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Theorem itg2split 22338
Description: The  S.2 integral splits under an almost disjoint union. (The proof avoids the use of itg2add 22348 which requires CC.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
itg2split.i  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
itg2split.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
itg2split.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
itg2split.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
itg2split.g  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
itg2split.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
itg2split.sf  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2split.sg  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2split  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)

Proof of Theorem itg2split
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
2 itg2split.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3 itg2split.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
4 itg2split.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
5 itg2split.c . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6 itg2split.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
7 itg2split.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
8 itg2split.h . . 3  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
9 itg2split.sf . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
10 itg2split.sg . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10itg2splitlem 22337 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
1210adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
135adantlr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 0e0iccpnf 11600 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  U )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1613, 15ifclda 3914 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1716, 8fmptd 5987 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
189, 10readdcld 9571 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
19 itg2lecl 22327 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  H )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )  -> 
( S.2 `  H )  e.  RR )
2017, 18, 11, 19syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR )
2120adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  H )  e.  RR )
22 itg1cl 22274 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
2322ad2antrl 726 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
24 simprll 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
25 simprrl 764 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  g  e.  dom  S.1 )
2624, 25itg1add 22290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  (
f  oF  +  g ) )  =  ( ( S.1 `  f
)  +  ( S.1 `  g ) ) )
2717adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
2824, 25i1fadd 22284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( f  oF  +  g )  e.  dom  S.1 )
29 inss1 3656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
30 mblss 22124 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
311, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3229, 31syl5ss 3450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  RR )
3332adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  RR )
343adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B
) )  =  0 )
35 nfv 1726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x ph
36 nfv 1726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  f  e.  dom  S.1
37 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
f
38 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x  oR  <_
39 nfmpt1 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
406, 39nfcxfr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x F
4137, 38, 40nfbr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  f  oR  <_  F
4236, 41nfan 1954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )
43 nfv 1726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  g  e.  dom  S.1
44 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
g
45 nfmpt1 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
467, 45nfcxfr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x G
4744, 38, 46nfbr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  g  oR  <_  G
4843, 47nfan 1954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G )
4942, 48nfan 1954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) )
5035, 49nfan 1954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )
51 eldifi 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  x  e.  RR )
52 i1ff 22265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
5324, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  f : RR --> RR )
54 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  f  Fn  RR )
56 i1ff 22265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  g : RR --> RR )
5725, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  g : RR --> RR )
58 ffn 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g : RR --> RR  ->  g  Fn  RR )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  g  Fn  RR )
60 reex 9531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  RR  e.  _V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  RR  e.  _V )
62 inidm 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
63 eqidd 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  x ) )
64 eqidd 2401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  =  ( g `  x ) )
6555, 59, 61, 61, 62, 63, 64ofval 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( f  oF  +  g ) `  x )  =  ( ( f `  x
)  +  ( g `
 x ) ) )
6651, 65sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  oF  +  g ) `  x
)  =  ( ( f `  x )  +  ( g `  x ) ) )
67 ffvelrn 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
6853, 51, 67syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
69 ffvelrn 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( g `  x
)  e.  RR )
7057, 51, 69syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  RR )
7168, 70readdcld 9571 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  e.  RR )
7271rexrd 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  e. 
RR* )
7372adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  e.  RR* )
7468adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
7574rexrd 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR* )
76 iccssxr 11576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
77 ffvelrn 5961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( H `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7827, 51, 77syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7976, 78sseldi 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
8079adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
8170adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
82 0red 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
83 simprrr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  g  oR  <_  G )
8460a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  RR  e.  _V )
85 fvex 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  e.  _V )
87 ssun2 3604 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
8887, 4syl5sseqr 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
8988sselda 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
9089adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
9190, 13syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9214a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9391, 92ifclda 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9493adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
95 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  g  Fn  RR )
96 dffn5 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( g  Fn  RR  <->  g  =  ( x  e.  RR  |->  ( g `  x
) ) )
9795, 96sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  g  =  ( x  e.  RR  |->  ( g `  x
) ) )
987a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
9984, 86, 94, 97, 98ofrfval2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  ( g  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) ) )
10059, 99syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( g  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  ( g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
10183, 100mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( g `  x
)  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) )
102101r19.21bi 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
10351, 102sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
104103adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
105 eldifn 3563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  -.  x  e.  ( A  i^i  B ) )
106105adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A  i^i  B
) )
107 elin 3623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
108106, 107sylnib 302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  -.  (
x  e.  A  /\  x  e.  B )
)
109 imnan 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
)  <->  -.  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
110108, 109sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B ) )
111110imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
112111iffalsed 3893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
113104, 112breqtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  0 )
11481, 82, 74, 113leadd2dd 10125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  0 ) )
11574recnd 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  CC )
116115addid1d 9732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  0 )  =  ( f `  x ) )
117114, 116breqtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( f `  x ) )
118 simprlr 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  f  oR  <_  F )
11960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  RR  e.  _V )
120 fvex 5813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  _V )
122 ssun1 3603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
123122, 4syl5sseqr 3488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
124123sselda 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
125124adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
126125, 13syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
128126, 127ifclda 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
129128adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
130 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  f  Fn  RR )
131 dffn5 5848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  Fn  RR  <->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x
