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Theorem itg2monolem3 21332
Description: Lemma for itg2mono 21333. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
itg2monolem2.7  |-  ( ph  ->  P  e.  dom  S.1 )
itg2monolem2.8  |-  ( ph  ->  P  oR  <_  G )
itg2monolem2.9  |-  ( ph  ->  -.  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Assertion
Ref Expression
itg2monolem3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    P, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2monolem3
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
3 itg2mono.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
4 itg2mono.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5 itg2mono.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
6 itg2mono.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
7 itg2monolem2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  dom  S.1 )
8 itg2monolem2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  oR  <_  G )
9 itg2monolem2.9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( S.1 `  P
)  <_  S )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9itg2monolem2 21331 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  e.  RR )
1211recnd 9499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
137adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  P  e.  dom  S.1 )
14 itg1cl 21265 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  P )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  e.  RR )
1615recnd 9499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  e.  CC )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
1817rpred 11114 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR )
1911, 18readdcld 9500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  e.  RR )
2019recnd 9499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  e.  CC )
21 0red 9474 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
22 0xr 9517 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
24 1nn 10420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
25 rexr 9516 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2625anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
27 elrege0 11479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
28 elxrge0 11481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
2926, 27, 283imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3029ssriv 3444 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
31 fss 5651 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
323, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
3332ralrimiva 2881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
34 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
3534feq1d 5630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) )
3635rspcv 3151 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F `  1
) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) )
3724, 33, 36mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
38 itg2cl 21312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 1 ) )  e.  RR* )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  e.  RR* )
40 itg2cl 21312 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 n ) )  e.  RR* )
4132, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
42 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
4341, 42fmptd 5952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
44 frn 5649 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
46 supxrcl 11364 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
486, 47syl5eqel 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
49 itg2ge0 21315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( F `  1
) ) )
5037, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( S.2 `  ( F `  1
) ) )
5134fveq2d 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
52 fvex 5785 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S.2 `  ( F `  1
) )  e.  _V
5351, 42, 52fvmpt 5859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  1 )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
5424, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  1 )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
)
55 ffn 5643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
5643, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
57 fnfvelrn 5925 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  1
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
5856, 24, 57sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  1
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
5954, 58syl5eqelr 2541 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
60 supxrub 11374 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  ( F ` 
1 ) )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( F `
 1 ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6145, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6261, 6syl6breqr 4416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  <_  S )
6323, 39, 48, 50, 62xrletrd 11223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
6463adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <_  S )
6511, 17ltaddrpd 11143 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  t ) )
6621, 11, 19, 64, 65lelttrd 9616 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( S  +  t ) )
6766gt0ne0d 9991 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  =/=  0 )
6812, 16, 20, 67div23d 10231 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  / 
( S  +  t ) )  =  ( ( S  /  ( S  +  t )
)  x.  ( S.1 `  P ) ) )
6911, 19, 67redivcld 10246 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  e.  RR )
7069, 15remulcld 9501 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
71 halfre 10627 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
72 ifcl 3915 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
7369, 71, 72sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
7473, 15remulcld 9501 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
75 max2 11246 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR )  ->  ( S  / 
( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
7671, 69, 75sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
777, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  e.  RR )
7877rexrd 9520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  e.  RR* )
79 xrltnle 9530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  ( S.1 `  P )  e. 
