Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itgabsnc Unicode version

Theorem itgabsnc 26173
Description: Choice-free analogue of itgabs 19679. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
itgabsnc.m1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
itgabsnc.m2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  B ) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgabsnc  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, A    ph, x    x, V
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgabsnc
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itgabsnc.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 itgabsnc.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 )
31, 2itgcl 19628 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
43cjcld 11956 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
51ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  V )
6 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  B  e.  V
7 nfcsb1v 3243 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
87nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  V
9 csbeq1a 3219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
109eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  V  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  V
) )
116, 8, 10cbvral 2888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  V  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  V )
125, 11sylib 189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  V )
1312r19.21bi 2764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  V )
14 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
1514, 7, 9cbvmpt 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ B )
1615, 2syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  L ^1 )
17 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y
( ( * `  S. A B  _d x )  x.  B )
18 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x *
19 nfitg1 19618 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x S. A B  _d x
2018, 19nffv 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( * `  S. A B  _d x
)
21 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x  x.
2220, 21, 7nfov 6063 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B )
239oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  B )  =  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )
2417, 22, 23cbvmpt 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  B ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )
25 itgabsnc.m2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  B ) )  e. MblFn )
2624, 25syl5eqelr 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e. MblFn )
274, 13, 16, 26iblmulc2nc 26169 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1 )
284adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
* `  S. A B  _d x )  e.  CC )
29 iblmbf 19612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L ^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
302, 29syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
3130, 1mbfmptcl 19482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
3231ralrimiva 2749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
33 nfv 1626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ y  B  e.  CC
347nfel1 2550 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  CC
359eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
3633, 34, 35cbvral 2888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
3732, 36sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
3837r19.21bi 2764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
3928, 38mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  CC )
4039iblcn 19643 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 ) ) )
4127, 40mpbid 202 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 ) )
4241simpld 446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 )
4328, 38absmuld 12211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
4443mpteq2dva 4255 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
4530, 1mbfdm2 19483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
4628abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  e.  RR )
4738abscld 12193 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  e.  RR )
48 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  X.  { ( abs `  ( * `  S. A B  _d x
) ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
4948a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  ( * `
 S. A B  _d x ) ) ) )
50 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( abs `  B
)
51 nfcv 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x abs
5251, 7nffv 5694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )
539fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
5450, 52, 53cbvmpt 4259 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
5554a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
5645, 46, 47, 49, 55offval2 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
5744, 56eqtr4d 2439 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( A  X.  {
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) ) )
58 itgabsnc.m1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
594abscld 12193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  e.  RR )
6031abscld 12193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
6160recnd 9070 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
62 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )
6361, 62fmptd 5852 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) : A --> CC )
6458, 59, 63mbfmulc2re 19493 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) )  e. MblFn
)
6557, 64eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e. MblFn )
6639, 27, 65iblabsnc 26168 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L ^1 )
6739recld 11954 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
6839abscld 12193 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
6939releabsd 12208 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  <_ 
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
7042, 66, 67, 68, 69itgle 19654 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  <_  S. A
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
713abscld 12193 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
7271recnd 9070 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
7372sqvald 11475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
743absvalsqd 12199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
753, 4mulcomd 9065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) )  =  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x ) )
769, 14, 7cbvitg 19620 . . . . . . . . . . . 12  |-  S. A B  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
7776oveq2i 6051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)
784, 13, 16, 26itgmulc2nc 26172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)  =  S. A
( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
7977, 78syl5eq 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )
8074, 75, 793eqtrd 2440 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
8180fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( Re
`  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y ) )
8271resqcld 11504 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  e.  RR )
8382rered 11984 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x ) ^
2 ) )
84 ovex 6065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  _V
8584a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  _V )
8685, 27itgre 19645 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  S. A ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A
( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
8781, 83, 863eqtr3d 2444 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
8873, 87eqtr3d 2438 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  =  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
8953, 50, 52cbvitg 19620 . . . . . . . 8  |-  S. A
( abs `  B
)  _d x  =  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y
9089oveq2i 6051 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B )  _d x )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
911, 2, 58iblabsnc 26168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L ^1 )
9254, 91syl5eqelr 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L ^1 )
9371adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )
94 fconstmpt 4880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  S. A B  _d x
) )
9594a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( abs `  S. A B  _d x
) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  S. A B  _d x
) ) )
9645, 93, 47, 95, 55offval2 6281 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x
) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
9758, 71, 63mbfmulc2re 19493 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x
) } )  o F  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )  e. MblFn )
9896, 97eqeltrrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e. MblFn )
9972, 47, 92, 98itgmulc2nc 26172 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
1003adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
101100abscjd 12207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  =  ( abs `  S. A B  _d x ) )
102101oveq1d 6055 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
10343, 102eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
104103itgeq2dv 19626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
10599, 104eqtr4d 2439 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
10690, 105syl5eq 2448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
10770, 88, 1063brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_ 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
108107adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
10971adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
11060, 91itgrecl 19642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
111110adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
112 simpr 448 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )
113 lemul2 9819 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR  /\  S. A ( abs `  B
)  _d x  e.  RR  /\  ( ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  S. A B  _d x
) ) )  -> 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
114109, 111, 109, 112, 113syl112anc 1188 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
115108, 114mpbird 224 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
116115ex 424 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
11731absge0d 12201 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
11891, 60, 117itgge0 19655 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
119 breq1 4175 . . 3  |-  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x
)  ->  ( 0  <_  S. A ( abs `  B )  _d x  <->  ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
120118, 119syl5ibcom 212 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
1213absge0d 12201 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. A B  _d x ) )
122 0re 9047 . . . 4  |-  0  e.  RR
123 leloe 9117 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
124122, 71, 123sylancr 645 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
125121, 124mpbid 202 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
126116, 120, 125mpjaod 371 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916   [_csb 3211   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    x. cmul 8951    < clt 9076    <_ cle 9077   2c2 10005   ^cexp 11337   *ccj 11856   Recre 11857   Imcim 11858   abscabs 11994   volcvol 19313  MblFncmbf 19459   L ^1cibl 19462   S.citg 19463
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  26177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-ibl 19468  df-itg 19469  df-0p 19515
  Copyright terms: Public domain W3C validator