MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ub Structured version   Unicode version

Theorem itg2ub 22432
Description: The integral of a nonnegative real function  F is an upper bound on the integrals of all simple functions  G dominated by  F. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ub  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  G )  <_  ( S.2 `  F ) )

Proof of Theorem itg2ub
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . 4  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  =  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }
21itg2lcl 22426 . . 3  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  C_  RR*
31itg2lr 22429 . . . 4  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  G  oR  <_  F )  ->  ( S.1 `  G )  e. 
{ x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } )
433adant1 1015 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  G )  e.  {
x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } )
5 supxrub 11569 . . 3  |-  ( ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }  C_  RR*  /\  ( S.1 `  G )  e. 
{ x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } )  -> 
( S.1 `  G )  <_  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) } ,  RR* ,  <  ) )
62, 4, 5sylancr 661 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  G )  <_  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
71itg2val 22427 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
873ad2ant1 1018 . 2  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  ) )
96, 8breqtrrd 4421 1  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G  e.  dom  S.1  /\  G  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  G )  <_  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {cab 2387   E.wrex 2755    C_ wss 3414   class class class wbr 4395   dom cdm 4823   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oRcofr 6520   supcsup 7934   RRcr 9521   0cc0 9522   +oocpnf 9655   RR*cxr 9657    < clt 9658    <_ cle 9659   [,]cicc 11585   S.1citg1 22316   S.2citg2 22317
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322
This theorem is referenced by:  itg2ge0  22434  itg2itg1  22435  itg2le  22438  itg2seq  22441  itg2uba  22442  itg2mulclem  22445  itg2splitlem  22447  itg2monolem1  22449  itg2i1fseq3  22456  itg2addlem  22457
  Copyright terms: Public domain W3C validator