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Theorem itg2monolem3 22328
Description: Lemma for itg2mono 22329. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
itg2monolem2.7  |-  ( ph  ->  P  e.  dom  S.1 )
itg2monolem2.8  |-  ( ph  ->  P  oR  <_  G )
itg2monolem2.9  |-  ( ph  ->  -.  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Assertion
Ref Expression
itg2monolem3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    P, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2monolem3
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
3 itg2mono.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
4 itg2mono.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5 itg2mono.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
6 itg2mono.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
7 itg2monolem2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  dom  S.1 )
8 itg2monolem2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  oR  <_  G )
9 itg2monolem2.9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( S.1 `  P
)  <_  S )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9itg2monolem2 22327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
1110adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  e.  RR )
1211recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
137adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  P  e.  dom  S.1 )
14 itg1cl 22261 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  P )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  e.  RR )
1615recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  e.  CC )
17 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
1817rpred 11259 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR )
1911, 18readdcld 9612 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  e.  RR )
2019recnd 9611 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  e.  CC )
21 0red 9586 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
22 0xr 9629 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
24 1nn 10542 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
25 icossicc 11614 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
26 fss 5721 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
273, 25, 26sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
2827ralrimiva 2868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
29 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
3029feq1d 5699 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) )
3130rspcv 3203 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F `  1
) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) )
3224, 28, 31mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
33 itg2cl 22308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 1 ) )  e.  RR* )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  e.  RR* )
35 itg2cl 22308 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 n ) )  e.  RR* )
3627, 35syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
37 eqid 2454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
3836, 37fmptd 6031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
39 frn 5719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
41 supxrcl 11509 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
436, 42syl5eqel 2546 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
44 itg2ge0 22311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( F `  1
) ) )
4532, 44syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( S.2 `  ( F `  1
) ) )
4629fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
47 fvex 5858 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S.2 `  ( F `  1
) )  e.  _V
4846, 37, 47fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  1 )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
4924, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  1 )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
)
50 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
5138, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
52 fnfvelrn 6004 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  1
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
5351, 24, 52sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  1
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
5449, 53syl5eqelr 2547 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
55 supxrub 11519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  ( F ` 
1 ) )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( F `
 1 ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
5640, 54, 55syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
5756, 6syl6breqr 4479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  <_  S )
5823, 34, 43, 45, 57xrletrd 11368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
5958adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <_  S )
6011, 17ltaddrpd 11288 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  t ) )
6121, 11, 19, 59, 60lelttrd 9729 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( S  +  t ) )
6261gt0ne0d 10113 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  =/=  0 )
6312, 16, 20, 62div23d 10353 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  / 
( S  +  t ) )  =  ( ( S  /  ( S  +  t )
)  x.  ( S.1 `  P ) ) )
6411, 19, 62redivcld 10368 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  e.  RR )
6564, 15remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
66 halfre 10750 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
67 ifcl 3971 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
6864, 66, 67sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
6968, 15remulcld 9613 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
70 max2 11391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR )  ->  ( S  / 
( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
7166, 64, 70sylancr 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
727, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  e.  RR )
7372rexrd 9632 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  e.  RR* )
74 xrltnle 9642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  ( S.1 `  P )  e. 
