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Theorem itgabsnc 28386
Description: Choice-free analogue of itgabs 21271. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgabsnc.m1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
itgabsnc.m2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgabsnc  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B    ph, x, y   
x, V, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgabsnc
StepHypRef Expression
1 itgabsnc.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 itgabsnc.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
31, 2itgcl 21220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
43cjcld 12681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
5 iblmbf 21204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
62, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
76, 1mbfmptcl 21074 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
9 nfv 1678 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  B  e.  CC
10 nfcsb1v 3301 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
1110nfel1 2587 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  CC
12 csbeq1a 3294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
1312eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
149, 11, 13cbvral 2941 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
158, 14sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
1615r19.21bi 2812 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
17 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
1817, 10, 12cbvmpt 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ B )
1918, 2syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  L^1 )
20 itgabsnc.m2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e. MblFn )
214, 16, 19, 20iblmulc2nc 28382 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1 )
224adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
* `  S. A B  _d x )  e.  CC )
2322, 16mulcld 9402 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  CC )
2423iblcn 21235 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 ) ) )
2521, 24mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 ) )
2625simpld 456 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 )
2722, 16absmuld 12936 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
2827mpteq2dva 4375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
296, 1mbfdm2 21075 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3022abscld 12918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  e.  RR )
3116abscld 12918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  e.  RR )
32 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  X.  { ( abs `  ( * `  S. A B  _d x
) ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  ( * `
 S. A B  _d x ) ) ) )
34 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( abs `  B
)
35 nfcv 2577 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x abs
3635, 10nffv 5695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )
3712fveq2d 5692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
3834, 36, 37cbvmpt 4379 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
4029, 30, 31, 33, 39offval2 6335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
4128, 40eqtr4d 2476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( A  X.  {
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) ) )
42 itgabsnc.m1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
434abscld 12918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  e.  RR )
447abscld 12918 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
4544recnd 9408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
46 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )
4745, 46fmptd 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) : A --> CC )
4842, 43, 47mbfmulc2re 21085 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) )  e. MblFn
)
4941, 48eqeltrd 2515 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e. MblFn )
5023, 21, 49iblabsnc 28381 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 )
5123recld 12679 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
5223abscld 12918 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
5323releabsd 12933 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  <_ 
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
5426, 50, 51, 52, 53itgle 21246 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  <_  S. A
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
553abscld 12918 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
5655recnd 9408 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
5756sqvald 12001 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
583absvalsqd 12924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
593, 4mulcomd 9403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) )  =  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x ) )
6012, 17, 10cbvitg 21212 . . . . . . . . . . . 12  |-  S. A B  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
6160oveq2i 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)
624, 16, 19, 20itgmulc2nc 28385 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)  =  S. A
( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6361, 62syl5eq 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6458, 59, 633eqtrd 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6564fveq2d 5692 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( Re
`  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y ) )
6655resqcld 12030 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  e.  RR )
6766rered 12709 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x ) ^
2 ) )
68 ovex 6115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  _V )
7069, 21itgre 21237 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  S. A ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A
( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7165, 67, 703eqtr3d 2481 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7257, 71eqtr3d 2475 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  =  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7337, 34, 36cbvitg 21212 . . . . . . . 8  |-  S. A
( abs `  B
)  _d x  =  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y
7473oveq2i 6101 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B )  _d x )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
751, 2, 42iblabsnc 28381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
7638, 75syl5eqelr 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1 )
7755adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )
78 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  S. A B  _d x
) )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( abs `  S. A B  _d x
) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  S. A B  _d x
) ) )
8029, 77, 31, 79, 39offval2 6335 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x
) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
8142, 55, 47mbfmulc2re 21085 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x
) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )  e. MblFn )
8280, 81eqeltrrd 2516 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e. MblFn )
8356, 31, 76, 82itgmulc2nc 28385 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
843adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
8584abscjd 12932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  =  ( abs `  S. A B  _d x ) )
8685oveq1d 6105 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
8727, 86eqtrd 2473 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
8887itgeq2dv 21218 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
8983, 88eqtr4d 2476 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
9074, 89syl5eq 2485 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
9154, 72, 903brtr4d 4319 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_ 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
9291adantr 462 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
9355adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
9444, 75itgrecl 21234 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
9594adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
96 simpr 458 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )
97 lemul2 10178 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR  /\  S. A ( abs `  B
)  _d x  e.  RR  /\  ( ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  S. A B  _d x
) ) )  -> 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
9893, 95, 93, 96, 97syl112anc 1217 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
9992, 98mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
10099ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
1017absge0d 12926 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
10275, 44, 101itgge0 21247 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
103 breq1 4292 . . 3  |-  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x
)  ->  ( 0  <_  S. A ( abs `  B )  _d x  <->  ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
104102, 103syl5ibcom 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
1053absge0d 12926 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. A B  _d x ) )
106 0re 9382 . . . 4  |-  0  e.  RR
107 leloe 9457 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
108106, 55, 107sylancr 658 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
109105, 108mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
110100, 104, 109mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   [_csb 3285   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   dom cdm 4836   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oFcof 6317   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415   2c2 10367   ^cexp 11861   *ccj 12581   Recre 12582   Imcim 12583   abscabs 12719   volcvol 20906  MblFncmbf 21053   L^1cibl 21056   S.citg 21057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cmp 18949  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-ibl 21061  df-itg 21062  df-0p 21107
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  28390  ftc2nc  28401
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