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Theorem itgaddlem2 21313
Description: Lemma for itgadd 21314. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
itgadd.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgadd.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itgaddlem2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddlem2
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 max0sub 11178 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
31, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  =  B )
4 itgadd.6 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
5 max0sub 11178 . . . . . . . . . 10  |-  ( C  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
64, 5syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  =  C )
73, 6oveq12d 6121 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( B  +  C
) )
8 0re 9398 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
9 ifcl 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  e.  RR )
101, 8, 9sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  RR )
1110recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  e.  CC )
12 ifcl 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  e.  RR )
134, 8, 12sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  RR )
1413recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  e.  CC )
151renegcld 9787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u B  e.  RR )
16 ifcl 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1715, 8, 16sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  RR )
1817recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  e.  CC )
194renegcld 9787 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u C  e.  RR )
20 ifcl 3843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u C  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2119, 8, 20sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  RR )
2221recnd 9424 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  e.  CC )
2311, 14, 18, 22addsub4d 9778 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  +  ( if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  -  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
241, 4readdcld 9425 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
25 max0sub 11178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  +  C )  e.  RR  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
277, 23, 263eqtr4rd 2486 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
2824renegcld 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  -u ( B  +  C )  e.  RR )
29 ifcl 3843 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( B  +  C )  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  e.  RR )
3028, 8, 29sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3130recnd 9424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3211, 14addcld 9417 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  CC )
33 ifcl 3843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( B  +  C
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3424, 8, 33sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  RR )
3534recnd 9424 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  e.  CC )
3618, 22addcld 9417 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  CC )
3731, 32, 35, 36addsubeq4d 9782 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  (
( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  <->  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  -  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 ) )  =  ( ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  -  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) ) )
3827, 37mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  =  ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) ) )
3938itgeq2dv 21271 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x )
40 itgadd.1 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
41 itgadd.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
42 itgadd.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
43 itgadd.4 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
4440, 41, 42, 43ibladd 21310 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
4524iblre 21283 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  ( B  +  C ) )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
4644, 45mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
4746simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
4810, 13readdcld 9425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  RR )
491iblre 21283 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5041, 49mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5150simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )  e.  L^1 )
524iblre 21283 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L^1 
/\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 ) ) )
5343, 52mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  e.  L^1  /\  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 ) )
5453simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )  e.  L^1 )
5510, 51, 13, 54ibladd 21310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )  e.  L^1 )
56 max1 11169 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
578, 28, 56sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u ( B  +  C
) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 ) )
58 max1 11169 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  B ,  B ,  0 ) )
598, 1, 58sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  B ,  B , 
0 ) )
60 max1 11169 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  0  <_  if (
0  <_  C ,  C ,  0 ) )
618, 4, 60sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) )
6210, 13, 59, 61addge0d 9927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C , 
0 ) ) )
6330, 47, 48, 55, 30, 48, 57, 62itgaddlem1 21312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x ) )
6446simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )  e.  L^1 )
6517, 21readdcld 9425 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  RR )
6650simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )  e.  L^1 )
6753simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  e.  L^1 )
6817, 66, 21, 67ibladd 21310 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  e.  L^1 )
69 max1 11169 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( B  +  C
)  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
708, 24, 69sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_ 
( B  +  C
) ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
71 max1 11169 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u B  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
728, 15, 71sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 ) )
73 max1 11169 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  -u C  e.  RR )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
748, 19, 73sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )
7517, 21, 72, 74addge0d 9927 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )
7634, 64, 65, 68, 34, 65, 70, 75itgaddlem1 21312 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  +  ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
7739, 63, 763eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
7830, 47itgcl 21273 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) , 
-u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
7910, 51, 13, 54, 10, 13, 59, 61itgaddlem1 21312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x ) )
8010, 51itgcl 21273 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  e.  CC )
8113, 54itgcl 21273 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  e.  CC )
8280, 81addcld 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  e.  CC )
8379, 82eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
8434, 64itgcl 21273 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  e.  CC )
8517, 66, 21, 67, 17, 21, 72, 74itgaddlem1 21312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
8617, 66itgcl 21273 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  e.  CC )
8721, 67itgcl 21273 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x  e.  CC )
8886, 87addcld 9417 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x )  e.  CC )
8985, 88eqeltrd 2517 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x  e.  CC )
9078, 83, 84, 89addsubeq4d 9782 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x )  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  +  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  <-> 
( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) ) )
9177, 90mpbid 210 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x ) )
9279, 85oveq12d 6121 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A ( if ( 0  <_  B ,  B , 
0 )  +  if ( 0  <_  C ,  C ,  0 ) )  _d x  -  S. A ( if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  +  if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 ) )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9380, 81, 86, 87addsub4d 9778 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  C ,  C , 
0 )  _d x )  -  ( S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x  +  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9491, 92, 933eqtrd 2479 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C
) ,  0 )  _d x )  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9524, 44itgreval 21286 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  ( B  +  C ) ,  ( B  +  C ) ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u ( B  +  C ) ,  -u ( B  +  C ) ,  0 )  _d x ) )
961, 41itgreval 21286 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x ) )
974, 43itgreval 21286 . . 3  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) )
9896, 97oveq12d 6121 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S. A if ( 0  <_  B ,  B ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u B ,  -u B ,  0 )  _d x )  +  ( S. A if ( 0  <_  C ,  C ,  0 )  _d x  -  S. A if ( 0  <_  -u C ,  -u C ,  0 )  _d x ) ) )
9994, 95, 983eqtr4d 2485 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3803   class class class wbr 4304    e. cmpt 4362  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294    + caddc 9297    <_ cle 9431    - cmin 9607   -ucneg 9608   L^1cibl 21109   S.citg 21110
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cc 8616  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-ofr 6333  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-omul 6937  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-acn 8124  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-4 10394  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ioc 11317  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-mod 11721  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cmp 19002  df-ovol 20960  df-vol 20961  df-mbf 21111  df-itg1 21112  df-itg2 21113  df-ibl 21114  df-itg 21115  df-0p 21160
This theorem is referenced by:  itgadd  21314
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