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Theorem itg2mono 22790
Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If  { ( F `
 n ) : n  e.  NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and  G is the pointwise limit of the sequence, then  ( S.2 `  G
) is the limit of the sequence  { ( S.2 `  ( F `  n
) ) : n  e.  NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
itg2mono  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono
Dummy variables  f  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
32adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
4 itg2mono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
54adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6 itg2mono.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
76adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
8 itg2mono.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
98adantlr 729 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
10 itg2mono.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
11 simprll 780 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
12 simprlr 781 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  oR  <_  G )
13 simprr 774 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  -.  ( S.1 `  f )  <_  S
)
141, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13itg2monolem3 22789 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
1514expr 626 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G ) )  ->  ( -.  ( S.1 `  f )  <_  S  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
1615pm2.18d 115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  S
)
1716expr 626 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)
1817ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
19 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
20 fss 5749 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  -> 
( F `  n
) : RR --> RR )
214, 19, 20sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> RR )
2221ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
2322an32s 821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
24 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )
2523, 24fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) : NN --> RR )
26 frn 5747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  C_  RR )
28 1nn 10642 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
2924, 23dmmptd 5718 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =  NN )
3028, 29syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e. 
dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
31 ne0i 3728 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
33 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/) )
3433necon3bii 2695 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/) )
3532, 34sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
36 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
3725, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  Fn  NN )
38 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y )
)
3938ralrn 6040 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y
) )
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  <_ 
y ) )
41 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
4241fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  x ) )
43 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  m ) `
 x )  e. 
_V
4442, 24, 43fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
4544breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y  <->  ( ( F `  m
) `  x )  <_  y ) )
4645ralbiia 2822 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  y
)
4742breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( F `  n ) `  x
)  <_  y  <->  ( ( F `  m ) `  x )  <_  y
) )
4847cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
( F `  n
) `  x )  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `  m ) `  x
)  <_  y )
4946, 48bitr4i 260 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
5040, 49syl6bb 269 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
5150rexbidv 2892 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
528, 51mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )
53 suprcl 10591 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5427, 35, 52, 53syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5554rexrd 9708 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
56 0red 9662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
574ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
58 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
5958feq1d 5724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
6059rspcv 3132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  -> 
( F `  1
) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
6128, 57, 60mpsyl 64 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6261ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
63 elrege0 11764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( F `
 1 ) `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  1 ) `  x ) ) )
6462, 63sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) ) )
6564simpld 466 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  RR )
6664simprd 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) )
6758fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 1 ) `  x ) )
68 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
_V
6967, 24, 68fvmpt 5963 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  1
)  =  ( ( F `  1 ) `
 x ) )
7028, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  =  ( ( F `
 1 ) `  x )
71 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 1 )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7237, 28, 71sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7370, 72syl5eqelr 2554 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
74 suprub 10592 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F ` 
1 ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  1
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
7527, 35, 52, 73, 74syl31anc 1295 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
7656, 65, 54, 66, 75letrd 9809 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
77 elxrge0 11767 . . . . . 6  |-  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7855, 76, 77sylanbrc 677 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7978, 1fmptd 6061 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
80 icossicc 11746 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
81 fss 5749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
824, 80, 81sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
83 itg2cl 22769 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 n ) )  e.  RR* )
8482, 83syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
85 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
8684, 85fmptd 6061 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
87 frn 5747 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
8886, 87syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
89 supxrcl 11625 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9088, 89syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9110, 90syl5eqel 2553 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
92 itg2leub 22771 . . . 4  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  S  e.  RR* )  -> 
( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
9379, 91, 92syl2anc 673 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
9418, 93mpbird 240 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  <_  S )
9541feq1d 5724 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
9695cbvralv 3005 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
9757, 96sylib 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
9897r19.21bi 2776 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
99 fss 5749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
10098, 80, 99sylancl 675 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
10179adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
10227, 35, 523jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
103102adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
10444ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
10537adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
106 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  m  e.  NN )
107 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
108105, 106, 107syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )
109104, 108eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
110 suprub 10592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F `  m ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
111103, 109, 110syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
112 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
113 ltso 9732 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
114113supex 7995 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
1151fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )
116112, 114, 115sylancl 675 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
117111, 116breqtrrd 4422 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
) )
118117ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  ( G `  x )
)
119 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  m
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
120 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
121119, 120breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  m ) `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  m ) `  z )  <_  ( G `  z )
) )
122121cbvralv 3005 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
)  <->  A. z  e.  RR  ( ( F `  m ) `  z
)  <_  ( G `  z ) )
123118, 122sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. z  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  z )  <_  ( G `  z )
)
124 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F `  m
)  Fn  RR )
125100, 124syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  Fn  RR )
12654, 1fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
127 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
129128adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G  Fn  RR )
130 reex 9648 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
131130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
132 inidm 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
133 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
134 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
135125, 129, 131, 131, 132, 133, 134ofrfval 6558 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F `  m )  oR  <_  G  <->  A. z  e.  RR  (
( F `  m
) `  z )  <_  ( G `  z
) ) )
136123, 135mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  oR  <_  G )
137 itg2le 22776 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  m )  oR  <_  G
)  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
138100, 101, 136, 137syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
139138ralrimiva 2809 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
140 ffn 5739 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
14186, 140syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
142 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
143142ralrn 6040 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
144141, 143syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
14541fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
146 fvex 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( S.2 `  ( F `  m
) )  e.  _V
147145, 85, 146fvmpt 5963 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
148147breq1d 4405 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
149148ralbiia 2822 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
150144, 149syl6bb 269 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
151139, 150mpbird 240 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) )
152 itg2cl 22769 . . . . . 6  |-  ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  G )  e.  RR* )
15379, 152syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
154 supxrleub 11637 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
15588, 153, 154syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
156151, 155mpbird 240 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
) )
15710, 156syl5eqbr 4429 . 2  |-  ( ph  ->  S  <_  ( S.2 `  G ) )
158 xrletri3 11474 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  G
)  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  G )  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
159153, 91, 158syl2anc 673 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
16094, 157, 159mpbir2and 936 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oRcofr 6549   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663  MblFncmbf 22651   S.1citg1 22652   S.2citg2 22653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  22792  itg2cnlem1  22798
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