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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > itg2mulc | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.) |
Ref | Expression |
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itg2mulc.2 |
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itg2mulc.3 |
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itg2mulc.4 |
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Ref | Expression |
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itg2mulc |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | itg2mulc.2 |
. . . . 5
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2 | 1 | adantr 467 |
. . . 4
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3 | itg2mulc.3 |
. . . . 5
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4 | 3 | adantr 467 |
. . . 4
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5 | itg2mulc.4 |
. . . . . . . 8
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6 | elrege0 11738 |
. . . . . . . 8
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7 | 5, 6 | sylib 200 |
. . . . . . 7
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8 | 7 | simpld 461 |
. . . . . 6
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9 | 8 | anim1i 572 |
. . . . 5
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10 | elrp 11304 |
. . . . 5
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11 | 9, 10 | sylibr 216 |
. . . 4
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12 | 2, 4, 11 | itg2mulclem 22704 |
. . 3
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13 | ge0mulcl 11745 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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15 | fconst6g 5772 |
. . . . . . . . 9
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16 | 5, 15 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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17 | reex 9630 |
. . . . . . . . 9
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18 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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19 | inidm 3641 |
. . . . . . . 8
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20 | 14, 16, 1, 18, 18, 19 | off 6546 |
. . . . . . 7
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21 | 20 | adantr 467 |
. . . . . 6
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22 | icossicc 11721 |
. . . . . . . . 9
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23 | fss 5737 |
. . . . . . . . 9
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24 | 20, 22, 23 | sylancl 668 |
. . . . . . . 8
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25 | 24 | adantr 467 |
. . . . . . 7
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26 | 8, 3 | remulcld 9671 |
. . . . . . . 8
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27 | 26 | adantr 467 |
. . . . . . 7
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28 | itg2lecl 22696 |
. . . . . . 7
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29 | 25, 27, 12, 28 | syl3anc 1268 |
. . . . . 6
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30 | 11 | rpreccld 11351 |
. . . . . 6
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31 | 21, 29, 30 | itg2mulclem 22704 |
. . . . 5
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32 | 2 | feqmptd 5918 |
. . . . . . . 8
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33 | rge0ssre 11740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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34 | ax-resscn 9596 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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35 | 33, 34 | sstri 3441 |
. . . . . . . . . . . . 13
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36 | fss 5737 |
. . . . . . . . . . . . 13
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37 | 1, 35, 36 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . 12
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38 | 37 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
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39 | 38 | ffvelrnda 6022 |
. . . . . . . . . 10
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40 | 39 | mulid2d 9661 |
. . . . . . . . 9
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41 | 40 | mpteq2dva 4489 |
. . . . . . . 8
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42 | 32, 41 | eqtr4d 2488 |
. . . . . . 7
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43 | 17 | a1i 11 |
. . . . . . . 8
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44 | 1red 9658 |
. . . . . . . 8
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45 | 43, 30, 11 | ofc12 6556 |
. . . . . . . . . 10
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46 | fconstmpt 4878 |
. . . . . . . . . 10
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47 | 45, 46 | syl6eq 2501 |
. . . . . . . . 9
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48 | 8 | recnd 9669 |
. . . . . . . . . . . 12
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49 | 48 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
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50 | 11 | rpne0d 11346 |
. . . . . . . . . . 11
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51 | 49, 50 | recid2d 10379 |
. . . . . . . . . 10
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52 | 51 | mpteq2dv 4490 |
. . . . . . . . 9
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53 | 47, 52 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . 8
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54 | 43, 44, 39, 53, 32 | offval2 6548 |
. . . . . . 7
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55 | 30 | rpcnd 11343 |
. . . . . . . . 9
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56 | fconst6g 5772 |
. . . . . . . . 9
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57 | 55, 56 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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58 | fconst6g 5772 |
. . . . . . . . 9
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59 | 49, 58 | syl 17 |
