MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Unicode version

Theorem itg2uba 22578
Description: Approximate version of itg2ub 22568. If  F approximately dominates  G, then  S.1 G  <_  S.2 F. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2uba.2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
itg2uba.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2uba.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itg2uba.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2uba  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 22520 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
31, 2syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR )
43rexrd 9689 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR* )
5 itg2uba.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 itg2uba.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
7 nulmbl 22366 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  =  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
85, 6, 7syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
9 cmmbl 22365 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  A )  e.  dom  vol )
108, 9syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  \  A
)  e.  dom  vol )
11 ifnot 3960 . . . . . . . 8  |-  if ( -.  x  e.  A ,  ( G `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )
12 eldif 3452 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  A ) )
1312baibr 912 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  A  <->  x  e.  ( RR  \  A ) ) )
1413ifbid 3937 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( -.  x  e.  A ,  ( G `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1511, 14syl5eqr 2484 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1615mpteq2ia 4508 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1716i1fres 22540 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  ( RR  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 )
181, 10, 17syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 )
19 itg1cl 22520 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e.  RR )
2018, 19syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e.  RR )
2120rexrd 9689 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e. 
RR* )
22 itg2uba.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
23 itg2cl 22567 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
2422, 23syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
25 i1ff 22511 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
261, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
27 eldifi 3593 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  y  e.  RR )
28 ffvelrn 6035 . . . . . 6  |-  ( ( G : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `  y
)  e.  RR )
2926, 27, 28syl2an 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
3029leidd 10179 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  <_  ( G `  y )
)
31 eldif 3452 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  A ) )
32 eleq1 2501 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
33 fveq2 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
3432, 33ifbieq2d 3940 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) ) )
35 eqid 2429 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )
36 c0ex 9636 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
37 fvex 5891 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 y )  e. 
_V
3836, 37ifex 3983 . . . . . . . 8  |-  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) )  e.  _V
3934, 35, 38fvmpt 5964 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) ) )
40 iffalse 3924 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  0 ,  ( G `  y ) )  =  ( G `
 y ) )
4139, 40sylan9eq 2490 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4231, 41sylbi 198 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4342adantl 467 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4430, 43breqtrrd 4452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  <_  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
) )
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 22547 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) ) )
46 iftrue 3921 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  0 )
4746adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  0 )
4822ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
49 elxrge0 11739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
5048, 49sylib 199 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5150simprd 464 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
5251adantr 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
5347, 52eqbrtrd 4446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) )
54 iffalse 3924 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
5554adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x
) )  =  ( G `  x ) )
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
5712, 56sylan2br 478 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( G `  x
)  <_  ( F `  x ) )
5857anassrs 652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  <_  ( F `  x ) )
5955, 58eqbrtrd 4446 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x
) )  <_  ( F `  x )
)
6053, 59pm2.61dan 798 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) )
6160ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) )
62 reex 9629 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
64 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
6536, 64ifex 3983 . . . . . 6  |-  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  e.  _V
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  e.  _V )
67 fvex 5891 . . . . . 6  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
69 eqidd 2430 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )
7022feqmptd 5934 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
7163, 66, 68, 69, 70ofrfval2 6563 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) ) )
7261, 71mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  oR  <_  F )
73 itg2ub 22568 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
7422, 18, 72, 73syl3anc 1264 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
754, 21, 24, 45, 74xrletrd 11459 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   ifcif 3915   class class class wbr 4426    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oRcofr 6544   RRcr 9537   0cc0 9538   +oocpnf 9671   RR*cxr 9673    <_ cle 9675   [,]cicc 11638   vol*covol 22294   volcvol 22295   S.1citg1 22450   S.2citg2 22451
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-ofr 6546  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fi 7931  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-rest 15280  df-topgen 15301  df-psmet 18897  df-xmet 18898  df-met 18899  df-bl 18900  df-mopn 18901  df-top 19852  df-bases 19853  df-topon 19854  df-cmp 20333  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455  df-itg2 22456
This theorem is referenced by:  itg2lea  22579  itg2split  22584
  Copyright terms: Public domain W3C validator