MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2uba Structured version   Unicode version

Theorem itg2uba 21977
Description: Approximate version of itg2ub 21967. If  F approximately dominates  G, then  S.1 G  <_  S.2 F. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2uba.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2uba.2  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
itg2uba.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2uba.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itg2uba.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg2uba  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2uba
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2uba.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
2 itg1cl 21919 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR )
43rexrd 9644 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR* )
5 itg2uba.3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 itg2uba.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
7 nulmbl 21773 . . . . . . 7  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol* `  A )  =  0 )  ->  A  e.  dom  vol )
85, 6, 7syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
9 cmmbl 21772 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  A )  e.  dom  vol )
108, 9syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( RR  \  A
)  e.  dom  vol )
11 ifnot 3984 . . . . . . . 8  |-  if ( -.  x  e.  A ,  ( G `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )
12 eldif 3486 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  A ) )
1312baibr 902 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  ( -.  x  e.  A  <->  x  e.  ( RR  \  A ) ) )
1413ifbid 3961 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( -.  x  e.  A ,  ( G `  x ) ,  0 )  =  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1511, 14syl5eqr 2522 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1615mpteq2ia 4529 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  A ) ,  ( G `  x
) ,  0 ) )
1716i1fres 21939 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  ( RR  \  A
)  e.  dom  vol )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 )
181, 10, 17syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 )
19 itg1cl 21919 . . . 4  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 
->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e.  RR )
2018, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e.  RR )
2120rexrd 9644 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  e. 
RR* )
22 itg2uba.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
23 itg2cl 21966 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
2422, 23syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
25 i1ff 21910 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
261, 25syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
27 eldifi 3626 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  y  e.  RR )
28 ffvelrn 6020 . . . . . 6  |-  ( ( G : RR --> RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `  y
)  e.  RR )
2926, 27, 28syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  e.  RR )
3029leidd 10120 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  <_  ( G `  y )
)
31 eldif 3486 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  A ) )
32 eleq1 2539 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  A  <->  y  e.  A ) )
33 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
3432, 33ifbieq2d 3964 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) ) )
35 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) ) )
36 c0ex 9591 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  _V
37 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( G `
 y )  e. 
_V
3836, 37ifex 4008 . . . . . . . 8  |-  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) )  e.  _V
3934, 35, 38fvmpt 5951 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  if ( y  e.  A , 
0 ,  ( G `
 y ) ) )
40 iffalse 3948 . . . . . . 7  |-  ( -.  y  e.  A  ->  if ( y  e.  A ,  0 ,  ( G `  y ) )  =  ( G `
 y ) )
4139, 40sylan9eq 2528 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  A
)  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4231, 41sylbi 195 . . . . 5  |-  ( y  e.  ( RR  \  A )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4342adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
)  =  ( G `
 y ) )
4430, 43breqtrrd 4473 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  y )  <_  (
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) `  y
) )
451, 5, 6, 18, 44itg1lea 21946 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) ) )
46 iftrue 3945 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  0 )
4746adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  0 )
4822ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
49 elxrge0 11630 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
5048, 49sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR*  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5150simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
5347, 52eqbrtrd 4467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) )
54 iffalse 3948 . . . . . . . 8  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  =  ( G `
 x ) )
5554adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x
) )  =  ( G `  x ) )
56 itg2uba.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
5712, 56sylan2br 476 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  A ) )  -> 
( G `  x
)  <_  ( F `  x ) )
5857anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( G `  x
)  <_  ( F `  x ) )
5955, 58eqbrtrd 4467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x
) )  <_  ( F `  x )
)
6053, 59pm2.61dan 789 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  <_  ( F `  x ) )
6160ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) )
62 reex 9584 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
64 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( G `
 x )  e. 
_V
6536, 64ifex 4008 . . . . . 6  |-  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  e.  _V
6665a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A , 
0 ,  ( G `
 x ) )  e.  _V )
67 fvex 5876 . . . . . 6  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
6867a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
69 eqidd 2468 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )
7022feqmptd 5921 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
7163, 66, 68, 69, 70ofrfval2 6542 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) )  <_  ( F `  x ) ) )
7261, 71mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  oR  <_  F )
73 itg2ub 21967 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  e.  dom  S.1 
/\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
7422, 18, 72, 73syl3anc 1228 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  0 ,  ( G `  x ) ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
754, 21, 24, 45, 74xrletrd 11366 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    oRcofr 6524   RRcr 9492   0cc0 9493   +oocpnf 9626   RR*cxr 9628    <_ cle 9630   [,]cicc 11533   vol*covol 21701   volcvol 21702   S.1citg1 21851   S.2citg2 21852
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-fi 7872  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11319  df-xadd 11320  df-xmul 11321  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-rest 14681  df-topgen 14702  df-psmet 18222  df-xmet 18223  df-met 18224  df-bl 18225  df-mopn 18226  df-top 19206  df-bases 19208  df-topon 19209  df-cmp 19693  df-ovol 21703  df-vol 21704  df-mbf 21855  df-itg1 21856  df-itg2 21857
This theorem is referenced by:  itg2lea  21978  itg2split  21983
  Copyright terms: Public domain W3C validator