MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itgaddlem1 Structured version   Unicode version

Theorem itgaddlem1 21305
Description: Lemma for itgadd 21307. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itgadd.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgadd.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgadd.3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
itgadd.4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
itgadd.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
itgadd.6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
itgadd.7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
itgadd.8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
Assertion
Ref Expression
itgaddlem1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, V    ph, x
Allowed substitution hints:    B( x)    C( x)

Proof of Theorem itgaddlem1
StepHypRef Expression
1 itgadd.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  RR )
2 itgadd.6 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  RR )
31, 2readdcld 9418 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( B  +  C )  e.  RR )
4 itgadd.1 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
5 itgadd.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
6 itgadd.3 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  V )
7 itgadd.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1 )
84, 5, 6, 7ibladd 21303 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( B  +  C
) )  e.  L^1 )
9 itgadd.7 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  B )
10 itgadd.8 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  C )
111, 2, 9, 10addge0d 9920 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( B  +  C
) )
123, 8, 11itgposval 21278 . 2  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
131, 5, 9itgposval 21278 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
142, 7, 10itgposval 21278 . . . 4  |-  ( ph  ->  S. A C  _d x  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
1513, 14oveq12d 6114 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
161, 9iblpos 21275 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
175, 16mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
1817simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
1918, 1mbfdm2 21121 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
20 mblss 21019 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
2119, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
22 rembl 21027 . . . . . 6  |-  RR  e.  dom  vol
2322a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  dom  vol )
24 elrege0 11397 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
251, 9, 24sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
26 0e0icopnf 11400 . . . . . . . 8  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
2726a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2825, 27ifclda 3826 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
2928adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
30 eldifn 3484 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  -.  x  e.  A )
3130adantl 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  -.  x  e.  A )
32 iffalse 3804 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  0 )
34 iftrue 3802 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
3534mpteq2ia 4379 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  B )
3635, 18syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  B , 
0 ) )  e. MblFn
)
3721, 23, 29, 33, 36mbfss 21129 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  e. MblFn )
3828adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
39 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
4038, 39fmptd 5872 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
4117simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
42 elrege0 11397 . . . . . . . 8  |-  ( C  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
432, 10, 42sylanbrc 664 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,) +oo ) )
4443, 27ifclda 3826 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
4544adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
46 iffalse 3804 . . . . . 6  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
4731, 46syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  if (
x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
48 iftrue 3802 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
4948mpteq2ia 4379 . . . . . 6  |-  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  A  |->  C )
502, 10iblpos 21275 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e.  L^1  <->  ( (
x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) ) )
517, 50mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
5251simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  C )  e. MblFn )
5349, 52syl5eqel 2527 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  e. MblFn
)
5421, 23, 45, 47, 53mbfss 21129 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  e. MblFn )
5544adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
56 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
5755, 56fmptd 5872 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5851simprd 463 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  e.  RR )
5937, 40, 41, 54, 57, 58itg2add 21242 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) ) )
60 reex 9378 . . . . . . 7  |-  RR  e.  _V
6160a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
62 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
63 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
6461, 38, 55, 62, 63offval2 6341 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B , 
0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )
6534, 48oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  ( B  +  C ) )
66 iftrue 3802 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  ( B  +  C ) )
6765, 66eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  A  ->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
6832, 46oveq12d 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  ( 0  +  0 ) )
69 00id 9549 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  +  0 )  =  0
7068, 69syl6eq 2491 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  0 )
71 iffalse 3804 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )  =  0 )
7270, 71eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) )
7367, 72pm2.61i 164 . . . . . 6  |-  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )  =  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 )
7473mpteq2i 4380 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  ( if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  +  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
( B  +  C
) ,  0 ) )
7564, 74syl6eq 2491 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) )
7675fveq2d 5700 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  oF  +  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) ) )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
7715, 59, 763eqtr2d 2481 . 2  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  ( B  +  C ) ,  0 ) ) ) )
7812, 77eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  S. A ( B  +  C )  _d x  =  ( S. A B  _d x  +  S. A C  _d x ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2977    \ cdif 3330    C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oFcof 6323   RRcr 9286   0cc0 9287    + caddc 9290   +oocpnf 9420    <_ cle 9424   [,)cico 11307   volcvol 20952  MblFncmbf 21099   S.2citg2 21101   L^1cibl 21102   S.citg 21103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cmp 18995  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-ibl 21107  df-itg 21108  df-0p 21153
This theorem is referenced by:  itgaddlem2  21306
  Copyright terms: Public domain W3C validator