Theorem itg2mono 19598

Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If { ( F ` n ) : n e. NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and G is the pointwise limit of the sequence, then ( S.2 ` G ) is the limit of the sequence { ( S.2 ` ( F ` n ) ) : n e. NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	|- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
itg2mono.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
itg2mono.3	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) o R <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
itg2mono.5	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
itg2mono.6	|- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
itg2mono	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Distinct variable groups:   x, n, y, G   n, F, x, y   ph, n, x, y   S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono

Dummy variables f m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
2		itg2mono.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
3	2	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
4		itg2mono.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5	4	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6		itg2mono.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) o R <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
7	6	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) o R <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
8		itg2mono.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
9	8	adantlr 696	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
10		itg2mono.6	. . . . . . . 8 |- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )
11		simprll 739	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f e. dom S.1 )
12		simprlr 740	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f o R <_ G )
13		simprr 734	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> -. ( S.1 ` f ) <_ S )
14	1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13	itg2monolem3 19597	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
15	14	expr 599	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) ) -> ( -. ( S.1 ` f ) <_ S -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
16	15	pm2.18d 105	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f o R <_ G ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
17	16	expr 599	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f o R <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
18	17	ralrimiva 2749	. . 3 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f o R <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
19		0re 9047	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 0 e. RR
20		pnfxr 10669	. . . . . . . . . . . . . 14 |- +oo e. RR*
21		icossre 10947	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
22	19, 20, 21	mp2an 654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
23		fss 5558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
24	4, 22, 23	sylancl 644	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
25	24	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
26	25	an32s 780	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
27		eqid 2404	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) )
28	26, 27	fmptd 5852	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR )
29		frn 5556	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
30	28, 29	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
31		1nn 9967	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
32		fdm 5554	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = NN )
33	28, 32	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = NN )
34	31, 33	syl5eleqr 2491	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
35		ne0i 3594	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
36	34, 35	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
37		dm0rn0 5045	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) )
38	37	necon3bii 2599	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
39	36, 38	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
40		ffn 5550	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
41	28, 40	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
42		breq1 4175	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) -> ( z <_ y <-> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
43	42	ralrn 5832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
44	41, 43	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
45		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
46	45	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
47		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` m ) ` x ) e. _V
48	46, 27, 47	fvmpt 5765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
49	48	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
50	49	ralbiia 2698	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
51	46	breq1d 4182	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
52	51	cbvralv 2892	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
53	50, 52	bitr4i 244	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
54	44, 53	syl6bb 253	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
55	54	rexbidv 2687	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
56	8, 55	mpbird 224	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y )
57		suprcl 9924	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
58	30, 39, 56, 57	syl3anc 1184	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
59	58	rexrd 9090	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* )
60	19	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. RR )
61	4	ralrimiva 2749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
62		fveq2 5687	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
63	62	feq1d 5539	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
64	63	rspcv 3008	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
65	31, 61, 64	mpsyl 61	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
66	65	ffvelrnda 5829	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
67		elrege0 10963	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
68	66, 67	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
69	68	simpld 446	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR )
70	68	simprd 450	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) )
71	62	fveq1d 5689	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
72		fvex 5701	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 1 ) ` x ) e. _V
73	71, 27, 72	fvmpt 5765	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
74	31, 73	ax-mp 8	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x )
75		fnfvelrn 5826	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ 1 e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
76	41, 31, 75	sylancl 644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
77	74, 76	syl5eqelr 2489	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
78		suprub 9925	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
79	30, 39, 56, 77, 78	syl31anc 1187	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
80	60, 69, 58, 70, 79	letrd 9183	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
81		elxrge0 10964	. . . . . 6 |- ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
82	59, 80, 81	sylanbrc 646	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
83	82, 1	fmptd 5852	. . . 4 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
84		rexr 9086	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. RR -> x e. RR* )
