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Theorem itgaddnclem2 28376
Description: Lemma for itgaddnc 28377; cf. itgaddlem2 21260. (Contributed by Brendan Leahy, 10-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 3-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
ibladdnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
itgaddnclem.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgaddnclem.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgaddnclem2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddnclem2
StepHypRef Expression
1 itgaddnclem.1 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 max0sub 11162 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
4 itgaddnclem.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
5 max0sub 11162 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
73, 6oveq12d 6108 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( B  +  C
) )
8 0re 9382 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
101, 8, 9sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
1110recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
12 ifcl 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
134, 8, 12sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
151renegcld 9771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
16 ifcl 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1715, 8, 16sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1817recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
194renegcld 9771 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
20 ifcl 3828 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2119, 8, 20sylancl 657 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2221recnd 9408 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
2311, 14, 18, 22addsub4d 9762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
241, 4readdcld 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
25 max0sub 11162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  +  C )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
277, 23, 263eqtr4rd 2484 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
2824renegcld 9771 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  e.  RR )
29 ifcl 3828 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( B  +  C )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  e.  RR )
3028, 8, 29sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3130recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3210, 13readdcld 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
3332recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  CC )
34 ifcl 3828 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3524, 8, 34sylancl 657 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3635recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3717, 21readdcld 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  RR )
3837recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  CC )
3931, 33, 36, 38addsubeq4d 9766 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  <->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
4027, 39mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
4140itgeq2dv 21218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x )
42 ibladdnc.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
43 ibladdnc.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
44 ibladdnc.m . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
451, 42, 4, 43, 44ibladdnc 28374 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
4624iblre 21230 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
4745, 46mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
4847simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
491iblre 21230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5042, 49mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5150simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L^1 )
524iblre 21230 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5343, 52mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5453simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e.  L^1 )
55 iblmbf 21204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
5642, 55syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
57 iblmbf 21204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5843, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5956, 1, 58, 4, 44mbfposadd 28364 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e. MblFn )
6010, 51, 13, 54, 59ibladdnc 28374 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e.  L^1 )
61 max1 11153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
628, 1, 61sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
63 max1 11153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
648, 4, 63sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
6510, 13, 62, 64addge0d 9911 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
66 iftrue 3794 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  ->  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6765, 66syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6867oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
6968mpteq2dva 4375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) ) )
7024, 44mbfneg 21087 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( B  +  C ) )  e. MblFn
)
711recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
724recnd 9408 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  CC )
7371, 72negdid 9728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  =  ( -u B  +  -u C ) )
7473oveq1d 6105 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( (
-u B  +  -u C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
7515recnd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  CC )
7619recnd 9408 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  CC )
7775, 76, 11, 14add4d 9589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  +  -u C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  +  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
78 negeq 9598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  -u B  =  -u 0 )
79 neg0 9651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  -u 0  =  0
8078, 79syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  -u B  =  0 )
81 0le0 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  0
8281, 80syl5breqr 4325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  0  <_ 
-u B )
83 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  -u B  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  -u B
)
8482, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  -u B
)
85 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  0  ->  B  =  0 )
8681, 85syl5breqr 4325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  0  ->  0  <_  B )
87 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  <_  B  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
8886, 87syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B )
8988, 85eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0 )
9080, 89oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
