MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem1 Structured version   Unicode version

Theorem itgaddlem1 22519
Description: Lemma for itgadd 22521. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
itgadd.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgadd.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgadd.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
itgadd.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgaddlem1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddlem1
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgadd.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
31, 2readdcld 9652 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
4 itgadd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
5 itgadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
6 itgadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
7 itgadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
84, 5, 6, 7ibladd 22517 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
9 itgadd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
10 itgadd.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
111, 2, 9, 10addge0d 10167 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( B  +  C
) )
123, 8, 11itgposval 22492 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
131, 5, 9itgposval 22492 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
142, 7, 10itgposval 22492 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
1513, 14oveq12d 6295 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
161, 9iblpos 22489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
175, 16mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1817simpld 457 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1918, 1mbfdm2 22335 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 mblss 22232 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2119, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 22241 . . . . . 6  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
24 elrege0 11679 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
251, 9, 24sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
26 0e0icopnf 11682 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2825, 27ifclda 3916 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
2928adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
30 eldifn 3565 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
3130adantl 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
3231iffalsed 3895 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
33 iftrue 3890 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3433mpteq2ia 4476 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3534, 18syl5eqel 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
3621, 23, 29, 32, 35mbfss 22343 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
3728adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
38 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3937, 38fmptd 6032 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
4017simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
41 elrege0 11679 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
422, 10, 41sylanbrc 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4342, 27ifclda 3916 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
4443adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4531iffalsed 3895 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
46 iftrue 3890 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
4746mpteq2ia 4476 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
482, 10iblpos 22489 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
497, 48mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5049simpld 457 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5147, 50syl5eqel 2494 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  e. MblFn
)
5221, 23, 44, 45, 51mbfss 22343 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
5343adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
54 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
5553, 54fmptd 6032 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5649simprd 461 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
5736, 39, 40, 52, 55, 56itg2add 22456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
58 reex 9612 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
5958a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
60 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
61 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
6259, 37, 53, 60, 61offval2 6537 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
6333, 46oveq12d 6295 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
64 iftrue 3890 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  ( B  +  C ) )
6563, 64eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
66 iffalse 3893 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
67 iffalse 3893 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
6866, 67oveq12d 6295 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
69 00id 9788 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
7068, 69syl6eq 2459 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  0 )
71 iffalse 3893 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  0 )
7270, 71eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
7365, 72pm2.61i 164 . . . . . 6  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )
7473mpteq2i 4477 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( B  +  C
) ,  0 ) )
7562, 74syl6eq 2459 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) )
7675fveq2d 5852 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
7715, 57, 763eqtr2d 2449 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
7812, 77eqtr4d 2446 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   ifcif 3884   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   dom cdm 4822   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oFcof 6518   RRcr 9520   0cc0 9521    + caddc 9524   +oocpnf 9654    <_ cle 9658   [,)cico 11583   volcvol 22165  MblFncmbf 22313   S.2citg2 22315   L^1cibl 22316   S.citg 22317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-mod 12033  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cmp 20178  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318  df-itg1 22319  df-itg2 22320  df-ibl 22321  df-itg 22322  df-0p 22367
This theorem is referenced by:  itgaddlem2  22520
  Copyright terms: Public domain W3C validator