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Theorem itg2split 21983
 Description: The integral splits under an almost disjoint union. (The proof avoids the use of itg2add 21993 which requires CC.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a
itg2split.b
itg2split.i
itg2split.u
itg2split.c
itg2split.f
itg2split.g
itg2split.h
itg2split.sf
itg2split.sg
Assertion
Ref Expression
itg2split
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem itg2split
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.a . . 3
2 itg2split.b . . 3
3 itg2split.i . . 3
4 itg2split.u . . 3
5 itg2split.c . . 3
6 itg2split.f . . 3
7 itg2split.g . . 3
8 itg2split.h . . 3
9 itg2split.sf . . 3
10 itg2split.sg . . 3
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10itg2splitlem 21982 . 2
1210adantr 465 . . . . . . 7
135adantlr 714 . . . . . . . . . . 11
14 0e0iccpnf 11632 . . . . . . . . . . . 12
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11
1613, 15ifclda 3971 . . . . . . . . . 10
1716, 8fmptd 6046 . . . . . . . . 9
189, 10readdcld 9624 . . . . . . . . 9
19 itg2lecl 21972 . . . . . . . . 9
2017, 18, 11, 19syl3anc 1228 . . . . . . . 8
2120adantr 465 . . . . . . 7
22 itg1cl 21919 . . . . . . . 8
2322ad2antrl 727 . . . . . . 7
24 simprll 761 . . . . . . . . . . . . . 14
25 simprrl 763 . . . . . . . . . . . . . 14
2624, 25itg1add 21935 . . . . . . . . . . . . 13
2717adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
2824, 25i1fadd 21929 . . . . . . . . . . . . . 14
29 inss1 3718 . . . . . . . . . . . . . . . 16
30 mblss 21769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
311, 30syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3229, 31syl5ss 3515 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
343adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
35 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
36 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
37 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
38 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
39 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
406, 39nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4137, 38, 40nfbr 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4236, 41nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
43 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
44 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
45 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
467, 45nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
4744, 38, 46nfbr 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4843, 47nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4942, 48nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5035, 49nfan 1875 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
51 eldifi 3626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
52 i1ff 21910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5324, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
54 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5553, 54syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56 i1ff 21910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5725, 56syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
58 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5957, 58syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
60 reex 9584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 inidm 3707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
63 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
64 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6555, 59, 61, 61, 62, 63, 64ofval 6534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
6651, 65sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
67 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6853, 51, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
69 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7057, 51, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7168, 70readdcld 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7271rexrd 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7468adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7574rexrd 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
76 iccssxr 11608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
77 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7827, 51, 77syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7976, 78sseldi 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8079adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
82 0red 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
83 simprrr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
8460a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
85 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
87 ssun2 3668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
8887, 4syl5sseqr 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
8988sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
9089adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
9190, 13syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9214a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
9391, 92ifclda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9493adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
95 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
96 dffn5 5913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
9795, 96sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
987a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
9984, 86, 94, 97, 98ofrfval2 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
10059, 99syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
10183, 100mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
102101r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10351, 102sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
104103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
105 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
107 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
108106, 107sylnib 304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
109 imnan 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
110108, 109sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
111110imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
112 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
113111, 112syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
114104, 113breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11581, 82, 74, 114leadd2dd 10168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
11674recnd 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
117116addid1d 9780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
118115, 117breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
119 simprlr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
12060a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
121 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
122121a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
123 ssun1 3667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
124123, 4syl5sseqr 3553 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
125124sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
126125adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
127126, 13syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
12814a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
129127, 128ifclda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
130129adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
131 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
132 dffn5 5913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
133131, 132sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1346a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
135120, 122, 130, 133, 134ofrfval2 6542 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
13655, 135syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
137119, 136mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
138137r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
13951, 138sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
140139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
141124ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
142141sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
143 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
144142, 143syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
145 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
14616adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1478fvmpt2 5958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
148145, 146, 147syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
14951, 148sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
150149adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
151 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
152151adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
153144, 150, 1523eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
154140, 153breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15573, 75, 80, 118, 154xrletrd 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
15672adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15770adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
158157rexrd 9644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
15979adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
16068adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
161 0red 9598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
162139adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
163 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
164163adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
165162, 164breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
166160, 161, 157, 165leadd1dd 10167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
167157recnd 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
168167addid2d 9781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
169166, 168breqtrd 4471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
170103adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
171149adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1724ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
173172eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
174 biorf 405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
175 elun 3645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
176174, 175syl6rbbr 264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
177176adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
178173, 177bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
179178ifbid 3961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
180171, 179eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
181170, 180breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
182156, 158, 159, 169, 181xrletrd 11366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
183155, 182pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
18466, 183eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
185184ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
18650, 185ralrimi 2864 . . . . . . . . . . . . . . . 16
187 nfv 1683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
188 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
189 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
190 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1918, 190nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
192 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
193191, 192nffv 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
194188, 189, 193nfbr 4491 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
195 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
196 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
197195, 196breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
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