Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgaddnclem1 Unicode version

Theorem itgaddnclem1 26162
Description: Lemma for itgaddnc 26164; cf. itgaddlem1 19667. (Contributed by Brendan Leahy, 7-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
ibladdnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
ibladdnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
ibladdnc.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
ibladdnc.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
ibladdnc.m  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
itgaddnclem.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgaddnclem.2  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgaddnclem.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
itgaddnclem.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgaddnclem1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddnclem1
StepHypRef Expression
1 itgaddnclem.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgaddnclem.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
31, 2readdcld 9071 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
4 ibladdnc.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
5 ibladdnc.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
6 ibladdnc.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
7 ibladdnc.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1 )
8 ibladdnc.m . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e. MblFn )
94, 5, 6, 7, 8ibladdnc 26161 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L ^1 )
10 itgaddnclem.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
11 itgaddnclem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
121, 2, 10, 11addge0d 9558 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( B  +  C
) )
133, 9, 12itgposval 19640 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
141, 5, 10itgposval 19640 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
152, 7, 11itgposval 19640 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
1614, 15oveq12d 6058 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
17 iblmbf 19612 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
185, 17syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1918, 4mbfdm2 19483 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 mblss 19380 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 19388 . . . . . 6  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
24 elrege0 10963 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
251, 10, 24sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
26 0re 9047 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR
27 0le0 10037 . . . . . . . . 9  |-  0  <_  0
28 elrege0 10963 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0 ) )
2926, 27, 28mpbir2an 887 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,)  +oo )
3029a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
3125, 30ifclda 3726 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
3231adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
33 eldifn 3430 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
3433adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
35 iffalse 3706 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
3634, 35syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
37 iftrue 3705 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3837mpteq2ia 4251 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3938, 18syl5eqel 2488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
4021, 23, 32, 36, 39mbfss 19491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
4131adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
42 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
4341, 42fmptd 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
441, 10iblpos 19637 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
455, 44mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
4645simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
47 elrege0 10963 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
482, 11, 47sylanbrc 646 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
4948, 30ifclda 3726 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  ( 0 [,)  +oo )
)
5049adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
51 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
5250, 51fmptd 5852 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
532, 11iblpos 19637 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L ^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
547, 53mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5554simprd 450 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
5640, 43, 46, 52, 55itg2addnc 26158 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
57 reex 9037 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
5857a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
59 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
60 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
6158, 41, 50, 59, 60offval2 6281 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
62 iftrue 3705 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
6337, 62oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
64 iftrue 3705 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  ( B  +  C ) )
6563, 64eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
66 iffalse 3706 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
6735, 66oveq12d 6058 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
68 00id 9197 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
6967, 68syl6eq 2452 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  0 )
70 iffalse 3706 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  0 )
7169, 70eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
7265, 71pm2.61i 158 . . . . . 6  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )
7372mpteq2i 4252 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( B  +  C
) ,  0 ) )
7461, 73syl6eq 2452 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) )
7574fveq2d 5691 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  o F  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
7616, 56, 753eqtr2d 2442 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
7713, 76eqtr4d 2439 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   _Vcvv 2916    \ cdif 3277    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    +oocpnf 9073    <_ cle 9077   [,)cico 10874   volcvol 19313  MblFncmbf 19459   S.2citg2 19461   L ^1cibl 19462   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  itgaddnclem2  26163
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator