Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulc Structured version   Unicode version

Theorem itg2mulc 21917
 Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2
itg2mulc.3
itg2mulc.4
Assertion
Ref Expression
itg2mulc

Proof of Theorem itg2mulc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . 5
21adantr 465 . . . 4
3 itg2mulc.3 . . . . 5
43adantr 465 . . . 4
5 itg2mulc.4 . . . . . . . 8
6 elrege0 11627 . . . . . . . 8
75, 6sylib 196 . . . . . . 7
87simpld 459 . . . . . 6
98anim1i 568 . . . . 5
10 elrp 11222 . . . . 5
119, 10sylibr 212 . . . 4
122, 4, 11itg2mulclem 21916 . . 3
13 ge0mulcl 11633 . . . . . . . . 9
1413adantl 466 . . . . . . . 8
15 fconst6g 5774 . . . . . . . . 9
165, 15syl 16 . . . . . . . 8
17 reex 9583 . . . . . . . . 9
1817a1i 11 . . . . . . . 8
19 inidm 3707 . . . . . . . 8
2014, 16, 1, 18, 18, 19off 6538 . . . . . . 7
2120adantr 465 . . . . . 6
22 df-ico 11535 . . . . . . . . . 10
23 df-icc 11536 . . . . . . . . . 10
24 idd 24 . . . . . . . . . 10
25 xrltle 11355 . . . . . . . . . 10
2622, 23, 24, 25ixxssixx 11543 . . . . . . . . 9
27 fss 5739 . . . . . . . . 9
2820, 26, 27sylancl 662 . . . . . . . 8
2928adantr 465 . . . . . . 7
308, 3remulcld 9624 . . . . . . . 8
3130adantr 465 . . . . . . 7
32 itg2lecl 21908 . . . . . . 7
3329, 31, 12, 32syl3anc 1228 . . . . . 6
3411rpreccld 11266 . . . . . 6
3521, 33, 34itg2mulclem 21916 . . . . 5
362feqmptd 5920 . . . . . . . 8
37 0re 9596 . . . . . . . . . . . . . . 15
38 pnfxr 11321 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 icossre 11605 . . . . . . . . . . . . . . 15
4037, 38, 39mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . 14
41 ax-resscn 9549 . . . . . . . . . . . . . 14
4240, 41sstri 3513 . . . . . . . . . . . . 13
43 fss 5739 . . . . . . . . . . . . 13
441, 42, 43sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12
4544adantr 465 . . . . . . . . . . 11
4645ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10
4746mulid2d 9614 . . . . . . . . 9
4847mpteq2dva 4533 . . . . . . . 8
4936, 48eqtr4d 2511 . . . . . . 7
5017a1i 11 . . . . . . . 8
51 1red 9611 . . . . . . . 8
5250, 34, 11ofc12 6549 . . . . . . . . . 10
53 fconstmpt 5043 . . . . . . . . . 10
5452, 53syl6eq 2524 . . . . . . . . 9
558recnd 9622 . . . . . . . . . . . 12
5655adantr 465 . . . . . . . . . . 11
5711rpne0d 11261 . . . . . . . . . . 11
5856, 57recid2d 10316 . . . . . . . . . 10
5958mpteq2dv 4534 . . . . . . . . 9
6054, 59eqtrd 2508 . . . . . . . 8
6150, 51, 46, 60, 36offval2 6540 . . . . . . 7
6234rpcnd 11258 . . . . . . . . 9
63 fconst6g 5774 . . . . . . . . 9
6462, 63syl 16 . . . . . . . 8
65 fconst6g 5774 . . . . . . . . 9
6656, 65syl 16 . . . . . . . 8
67 mulass 9580 . . . . . . . . 9
6867adantl 466 . . . . . . . 8
6950, 64, 66, 45, 68caofass 6558 . . . . . . 7
7049, 61, 693eqtr2d 2514 . . . . . 6
7170fveq2d 5870 . . . . 5
7233recnd 9622 . . . . . 6
7372, 56, 57divrec2d 10324 . . . . 5
7435, 71, 733brtr4d 4477 . . . 4
754, 33, 11lemuldiv2d 11302 . . . 4
7674, 75mpbird 232 . . 3
77 itg2cl 21902 . . . . . 6
7828, 77syl 16 . . . . 5
7930rexrd 9643 . . . . 5
80 xrletri3 11358 . . . . 5
8178, 79, 80syl2anc 661 . . . 4
8312, 76, 82mpbir2and 920 . 2
8417a1i 11 . . . . . 6
8544adantr 465 . . . . . 6
868adantr 465 . . . . . 6
8737a1i 11 . . . . . 6
88 simplr 754 . . . . . . . 8
8988oveq1d 6299 . . . . . . 7
90 mul02 9757 . . . . . . . 8
9190adantl 466 . . . . . . 7
9289, 91eqtr3d 2510 . . . . . 6
9384, 85, 86, 87, 92caofid2 6555 . . . . 5
9493fveq2d 5870 . . . 4
95 itg20 21907 . . . 4
9694, 95syl6eq 2524 . . 3
973adantr 465 . . . . 5
9897recnd 9622 . . . 4
9998mul02d 9777 . . 3
100 simpr 461 . . . 4
101100oveq1d 6299 . . 3
10296, 99, 1013eqtr2d 2514 . 2
1037simprd 463 . . 3
104 leloe 9671 . . . 4
10537, 8, 104sylancr 663 . . 3
106103, 105mpbid 210 . 2
10783, 102, 106mpjaodan 784 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   w3a 973   wceq 1379   wcel 1767  cvv 3113   wss 3476  csn 4027   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cxp 4997  wf 5584  cfv 5588  (class class class)co 6284   cof 6522  cc 9490  cr 9491  cc0 9492  c1 9493   cmul 9497   cpnf 9625  cxr 9627   clt 9628   cle 9629   cdiv 10206  crp 11220  cico 11531  cicc 11532  citg2 21788 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-of 6524  df-ofr 6525  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-xadd 11319  df-ioo 11533  df-ico 11535  df-icc 11536  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-xmet 18211  df-met 18212  df-ovol 21639  df-vol 21640  df-mbf 21791  df-itg1 21792  df-itg2 21793  df-0p 21840 This theorem is referenced by:  iblmulc2  22000  itgmulc2lem1  22001  bddmulibl  22008  iblmulc2nc  29685  itgmulc2nclem1  29686
 Copyright terms: Public domain W3C validator