91 00id 9540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  +  0 )  =  0
9290, 91syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  0 )
9380, 84, 923eqtr4rd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
9493adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =  0 )  -> 
( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
95 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  B  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( -u B  +  B )
)
96 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  =  0  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  ( -u B  +  0 ) )
9795, 96ifsb 3799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u B  +  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B , 
( -u B  +  B
) ,  ( -u B  +  0 ) )
9871negne0bd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  =/=  0  <->  -u B  =/=  0 ) )
9998biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  -u B  =/=  0 )
1001le0neg2d 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <_ 
0 ) )
101 leloe 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u B  <_  0  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
10215, 8, 101sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <_  0  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
103100, 102bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  B  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) ) )
104 df-ne 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -u B  =/=  0  <->  -.  -u B  =  0 )
105 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  -u B  =  0  ->  ( -u B  <  0  <->  ( -u B  =  0  \/  -u B  <  0 ) ) )
106104, 105sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u B  =/=  0  ->  ( -u B  <  0  <->  ( -u B  =  0  \/  -u B  <  0
) ) )
107 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u B  =  0  \/  -u B  <  0
)  <->  ( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 ) )
108106, 107syl6rbb 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u B  =/=  0  ->  (
( -u B  <  0  \/  -u B  =  0 )  <->  -u B  <  0
) )
109103, 108sylan9bb 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -u B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <  0 ) )
11099, 109syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -u B  <  0 ) )
111 ltnle 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
11215, 8, 111sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
113112adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  <  0  <->  -.  0  <_  -u B ) )
114110, 113bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  B  <->  -.  0  <_ 
-u B ) )
11575, 71addcomd 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  B )  =  ( B  +  -u B ) )
11671negidd 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
117115, 116eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  B )  =  0 )
118117adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  B )  =  0 )
11975addid1d 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  0 )  =  -u B )
120119adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  0 )  =  -u B )
121114, 118, 120ifbieq12d 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  B ,  ( -u B  +  B ) ,  (
-u B  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  -u B ,  0 , 
-u B ) )
122 ifnot 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  -u B ,  0 ,  -u B )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )
123121, 122syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  B ,  ( -u B  +  B ) ,  (
-u B  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
12497, 123syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
12594, 124pm2.61dane 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
126 negeq 9598 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  -u C  =  -u 0 )
127126, 79syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  -u C  =  0 )
12881, 127syl5breqr 4325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  0  <_ 
-u C )
129 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0  <_  -u C  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  -u C
)
130128, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  -u C
)
131 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  =  0  ->  C  =  0 )
13281, 131syl5breqr 4325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  =  0  ->  0  <_  C )
133 iftrue 3794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  <_  C  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
134132, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C )
135134, 131eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0 )
136127, 135oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
137136, 91syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  0 )
138127, 130, 1373eqtr4rd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
139138adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =  0 )  -> 
( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
140 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  C  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( -u C  +  C )
)
141 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  =  0  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  ( -u C  +  0 ) )
142140, 141ifsb 3799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C , 
( -u C  +  C
) ,  ( -u C  +  0 ) )
14372negne0bd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  =/=  0  <->  -u C  =/=  0 ) )
144143biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  -u C  =/=  0 )
1454le0neg2d 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <_ 
0 ) )
146 leloe 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u C  <_  0  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
14719, 8, 146sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  <_  0  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
148145, 147bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  C  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) ) )
149 df-ne 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -u C  =/=  0  <->  -.  -u C  =  0 )
150 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( -.  -u C  =  0  ->  ( -u C  <  0  <->  ( -u C  =  0  \/  -u C  <  0 ) ) )
151149, 150sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -u C  =/=  0  ->  ( -u C  <  0  <->  ( -u C  =  0  \/  -u C  <  0
) ) )
152 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
-u C  =  0  \/  -u C  <  0
)  <->  ( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 ) )
153151, 152syl6rbb 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( -u C  =/=  0  ->  (
( -u C  <  0  \/  -u C  =  0 )  <->  -u C  <  0
) )
154148, 153sylan9bb 694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  -u C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <  0 ) )
155144, 154syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -u C  <  0 ) )
156 ltnle 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
15719, 8, 156sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
158157adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  <  0  <->  -.  0  <_  -u C ) )
