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Theorem itg2mono 22286
Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If  { ( F `
 n ) : n  e.  NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and  G is the pointwise limit of the sequence, then  ( S.2 `  G
) is the limit of the sequence  { ( S.2 `  ( F `  n
) ) : n  e.  NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
itg2mono  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono
Dummy variables  f  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
32adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
4 itg2mono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
54adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6 itg2mono.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
76adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
8 itg2mono.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
98adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
10 itg2mono.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
11 simprll 763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
12 simprlr 764 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  oR  <_  G )
13 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  -.  ( S.1 `  f )  <_  S
)
141, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13itg2monolem3 22285 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
1514expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G ) )  ->  ( -.  ( S.1 `  f )  <_  S  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
1615pm2.18d 111 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  S
)
1716expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)
1817ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
19 rge0ssre 11653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
20 fss 5745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  -> 
( F `  n
) : RR --> RR )
214, 19, 20sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> RR )
2221ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
2322an32s 804 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
24 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )
2523, 24fmptd 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) : NN --> RR )
26 frn 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR )
2725, 26syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  C_  RR )
28 1nn 10567 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
2924, 23dmmptd 5717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =  NN )
3028, 29syl5eleqr 2552 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e. 
dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
31 ne0i 3799 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
33 dm0rn0 5229 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/) )
3433necon3bii 2725 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/) )
3532, 34sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
36 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
3725, 36syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  Fn  NN )
38 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y )
)
3938ralrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y
) )
4037, 39syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  <_ 
y ) )
41 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
4241fveq1d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  x ) )
43 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  m ) `
 x )  e. 
_V
4442, 24, 43fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
4544breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y  <->  ( ( F `  m
) `  x )  <_  y ) )
4645ralbiia 2887 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  y
)
4742breq1d 4466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( F `  n ) `  x
)  <_  y  <->  ( ( F `  m ) `  x )  <_  y
) )
4847cbvralv 3084 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
( F `  n
) `  x )  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `  m ) `  x
)  <_  y )
4946, 48bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
5040, 49syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
5150rexbidv 2968 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
528, 51mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )
53 suprcl 10523 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5427, 35, 52, 53syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5554rexrd 9660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
56 0red 9614 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
574ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
58 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
5958feq1d 5723 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
6059rspcv 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  -> 
( F `  1
) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
6128, 57, 60mpsyl 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6261ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
63 elrege0 11652 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( F `
 1 ) `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  1 ) `  x ) ) )
6462, 63sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) ) )
6564simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  RR )
6664simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) )
6758fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 1 ) `  x ) )
68 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
_V
6967, 24, 68fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  1
)  =  ( ( F `  1 ) `
 x ) )
7028, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  =  ( ( F `
 1 ) `  x )
71 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 1 )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7237, 28, 71sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7370, 72syl5eqelr 2550 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
74 suprub 10524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F ` 
1 ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  1
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
7527, 35, 52, 73, 74syl31anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
7656, 65, 54, 66, 75letrd 9756 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
77 elxrge0 11654 . . . . . 6  |-  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7855, 76, 77sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7978, 1fmptd 6056 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
80 icossicc 11636 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
81 fss 5745 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
824, 80, 81sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
83 itg2cl 22265 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 n ) )  e.  RR* )
8482, 83syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
85 eqid 2457 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
8684, 85fmptd 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
87 frn 5743 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
8886, 87syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
89 supxrcl 11531 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9088, 89syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9110, 90syl5eqel 2549 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
92 itg2leub 22267 . . . 4  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  S  e.  RR* )  -> 
( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
9379, 91, 92syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
9418, 93mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  <_  S )
9541feq1d 5723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
9695cbvralv 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
9757, 96sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
9897r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
99 fss 5745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
10098, 80, 99sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
10179adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
10227, 35, 523jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
103102adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
10444ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
10537adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
106 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  m  e.  NN )
107 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
108105, 106, 107syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )
109104, 108eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
110 suprub 10524 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F `  m ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
111103, 109, 110syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
112 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
113 ltso 9682 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
114113supex 7940 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
1151fvmpt2 5964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )
116112, 114, 115sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
117111, 116breqtrrd 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
) )
118117ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  ( G `  x )
)
119 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  m
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
120 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
121119, 120breq12d 4469 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  m ) `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  m ) `  z )  <_  ( G `  z )
) )
122121cbvralv 3084 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
)  <->  A. z  e.  RR  ( ( F `  m ) `  z
)  <_  ( G `  z ) )
123118, 122sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. z  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  z )  <_  ( G `  z )
)
124 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F `  m
)  Fn  RR )
125100, 124syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  Fn  RR )
12654, 1fmptd 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
127 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
128126, 127syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
129128adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G  Fn  RR )
130 reex 9600 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
131130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
132 inidm 3703 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
133 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
134 eqidd 2458 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
135125, 129, 131, 131, 132, 133, 134ofrfval 6547 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F `  m )  oR  <_  G  <->  A. z  e.  RR  (
( F `  m
) `  z )  <_  ( G `  z
) ) )
136123, 135mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  oR  <_  G )
137 itg2le 22272 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  m )  oR  <_  G
)  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
138100, 101, 136, 137syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
139138ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
140 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
14186, 140syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
142 breq1 4459 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
143142ralrn 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
144141, 143syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
14541fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
146 fvex 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( S.2 `  ( F `  m
) )  e.  _V
147145, 85, 146fvmpt 5956 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
148147breq1d 4466 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
149148ralbiia 2887 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
150144, 149syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
151139, 150mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) )
152 itg2cl 22265 . . . . . 6  |-  ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  G )  e.  RR* )
15379, 152syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
154 supxrleub 11543 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
15588, 153, 154syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
156151, 155mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
) )
15710, 156syl5eqbr 4489 . 2  |-  ( ph  ->  S  <_  ( S.2 `  G ) )
158 xrletri3 11383 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  G
)  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  G )  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
159153, 91, 158syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
16094, 157, 159mpbir2and 922 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oRcofr 6538   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   [,)cico 11556   [,]cicc 11557  MblFncmbf 22149   S.1citg1 22150   S.2citg2 22151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  22288  itg2cnlem1  22294
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