RR* )  ->  ( S  <  ( S.1 `  P
)  <->  -.  ( S.1 `  P )  <_  S
) )
7543, 73, 74syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( S.1 `  P )  <->  -.  ( S.1 `  P )  <_  S ) )
769, 75mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( S.1 `  P ) )
7776adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S.1 `  P ) )
7821, 11, 15, 59, 77lelttrd 9729 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( S.1 `  P ) )
79 lemul1 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
( S.1 `  P )  e.  RR  /\  0  <  ( S.1 `  P
) ) )  -> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) ) )
8064, 68, 15, 78, 79syl112anc 1230 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) ) )
8171, 80mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) )
822adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e. MblFn )
833adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
844adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  oR  <_  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )
855adantlr 712 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
8666a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
87 halfgt0 10752 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 1  /  2
)
8887a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( 1  /  2 ) )
89 max1 11389 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9066, 64, 89sylancr 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9121, 86, 68, 88, 90ltletrd 9731 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9220mulid1d 9602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  t )  x.  1 )  =  ( S  +  t ) )
9360, 92breqtrrd 4465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) )
94 1red 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
95 ltdivmul 10413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( S  +  t )  e.  RR  /\  0  <  ( S  +  t ) ) )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1  <->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) ) )
9611, 94, 19, 61, 95syl112anc 1230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1  <->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) ) )
9793, 96mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1 )
98 halflt1 10753 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  <  1
99 breq1 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  =  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  <  1  <->  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
100 breq1 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
10199, 100ifboth 3965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  <  1  /\  ( 1  /  2
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  <  1 )
10297, 98, 101sylancl 660 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 )
103 1re 9584 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
104103rexri 9635 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
105 elioo2 11573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) ) )
10622, 104, 105mp2an 670 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
10768, 91, 102, 106syl3anbrc 1178 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1088adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  P  oR  <_  G )
109 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( P `  y )  =  ( P `  x ) )
110109oveq2d 6286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  y ) )  =  ( if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( P `  x
) ) )
111 fveq2 5848 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  n
) `  y )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
112110, 111breq12d 4452 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( P `  y
) )  <_  (
( F `  n
) `  y )  <->  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  x )
)  <_  ( ( F `  n ) `  x ) ) )
113112cbvrabv 3105 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  y )
)  <_  ( ( F `  n ) `  y ) }  =  { x  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  x ) )  <_ 
( ( F `  n ) `  x
) }
114113mpteq2i 4522 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  { y  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  y )
)  <_  ( ( F `  n ) `  y ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  { x  e.  RR  |  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  x ) )  <_ 
( ( F `  n ) `  x
) } )
1151, 82, 83, 84, 85, 6, 107, 13, 108, 11, 114itg2monolem1 22326 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  S
)
11665, 69, 11, 81, 115letrd 9728 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  S
)
11763, 116eqbrtrd 4459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  / 
( S  +  t ) )  <_  S
)
11811, 15remulcld 9613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
119 ledivmul2 10417 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  ( ( S  +  t )  e.  RR  /\  0  <  ( S  +  t ) ) )  -> 
( ( ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  /  ( S  +  t )
)  <_  S  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
120118, 11, 19, 61, 119syl112anc 1230 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( S  x.  ( S.1 `  P ) )  /  ( S  +  t ) )  <_  S 
<->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t
) ) ) )
121117, 120mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) )
12268, 15, 91, 78mulgt0d 9726 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( S.1 `  P ) ) )
12321, 69, 11, 122, 115ltletrd 9731 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  S )
124 lemul2 10391 . . . . 5  |-  ( ( ( S.1 `  P
)  e.  RR  /\  ( S  +  t
)  e.  RR  /\  ( S  e.  RR  /\  0  <  S ) )  ->  ( ( S.1 `  P )  <_ 
( S  +  t )  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
12515, 19, 11, 123, 124syl112anc 1230 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S.1 `  P )  <_ 
( S  +  t )  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
126121, 125mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  <_  ( S  +  t )
)
127126ralrimiva 2868 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P )  <_  ( S  +  t ) )
128 alrple 11408 . . 3  |-  ( ( ( S.1 `  P
)  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( ( S.1 `  P
)  <_  S  <->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P
)  <_  ( S  +  t ) ) )
12972, 10, 128syl2anc 659 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.1 `  P
)  <_  S  <->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P
)  <_  ( S  +  t ) ) )
130127, 129mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808    C_ wss 3461   ifcif 3929   class class class wbr 4439    |-> cmpt 4497   dom cdm 4988   ran crn 4989    Fn wfn 5565   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    oRcofr 6512   supcsup 7892   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10202   NNcn 10531   2c2 10581   RR+crp 11221   (,)cioo 11532   [,)cico 11534   [,]cicc 11535  MblFncmbf 22192   S.1citg1 22193   S.2citg2 22194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cc 8806  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4411  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-ofr 6514  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-seq 12093  df-exp 12152  df-hash 12391  df-cj 13017  df-re 13018  df-im 13019  df-sqrt 13153  df-abs 13154  df-clim 13396  df-rlim 13397  df-sum 13594  df-rest 14915  df-topgen 14936  df-psmet 18609  df-xmet 18610  df-met 18611  df-bl 18612  df-mopn 18613  df-top 19569  df-bases 19571  df-topon 19572  df-cmp 20057  df-ovol 22045  df-vol 22046  df-mbf 22197  df-itg1 22198  df-itg2 22199
This theorem is referenced by:  itg2mono  22329
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