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Theorem itg2mono 22711
Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If  { ( F `
 n ) : n  e.  NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and  G is the pointwise limit of the sequence, then  ( S.2 `  G
) is the limit of the sequence  { ( S.2 `  ( F `  n
) ) : n  e.  NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
itg2mono.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
itg2mono.3  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
itg2mono.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
itg2mono.6  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
Assertion
Ref Expression
itg2mono  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Distinct variable groups:    x, n, y, G    n, F, x, y    ph, n, x, y    S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono
Dummy variables  f  m  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
2 itg2mono.2 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
32adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e. MblFn
)
4 itg2mono.3 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
54adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6 itg2mono.4 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
76adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  oR  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
8 itg2mono.5 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
98adantlr 721 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
( f  e.  dom  S.1 
/\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
10 itg2mono.6 . . . . . . . 8  |-  S  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )
11 simprll 772 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  e.  dom  S.1 )
12 simprlr 773 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  f  oR  <_  G )
13 simprr 766 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  -.  ( S.1 `  f )  <_  S
)
141, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13itg2monolem3 22710 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G )  /\  -.  ( S.1 `  f )  <_  S ) )  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
1514expr 620 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G ) )  ->  ( -.  ( S.1 `  f )  <_  S  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
1615pm2.18d 115 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  f  oR  <_  G ) )  ->  ( S.1 `  f )  <_  S
)
1716expr 620 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  f  e.  dom  S.1 )  ->  (
f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f
)  <_  S )
)
1817ralrimiva 2802 . . 3  |-  ( ph  ->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) )
19 rge0ssre 11740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
20 fss 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  -> 
( F `  n
) : RR --> RR )
214, 19, 20sylancl 668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> RR )
2221ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
2322an32s 813 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
) `  x )  e.  RR )
24 eqid 2451 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )
2523, 24fmptd 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) : NN --> RR )
26 frn 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR )
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  C_  RR )
28 1nn 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
2924, 23dmmptd 5708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =  NN )
3028, 29syl5eleqr 2536 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e. 
dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
31 ne0i 3737 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/) )
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
33 dm0rn0 5051 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =  (/) )
3433necon3bii 2676 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  =/=  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/) )
3532, 34sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/) )
36 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) : NN --> RR  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
3725, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  Fn  NN )
38 breq1 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  -> 
( z  <_  y  <->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y )
)
3938ralrn 6025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) z  <_ 
y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y
) )
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  <_ 
y ) )
41 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( F `  n )  =  ( F `  m ) )
4241fveq1d 5867 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  x ) )
43 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  m ) `
 x )  e. 
_V
4442, 24, 43fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
4544breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) `  m )  <_  y  <->  ( ( F `  m
) `  x )  <_  y ) )
4645ralbiia 2818 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  y
)
4742breq1d 4412 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( F `  n ) `  x
)  <_  y  <->  ( ( F `  m ) `  x )  <_  y
) )
4847cbvralv 3019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
( F `  n
) `  x )  <_  y  <->  A. m  e.  NN  ( ( F `  m ) `  x
)  <_  y )
4946, 48bitr4i 256 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
)
5040, 49syl6bb 265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
5150rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) z  <_  y  <->  E. y  e.  RR  A. n  e.  NN  ( ( F `
 n ) `  x )  <_  y
) )
528, 51mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )
53 suprcl 10569 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5427, 35, 52, 53syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
5554rexrd 9690 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR* )
56 0red 9644 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
574ralrimiva 2802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
58 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  1  ->  ( F `  n )  =  ( F ` 
1 ) )
5958feq1d 5714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F `  1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
6059rspcv 3146 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  -> 
( F `  1
) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
6128, 57, 60mpsyl 65 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( F `  1
) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6261ffvelrnda 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
63 elrege0 11738 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( ( ( F `
 1 ) `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( ( F `  1 ) `  x ) ) )
6462, 63sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( ( F `  1
) `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) ) )
6564simpld 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e.  RR )
6664simprd 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( ( F ` 
1 ) `  x
) )
6758fveq1d 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  (
( F `  n
) `  x )  =  ( ( F `
 1 ) `  x ) )
68 fvex 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
_V
6967, 24, 68fvmpt 5948 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  1
)  =  ( ( F `  1 ) `
 x ) )
7028, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  =  ( ( F `
 1 ) `  x )
71 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  1  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 1 )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7237, 28, 71sylancl 668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) `  1 )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
7370, 72syl5eqelr 2534 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
74 suprub 10570 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F ` 
1 ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  1
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
7527, 35, 52, 73, 74syl31anc 1271 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  1 ) `
 x )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
7656, 65, 54, 66, 75letrd 9792 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )
77 elxrge0 11741 . . . . . 6  |-  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR*  /\  0  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
7855, 76, 77sylanbrc 670 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
7978, 1fmptd 6046 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
80 icossicc 11721 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
81 fss 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
824, 80, 81sylancl 668 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
83 itg2cl 22690 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  ( F `
 n ) )  e.  RR* )
