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Theorem itg2mono 21911
Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If  { ( F `
 n ) : n  e.  NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and  G is the pointwise limit of the sequence, then  ( S.2 `  G
) is the limit of the sequence  { ( S.2 `  ( F `  n
) ) : n  e.  NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
itg2mono  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono
Dummy variables  f  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
32adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
4 itg2mono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
54adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6 itg2mono.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
76adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
8 itg2mono.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
98adantlr 714 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
10 itg2mono.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
11 simprll 761 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
12 simprlr 762 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  oR  <_  G )
13 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  -.  ( S.1 `  f )  <_  S
)
141, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13itg2monolem3 21910 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
1514expr 615 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G ) )  ->  ( -.  ( S.1 `  f )  <_  S  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
1615pm2.18d 111 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  S
)
1716expr 615 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)
1817ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
19 0re 9595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  0  e.  RR
20 pnfxr 11320 . . . . . . . . . . . . . 14  |- +oo  e.  RR*
21 icossre 11604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
2219, 20, 21mp2an 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
23 fss 5738 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  -> 
( F `  n
) : RR --> RR )
244, 22, 23sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> RR )
2524ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
2625an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
27 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )
2826, 27fmptd 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) : NN --> RR )
29 frn 5736 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR )
3028, 29syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  C_  RR )
31 1nn 10546 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
32 fdm 5734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  NN )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =  NN )
3431, 33syl5eleqr 2562 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e. 
dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
35 ne0i 3791 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
37 dm0rn0 5218 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/) )
3837necon3bii 2735 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/) )
3936, 38sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
40 ffn 5730 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
4128, 40syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  Fn  NN )
42 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y )
)
4342ralrn 6023 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y
) )
4441, 43syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  <_ 
y ) )
45 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
4645fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  x ) )
47 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  m ) `
 x )  e. 
_V
4846, 27, 47fvmpt 5949 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
4948breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y  <->  ( ( F `  m
) `  x )  <_  y ) )
5049ralbiia 2894 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  y
)
5146breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( F `  n ) `  x
)  <_  y  <->  ( ( F `  m ) `  x )  <_  y
) )
5251cbvralv 3088 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
( F `  n
) `  x )  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `  m ) `  x
)  <_  y )
5350, 52bitr4i 252 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
5444, 53syl6bb 261 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
5554rexbidv 2973 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
568, 55mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )
57 suprcl 10502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5830, 39, 56, 57syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5958rexrd 9642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
60 0red 9596 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
614ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
62 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
6362feq1d 5716 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
6463rspcv 3210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  -> 
( F `  1
) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
6531, 61, 64mpsyl 63 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6665ffvelrnda 6020 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
67 elrege0 11626 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( F `
 1 ) `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  1 ) `  x ) ) )
6866, 67sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) ) )
6968simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  RR )
7068simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) )
7162fveq1d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 1 ) `  x ) )
72 fvex 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
_V
7371, 27, 72fvmpt 5949 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  1
)  =  ( ( F `  1 ) `
 x ) )
7431, 73ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  =  ( ( F `
 1 ) `  x )
75 fnfvelrn 6017 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 1 )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7641, 31, 75sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7774, 76syl5eqelr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
78 suprub 10503 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F ` 
1 ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  1
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
7930, 39, 56, 77, 78syl31anc 1231 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
8060, 69, 58, 70, 79letrd 9737 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
81 elxrge0 11628 . . . . . 6  |-  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
8259, 80, 81sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8382, 1fmptd 6044 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
84 rexr 9638 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
8584anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
86 elrege0 11626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
87 elxrge0 11628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
8885, 86, 873imtr4i 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8988ssriv 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
90 fss 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
914, 89, 90sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
92 itg2cl 21890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 n ) )  e.  RR* )
9391, 92syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
94 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
9593, 94fmptd 6044 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
96 frn 5736 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
9795, 96syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