) ) )
132130, 131sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x
) ) )
1336a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
134119, 121, 129, 132, 133ofrfval2 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  ( f  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) )
13555, 134syldan 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( f  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
136118, 135mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) )
137136r19.21bi 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
13851, 137sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
139138adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
140123ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  A  C_  U
)
141140sselda 3439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
142141iftrued 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  C )
143 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
14416adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1458fvmpt2 5895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
146143, 144, 145syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
14751, 146sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
148147adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
149 iftrue 3888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
150149adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
151142, 148, 1503eqtr4d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
152139, 151breqtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  ( H `  x
) )
15373, 75, 80, 117, 152xrletrd 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( H `  x ) )
15472adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  e.  RR* )
15570adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
156155rexrd 9591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR* )
15779adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
15868adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
159 0red 9545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
160138adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
161 iffalse 3891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
162161adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
163160, 162breqtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  0 )
164158, 159, 155, 163leadd1dd 10124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( 0  +  ( g `  x
) ) )
165155recnd 9570 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  CC )
166165addid2d 9733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
0  +  ( g `
 x ) )  =  ( g `  x ) )
167164, 166breqtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( g `  x ) )
168103adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
169147adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
1704ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
171170eleq2d 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  U  <->  x  e.  ( A  u.  B
) ) )
172 biorf 403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( x  e.  B  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B )
) )
173 elun 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
174172, 173syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( x  e.  ( A  u.  B )  <-> 
x  e.  B ) )
175174adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( A  u.  B )  <->  x  e.  B ) )
176171, 175bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  U  <->  x  e.  B ) )
177176ifbid 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
178169, 177eqtrd 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
179168, 178breqtrrd 4418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  ( H `  x
) )
180154, 156, 157, 167, 179xrletrd 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( H `  x ) )
181153, 180pm2.61dan 790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  <_ 
( H `  x
) )
18266, 181eqbrtrd 4412 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  oF  +  g ) `  x
)  <_  ( H `  x ) )
183182ex 432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) )  ->  ( ( f  oF  +  g ) `  x )  <_  ( H `  x ) ) )
18450, 183ralrimi 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  oF  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
) )
185 nfv 1726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( ( f  oF  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
)
186 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( f  oF  +  g ) `
 y )
187 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x  <_
188 nfmpt1 4481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
1898, 188nfcxfr 2560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x H
190 nfcv 2562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
y
191189, 190nffv 5810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( H `  y
)
192186, 187, 191nfbr 4436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ( f  oF  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
)
193 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( f  oF  +  g ) `  x )  =  ( ( f  oF  +  g ) `  y ) )
194 fveq2 5803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
195193, 194breq12d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( f  oF  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
)  <->  ( ( f  oF  +  g ) `  y )  <_  ( H `  y ) ) )
196185, 192, 195cbvral 3027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) ( ( f  oF  +  g ) `  x
)  <_  ( H `  x )  <->  A. y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  oF  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
) )
197184, 196sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  A. y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  oF  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
) )
198197r19.21bi 2770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  oF  +  g ) `  y
)  <_  ( H `  y ) )
19927, 28, 33, 34, 198itg2uba 22332 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  (
f  oF  +  g ) )  <_ 
( S.2 `  H ) )
20026, 199eqbrtrrd 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( ( S.1 `  f )  +  ( S.1 `  g ) )  <_  ( S.2 `  H ) )
20123adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  f
)  e.  RR )
202 itg1cl 22274 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  g )  e.  RR )
20325, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  g
)  e.  RR )
20420adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR )
205201, 203, 204leaddsub2d 10112 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( ( ( S.1 `  f )  +  ( S.1 `  g
) )  <_  ( S.2 `  H )  <->  ( S.1 `  g )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f
) ) ) )
206200, 205mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  g
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) )
207206anassrs 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) )  ->  ( S.1 `  g
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) )
208207expr 613 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( g  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) ) ) )
209208ralrimiva 2815 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) ) )
21093, 7fmptd 5987 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
211210adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
21221, 23resubcld 9946 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) )  e.  RR )
213212rexrd 9591 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) )  e.  RR* )
214 itg2leub 22323 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  G )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) ) ) ) )
215211, 213, 214syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  G )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) ) ) )
216209, 215mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  G )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f
) ) )
21712, 21, 23, 216lesubd 10114 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G
) ) )
218217expr 613 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
219218ralrimiva 2815 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
220128, 6fmptd 5987 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22120, 10resubcld 9946 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
222221rexrd 9591 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
223 itg2leub 22323 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
224220, 222, 223syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
225219, 224mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) )
226 leaddsub 9987 . . . 4  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR  /\  ( S.2 `  H )  e.  RR )  ->  (
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H )  <-> 
( S.2 `  F )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
2279, 10, 20, 226syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <_  ( S.2 `  H )  <->  ( S.2 `  F )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G
) ) ) )
228225, 227mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) )
229 itg2cl 22321 . . . 4  |-  ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  H )  e.  RR* )
23017, 229syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR* )
23118rexrd 9591 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
232 xrletri3 11327 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  H
)  e.  RR*  /\  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  H )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( ( S.2 `  H )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) ) ) )
233230, 231, 232syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  ( ( S.2 `  H )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) ) ) )
23411, 228, 233mpbir2and 921 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840   A.wral 2751   _Vcvv 3056    \ cdif 3408    u. cun 3409    i^i cin 3410    C_ wss 3411   ifcif 3882   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940    Fn wfn 5518   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    oFcof 6473    oRcofr 6474   RRcr 9439   0cc0 9440    + caddc 9443   +oocpnf 9573   RR*cxr 9575    <_ cle 9577    - cmin 9759   [,]cicc 11501   vol*covol 22056   volcvol 22057   S.1citg1 22206   S.2citg2 22207
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-ofr 6476  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-sum 13563  df-rest 14927  df-topgen 14948  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cmp 20070  df-ovol 22058  df-vol 22059  df-mbf 22210  df-itg1 22211  df-itg2 22212
This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  22351  itgsplit  22424  iblsplit  37100
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