Theorem itg2mono 21190

Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If { ( F ` n ) : n e. NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and G is the pointwise limit of the sequence, then ( S.2 ` G ) is the limit of the sequence { ( S.2 ` ( F ` n ) ) : n e. NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	|- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
itg2mono.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
itg2mono.3	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
itg2mono.5	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
itg2mono.6	|- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
itg2mono	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Distinct variable groups:   x, n, y, G   n, F, x, y   ph, n, x, y   S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono

Dummy variables f m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
2		itg2mono.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
3	2	adantlr 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
4		itg2mono.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5	4	adantlr 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6		itg2mono.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
7	6	adantlr 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
8		itg2mono.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
9	8	adantlr 709	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
10		itg2mono.6	. . . . . . . 8 |- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )
11		simprll 756	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f e. dom S.1 )
12		simprlr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f oR <_ G )
13		simprr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> -. ( S.1 ` f ) <_ S )
14	1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13	itg2monolem3 21189	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
15	14	expr 612	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) ) -> ( -. ( S.1 ` f ) <_ S -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
16	15	pm2.18d 111	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
17	16	expr 612	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
18	17	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
19		0re 9382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
20		pnfxr 11088	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
21		icossre 11372	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
22	19, 20, 21	mp2an 667	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
23		fss 5564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
24	4, 22, 23	sylancl 657	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
25	24	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
26	25	an32s 797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
27		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) )
28	26, 27	fmptd 5864	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR )
29		frn 5562	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
31		1nn 10329	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
32		fdm 5560	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = NN )
33	28, 32	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = NN )
34	31, 33	syl5eleqr 2528	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
35		ne0i 3640	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
37		dm0rn0 5052	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) )
38	37	necon3bii 2638	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
39	36, 38	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
40		ffn 5556	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
41	28, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
42		breq1 4292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) -> ( z <_ y <-> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
43	42	ralrn 5843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
44	41, 43	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
45		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
46	45	fveq1d 5690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
47		fvex 5698	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` m ) ` x ) e. _V
48	46, 27, 47	fvmpt 5771	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
49	48	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
50	49	ralbiia 2745	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
51	46	breq1d 4299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
52	51	cbvralv 2945	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
53	50, 52	bitr4i 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
54	44, 53	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
55	54	rexbidv 2734	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
56	8, 55	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y )
57		suprcl 10286	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
58	30, 39, 56, 57	syl3anc 1213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
59	58	rexrd 9429	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* )
60		0red 9383	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. RR )
61	4	ralrimiva 2797	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
62		fveq2 5688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
63	62	feq1d 5543	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
64	63	rspcv 3066	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
65	31, 61, 64	mpsyl 63	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
66	65	ffvelrnda 5840	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67		elrege0 11388	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
68	66, 67	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
69	68	simpld 456	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR )
70	68	simprd 460	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) )
71	62	fveq1d 5690	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
72		fvex 5698	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 1 ) ` x ) e. _V
73	71, 27, 72	fvmpt 5771	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
74	31, 73	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x )
75		fnfvelrn 5837	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ 1 e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
76	41, 31, 75	sylancl 657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
77	74, 76	syl5eqelr 2526	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
78		suprub 10287	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
79	30, 39, 56, 77, 78	syl31anc 1216	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
80	60, 69, 58, 70, 79	letrd 9524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
81		elxrge0 11390	. . . . . 6 |- ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
82	59, 80, 81	sylanbrc 659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
83	82, 1	fmptd 5864	. . . 4 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
84		rexr 9425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
85	84	anim1i 565	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) )
86		elrege0 11388	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
87		elxrge0 11390	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) )
88	85, 86, 87	3imtr4i 266	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. ( 0 [,] +oo ) )
89	88	ssriv 3357	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
90		fss 5564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
91	4, 89, 90	sylancl 657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
92		itg2cl 21169	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
94		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) )
95	93, 94	fmptd 5864	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* )
96		frn 5562	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
97	95, 96	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
98		supxrcl 11273	. . . . . 6 |- ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
99	97, 98	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
100	10, 99	syl5eqel 2525	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR* )
101		itg2leub 21171	. . . 4 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
102	83, 100, 101	syl2anc 656	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
103	18, 102	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) <_ S )
104	45	feq1d 5543	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
105	104	cbvralv 2945	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
106	61, 105	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
107	106	r19.21bi 2812	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
108		fss 5564	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
109	107, 89, 108	sylancl 657	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
110	83	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
111	30, 39, 56	3jca 1163	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
112	111	adantlr 709	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
113	48	ad2antlr 721	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
114	41	adantlr 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
115		simplr 749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> m e. NN )
116		fnfvelrn 5837	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
117	114, 115, 116	syl2anc 656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
118	113, 117	eqeltrrd 2516	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
119		suprub 10287	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
120	112, 118, 119	syl2anc 656	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
121		simpr 458	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
122		ltso 9451	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR
123	122	supex 7709	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V
124	1	fvmpt2 5778	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
125	121, 123, 124	sylancl 657	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
126	120, 125	breqtrrd 4315	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
127	126	ralrimiva 2797	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
128		fveq2 5688	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
129		fveq2 5688	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
130	128, 129	breq12d 4302	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
131	130	cbvralv 2945	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
132	127, 131	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
133		ffn 5556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( F ` m ) Fn RR )
134	109, 133	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) Fn RR )
135	58, 1	fmptd 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : RR --> RR )
136		ffn 5556	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
137	135, 136	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G Fn RR )
138	137	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G Fn RR )
139		reex 9369	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
140	139	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
141		inidm 3556	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i RR ) = RR
142		eqidd 2442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
143		eqidd 2442	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
144	134, 138, 140, 140, 141, 142, 143	ofrfval 6327	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( F ` m ) oR <_ G <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
145	132, 144	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) oR <_ G )
146		itg2le 21176	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` m ) oR <_ G ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
147	109, 110, 145, 146	syl3anc 1213	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
148	147	ralrimiva 2797	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
149		ffn 5556	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
150	95, 149	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
151		breq1 4292	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( S.2 ` G ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
152	151	ralrn 5843	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
153	150, 152	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
154	45	fveq2d 5692	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
155		fvex 5698	. . . . . . . . 9 |- ( S.2 ` ( F ` m ) ) e. _V
156	154, 94, 155	fvmpt 5771	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
157	156	breq1d 4299	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
158	157	ralbiia 2745	. . . . . 6 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
159	153, 158	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
160	148, 159	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) )
161		itg2cl 21169	. . . . . 6 |- ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
162	83, 161	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
163		supxrleub 11285	. . . . 5 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* /\ ( S.2 ` G ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
164	97, 162, 163	syl2anc 656	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
165	160, 164	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) )
166	10, 165	syl5eqbr 4322	. 2 |- ( ph -> S <_ ( S.2 ` G ) )
167		xrletri3 11125	. . 3 |- ( ( ( S.2 ` G ) e. RR* /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
168	162, 100, 167	syl2anc 656	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
169	103, 166, 168	mpbir2and 908	1 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   (/)c0 3634   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   dom cdm 4836   ran crn 4837   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   oRcofr 6318   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279   + caddc 9281   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413   < clt 9414   <_ cle 9415   NNcn 10318   [,)cico 11298   [,]cicc 11299  MblFncmbf 21053   S.1citg1 21054   S.2citg2 21055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cmp 18949  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  21192  itg2cnlem1  21198