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Theorem itg2monolem3 21894
Description: Lemma for itg2mono 21895. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
itg2monolem2.7  |-  ( ph  ->  P  e.  dom  S.1 )
itg2monolem2.8  |-  ( ph  ->  P  oR  <_  G )
itg2monolem2.9  |-  ( ph  ->  -.  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Assertion
Ref Expression
itg2monolem3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    P, n, x, y    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2monolem3
Dummy variable  t is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
3 itg2mono.3 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
4 itg2mono.4 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5 itg2mono.5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
6 itg2mono.6 . . . . . . . . . 10  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
7 itg2monolem2.7 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  dom  S.1 )
8 itg2monolem2.8 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  oR  <_  G )
9 itg2monolem2.9 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  -.  ( S.1 `  P
)  <_  S )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9itg2monolem2 21893 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  S  e.  RR )
1110adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  e.  RR )
1211recnd 9618 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  e.  CC )
137adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  P  e.  dom  S.1 )
14 itg1cl 21827 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  P )  e.  RR )
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  e.  RR )
1615recnd 9618 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  e.  CC )
17 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR+ )
1817rpred 11252 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  t  e.  RR )
1911, 18readdcld 9619 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  e.  RR )
2019recnd 9618 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  e.  CC )
21 0red 9593 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  e.  RR )
22 0xr 9636 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR*
2322a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  e.  RR* )
24 1nn 10543 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  NN
25 rexr 9635 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
2625anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
27 elrege0 11623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
28 elxrge0 11625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
2926, 27, 283imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3029ssriv 3508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
31 fss 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
323, 30, 31sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
3332ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
34 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
3534feq1d 5715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,] +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) )
3635rspcv 3210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F `  1
) : RR --> ( 0 [,] +oo ) ) )
3724, 33, 36mpsyl 63 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
38 itg2cl 21874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 1 ) )  e.  RR* )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  e.  RR* )
40 itg2cl 21874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 n ) )  e.  RR* )
4132, 40syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
42 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
4341, 42fmptd 6043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
44 frn 5735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
4543, 44syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
46 supxrcl 11502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
486, 47syl5eqel 2559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
49 itg2ge0 21877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( F `  1
) ) )
5037, 49syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  0  <_  ( S.2 `  ( F `  1
) ) )
5134fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  1  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
52 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( S.2 `  ( F `  1
) )  e.  _V
5351, 42, 52fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  1 )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
) )
5424, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  1 )  =  ( S.2 `  ( F `  1 )
)
55 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
5643, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
57 fnfvelrn 6016 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  1
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
5856, 24, 57sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  1
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
5954, 58syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) )
60 supxrub 11512 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  ( F ` 
1 ) )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) )  -> 
( S.2 `  ( F `
 1 ) )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6145, 59, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
6261, 6syl6breqr 4487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F `  1 )
)  <_  S )
6323, 39, 48, 50, 62xrletrd 11361 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <_  S )
6463adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <_  S )
6511, 17ltaddrpd 11281 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S  +  t ) )
6621, 11, 19, 64, 65lelttrd 9735 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( S  +  t ) )
6766gt0ne0d 10113 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  +  t )  =/=  0 )
6812, 16, 20, 67div23d 10353 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  / 
( S  +  t ) )  =  ( ( S  /  ( S  +  t )
)  x.  ( S.1 `  P ) ) )
6911, 19, 67redivcld 10368 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  e.  RR )
7069, 15remulcld 9620 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
71 halfre 10750 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
72 ifcl 3981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  e.  RR )
7369, 71, 72sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR )
7473, 15remulcld 9620 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
75 max2 11384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR )  ->  ( S  / 
( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
7671, 69, 75sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
777, 14syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  e.  RR )
7877rexrd 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  e.  RR* )
79 xrltnle 9649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( S  e.  RR*  /\  ( S.1 `  P )  e. 