159155, 158bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  C  <->  -.  0  <_ 
-u C ) )
16076, 72addcomd 9567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  C )  =  ( C  +  -u C ) )
16172negidd 9705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  -u C )  =  0 )
162160, 161eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  C )  =  0 )
163162adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  C )  =  0 )
16476addid1d 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  0 )  =  -u C )
165164adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  0 )  =  -u C )
166159, 163, 165ifbieq12d 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  ( -u C  +  C ) ,  (
-u C  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  -u C ,  0 , 
-u C ) )
167 ifnot 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  -u C ,  0 ,  -u C )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )
168166, 167syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  C ,  ( -u C  +  C ) ,  (
-u C  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
169142, 168syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
170139, 169pm2.61dane 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u C  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
171125, 170oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( -u B  +  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  +  ( -u C  +  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
17274, 77, 1713eqtrd 2477 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( -u ( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
173172mpteq2dva 4375 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
1741, 56mbfneg 21087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u B )  e. MblFn
)
1754, 58mbfneg 21087 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u C )  e. MblFn
)
17673mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |-> 
-u ( B  +  C ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( -u B  +  -u C ) ) )
177176, 70eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u B  +  -u C ) )  e. MblFn
)
178174, 15, 175, 19, 177mbfposadd 28364 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e. MblFn )
179173, 178eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( -u ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) ) )  e. MblFn )
18070, 28, 59, 32, 179mbfposadd 28364 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e. MblFn )
18169, 180eqeltrrd 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn )
182 max1 11153 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
1838, 28, 182sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
18430, 48, 32, 60, 181, 30, 32, 183, 65itgaddnclem1 28375 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x ) )
18547simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
18650simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 )
18753simprd 460 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 )
18817, 186, 21, 187, 178ibladdnc 28374 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
189 max1 11153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
1908, 15, 189sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
191 max1 11153 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
1928, 19, 191sylancr 658 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
19317, 21, 190, 192addge0d 9911 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
194 iftrue 3794 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  ->  if (
0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
195193, 194syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 )  =  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
196195oveq2d 6106 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
197196mpteq2dva 4375 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_ 
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
19871, 72, 18, 22add4d 9589 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
19984, 80eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( B  =  0  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  0 )
20085, 199oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
201200, 91syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  0 )
20285, 88, 2013eqtr4rd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  =  0  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
203202adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =  0 )  -> 
( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
204 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  -u B  ->  ( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( B  +  -u B
) )
205 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  =  0  -> 
( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  ( B  +  0 ) )
206204, 205ifsb 3799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u B , 
( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )
2071le0neg1d 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  0  <->  0  <_  -u B ) )
208 leloe 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <_  0  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
2091, 8, 208sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <_  0  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
210207, 209bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u B  <->  ( B  <  0  \/  B  =  0 ) ) )
211 df-ne 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =/=  0  <->  -.  B  =  0 )
212 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  B  =  0  -> 
( B  <  0  <->  ( B  =  0  \/  B  <  0 ) ) )
213211, 212sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =/=  0  ->  ( B  <  0  <->  ( B  =  0  \/  B  <  0 ) ) )
214 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  =  0  \/  B  <  0 )  <-> 
( B  <  0  \/  B  =  0
) )
215213, 214syl6rbb 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =/=  0  ->  (
( B  <  0  \/  B  =  0
)  <->  B  <  0
) )
216210, 215sylan9bb 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u B  <->  B  <  0 ) )
217 ltnle 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B )
)
2181, 8, 217sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
219218adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  <  0  <->  -.  0  <_  B ) )
220216, 219bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u B  <->  -.  0  <_  B ) )
221116adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  -u B )  =  0 )
22271addid1d 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
223222adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  0 )  =  B )
224220, 221, 223ifbieq12d 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  ( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  B ,  0 ,  B
) )
225 ifnot 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  B ,  0 ,  B
)  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )
226224, 225syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  ( B  +  -u B ) ,  ( B  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
227206, 226syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  B  =/=  0 )  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