85	84	anim1i 552	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ 0 <_ x ) -> ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) )
86		elrege0 10963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ 0 <_ x ) )
87		elxrge0 10964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( x e. RR* /\ 0 <_ x ) )
88	85, 86, 87	3imtr4i 258	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. ( 0 [,) +oo ) -> x e. ( 0 [,] +oo ) )
89	88	ssriv 3312	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
90		fss 5558	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
91	4, 89, 90	sylancl 644	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
92		itg2cl 19577	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
93	91, 92	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
94		eqid 2404	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) )
95	93, 94	fmptd 5852	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* )
96		frn 5556	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
97	95, 96	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
98		supxrcl 10849	. . . . . 6 |- ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
99	97, 98	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
100	10, 99	syl5eqel 2488	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR* )
101		itg2leub 19579	. . . 4 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f o R <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
102	83, 100, 101	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f o R <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
103	18, 102	mpbird 224	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) <_ S )
104	45	feq1d 5539	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
105	104	cbvralv 2892	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
106	61, 105	sylib 189	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
107	106	r19.21bi 2764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
108		fss 5558	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
109	107, 89, 108	sylancl 644	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
110	83	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
111	30, 39, 56	3jca 1134	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
112	111	adantlr 696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
113	48	ad2antlr 708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
114	41	adantlr 696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
115		simplr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> m e. NN )
116		fnfvelrn 5826	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
117	114, 115, 116	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
118	113, 117	eqeltrrd 2479	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
119		suprub 9925	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
120	112, 118, 119	syl2anc 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
121		simpr 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
122		ltso 9112	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR
123	122	supex 7424	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V
124	1	fvmpt2 5771	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
125	121, 123, 124	sylancl 644	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
126	120, 125	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
127	126	ralrimiva 2749	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
128		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
129		fveq2 5687	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
130	128, 129	breq12d 4185	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
131	130	cbvralv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
132	127, 131	sylib 189	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
133		ffn 5550	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( F ` m ) Fn RR )
134	109, 133	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) Fn RR )
135	58, 1	fmptd 5852	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : RR --> RR )
136		ffn 5550	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
137	135, 136	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G Fn RR )
138	137	adantr 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G Fn RR )
139		reex 9037	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
140	139	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
141		inidm 3510	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i RR ) = RR
142		eqidd 2405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
143		eqidd 2405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
144	134, 138, 140, 140, 141, 142, 143	ofrfval 6272	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( F ` m ) o R <_ G <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
145	132, 144	mpbird 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) o R <_ G )
146		itg2le 19584	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` m ) o R <_ G ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
147	109, 110, 145, 146	syl3anc 1184	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
148	147	ralrimiva 2749	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
149		ffn 5550	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
150	95, 149	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
151		breq1 4175	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( S.2 ` G ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
152	151	ralrn 5832	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
153	150, 152	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
154	45	fveq2d 5691	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
155		fvex 5701	. . . . . . . . 9 |- ( S.2 ` ( F ` m ) ) e. _V
156	154, 94, 155	fvmpt 5765	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
157	156	breq1d 4182	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
158	157	ralbiia 2698	. . . . . 6 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
159	153, 158	syl6bb 253	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
160	148, 159	mpbird 224	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) )
161		itg2cl 19577	. . . . . 6 |- ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
162	83, 161	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
163		supxrleub 10861	. . . . 5 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* /\ ( S.2 ` G ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
164	97, 162, 163	syl2anc 643	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
165	160, 164	mpbird 224	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) )
166	10, 165	syl5eqbr 4205	. 2 |- ( ph -> S <_ ( S.2 ` G ) )
167		xrletri3 10701	. . 3 |- ( ( ( S.2 ` G ) e. RR* /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
168	162, 100, 167	syl2anc 643	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
169	103, 166, 168	mpbir2and 889	1 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   _Vcvv 2916   C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172   e. cmpt 4226   dom cdm 4837   ran crn 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   o Rcofr 6263   supcsup 7403   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947   + caddc 8949   +oocpnf 9073   RR*cxr 9075   < clt 9076   <_ cle 9077   NNcn 9956   [,)cico 10874   [,]cicc 10875  MblFncmbf 19459   S.1citg1 19460   S.2citg2 19461

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  19600  itg2cnlem1  19606

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467