RR* )  ->  ( S  <  ( S.1 `  P
)  <->  -.  ( S.1 `  P )  <_  S
) )
8048, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  <  ( S.1 `  P )  <->  -.  ( S.1 `  P )  <_  S ) )
819, 80mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  <  ( S.1 `  P ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( S.1 `  P ) )
8321, 11, 15, 64, 82lelttrd 9735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( S.1 `  P ) )
84 lemul1 10390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  (
( S.1 `  P )  e.  RR  /\  0  <  ( S.1 `  P
) ) )  -> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) ) )
8569, 73, 15, 83, 84syl112anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <-> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) ) )
8676, 85mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) ) )
872adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e. MblFn )
883adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
894adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  oR  <_  ( F `
 ( n  + 
1 ) ) )
905adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  t  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
9171a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
92 halfgt0 10752 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9392a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( 1  /  2 ) )
94 max1 11382 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( S  /  ( S  +  t )
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9571, 69, 94sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9621, 91, 73, 93, 95ltletrd 9737 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) ) )
9720mulid1d 9609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  +  t )  x.  1 )  =  ( S  +  t ) )
9865, 97breqtrrd 4473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) )
99 1red 9607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  1  e.  RR )
100 ltdivmul 10413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( S  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
( S  +  t )  e.  RR  /\  0  <  ( S  +  t ) ) )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1  <->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) ) )
10111, 99, 19, 66, 100syl112anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1  <->  S  <  ( ( S  +  t )  x.  1 ) ) )
10298, 101mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  /  ( S  +  t ) )  <  1 )
103 halflt1 10753 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  /  2 )  <  1
104 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  =  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( S  / 
( S  +  t ) )  <  1  <->  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
105 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
106104, 105ifboth 3975 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( S  /  ( S  +  t )
)  <  1  /\  ( 1  /  2
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  <  1 )
107102, 103, 106sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 )
108 1re 9591 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  RR
109108rexri 9642 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR*
110 elioo2 11566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  1  e.  RR* )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) ) )
11122, 109, 110mp2an 672 . . . . . . . . 9  |-  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 )  <->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  RR  /\  0  <  if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  /\  if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  <  1 ) )
11273, 96, 107, 111syl3anbrc 1180 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  if (
( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  e.  ( 0 (,) 1 ) )
1138adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  P  oR  <_  G )
114 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  x  ->  ( P `  y )  =  ( P `  x ) )
115114oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  y ) )  =  ( if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( P `  x
) ) )
116 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  x  ->  (
( F `  n
) `  y )  =  ( ( F `
 n ) `  x ) )
117115, 116breq12d 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  x  ->  (
( if ( ( 1  /  2 )  <_  ( S  / 
( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  / 
2 ) )  x.  ( P `  y
) )  <_  (
( F `  n
) `  y )  <->  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  x )
)  <_  ( ( F `  n ) `  x ) ) )
118117cbvrabv 3112 . . . . . . . . 9  |-  { y  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  y )
)  <_  ( ( F `  n ) `  y ) }  =  { x  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2
)  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  x ) )  <_ 
( ( F `  n ) `  x
) }
119118mpteq2i 4530 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  { y  e.  RR  |  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( P `  y )
)  <_  ( ( F `  n ) `  y ) } )  =  ( n  e.  NN  |->  { x  e.  RR  |  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( P `  x ) )  <_ 
( ( F `  n ) `  x
) } )
1201, 87, 88, 89, 90, 6, 112, 13, 113, 11, 119itg2monolem1 21892 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( if ( ( 1  / 
2 )  <_  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( 1  /  2 ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  S
)
12170, 74, 11, 86, 120letrd 9734 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  /  ( S  +  t ) )  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  S
)
12268, 121eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  / 
( S  +  t ) )  <_  S
)
12311, 15remulcld 9620 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  e.  RR )
124 ledivmul2 10418 . . . . . 6  |-  ( ( ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  e.  RR  /\  S  e.  RR  /\  ( ( S  +  t )  e.  RR  /\  0  <  ( S  +  t ) ) )  -> 
( ( ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  /  ( S  +  t )
)  <_  S  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
125123, 11, 19, 66, 124syl112anc 1232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( (
( S  x.  ( S.1 `  P ) )  /  ( S  +  t ) )  <_  S 
<->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t
) ) ) )
126122, 125mpbid 210 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S  x.  ( S.1 `  P
) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) )
12773, 15, 96, 83mulgt0d 9732 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  ( if ( ( 1  /  2 )  <_ 
( S  /  ( S  +  t )
) ,  ( S  /  ( S  +  t ) ) ,  ( 1  /  2
) )  x.  ( S.1 `  P ) ) )
12821, 74, 11, 127, 120ltletrd 9737 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  0  <  S )
129 lemul2 10391 . . . . 5  |-  ( ( ( S.1 `  P
)  e.  RR  /\  ( S  +  t
)  e.  RR  /\  ( S  e.  RR  /\  0  <  S ) )  ->  ( ( S.1 `  P )  <_ 
( S  +  t )  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
13015, 19, 11, 128, 129syl112anc 1232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( ( S.1 `  P )  <_ 
( S  +  t )  <->  ( S  x.  ( S.1 `  P ) )  <_  ( S  x.  ( S  +  t ) ) ) )
131126, 130mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  t  e.  RR+ )  ->  ( S.1 `  P )  <_  ( S  +  t )
)
132131ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P )  <_  ( S  +  t ) )
133 alrple 11401 . . 3  |-  ( ( ( S.1 `  P
)  e.  RR  /\  S  e.  RR )  ->  ( ( S.1 `  P
)  <_  S  <->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P
)  <_  ( S  +  t ) ) )
13477, 10, 133syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.1 `  P
)  <_  S  <->  A. t  e.  RR+  ( S.1 `  P
)  <_  ( S  +  t ) ) )
135132, 134mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  P
)  <_  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oRcofr 6521   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491    x. cmul 9493   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625    / cdiv 10202   NNcn 10532   2c2 10581   RR+crp 11216   (,)cioo 11525   [,)cico 11527   [,]cicc 11528  MblFncmbf 21758   S.1citg1 21759   S.2citg2 21760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765
This theorem is referenced by:  itg2mono  21895
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