228203, 227pm2.61dane 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  if (
0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )
229130, 127eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( C  =  0  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  0 )
230131, 229oveq12d 6108 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
231230, 91syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  0 )
232131, 134, 2313eqtr4rd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  =  0  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
233232adantl 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =  0 )  -> 
( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
234 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  -u C  ->  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  ( C  +  -u C
) )
235 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  =  0  -> 
( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  ( C  +  0 ) )
236234, 235ifsb 3799 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  -u C , 
( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )
2374le0neg1d 9907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  0  <->  0  <_  -u C ) )
238 leloe 9457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <_  0  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
2394, 8, 238sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <_  0  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
240237, 239bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
0  <_  -u C  <->  ( C  <  0  \/  C  =  0 ) ) )
241 df-ne 2606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( C  =/=  0  <->  -.  C  =  0 )
242 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  C  =  0  -> 
( C  <  0  <->  ( C  =  0  \/  C  <  0 ) ) )
243241, 242sylbi 195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( C  =/=  0  ->  ( C  <  0  <->  ( C  =  0  \/  C  <  0 ) ) )
244 orcom 387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  =  0  \/  C  <  0 )  <-> 
( C  <  0  \/  C  =  0
) )
245243, 244syl6rbb 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( C  =/=  0  ->  (
( C  <  0  \/  C  =  0
)  <->  C  <  0
) )
246240, 245sylan9bb 694 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u C  <->  C  <  0 ) )
247 ltnle 9450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C )
)
2484, 8, 247sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
249248adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  <  0  <->  -.  0  <_  C ) )
250246, 249bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  (
0  <_  -u C  <->  -.  0  <_  C ) )
251161adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  -u C )  =  0 )
25272addid1d 9565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
253252adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  0 )  =  C )
254250, 251, 253ifbieq12d 3813 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  ( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )  =  if ( -.  0  <_  C ,  0 ,  C
) )
255 ifnot 3831 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  if ( -.  0  <_  C ,  0 ,  C
)  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )
256254, 255syl6eq 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  ( C  +  -u C ) ,  ( C  +  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
257236, 256syl5eq 2485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  C  =/=  0 )  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
258233, 257pm2.61dane 2687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( C  +  if (
0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )
259228, 258oveq12d 6108 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( C  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
260198, 259eqtrd 2473 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( B  +  C
)  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )
261260mpteq2dva 4375 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) ) )
262261, 59eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( B  +  C )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn )
26344, 24, 178, 37, 262mbfposadd 28364 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  if ( 0  <_ 
( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ,  0 ) ) )  e. MblFn )
264197, 263eqeltrrd 2516 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )  e. MblFn
)
265 max1 11153 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
2668, 24, 265sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
26735, 185, 37, 188, 264, 35, 37, 266, 193itgaddnclem1 28375 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
26841, 184, 2673eqtr3d 2481 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
26930, 48itgcl 21220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
27010, 51, 13, 54, 59, 10, 13, 62, 64itgaddnclem1 28375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x ) )
27110, 51itgcl 21220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
27213, 54itgcl 21220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  e.  CC )
273271, 272addcld 9401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  e.  CC )
274270, 273eqeltrd 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
27535, 185itgcl 21220 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
27617, 186, 21, 187, 178, 17, 21, 190, 192itgaddnclem1 28375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
27717, 186itgcl 21220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
27821, 187itgcl 21220 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x  e.  CC )
279277, 278addcld 9401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x )  e.  CC )
280276, 279eqeltrd 2515 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
281269, 274, 275, 280addsubeq4d 9766 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  <-> 
( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) ) )
282268, 281mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
283270, 276oveq12d 6108 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
284271, 272, 277, 278addsub4d 9762 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
285282, 283, 2843eqtrd 2477 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
28624, 45itgreval 21233 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x ) )
2871, 42itgreval 21233 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
2884, 43itgreval 21233 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
289287, 288oveq12d 6108 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
290285, 286, 2893eqtr4d 2483 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   ifcif 3788   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347  (class class class)co 6090   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    + caddc 9281    < clt 9414    <_ cle 9415    - cmin 9591   -ucneg 9592  MblFncmbf 21053   L^1cibl 21056   S.citg 21057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cmp 18949  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107
This theorem is referenced by:  itgaddnc  28377
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