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Theorem itg2split 22699
Description: The  S.2 integral splits under an almost disjoint union. (The proof avoids the use of itg2add 22709 which requires CC.) (Contributed by Mario Carneiro, 11-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2split.a  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2split.b  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
itg2split.i  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
itg2split.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
itg2split.c  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
itg2split.f  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
itg2split.g  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
itg2split.h  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
itg2split.sf  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2split.sg  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2split  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Distinct variable groups:    ph, x    x, A    x, B    x, U
Allowed substitution hints:    C( x)    F( x)    G( x)    H( x)

Proof of Theorem itg2split
Dummy variables  f 
g  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2split.a . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
2 itg2split.b . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  dom  vol )
3 itg2split.i . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B ) )  =  0 )
4 itg2split.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
5 itg2split.c . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6 itg2split.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
7 itg2split.g . . 3  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
8 itg2split.h . . 3  |-  H  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
9 itg2split.sf . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
10 itg2split.sg . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10itg2splitlem 22698 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
1210adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
135adantlr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  U )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14 0e0iccpnf 11745 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  U )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1613, 15ifclda 3942 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1716, 8fmptd 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
189, 10readdcld 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
19 itg2lecl 22688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR  /\  ( S.2 `  H )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )  -> 
( S.2 `  H )  e.  RR )
2017, 18, 11, 19syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR )
2120adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  H )  e.  RR )
22 itg1cl 22635 . . . . . . . 8  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
2322ad2antrl 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  e.  RR )
24 simprll 771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
25 simprrl 773 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  g  e.  dom  S.1 )
2624, 25itg1add 22651 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  (
f  oF  +  g ) )  =  ( ( S.1 `  f
)  +  ( S.1 `  g ) ) )
2717adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  H : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
2824, 25i1fadd 22645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( f  oF  +  g )  e.  dom  S.1 )
29 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  i^i  B )  C_  A
30 mblss 22477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
311, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3229, 31syl5ss 3476 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( A  i^i  B
)  C_  RR )
3332adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( A  i^i  B )  C_  RR )
343adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( vol* `  ( A  i^i  B
) )  =  0 )
35 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x ph
36 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  f  e.  dom  S.1
37 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
f
38 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x  oR  <_
39 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
406, 39nfcxfr 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x F
4137, 38, 40nfbr 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  f  oR  <_  F
4236, 41nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )
43 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  g  e.  dom  S.1
44 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x
g
45 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
467, 45nfcxfr 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  F/_ x G
4744, 38, 46nfbr 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/ x  g  oR  <_  G
4843, 47nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ x
( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G )
4942, 48nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/ x
( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) )
5035, 49nfan 1985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )
51 eldifi 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  x  e.  RR )
52 i1ff 22626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
5324, 52syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  f : RR --> RR )
54 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  f  Fn  RR )
56 i1ff 22626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  g : RR --> RR )
5725, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  g : RR --> RR )
58 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( g : RR --> RR  ->  g  Fn  RR )
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  g  Fn  RR )
60 reex 9632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  RR  e.  _V
6160a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  RR  e.  _V )
62 inidm 3672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
63 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  =  ( f `  x ) )
64 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  =  ( g `  x ) )
6555, 59, 61, 61, 62, 63, 64ofval 6552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( f  oF  +  g ) `  x )  =  ( ( f `  x
)  +  ( g `
 x ) ) )
6651, 65sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  oF  +  g ) `  x
)  =  ( ( f `  x )  +  ( g `  x ) ) )
67 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( f : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x
)  e.  RR )
6853, 51, 67syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
69 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( g : RR --> RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( g `  x
)  e.  RR )
7057, 51, 69syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( g `  x )  e.  RR )
7168, 70readdcld 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  e.  RR )
7271rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  e. 
RR* )
7372adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  e.  RR* )
7468adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
7574rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR* )
76 iccssxr 11719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
77 ffvelrn 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( H `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7827, 51, 77syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7976, 78sseldi 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
8079adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
8170adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
82 0red 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
83 simprrr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  g  oR  <_  G )
8460a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  RR  e.  _V )
85 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( g `
 x )  e. 
