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Theorem itgabsnc 28480
Description: Choice-free analogue of itgabs 21327. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgabsnc.m1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
itgabsnc.m2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgabsnc  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B    ph, x, y   
x, V, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgabsnc
StepHypRef Expression
1 itgabsnc.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 itgabsnc.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
31, 2itgcl 21276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
43cjcld 12700 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
5 iblmbf 21260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
62, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
76, 1mbfmptcl 21130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
9 nfv 1673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  B  e.  CC
10 nfcsb1v 3319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
1110nfel1 2604 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  CC
12 csbeq1a 3312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
1312eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
149, 11, 13cbvral 2958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
158, 14sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
1615r19.21bi 2829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
17 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
1817, 10, 12cbvmpt 4397 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ B )
1918, 2syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  L^1 )
20 itgabsnc.m2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e. MblFn )
214, 16, 19, 20iblmulc2nc 28476 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1 )
224adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
* `  S. A B  _d x )  e.  CC )
2322, 16mulcld 9421 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  CC )
2423iblcn 21291 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 ) ) )
2521, 24mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 ) )
2625simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 )
2722, 16absmuld 12955 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
2827mpteq2dva 4393 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
296, 1mbfdm2 21131 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3022abscld 12937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  e.  RR )
3116abscld 12937 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  e.  RR )
32 fconstmpt 4897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  X.  { ( abs `  ( * `  S. A B  _d x
) ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  ( * `
 S. A B  _d x ) ) ) )
34 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( abs `  B
)
35 nfcv 2589 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x abs
3635, 10nffv 5713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )
3712fveq2d 5710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
3834, 36, 37cbvmpt 4397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
4029, 30, 31, 33, 39offval2 6351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
4128, 40eqtr4d 2478 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( A  X.  {
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) ) )
42 itgabsnc.m1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
434abscld 12937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  e.  RR )
447abscld 12937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
4544recnd 9427 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
46 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )
4745, 46fmptd 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) : A --> CC )
4842, 43, 47mbfmulc2re 21141 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) )  e. MblFn
)
4941, 48eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e. MblFn )
5023, 21, 49iblabsnc 28475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 )
5123recld 12698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
5223abscld 12937 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
5323releabsd 12952 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  <_ 
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
5426, 50, 51, 52, 53itgle 21302 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  <_  S. A
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
553abscld 12937 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
5655recnd 9427 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
5756sqvald 12020 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
583absvalsqd 12943 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
593, 4mulcomd 9422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) )  =  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x ) )
6012, 17, 10cbvitg 21268 . . . . . . . . . . . 12  |-  S. A B  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
6160oveq2i 6117 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)
624, 16, 19, 20itgmulc2nc 28479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)  =  S. A
( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6361, 62syl5eq 2487 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6458, 59, 633eqtrd 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6564fveq2d 5710 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( Re
`  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y ) )
6655resqcld 12049 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  e.  RR )
6766rered 12728 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x ) ^
2 ) )
68 ovex 6131 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  _V )
7069, 21itgre 21293 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  S. A ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A
( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7165, 67, 703eqtr3d 2483 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7257, 71eqtr3d 2477 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  =  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7337, 34, 36cbvitg 21268 . . . . . . . 8  |-  S. A
( abs `  B
)  _d x  =  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y
7473oveq2i 6117 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B )  _d x )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
751, 2, 42iblabsnc 28475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
7638, 75syl5eqelr 2528 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1 )
7755adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )
78 fconstmpt 4897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  S. A B  _d x
) )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( abs `  S. A B  _d x
) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  S. A B  _d x
) ) )
8029, 77, 31, 79, 39offval2 6351 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x
) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
8142, 55, 47mbfmulc2re 21141 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x
) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )  e. MblFn )
8280, 81eqeltrrd 2518 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e. MblFn )
8356, 31, 76, 82itgmulc2nc 28479 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
843adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
8584abscjd 12951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  =  ( abs `  S. A B  _d x ) )
8685oveq1d 6121 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
8727, 86eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
8887itgeq2dv 21274 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
8983, 88eqtr4d 2478 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
9074, 89syl5eq 2487 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
9154, 72, 903brtr4d 4337 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_ 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
9291adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
9355adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
9444, 75itgrecl 21290 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
9594adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
96 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )
97 lemul2 10197 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR  /\  S. A ( abs `  B
)  _d x  e.  RR  /\  ( ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  S. A B  _d x
) ) )  -> 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
9893, 95, 93, 96, 97syl112anc 1222 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
9992, 98mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
10099ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
1017absge0d 12945 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
10275, 44, 101itgge0 21303 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
103 breq1 4310 . . 3  |-  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x
)  ->  ( 0  <_  S. A ( abs `  B )  _d x  <->  ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
104102, 103syl5ibcom 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
1053absge0d 12945 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. A B  _d x ) )
106 0re 9401 . . . 4  |-  0  e.  RR
107 leloe 9476 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
108106, 55, 107sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
109105, 108mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
110100, 104, 109mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2730   _Vcvv 2987   [_csb 3303   {csn 3892   class class class wbr 4307    e. cmpt 4365    X. cxp 4853   dom cdm 4855   ` cfv 5433  (class class class)co 6106    oFcof 6333   CCcc 9295   RRcr 9296   0cc0 9297    x. cmul 9302    < clt 9433    <_ cle 9434   2c2 10386   ^cexp 11880   *ccj 12600   Recre 12601   Imcim 12602   abscabs 12738   volcvol 20962  MblFncmbf 21109   L^1cibl 21112   S.citg 21113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-of 6335  df-ofr 6336  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-er 7116  df-map 7231  df-pm 7232  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-fi 7676  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-xneg 11104  df-xadd 11105  df-xmul 11106  df-ioo 11319  df-ico 11321  df-icc 11322  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-sum 13179  df-rest 14376  df-topgen 14397  df-psmet 17824  df-xmet 17825  df-met 17826  df-bl 17827  df-mopn 17828  df-top 18518  df-bases 18520  df-topon 18521  df-cmp 19005  df-ovol 20963  df-vol 20964  df-mbf 21114  df-itg1 21115  df-itg2 21116  df-ibl 21117  df-itg 21118  df-0p 21163
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  28484  ftc2nc  28495
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