98 supxrcl 11505 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9997, 98syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
10010, 99syl5eqel 2559 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
101 itg2leub 21892 . . . 4  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  S  e.  RR* )  -> 
( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
10283, 100, 101syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
10318, 102mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  <_  S )
10445feq1d 5716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
105104cbvralv 3088 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10661, 105sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
107106r19.21bi 2833 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
108 fss 5738 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
109107, 89, 108sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
11083adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
11130, 39, 563jca 1176 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
112111adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
11348ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
11441adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
115 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  m  e.  NN )
116 fnfvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
117114, 115, 116syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )
118113, 117eqeltrrd 2556 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
119 suprub 10503 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F `  m ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
120112, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
121 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
122 ltso 9664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
123122supex 7922 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
1241fvmpt2 5956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )
125121, 123, 124sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
126120, 125breqtrrd 4473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
) )
127126ralrimiva 2878 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  ( G `  x )
)
128 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  m
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
129 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
130128, 129breq12d 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  m ) `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  m ) `  z )  <_  ( G `  z )
) )
131130cbvralv 3088 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
)  <->  A. z  e.  RR  ( ( F `  m ) `  z
)  <_  ( G `  z ) )
132127, 131sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. z  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  z )  <_  ( G `  z )
)
133 ffn 5730 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F `  m
)  Fn  RR )
134109, 133syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  Fn  RR )
13558, 1fmptd 6044 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
136 ffn 5730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
137135, 136syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
138137adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G  Fn  RR )
139 reex 9582 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
140139a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
141 inidm 3707 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
142 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
143 eqidd 2468 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
144134, 138, 140, 140, 141, 142, 143ofrfval 6531 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F `  m )  oR  <_  G  <->  A. z  e.  RR  (
( F `  m
) `  z )  <_  ( G `  z
) ) )
145132, 144mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  oR  <_  G )
146 itg2le 21897 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  m )  oR  <_  G
)  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
147109, 110, 145, 146syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
148147ralrimiva 2878 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
149 ffn 5730 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
15095, 149syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
151 breq1 4450 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
152151ralrn 6023 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
153150, 152syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
15445fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
155 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( S.2 `  ( F `  m
) )  e.  _V
156154, 94, 155fvmpt 5949 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
157156breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
158157ralbiia 2894 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
159153, 158syl6bb 261 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
160148, 159mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) )
161 itg2cl 21890 . . . . . 6  |-  ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  G )  e.  RR* )
16283, 161syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
163 supxrleub 11517 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
16497, 162, 163syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
165160, 164mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
) )
16610, 165syl5eqbr 4480 . 2  |-  ( ph  ->  S  <_  ( S.2 `  G ) )
167 xrletri3 11357 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  G
)  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  G )  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
168162, 100, 167syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
169103, 166, 168mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5582   -->wf 5583   ` cfv 5587  (class class class)co 6283    oRcofr 6522   supcsup 7899   RRcr 9490   0cc0 9491   1c1 9492    + caddc 9494   +oocpnf 9624   RR*cxr 9626    < clt 9627    <_ cle 9628   NNcn 10535   [,)cico 11530   [,]cicc 11531  MblFncmbf 21774   S.1citg1 21775   S.2citg2 21776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6575  ax-inf2 8057  ax-cc 8814  ax-cnex 9547  ax-resscn 9548  ax-1cn 9549  ax-icn 9550  ax-addcl 9551  ax-addrcl 9552  ax-mulcl 9553  ax-mulrcl 9554  ax-mulcom 9555  ax-addass 9556  ax-mulass 9557  ax-distr 9558  ax-i2m1 9559  ax-1ne0 9560  ax-1rid 9561  ax-rnegex 9562  ax-rrecex 9563  ax-cnre 9564  ax-pre-lttri 9565  ax-pre-lttrn 9566  ax-pre-ltadd 9567  ax-pre-mulgt0 9568  ax-pre-sup 9569  ax-addf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5550  df-fun 5589  df-fn 5590  df-f 5591  df-f1 5592  df-fo 5593  df-f1o 5594  df-fv 5595  df-isom 5596  df-riota 6244  df-ov 6286  df-oprab 6287  df-mpt2 6288  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6680  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-map 7422  df-pm 7423  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7870  df-sup 7900  df-oi 7934  df-card 8319  df-acn 8322  df-cda 8547  df-pnf 9629  df-mnf 9630  df-xr 9631  df-ltxr 9632  df-le 9633  df-sub 9806  df-neg 9807  df-div 10206  df-nn 10536  df-2 10593  df-3 10594  df-n0 10795  df-z 10864  df-uz 11082  df-q 11182  df-rp 11220  df-xneg 11317  df-xadd 11318  df-xmul 11319  df-ioo 11532  df-ioc 11533  df-ico 11534  df-icc 11535  df-fz 11672  df-fzo 11792  df-fl 11896  df-seq 12075  df-exp 12134  df-hash 12373  df-cj 12894  df-re 12895  df-im 12896  df-sqrt 13030  df-abs 13031  df-clim 13273  df-rlim 13274  df-sum 13471  df-rest 14677  df-topgen 14698  df-psmet 18198  df-xmet 18199  df-met 18200  df-bl 18201  df-mopn 18202  df-top 19182  df-bases 19184  df-topon 19185  df-cmp 19669  df-ovol 21627  df-vol 21628  df-mbf 21779  df-itg1 21780  df-itg2 21781
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  21913  itg2cnlem1  21919
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