278  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-n0 10878  df-z 10946  df-uz 11168  df-q 11273  df-rp 11311  df-xneg 11417  df-xadd 11418  df-xmul 11419  df-ioo 11647  df-ico 11649  df-icc 11650  df-fz 11793  df-fzo 11924  df-fl 12035  df-mod 12104  df-seq 12221  df-exp 12280  df-hash 12523  df-cj 13163  df-re 13164  df-im 13165  df-sqrt 13299  df-abs 13300  df-clim 13552  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19920  df-bases 19921  df-topon 19922  df-cmp 20401  df-ovol 22415  df-vol 22417  df-mbf 22576  df-itg1 22577  df-itg2 22578  df-ibl 22579  df-itg 22580  df-0p 22627
This theorem is referenced by:  itgaddnc  31967
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