Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mulc Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itg2mulc 22705
 Description: The integral of a nonnegative constant times a function is the constant times the integral of the original function. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mulc.2
itg2mulc.3
itg2mulc.4
Assertion
Ref Expression
itg2mulc

Proof of Theorem itg2mulc
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mulc.2 . . . . 5
21adantr 467 . . . 4
3 itg2mulc.3 . . . . 5
43adantr 467 . . . 4
5 itg2mulc.4 . . . . . . . 8
6 elrege0 11738 . . . . . . . 8
75, 6sylib 200 . . . . . . 7
87simpld 461 . . . . . 6
98anim1i 572 . . . . 5
10 elrp 11304 . . . . 5
119, 10sylibr 216 . . . 4
122, 4, 11itg2mulclem 22704 . . 3
13 ge0mulcl 11745 . . . . . . . . 9
1413adantl 468 . . . . . . . 8
15 fconst6g 5772 . . . . . . . . 9
165, 15syl 17 . . . . . . . 8
17 reex 9630 . . . . . . . . 9
1817a1i 11 . . . . . . . 8
19 inidm 3641 . . . . . . . 8
2014, 16, 1, 18, 18, 19off 6546 . . . . . . 7
2120adantr 467 . . . . . 6
22 icossicc 11721 . . . . . . . . 9
23 fss 5737 . . . . . . . . 9
2420, 22, 23sylancl 668 . . . . . . . 8
2524adantr 467 . . . . . . 7
268, 3remulcld 9671 . . . . . . . 8
2726adantr 467 . . . . . . 7
28 itg2lecl 22696 . . . . . . 7
2925, 27, 12, 28syl3anc 1268 . . . . . 6
3011rpreccld 11351 . . . . . 6
3121, 29, 30itg2mulclem 22704 . . . . 5
322feqmptd 5918 . . . . . . . 8
33 rge0ssre 11740 . . . . . . . . . . . . . 14
34 ax-resscn 9596 . . . . . . . . . . . . . 14
3533, 34sstri 3441 . . . . . . . . . . . . 13
36 fss 5737 . . . . . . . . . . . . 13
371, 35, 36sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12
3837adantr 467 . . . . . . . . . . 11
3938ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10
4039mulid2d 9661 . . . . . . . . 9
4140mpteq2dva 4489 . . . . . . . 8
4232, 41eqtr4d 2488 . . . . . . 7
4317a1i 11 . . . . . . . 8
44 1red 9658 . . . . . . . 8
4543, 30, 11ofc12 6556 . . . . . . . . . 10
46 fconstmpt 4878 . . . . . . . . . 10
4745, 46syl6eq 2501 . . . . . . . . 9
488recnd 9669 . . . . . . . . . . . 12
4948adantr 467 . . . . . . . . . . 11
5011rpne0d 11346 . . . . . . . . . . 11
5149, 50recid2d 10379 . . . . . . . . . 10
5251mpteq2dv 4490 . . . . . . . . 9
5347, 52eqtrd 2485 . . . . . . . 8
5443, 44, 39, 53, 32offval2 6548 . . . . . . 7
5530rpcnd 11343 . . . . . . . . 9
56 fconst6g 5772 . . . . . . . . 9
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8
58 fconst6g 5772 . . . . . . . . 9
5949, 58syl 17 . . . . . . . 8
60 mulass 9627 . . . . . . . . 9
6160adantl 468 . . . . . . . 8
6243, 57, 59, 38, 61caofass 6565 . . . . . . 7
6342, 54, 623eqtr2d 2491 . . . . . 6
6463fveq2d 5869 . . . . 5
6529recnd 9669 . . . . . 6
6665, 49, 50divrec2d 10387 . . . . 5
6731, 64, 663brtr4d 4433 . . . 4
684, 29, 11lemuldiv2d 11388 . . . 4
6967, 68mpbird 236 . . 3
70 itg2cl 22690 . . . . . 6
7124, 70syl 17 . . . . 5
7226rexrd 9690 . . . . 5
73 xrletri3 11451 . . . . 5
7471, 72, 73syl2anc 667 . . . 4
7612, 69, 75mpbir2and 933 . 2
7717a1i 11 . . . . . 6
7837adantr 467 . . . . . 6
798adantr 467 . . . . . 6
80 0re 9643 . . . . . . 7
8180a1i 11 . . . . . 6
82 simplr 762 . . . . . . . 8
8382oveq1d 6305 . . . . . . 7
84 mul02 9811 . . . . . . . 8
8584adantl 468 . . . . . . 7
8683, 85eqtr3d 2487 . . . . . 6
8777, 78, 79, 81, 86caofid2 6562 . . . . 5
8887fveq2d 5869 . . . 4
89 itg20 22695 . . . 4
9088, 89syl6eq 2501 . . 3
913adantr 467 . . . . 5
9291recnd 9669 . . . 4
9392mul02d 9831 . . 3
94 simpr 463 . . . 4
9594oveq1d 6305 . . 3
9690, 93, 953eqtr2d 2491 . 2
977simprd 465 . . 3
98 leloe 9720 . . . 4
9980, 8, 98sylancr 669 . . 3
10097, 99mpbid 214 . 2
10176, 96, 100mpjaodan 795 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wo 370   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  cvv 3045   wss 3404  csn 3968   class class class wbr 4402   cmpt 4461   cxp 4832  wf 5578  cfv 5582  (class class class)co 6290   cof 6529  cc 9537  cr 9538  cc0 9539  c1 9540   cmul 9544   cpnf 9672  cxr 9674   clt 9675   cle 9676   cdiv 10269  crp 11302  cico 11637  cicc 11638  citg2 22574 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-sum 13753  df-xmet 18963  df-met 18964  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579  df-0p 22628 This theorem is referenced by:  iblmulc2  22788  itgmulc2lem1  22789  bddmulibl  22796  iblmulc2nc  32007  itgmulc2nclem1  32008
 Copyright terms: Public domain W3C validator