RR* )  ->  ( S  <  ( S.1 `  P
)  <->  -.  ( S.1 `  P )  <_  S
) )
8048, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( S.1 `  P )  <->  -.  ( S.1 `  P )  <_  S ) )
819, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( S.1 `  P ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S.1 `  P ) )
8321, 11, 15, 64, 82lelttrd 9616 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( S.1 `  P ) )
84 lemul1 10268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
( S.1 `  P )  e.  RR  /\  0  <  ( S.1 `  P
) ) )  -> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) ) )
8569, 73, 15, 83, 84syl112anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) ) )
8676, 85mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) )
872adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e. MblFn )
883adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
894adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  oR  <_  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )
905adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
9171a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
92 halfgt0 10629 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( 1  /  2 ) )
94 max1 11244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9571, 69, 94sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9621, 91, 73, 93, 95ltletrd 9618 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9720mulid1d 9490 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  t )  x.  1 )  =  ( S  +  t ) )
9865, 97breqtrrd 4402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) )
99 1red 9488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
100 ltdivmul 10291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( S  +  t )  e.  RR  /\  0  <  ( S  +  t ) ) )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1  <->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) ) )
10111, 99, 19, 66, 100syl112anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1  <->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) ) )
10298, 101mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1 )
103 halflt1 10630 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  <  1
104 breq1 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  =  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  <  1  <->  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
105 breq1 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
106104, 105ifboth 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  <  1  /\  ( 1  /  2
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  <  1 )
107102, 103, 106sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 )
108 1re 9472 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
109108rexri 9523 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
110 elioo2 11428 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) ) )
11122, 109, 110mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
11273, 96, 107, 111syl3anbrc 1172 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1138adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  P  oR  <_  G )
114 fveq2 5775 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( P `  y )  =  ( P `  x ) )
115114oveq2d 6192 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  y ) )  =  ( if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( P `  x
) ) )
116 fveq2 5775 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  n
) `  y )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
117115, 116breq12d 4389 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( P `  y
) )  <_  (
( F `  n
) `  y )  <->  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  x )
)  <_  ( ( F `  n ) `  x ) ) )
118117cbvrabv 3053 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  y )
)  <_  ( ( F `  n ) `  y ) }  =  { x  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  x ) )  <_ 
( ( F `  n ) `  x
) }
119118mpteq2i 4459 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  { y  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  y )
)  <_  ( ( F `  n ) `  y ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  { x  e.  RR  |  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  x ) )  <_ 
( ( F `  n ) `  x
) } )
1201, 87, 88, 89, 90, 6, 112, 13, 113, 11, 119itg2monolem1 21330 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  S
)
12170, 74, 11, 86, 120letrd 9615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  S
)
12268, 121eqbrtrd 4396 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  / 
( S  +  t ) )  <_  S
)
12311, 15remulcld 9501 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
124 ledivmul2 10296 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  ( ( S  +  t )  e.  RR  /\  0  <  ( S  +  t ) ) )  -> 
( ( ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  /  ( S  +  t )
)  <_  S  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
125123, 11, 19, 66, 124syl112anc 1223 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( S  x.  ( S.1 `  P ) )  /  ( S  +  t ) )  <_  S 
<->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t
) ) ) )
126122, 125mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) )
12773, 15, 96, 83mulgt0d 9613 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( S.1 `  P ) ) )
12821, 74, 11, 127, 120ltletrd 9618 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  S )
129 lemul2 10269 . . . . 5  |-  ( ( ( S.1 `  P
)  e.  RR  /\  ( S  +  t
)  e.  RR  /\  ( S  e.  RR  /\  0  <  S ) )  ->  ( ( S.1 `  P )  <_ 
( S  +  t )  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
13015, 19, 11, 128, 129syl112anc 1223 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S.1 `  P )  <_ 
( S  +  t )  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
131126, 130mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  <_  ( S  +  t )
)
132131ralrimiva 2881 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P )  <_  ( S  +  t ) )
133 alrple 11263 . . 3  |-  ( ( ( S.1 `  P
)  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( ( S.1 `  P
)  <_  S  <->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P
)  <_  ( S  +  t ) ) )
13477, 10, 133syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.1 `  P
)  <_  S  <->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P
)  <_  ( S  +  t ) ) )
135132, 134mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   A.wral 2792   E.wrex 2793   {crab 2796    C_ wss 3412   ifcif 3875   class class class wbr 4376    |-> cmpt 4434   dom cdm 4924   ran crn 4925    Fn wfn 5497   -->wf 5498   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    oRcofr 6405   supcsup 7777   RRcr 9368   0cc0 9369   1c1 9370    + caddc 9372    x. cmul 9374   +oocpnf 9502   RR*cxr 9504    < clt 9505    <_ cle 9506    / cdiv 10080   NNcn 10409   2c2 10458   RR+crp 11078   (,)cioo 11387   [,)cico 11389   [,]cicc 11390  MblFncmbf 21196   S.1citg1 21197   S.2citg2 21198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cc 8691  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447  ax-addf 9448
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-disj 4347  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-of 6406  df-ofr 6407  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-omul 7011  df-er 7187  df-map 7302  df-pm 7303  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-fi 7748  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-acn 8199  df-cda 8424  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-q 11041  df-rp 11079  df-xneg 11176  df-xadd 11177  df-xmul 11178  df-ioo 11391  df-ioc 11392  df-ico 11393  df-icc 11394  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-fl 11729  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-clim 13054  df-rlim 13055  df-sum 13252  df-rest 14449  df-topgen 14470  df-psmet 17904  df-xmet 17905  df-met 17906  df-bl 17907  df-mopn 17908  df-top 18605  df-bases 18607  df-topon 18608  df-cmp 19092  df-ovol 21050  df-vol 21051  df-mbf 21201  df-itg1 21202  df-itg2 21203
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