Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2mono Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itg2mono 22790
 Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and is the pointwise limit of the sequence, then is the limit of the sequence . (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2mono.1
itg2mono.2 MblFn
itg2mono.3
itg2mono.4
itg2mono.5
itg2mono.6
Assertion
Ref Expression
itg2mono
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,

Proof of Theorem itg2mono
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2mono.1 . . . . . . . 8
2 itg2mono.2 . . . . . . . . 9 MblFn
32adantlr 729 . . . . . . . 8 MblFn
4 itg2mono.3 . . . . . . . . 9
54adantlr 729 . . . . . . . 8
6 itg2mono.4 . . . . . . . . 9
76adantlr 729 . . . . . . . 8
8 itg2mono.5 . . . . . . . . 9
98adantlr 729 . . . . . . . 8
10 itg2mono.6 . . . . . . . 8
11 simprll 780 . . . . . . . 8
12 simprlr 781 . . . . . . . 8
13 simprr 774 . . . . . . . 8
141, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13itg2monolem3 22789 . . . . . . 7
1514expr 626 . . . . . 6
1615pm2.18d 115 . . . . 5
1716expr 626 . . . 4
1817ralrimiva 2809 . . 3
19 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . . . 13
20 fss 5749 . . . . . . . . . . . . 13
214, 19, 20sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12
2221ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
2322an32s 821 . . . . . . . . . 10
24 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
2523, 24fmptd 6061 . . . . . . . . 9
26 frn 5747 . . . . . . . . 9
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8
28 1nn 10642 . . . . . . . . . . 11
2924, 23dmmptd 5718 . . . . . . . . . . 11
3028, 29syl5eleqr 2556 . . . . . . . . . 10
31 ne0i 3728 . . . . . . . . . 10
3230, 31syl 17 . . . . . . . . 9
33 dm0rn0 5057 . . . . . . . . . 10
3433necon3bii 2695 . . . . . . . . 9
3532, 34sylib 201 . . . . . . . 8
36 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . 13
3725, 36syl 17 . . . . . . . . . . . 12
38 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13
3938ralrn 6040 . . . . . . . . . . . 12
4037, 39syl 17 . . . . . . . . . . 11
41 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4241fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15
43 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
4442, 24, 43fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14
4544breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13
4645ralbiia 2822 . . . . . . . . . . . 12
4742breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13
4847cbvralv 3005 . . . . . . . . . . . 12
4946, 48bitr4i 260 . . . . . . . . . . 11
5040, 49syl6bb 269 . . . . . . . . . 10
5150rexbidv 2892 . . . . . . . . 9
528, 51mpbird 240 . . . . . . . 8
53 suprcl 10591 . . . . . . . 8
5427, 35, 52, 53syl3anc 1292 . . . . . . 7
5554rexrd 9708 . . . . . 6
56 0red 9662 . . . . . . 7
574ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11
58 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13
5958feq1d 5724 . . . . . . . . . . . 12
6059rspcv 3132 . . . . . . . . . . 11
6128, 57, 60mpsyl 64 . . . . . . . . . 10
6261ffvelrnda 6037 . . . . . . . . 9
63 elrege0 11764 . . . . . . . . 9
6462, 63sylib 201 . . . . . . . 8
6564simpld 466 . . . . . . 7
6664simprd 470 . . . . . . 7
6758fveq1d 5881 . . . . . . . . . . 11
68 fvex 5889 . . . . . . . . . . 11
6967, 24, 68fvmpt 5963 . . . . . . . . . 10
7028, 69ax-mp 5 . . . . . . . . 9
71 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . 10
7237, 28, 71sylancl 675 . . . . . . . . 9
7370, 72syl5eqelr 2554 . . . . . . . 8
74 suprub 10592 . . . . . . . 8
7527, 35, 52, 73, 74syl31anc 1295 . . . . . . 7
7656, 65, 54, 66, 75letrd 9809 . . . . . 6
77 elxrge0 11767 . . . . . 6
