Theorem itg2mono 22286

Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If { ( F ` n ) : n e. NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and G is the pointwise limit of the sequence, then ( S.2 ` G ) is the limit of the sequence { ( S.2 ` ( F ` n ) ) : n e. NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	|- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
itg2mono.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
itg2mono.3	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
itg2mono.5	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
itg2mono.6	|- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
itg2mono	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Distinct variable groups:   x, n, y, G   n, F, x, y   ph, n, x, y   S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono

Dummy variables f m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
2		itg2mono.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
3	2	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
4		itg2mono.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5	4	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6		itg2mono.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
7	6	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
8		itg2mono.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
9	8	adantlr 714	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
10		itg2mono.6	. . . . . . . 8 |- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )
11		simprll 763	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f e. dom S.1 )
12		simprlr 764	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f oR <_ G )
13		simprr 757	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> -. ( S.1 ` f ) <_ S )
14	1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13	itg2monolem3 22285	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
15	14	expr 615	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) ) -> ( -. ( S.1 ` f ) <_ S -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
16	15	pm2.18d 111	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
17	16	expr 615	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
18	17	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
19		rge0ssre 11653	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
20		fss 5745	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
21	4, 19, 20	sylancl 662	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
22	21	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
23	22	an32s 804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
24		eqid 2457	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) )
25	23, 24	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR )
26		frn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
27	25, 26	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
28		1nn 10567	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
29	24, 23	dmmptd 5717	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = NN )
30	28, 29	syl5eleqr 2552	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
31		ne0i 3799	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
33		dm0rn0 5229	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) )
34	33	necon3bii 2725	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
35	32, 34	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
36		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
37	25, 36	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
38		breq1 4459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) -> ( z <_ y <-> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
39	38	ralrn 6035	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
40	37, 39	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
41		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
42	41	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
43		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` m ) ` x ) e. _V
44	42, 24, 43	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
45	44	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
46	45	ralbiia 2887	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
47	42	breq1d 4466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
48	47	cbvralv 3084	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
49	46, 48	bitr4i 252	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
50	40, 49	syl6bb 261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
51	50	rexbidv 2968	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
52	8, 51	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y )
53		suprcl 10523	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
54	27, 35, 52, 53	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
55	54	rexrd 9660	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* )
56		0red 9614	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. RR )
57	4	ralrimiva 2871	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
58		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
59	58	feq1d 5723	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
60	59	rspcv 3206	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
61	28, 57, 60	mpsyl 63	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
62	61	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
63		elrege0 11652	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
64	62, 63	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
65	64	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR )
66	64	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) )
67	58	fveq1d 5874	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
68		fvex 5882	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 1 ) ` x ) e. _V
69	67, 24, 68	fvmpt 5956	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
70	28, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x )
71		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ 1 e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
72	37, 28, 71	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
73	70, 72	syl5eqelr 2550	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
74		suprub 10524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
75	27, 35, 52, 73, 74	syl31anc 1231	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
76	56, 65, 54, 66, 75	letrd 9756	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
77		elxrge0 11654	. . . . . 6 |- ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
78	55, 76, 77	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
79	78, 1	fmptd 6056	. . . 4 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
80		icossicc 11636	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
81		fss 5745	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
82	4, 80, 81	sylancl 662	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
83		itg2cl 22265	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
84	82, 83	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
85		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) )
86	84, 85	fmptd 6056	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* )
87		frn 5743	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
88	86, 87	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
89		supxrcl 11531	. . . . . 6 |- ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
90	88, 89	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
91	10, 90	syl5eqel 2549	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR* )
92		itg2leub 22267	. . . 4 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
93	79, 91, 92	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
94	18, 93	mpbird 232	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) <_ S )
95	41	feq1d 5723	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
96	95	cbvralv 3084	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
97	57, 96	sylib 196	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
98	97	r19.21bi 2826	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
99		fss 5745	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
100	98, 80, 99	sylancl 662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
101	79	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
102	27, 35, 52	3jca 1176	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
103	102	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
104	44	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
105	37	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
106		simplr 755	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> m e. NN )
107		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
108	105, 106, 107	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
109	104, 108	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
110		suprub 10524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
111	103, 109, 110	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
112		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
113		ltso 9682	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR
114	113	supex 7940	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V
115	1	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
116	112, 114, 115	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
117	111, 116	breqtrrd 4482	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
118	117	ralrimiva 2871	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
119		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
120		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
121	119, 120	breq12d 4469	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
122	121	cbvralv 3084	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
123	118, 122	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
124		ffn 5737	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( F ` m ) Fn RR )
125	100, 124	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) Fn RR )
126	54, 1	fmptd 6056	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : RR --> RR )
127		ffn 5737	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
128	126, 127	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G Fn RR )
129	128	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G Fn RR )
130		reex 9600	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
131	130	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
132		inidm 3703	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i RR ) = RR
133		eqidd 2458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
134		eqidd 2458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
135	125, 129, 131, 131, 132, 133, 134	ofrfval 6547	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( F ` m ) oR <_ G <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
136	123, 135	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) oR <_ G )
137		itg2le 22272	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` m ) oR <_ G ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
138	100, 101, 136, 137	syl3anc 1228	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
139	138	ralrimiva 2871	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
140		ffn 5737	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
141	86, 140	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
142		breq1 4459	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( S.2 ` G ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
143	142	ralrn 6035	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
144	141, 143	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
145	41	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
146		fvex 5882	. . . . . . . . 9 |- ( S.2 ` ( F ` m ) ) e. _V
147	145, 85, 146	fvmpt 5956	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
148	147	breq1d 4466	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
149	148	ralbiia 2887	. . . . . 6 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
150	144, 149	syl6bb 261	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
151	139, 150	mpbird 232	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) )
152		itg2cl 22265	. . . . . 6 |- ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
153	79, 152	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
154		supxrleub 11543	. . . . 5 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* /\ ( S.2 ` G ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
155	88, 153, 154	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
156	151, 155	mpbird 232	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) )
157	10, 156	syl5eqbr 4489	. 2 |- ( ph -> S <_ ( S.2 ` G ) )
158		xrletri3 11383	. . 3 |- ( ( ( S.2 ` G ) e. RR* /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
159	153, 91, 158	syl2anc 661	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
160	94, 157, 159	mpbir2and 922	1 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   dom cdm 5008   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   oRcofr 6538   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   NNcn 10556   [,)cico 11556   [,]cicc 11557  MblFncmbf 22149   S.1citg1 22150   S.2citg2 22151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  22288  itg2cnlem1  22294