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Theorem itgabsnc 29661
Description: Choice-free analogue of itgabs 21976. (Contributed by Brendan Leahy, 19-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 19-Jun-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
itgabsnc.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
itgabsnc.2  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
itgabsnc.m1  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
itgabsnc.m2  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e. MblFn )
Assertion
Ref Expression
itgabsnc  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Distinct variable groups:    x, y, A    y, B    ph, x, y   
x, V, y
Allowed substitution hint:    B( x)

Proof of Theorem itgabsnc
StepHypRef Expression
1 itgabsnc.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  V )
2 itgabsnc.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 )
31, 2itgcl 21925 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
43cjcld 12988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( * `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
5 iblmbf 21909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  A  |->  B )  e.  L^1 
->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
62, 5syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  B )  e. MblFn )
76, 1mbfmptcl 21779 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  B  e.  CC )
87ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  B  e.  CC )
9 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ y  B  e.  CC
10 nfcsb1v 3451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x [_ y  /  x ]_ B
1110nfel1 2645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ x [_ y  /  x ]_ B  e.  CC
12 csbeq1a 3444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  y  ->  B  =  [_ y  /  x ]_ B )
1312eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( B  e.  CC  <->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC ) )
149, 11, 13cbvral 3084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. x  e.  A  B  e.  CC  <->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
158, 14sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. y  e.  A  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
1615r19.21bi 2833 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  [_ y  /  x ]_ B  e.  CC )
17 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ y B
1817, 10, 12cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  B )  =  ( y  e.  A  |->  [_ y  /  x ]_ B )
1918, 2syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |-> 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  L^1 )
20 itgabsnc.m2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e. MblFn )
214, 16, 19, 20iblmulc2nc 29657 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1 )
224adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
* `  S. A B  _d x )  e.  CC )
2322, 16mulcld 9612 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  CC )
2423iblcn 21940 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1  <->  ( (
y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 ) ) )
2521, 24mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  A  |->  ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1  /\  ( y  e.  A  |->  ( Im `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 ) )
2625simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 )
2722, 16absmuld 13244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
2827mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
296, 1mbfdm2 21780 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3022abscld 13226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  e.  RR )
3116abscld 13226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  e.  RR )
32 fconstmpt 5042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  X.  { ( abs `  ( * `  S. A B  _d x
) ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
3332a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  ( * `
 S. A B  _d x ) ) ) )
34 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ y
( abs `  B
)
35 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x abs
3635, 10nffv 5871 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )
3712fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  y  ->  ( abs `  B )  =  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
3834, 36, 37cbvmpt 4537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )
3938a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
4029, 30, 31, 33, 39offval2 6538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
4128, 40eqtr4d 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  =  ( ( A  X.  {
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) ) )
42 itgabsnc.m1 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e. MblFn )
434abscld 13226 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  e.  RR )
447abscld 13226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  RR )
4544recnd 9618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( abs `  B )  e.  CC )
46 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) )  =  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )
4745, 46fmptd 6043 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) : A --> CC )
4842, 43, 47mbfmulc2re 21790 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) ) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) ) )  e. MblFn
)
4941, 48eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e. MblFn )
5023, 21, 49iblabsnc 29656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e.  L^1 )
5123recld 12986 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
5223abscld 13226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  e.  RR )
5323releabsd 13241 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
Re `  ( (
* `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  <_ 
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
5426, 50, 51, 52, 53itgle 21951 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  <_  S. A
( abs `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
553abscld 13226 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
5655recnd 9618 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  CC )
5756sqvald 12271 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
583absvalsqd 13232 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) ) )
593, 4mulcomd 9613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( S. A B  _d x  x.  (
* `  S. A B  _d x ) )  =  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x ) )
6012, 17, 10cbvitg 21917 . . . . . . . . . . . 12  |-  S. A B  _d x  =  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
6160oveq2i 6293 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)
624, 16, 19, 20itgmulc2nc 29660 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A [_ y  /  x ]_ B  _d y
)  =  S. A
( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6361, 62syl5eq 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  S. A B  _d x )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6458, 59, 633eqtrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
6564fveq2d 5868 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( Re
`  S. A ( ( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  _d y ) )
6655resqcld 12300 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  e.  RR )
6766rered 13016 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  (
( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x ) ^
2 ) )
68 ovex 6307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  e.  _V
6968a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B )  e.  _V )
7069, 21itgre 21942 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Re `  S. A ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A
( Re `  (
( * `  S. A B  _d x
)  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7165, 67, 703eqtr3d 2516 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
) ^ 2 )  =  S. A ( Re `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7257, 71eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  =  S. A ( Re
`  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
7337, 34, 36cbvitg 21917 . . . . . . . 8  |-  S. A
( abs `  B
)  _d x  =  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y
7473oveq2i 6293 . . . . . . 7  |-  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B )  _d x )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )
751, 2, 42iblabsnc 29656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B
) )  e.  L^1 )
7638, 75syl5eqelr 2560 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  e.  L^1 )
7755adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )
78 fconstmpt 5042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x ) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  S. A B  _d x
) )
7978a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  X.  {
( abs `  S. A B  _d x
) } )  =  ( y  e.  A  |->  ( abs `  S. A B  _d x
) ) )
8029, 77, 31, 79, 39offval2 6538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x
) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )  =  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) ) )
8142, 55, 47mbfmulc2re 21790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  X.  { ( abs `  S. A B  _d x
) } )  oF  x.  ( x  e.  A  |->  ( abs `  B ) ) )  e. MblFn )
8280, 81eqeltrrd 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( y  e.  A  |->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )  e. MblFn )
8356, 31, 76, 82itgmulc2nc 29660 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
843adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  S. A B  _d x  e.  CC )
8584abscjd 13240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( * `  S. A B  _d x ) )  =  ( abs `  S. A B  _d x ) )
8685oveq1d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  (
* `  S. A B  _d x ) )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
8727, 86eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  A )  ->  ( abs `  ( ( * `
 S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  =  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) ) )
8887itgeq2dv 21923 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y  =  S. A ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
8983, 88eqtr4d 2511 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  [_ y  /  x ]_ B )  _d y )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x.  [_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
9074, 89syl5eq 2520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x )  =  S. A ( abs `  ( ( * `  S. A B  _d x )  x. 
[_ y  /  x ]_ B ) )  _d y )
9154, 72, 903brtr4d 4477 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_ 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
9291adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x ) )  <_  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
9355adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR )
9444, 75itgrecl 21939 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
9594adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  S. A ( abs `  B )  _d x  e.  RR )
96 simpr 461 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )
97 lemul2 10391 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  S. A B  _d x
)  e.  RR  /\  S. A ( abs `  B
)  _d x  e.  RR  /\  ( ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR  /\  0  < 
( abs `  S. A B  _d x
) ) )  -> 
( ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
9893, 95, 93, 96, 97syl112anc 1232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x  <->  ( ( abs `  S. A B  _d x )  x.  ( abs `  S. A B  _d x
) )  <_  (
( abs `  S. A B  _d x
)  x.  S. A
( abs `  B
)  _d x ) ) )
9992, 98mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  <  ( abs `  S. A B  _d x ) )  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
10099ex 434 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
1017absge0d 13234 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( abs `  B
) )
10275, 44, 101itgge0 21952 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
103 breq1 4450 . . 3  |-  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x
)  ->  ( 0  <_  S. A ( abs `  B )  _d x  <->  ( abs `  S. A B  _d x )  <_  S. A ( abs `  B
)  _d x ) )
104102, 103syl5ibcom 220 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  =  ( abs `  S. A B  _d x )  -> 
( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x ) )
1053absge0d 13234 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( abs `  S. A B  _d x ) )
106 0re 9592 . . . 4  |-  0  e.  RR
107 leloe 9667 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( abs `  S. A B  _d x )  e.  RR )  ->  (
0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
108106, 55, 107sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  ( abs `  S. A B  _d x )  <->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x
)  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x
) ) ) )
109105, 108mpbid 210 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <  ( abs `  S. A B  _d x )  \/  0  =  ( abs `  S. A B  _d x ) ) )
110100, 104, 109mpjaod 381 1  |-  ( ph  ->  ( abs `  S. A B  _d x
)  <_  S. A
( abs `  B
)  _d x )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   [_csb 3435   {csn 4027   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   dom cdm 4999   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oFcof 6520   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488    x. cmul 9493    < clt 9624    <_ cle 9625   2c2 10581   ^cexp 12130   *ccj 12888   Recre 12889   Imcim 12890   abscabs 13026   volcvol 21610  MblFncmbf 21758   L^1cibl 21761   S.citg 21762
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11961  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-ibl 21766  df-itg 21767  df-0p 21812
This theorem is referenced by:  ftc1cnnclem  29665  ftc2nc  29676
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