_V
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  e.  _V )
87 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  B  C_  ( A  u.  B
)
8887, 4syl5sseqr 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ph  ->  B  C_  U )
8988sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( (
ph  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
9089adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  U )
9190, 13syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  B )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9214a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  B )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9391, 92ifclda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9493adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  g  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
95 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  g  Fn  RR )
96 dffn5 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( g  Fn  RR  <->  g  =  ( x  e.  RR  |->  ( g `  x
) ) )
9795, 96sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  g  =  ( x  e.  RR  |->  ( g `  x
) ) )
987a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
9984, 86, 94, 97, 98ofrfval2 6561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  g  Fn  RR )  ->  ( g  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) ) )
10059, 99syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( g  oR  <_  G  <->  A. x  e.  RR  ( g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) ) )
10183, 100mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( g `  x
)  <_  if (
x  e.  B ,  C ,  0 ) )
102101r19.21bi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
10351, 102sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
104103adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
105 eldifn 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( A  i^i  B
) )  ->  -.  x  e.  ( A  i^i  B ) )
106105adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  -.  x  e.  ( A  i^i  B
) )
107 elin 3650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( x  e.  ( A  i^i  B )  <->  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
108106, 107sylnib 306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  -.  (
x  e.  A  /\  x  e.  B )
)
109 imnan 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B
)  <->  -.  ( x  e.  A  /\  x  e.  B ) )
110108, 109sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( x  e.  A  ->  -.  x  e.  B ) )
111110imp 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  -.  x  e.  B )
112111iffalsed 3921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  B ,  C ,  0 )  =  0 )
113104, 112breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  0 )
11481, 82, 74, 113leadd2dd 10230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( ( f `
 x )  +  0 ) )
11574recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  CC )
116115addid1d 9835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  0 )  =  ( f `  x ) )
117114, 116breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( f `  x ) )
118 simprlr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  f  oR  <_  F )
11960a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  RR  e.  _V )
120 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f `
 x )  e. 
_V
121120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  e.  _V )
122 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  A  C_  ( A  u.  B
)
123122, 4syl5sseqr 3514 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ph  ->  A  C_  U )
124123sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
125124adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
126125, 13syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  A )  ->  C  e.  ( 0 [,] +oo ) )
12714a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )
128126, 127ifclda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
129128adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( ( ph  /\  f  Fn  RR )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
130 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  f  Fn  RR )
131 dffn5 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( f  Fn  RR  <->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x
) ) )
132130, 131sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  f  =  ( x  e.  RR  |->  ( f `  x
) ) )
1336a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
134119, 121, 129, 132, 133ofrfval2 6561 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  f  Fn  RR )  ->  ( f  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) ) )
13555, 134syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( f  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) ) )
136118, 135mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  <_  if (
x  e.  A ,  C ,  0 ) )
137136r19.21bi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
13851, 137sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C ,  0 ) )
139138adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
140123ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  A  C_  U
)
141140sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  U )
142141iftrued 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  C )
143 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
14416adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
1458fvmpt2 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
146143, 144, 145syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
14751, 146sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
148147adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
149 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
150149adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  C )
151142, 148, 1503eqtr4d 2474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
152139, 151breqtrrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  ( H `  x
) )
15373, 75, 80, 117, 152xrletrd 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( H `  x ) )
15472adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  e.  RR* )
15570adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR )
156155rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  RR* )
15779adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  e.  RR* )
15868adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  e.  RR )
159 0red 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  0  e.  RR )
160138adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  if ( x  e.  A ,  C , 
0 ) )
161 iffalse 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( -.  x  e.  A  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
162161adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  A ,  C ,  0 )  =  0 )
163160, 162breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
f `  x )  <_  0 )
164158, 159, 155, 163leadd1dd 10229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( 0  +  ( g `  x
) ) )
165155recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  e.  CC )
166165addid2d 9836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
0  +  ( g `
 x ) )  =  ( g `  x ) )
167164, 166breqtrd 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( g `  x ) )
168103adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
169147adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  U ,  C , 
0 ) )
1704ad3antrrr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  U  =  ( A  u.  B ) )
171170eleq2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  U  <->  x  e.  ( A  u.  B
) ) )
172 biorf 407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( x  e.  B  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B )
) )
173 elun 3607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
174172, 173syl6rbbr 268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( -.  x  e.  A  -> 
( x  e.  ( A  u.  B )  <-> 
x  e.  B ) )
175174adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  ( A  u.  B )  <->  x  e.  B ) )
176171, 175bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
x  e.  U  <->  x  e.  B ) )
177176ifbid 3932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 )  =  if ( x  e.  B ,  C ,  0 ) )
178169, 177eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  ( H `  x )  =  if ( x  e.  B ,  C , 
0 ) )
179168, 178breqtrrd 4448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
g `  x )  <_  ( H `  x
) )
180154, 156, 157, 167, 179xrletrd 11461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( ( f  e. 
dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  /\  -.  x  e.  A )  ->  (
( f `  x
)  +  ( g `
 x ) )  <_  ( H `  x ) )
181153, 180pm2.61dan 799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f `  x )  +  ( g `  x ) )  <_ 
( H `  x
) )
18266, 181eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  oF  +  g ) `  x
)  <_  ( H `  x ) )
183182ex 436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) )  ->  ( ( f  oF  +  g ) `  x )  <_  ( H `  x ) ) )
18450, 183ralrimi 2826 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  A. x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  oF  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
) )
185 nfv 1752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ y ( ( f  oF  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
)
186 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( ( f  oF  +  g ) `
 y )
187 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x  <_
188 nfmpt1 4511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  U ,  C ,  0 ) )
1898, 188nfcxfr 2583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x H
190 nfcv 2585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/_ x
y
191189, 190nffv 5886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  F/_ x
( H `  y
)
192186, 187, 191nfbr 4466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/ x
( ( f  oF  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
)
193 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  (
( f  oF  +  g ) `  x )  =  ( ( f  oF  +  g ) `  y ) )
194 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  y  ->  ( H `  x )  =  ( H `  y ) )
195193, 194breq12d 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( f  oF  +  g ) `
 x )  <_ 
( H `  x
)  <->  ( ( f  oF  +  g ) `  y )  <_  ( H `  y ) ) )
196185, 192, 195cbvral 3052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A. x  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B
) ) ( ( f  oF  +  g ) `  x
)  <_  ( H `  x )  <->  A. y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  oF  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
) )
197184, 196sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  A. y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) ( ( f  oF  +  g ) `
 y )  <_ 
( H `  y
) )
198197r19.21bi 2795 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  F )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) ) )  /\  y  e.  ( RR  \  ( A  i^i  B ) ) )  ->  ( (
f  oF  +  g ) `  y
)  <_  ( H `  y ) )
19927, 28, 33, 34, 198itg2uba 22693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  (
f  oF  +  g ) )  <_ 
( S.2 `  H ) )
20026, 199eqbrtrrd 4444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( ( S.1 `  f )  +  ( S.1 `  g ) )  <_  ( S.2 `  H ) )
20123adantrr 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  f
)  e.  RR )
202 itg1cl 22635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  g )  e.  RR )
20325, 202syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  g
)  e.  RR )
20420adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR )
205201, 203, 204leaddsub2d 10217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( ( ( S.1 `  f )  +  ( S.1 `  g
) )  <_  ( S.2 `  H )  <->  ( S.1 `  g )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f
) ) ) )
206200, 205mpbid 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F )  /\  (
g  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  G ) ) )  ->  ( S.1 `  g
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) )
207206anassrs 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  ( g  e.  dom  S.1 
/\  g  oR  <_  G ) )  ->  ( S.1 `  g
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) )
208207expr 619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( g  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) ) ) )
209208ralrimiva 2840 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) ) )
21093, 7fmptd 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
211210adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
21221, 23resubcld 10049 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) )  e.  RR )
213212rexrd 9692 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) )  e.  RR* )
214 itg2leub 22684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  G )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) ) ) ) )
215211, 213, 214syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( ( S.2 `  G )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.1 `  f ) )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f ) ) ) ) )
216209, 215mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.2 `  G )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.1 `  f
) ) )
21712, 21, 23, 216lesubd 10219 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  F ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G
) ) )
218217expr 619 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
219218ralrimiva 2840 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
220128, 6fmptd 6059 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
22120, 10resubcld 10049 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
222221rexrd 9692 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
223 itg2leub 22684 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
224220, 222, 223syl2anc 666 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) )  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  f )  <_ 
( ( S.2 `  H
)  -  ( S.2 `  G ) ) ) ) )
225219, 224mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) )
226 leaddsub 10092 . . . 4  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  G )  e.  RR  /\  ( S.2 `  H )  e.  RR )  ->  (
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H )  <-> 
( S.2 `  F )  <_  ( ( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G ) ) ) )
2279, 10, 20, 226syl3anc 1265 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <_  ( S.2 `  H )  <->  ( S.2 `  F )  <_  (
( S.2 `  H )  -  ( S.2 `  G
) ) ) )
228225, 227mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) )
229 itg2cl 22682 . . . 4  |-  ( H : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  H )  e.  RR* )
23017, 229syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  e.  RR* )
23118rexrd 9692 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e. 
RR* )
232 xrletri3 11453 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  H
)  e.  RR*  /\  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  e.  RR* )  ->  ( ( S.2 `  H )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( ( S.2 `  H )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) ) ) )
233230, 231, 232syl2anc 666 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) )  <->  ( ( S.2 `  H )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  /\  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <_ 
( S.2 `  H ) ) ) )
23411, 228, 233mpbir2and 931 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  H
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   ifcif 3910   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   dom cdm 4851    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    oFcof 6541    oRcofr 6542   RRcr 9540   0cc0 9541    + caddc 9544   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676    <_ cle 9678    - cmin 9862   [,]cicc 11640   vol*covol 22405   volcvol 22407   S.1citg1 22565   S.2citg2 22566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-ofr 6544  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-cmp 20394  df-ovol 22408  df-vol 22410  df-mbf 22569  df-itg1 22570  df-itg2 22571
This theorem is referenced by:  itg2cnlem2  22712  itgsplit  22785  iblsplit  37669
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