8482, 83syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  n
) )  e.  RR* )
85 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )
8684, 85fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR* )
87 frn 5735 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR* )
8886, 87syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR* )
89 supxrcl 11600 . . . . . 6  |-  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  C_  RR*  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9088, 89syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
9110, 90syl5eqel 2533 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  e.  RR* )
92 itg2leub 22692 . . . 4  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  S  e.  RR* )  -> 
( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
9379, 91, 92syl2anc 667 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  <_  S  <->  A. f  e.  dom  S.1 ( f  oR  <_  G  ->  ( S.1 `  f )  <_  S ) ) )
9418, 93mpbird 236 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  <_  S )
9541feq1d 5714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  n
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
9695cbvralv 3019 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. n  e.  NN  ( F `  n ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
9757, 96sylib 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
9897r19.21bi 2757 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
99 fss 5737 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
10098, 80, 99sylancl 668 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
10179adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
10227, 35, 523jca 1188 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
103102adantlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  C_  RR  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) )  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y ) )
10444ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  =  ( ( F `  m ) `
 x ) )
10537adantlr 721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  Fn  NN )
106 simplr 762 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  m  e.  NN )
107 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) )  Fn  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) `
 m )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
108105, 106, 107syl2anc 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) `  m
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )
109104, 108eqeltrrd 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) )
110 suprub 10570 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
)  =/=  (/)  /\  E. y  e.  RR  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `
 n ) `  x ) ) z  <_  y )  /\  ( ( F `  m ) `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
111103, 109, 110syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
112 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
113 ltso 9714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  <  Or  RR
114113supex 7977 . . . . . . . . . . . 12  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V
1151fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  )  e.  _V )  -> 
( G `  x
)  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( F `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )
116112, 114, 115sylancl 668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( F `  n
) `  x )
) ,  RR ,  <  ) )
117111, 116breqtrrd 4429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
) )
118117ralrimiva 2802 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  x )  <_  ( G `  x )
)
119 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  (
( F `  m
) `  x )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
120 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  z  ->  ( G `  x )  =  ( G `  z ) )
121119, 120breq12d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
( ( F `  m ) `  x
)  <_  ( G `  x )  <->  ( ( F `  m ) `  z )  <_  ( G `  z )
) )
122121cbvralv 3019 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  RR  (
( F `  m
) `  x )  <_  ( G `  x
)  <->  A. z  e.  RR  ( ( F `  m ) `  z
)  <_  ( G `  z ) )
123118, 122sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. z  e.  RR  ( ( F `
 m ) `  z )  <_  ( G `  z )
)
124 ffn 5728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F `  m ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( F `  m
)  Fn  RR )
125100, 124syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  Fn  RR )
12654, 1fmptd 6046 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
127 ffn 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
129128adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G  Fn  RR )
130 reex 9630 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
131130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
132 inidm 3641 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
133 eqidd 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  (
( F `  m
) `  z )  =  ( ( F `
 m ) `  z ) )
134 eqidd 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  z  e.  RR )  ->  ( G `  z )  =  ( G `  z ) )
135125, 129, 131, 131, 132, 133, 134ofrfval 6539 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( F `  m )  oR  <_  G  <->  A. z  e.  RR  (
( F `  m
) `  z )  <_  ( G `  z
) ) )
136123, 135mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 m )  oR  <_  G )
137 itg2le 22697 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  m
) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( F `  m )  oR  <_  G
)  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
138100, 101, 136, 137syl3anc 1268 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
139138ralrimiva 2802 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
140 ffn 5728 . . . . . . . 8  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
14186, 140syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN )
142 breq1 4405 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  ->  (
z  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
143142ralrn 6025 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
144141, 143syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G ) ) )
14541fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( F `  n ) )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
146 fvex 5875 . . . . . . . . 9  |-  ( S.2 `  ( F `  m
) )  e.  _V
147145, 85, 146fvmpt 5948 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.2 `  ( F `  m )
) )
148147breq1d 4412 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) `  m
)  <_  ( S.2 `  G )  <->  ( S.2 `  ( F `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) ) )
149148ralbiia 2818 . . . . . 6  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) `  m )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) )
150144, 149syl6bb 265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) ) z  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  ( F `
 m ) )  <_  ( S.2 `  G
) ) )
151139, 150mpbird 236 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) )
152 itg2cl 22690 . . . . . 6  |-  ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  G )  e.  RR* )
15379, 152syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
154 supxrleub 11612 . . . . 5  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n )
) )  C_  RR*  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( S.2 `  G )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
15588, 153, 154syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
)  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) z  <_  ( S.2 `  G ) ) )
156151, 155mpbird 236 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( F `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( S.2 `  G
) )
15710, 156syl5eqbr 4436 . 2  |-  ( ph  ->  S  <_  ( S.2 `  G ) )
158 xrletri3 11451 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  G
)  e.  RR*  /\  S  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  G )  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
159153, 91, 158syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  G
)  =  S  <->  ( ( S.2 `  G )  <_  S  /\  S  <_  ( S.2 `  G ) ) ) )
16094, 157, 159mpbir2and 933 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  =  S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   (/)c0 3731   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   dom cdm 4834   ran crn 4835    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    oRcofr 6530   supcsup 7954   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   [,)cico 11637   [,]cicc 11638  MblFncmbf 22572   S.1citg1 22573   S.2citg2 22574
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-ofr 6532  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578  df-itg2 22579
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  22713  itg2cnlem1  22719
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