. . . . . . . 8
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60 | mulass 9627 |
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61 | 60 | adantl 468 |
. . . . . . . 8
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62 | 43, 57, 59, 38, 61 | caofass 6565 |
. . . . . . 7
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63 | 42, 54, 62 | 3eqtr2d 2491 |
. . . . . 6
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64 | 63 | fveq2d 5869 |
. . . . 5
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65 | 29 | recnd 9669 |
. . . . . 6
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66 | 65, 49, 50 | divrec2d 10387 |
. . . . 5
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67 | 31, 64, 66 | 3brtr4d 4433 |
. . . 4
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68 | 4, 29, 11 | lemuldiv2d 11388 |
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69 | 67, 68 | mpbird 236 |
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70 | itg2cl 22690 |
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71 | 24, 70 | syl 17 |
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72 | 26 | rexrd 9690 |
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73 | xrletri3 11451 |
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74 | 71, 72, 73 | syl2anc 667 |
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75 | 74 | adantr 467 |
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76 | 12, 69, 75 | mpbir2and 933 |
. 2
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77 | 17 | a1i 11 |
. . . . . 6
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78 | 37 | adantr 467 |
. . . . . 6
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79 | 8 | adantr 467 |
. . . . . 6
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80 | 0re 9643 |
. . . . . . 7
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81 | 80 | a1i 11 |
. . . . . 6
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82 | simplr 762 |
. . . . . . . 8
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83 | 82 | oveq1d 6305 |
. . . . . . 7
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84 | mul02 9811 |
. . . . . . . 8
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85 | 84 | adantl 468 |
. . . . . . 7
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86 | 83, 85 | eqtr3d 2487 |
. . . . . 6
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87 | 77, 78, 79, 81, 86 | caofid2 6562 |
. . . . 5
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88 | 87 | fveq2d 5869 |
. . . 4
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89 | itg20 22695 |
. . . 4
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90 | 88, 89 | syl6eq 2501 |
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91 | 3 | adantr 467 |
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92 | 91 | recnd 9669 |
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93 | 92 | mul02d 9831 |
. . 3
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94 | simpr 463 |
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95 | 94 | oveq1d 6305 |
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96 | 90, 93, 95 | 3eqtr2d 2491 |
. 2
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97 | 7 | simprd 465 |
. . 3
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98 | leloe 9720 |
. . . 4
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99 | 80, 8, 98 | sylancr 669 |
. . 3
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100 | 97, 99 | mpbid 214 |
. 2
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101 | 76, 96, 100 | mpjaodan 795 |
1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1669 ax-4 1682 ax-5 1758 ax-6 1805 ax-7 1851 ax-8 1889 ax-9 1896 ax-10 1915 ax-11 1920 ax-12 1933 ax-13 2091 ax-ext 2431 ax-rep 4515 ax-sep 4525 ax-nul 4534 ax-pow 4581 ax-pr 4639 ax-un 6583 ax-inf2 8146 ax-cnex 9595 ax-resscn 9596 ax-1cn 9597 ax-icn 9598 ax-addcl 9599 ax-addrcl 9600 ax-mulcl 9601 ax-mulrcl 9602 ax-mulcom 9603 ax-addass 9604 ax-mulass 9605 ax-distr 9606 ax-i2m1 9607 ax-1ne0 9608 ax-1rid 9609 ax-rnegex 9610 ax-rrecex 9611 ax-cnre 9612 ax-pre-lttri 9613 ax-pre-lttrn 9614 ax-pre-ltadd 9615 ax-pre-mulgt0 9616 ax-pre-sup 9617 ax-addf 9618 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 986 df-3an 987 df-tru 1447 df-fal 1450 df-ex 1664 df-nf 1668 df-sb 1798 df-eu 2303 df-mo 2304 df-clab 2438 df-cleq 2444 df-clel 2447 df-nfc 2581 df-ne 2624 df-nel 2625 df-ral 2742 df-rex 2743 df-reu 2744 df-rmo 2745 df-rab 2746 df-v 3047 df-sbc 3268 df-csb 3364 df-dif 3407 df-un 3409 df-in 3411 df-ss 3418 df-pss 3420 df-nul 3732 df-if 3882 df-pw 3953 df-sn 3969 df-pr 3971 df-tp 3973 df-op 3975 df-uni 4199 df-int 4235 df-iun 4280 df-disj 4374 df-br 4403 df-opab 4462 df-mpt 4463 df-tr 4498 df-eprel 4745 df-id 4749 df-po 4755 df-so 4756 df-fr 4793 df-se 4794 df-we 4795 df-xp 4840 df-rel 4841 df-cnv 4842 df-co 4843 df-dm 4844 df-rn 4845 df-res 4846 df-ima 4847 df-pred 5380 df-ord 5426 df-on 5427 df-lim 5428 df-suc 5429 df-iota 5546 df-fun 5584 df-fn 5585 df-f 5586 df-f1 5587 df-fo 5588 df-f1o 5589 df-fv 5590 df-isom 5591 df-riota 6252 df-ov 6293 df-oprab 6294 df-mpt2 6295 df-of 6531 df-ofr 6532 df-om 6693 df-1st 6793 df-2nd 6794 df-wrecs 7028 df-recs 7090 df-rdg 7128 df-1o 7182 df-2o 7183 df-oadd 7186 df-er 7363 df-map 7474 df-pm 7475 df-en 7570 df-dom 7571 df-sdom 7572 df-fin 7573 df-sup 7956 df-inf 7957 df-oi 8025 df-card 8373 df-cda 8598 df-pnf 9677 df-mnf 9678 df-xr 9679 df-ltxr 9680 df-le 9681 df-sub 9862 df-neg 9863 df-div 10270 df-nn 10610 df-2 10668 df-3 10669 df-n0 10870 df-z 10938 df-uz 11160 df-q 11265 df-rp 11303 df-xadd 11410 df-ioo 11639 df-ico 11641 df-icc 11642 df-fz 11785 df-fzo 11916 df-fl 12028 df-seq 12214 df-exp 12273 df-hash 12516 df-cj 13162 df-re 13163 df-im 13164 df-sqrt 13298 df-abs 13299 df-clim 13552 df-sum 13753 df-xmet 18963 df-met 18964 df-ovol 22416 df-vol 22418 df-mbf 22577 df-itg1 22578 df-itg2 22579 df-0p 22628 |
This theorem is referenced by: iblmulc2 22788 itgmulc2lem1 22789 bddmulibl 22796 iblmulc2nc 32007 itgmulc2nclem1 32008 |
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