7855, 76, 77sylanbrc 677 . . . . 5
7978, 1fmptd 6061 . . . 4
80 icossicc 11746 . . . . . . . . . 10
81 fss 5749 . . . . . . . . . 10
824, 80, 81sylancl 675 . . . . . . . . 9
83 itg2cl 22769 . . . . . . . . 9
8482, 83syl 17 . . . . . . . 8
85 eqid 2471 . . . . . . . 8
8684, 85fmptd 6061 . . . . . . 7
87 frn 5747 . . . . . . 7
8886, 87syl 17 . . . . . 6
89 supxrcl 11625 . . . . . 6
9088, 89syl 17 . . . . 5
9110, 90syl5eqel 2553 . . . 4
92 itg2leub 22771 . . . 4
9379, 91, 92syl2anc 673 . . 3
9418, 93mpbird 240 . 2
9541feq1d 5724 . . . . . . . . . . 11
9695cbvralv 3005 . . . . . . . . . 10
9757, 96sylib 201 . . . . . . . . 9
9897r19.21bi 2776 . . . . . . . 8
99 fss 5749 . . . . . . . 8
10098, 80, 99sylancl 675 . . . . . . 7
10179adantr 472 . . . . . . 7
10227, 35, 523jca 1210 . . . . . . . . . . . . 13
103102adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
10444ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13
10537adantlr 729 . . . . . . . . . . . . . 14
106 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14
107 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . 14
108105, 106, 107syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
109104, 108eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . 12
110 suprub 10592 . . . . . . . . . . . 12
111103, 109, 110syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11
112 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12
113 ltso 9732 . . . . . . . . . . . . 13
114113supex 7995 . . . . . . . . . . . 12
1151fvmpt2 5972 . . . . . . . . . . . 12
116112, 114, 115sylancl 675 . . . . . . . . . . 11
117111, 116breqtrrd 4422 . . . . . . . . . 10
118117ralrimiva 2809 . . . . . . . . 9
119 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
120 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
121119, 120breq12d 4408 . . . . . . . . . 10
122121cbvralv 3005 . . . . . . . . 9
123118, 122sylib 201 . . . . . . . 8
124 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
125100, 124syl 17 . . . . . . . . 9
12654, 1fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11
127 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11
128126, 127syl 17 . . . . . . . . . 10
129128adantr 472 . . . . . . . . 9
130 reex 9648 . . . . . . . . . 10
131130a1i 11 . . . . . . . . 9
132 inidm 3632 . . . . . . . . 9
133 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
134 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
135125, 129, 131, 131, 132, 133, 134ofrfval 6558 . . . . . . . 8
136123, 135mpbird 240 . . . . . . 7
137 itg2le 22776 . . . . . . 7
138100, 101, 136, 137syl3anc 1292 . . . . . 6
139138ralrimiva 2809 . . . . 5
140 ffn 5739 . . . . . . . 8
14186, 140syl 17 . . . . . . 7
142 breq1 4398 . . . . . . . 8
143142ralrn 6040 . . . . . . 7
144141, 143syl 17 . . . . . 6
14541fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
146 fvex 5889 . . . . . . . . 9
147145, 85, 146fvmpt 5963 . . . . . . . 8
148147breq1d 4405 . . . . . . 7
149148ralbiia 2822 . . . . . 6
150144, 149syl6bb 269 . . . . 5
151139, 150mpbird 240 . . . 4
152 itg2cl 22769 . . . . . 6
15379, 152syl 17 . . . . 5
154 supxrleub 11637 . . . . 5
15588, 153, 154syl2anc 673 . . . 4
156151, 155mpbird 240 . . 3
15710, 156syl5eqbr 4429 . 2
158 xrletri3 11474 . . 3
159153, 91, 158syl2anc 673 . 2
16094, 157, 159mpbir2and 936 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   wss 3390  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cofr 6549  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cico 11662  cicc 11663  MblFncmbf 22651  citg1 22652  citg2 22653 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  22792  itg2cnlem1  22798
 Copyright terms: Public domain W3C validator