MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem2 Structured version   Unicode version

Theorem itgaddlem2 21962
Description: Lemma for itgadd 21963. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
itgadd.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgadd.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgaddlem2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddlem2
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 max0sub 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
4 itgadd.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
5 max0sub 11391 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
73, 6oveq12d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( B  +  C
) )
8 0re 9592 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
101, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
1110recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
12 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
134, 8, 12sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
151renegcld 9982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
16 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1715, 8, 16sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1817recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
194renegcld 9982 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
20 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2119, 8, 20sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2221recnd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
2311, 14, 18, 22addsub4d 9973 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
241, 4readdcld 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
25 max0sub 11391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  +  C )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
277, 23, 263eqtr4rd 2519 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
2824renegcld 9982 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  e.  RR )
29 ifcl 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( B  +  C )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  e.  RR )
3028, 8, 29sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3130recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3211, 14addcld 9611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  CC )
33 ifcl 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3424, 8, 33sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3534recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3618, 22addcld 9611 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  CC )
3731, 32, 35, 36addsubeq4d 9977 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  <->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
3827, 37mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
3938itgeq2dv 21920 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x )
40 itgadd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
41 itgadd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
42 itgadd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
43 itgadd.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
4440, 41, 42, 43ibladd 21959 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
4524iblre 21932 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
4644, 45mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
4746simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
4810, 13readdcld 9619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
491iblre 21932 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5041, 49mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5150simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L^1 )
524iblre 21932 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5343, 52mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5453simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e.  L^1 )
5510, 51, 13, 54ibladd 21959 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e.  L^1 )
56 max1 11382 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
578, 28, 56sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
58 max1 11382 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
598, 1, 58sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
60 max1 11382 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
618, 4, 60sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
6210, 13, 59, 61addge0d 10124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6330, 47, 48, 55, 30, 48, 57, 62itgaddlem1 21961 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x ) )
6446simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
6517, 21readdcld 9619 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  RR )
6650simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 )
6753simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 )
6817, 66, 21, 67ibladd 21959 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
69 max1 11382 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
708, 24, 69sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
71 max1 11382 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
728, 15, 71sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
73 max1 11382 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
748, 19, 73sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
7517, 21, 72, 74addge0d 10124 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
7634, 64, 65, 68, 34, 65, 70, 75itgaddlem1 21961 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
7739, 63, 763eqtr3d 2516 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
7830, 47itgcl 21922 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
7910, 51, 13, 54, 10, 13, 59, 61itgaddlem1 21961 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x ) )
8010, 51itgcl 21922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
8113, 54itgcl 21922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  e.  CC )
8280, 81addcld 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  e.  CC )
8379, 82eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
8434, 64itgcl 21922 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
8517, 66, 21, 67, 17, 21, 72, 74itgaddlem1 21961 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
8617, 66itgcl 21922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
8721, 67itgcl 21922 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x  e.  CC )
8886, 87addcld 9611 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x )  e.  CC )
8985, 88eqeltrd 2555 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
9078, 83, 84, 89addsubeq4d 9977 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  <-> 
( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) ) )
9177, 90mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
9279, 85oveq12d 6300 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9380, 81, 86, 87addsub4d 9973 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9491, 92, 933eqtrd 2512 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9524, 44itgreval 21935 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x ) )
961, 41itgreval 21935 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
974, 43itgreval 21935 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
9896, 97oveq12d 6300 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9994, 95, 983eqtr4d 2518 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    + caddc 9491    <_ cle 9625    - cmin 9801   -ucneg 9802   L^1cibl 21758   S.citg 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-rest 14671  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cmp 19650  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760  df-itg1 21761  df-itg2 21762  df-ibl 21763  df-itg 21764  df-0p 21809
This theorem is referenced by:  itgadd  21963
  Copyright terms: Public domain W3C validator