Theorem itg2mono 22790

Description: The Monotone Convergence Theorem for nonnegative functions. If { ( F ` n ) : n e. NN } is a monotone increasing sequence of positive, measurable, real-valued functions, and G is the pointwise limit of the sequence, then ( S.2 ` G ) is the limit of the sequence { ( S.2 ` ( F ` n ) ) : n e. NN }. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2mono.1	|- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
itg2mono.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
itg2mono.3	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2mono.4	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
itg2mono.5	|- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
itg2mono.6	|- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )

Assertion

Ref	Expression
itg2mono	|- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Distinct variable groups:   x, n, y, G   n, F, x, y   ph, n, x, y   S, n, x, y

Proof of Theorem itg2mono

Dummy variables f m z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2mono.1	. . . . . . . 8 |- G = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
2		itg2mono.2	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
3	2	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. MblFn )
4		itg2mono.3	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5	4	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6		itg2mono.4	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
7	6	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) oR <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
8		itg2mono.5	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
9	8	adantlr 729	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
10		itg2mono.6	. . . . . . . 8 |- S = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < )
11		simprll 780	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f e. dom S.1 )
12		simprlr 781	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> f oR <_ G )
13		simprr 774	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> -. ( S.1 ` f ) <_ S )
14	1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12, 13	itg2monolem3 22789	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) /\ -. ( S.1 ` f ) <_ S ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
15	14	expr 626	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) ) -> ( -. ( S.1 ` f ) <_ S -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
16	15	pm2.18d 115	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( f e. dom S.1 /\ f oR <_ G ) ) -> ( S.1 ` f ) <_ S )
17	16	expr 626	. . . 4 |- ( ( ph /\ f e. dom S.1 ) -> ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
18	17	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ph -> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) )
19		rge0ssre 11766	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
20		fss 5749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
21	4, 19, 20	sylancl 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> RR )
22	21	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
23	22	an32s 821	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. RR ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) ` x ) e. RR )
24		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) )
25	23, 24	fmptd 6061	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR )
26		frn 5747	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR )
28		1nn 10642	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
29	24, 23	dmmptd 5718	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = NN )
30	28, 29	syl5eleqr 2556	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
31		ne0i 3728	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
33		dm0rn0 5057	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) = (/) )
34	33	necon3bii 2695	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
35	32, 34	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) )
36		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) : NN --> RR -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
37	25, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
38		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) -> ( z <_ y <-> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
39	38	ralrn 6040	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y ) )
41		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( F ` n ) = ( F ` m ) )
42	41	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
43		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F ` m ) ` x ) e. _V
44	42, 24, 43	fvmpt 5963	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
45	44	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
46	45	ralbiia 2822	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
47	42	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> ( ( F ` m ) ` x ) <_ y ) )
48	47	cbvralv 3005	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y <-> A. m e. NN ( ( F ` m ) ` x ) <_ y )
49	46, 48	bitr4i 260	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y )
50	40, 49	syl6bb 269	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
51	50	rexbidv 2892	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y <-> E. y e. RR A. n e. NN ( ( F ` n ) ` x ) <_ y ) )
52	8, 51	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y )
53		suprcl 10591	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
54	27, 35, 52, 53	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR )
55	54	rexrd 9708	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* )
56		0red 9662	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 e. RR )
57	4	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
58		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = 1 -> ( F ` n ) = ( F ` 1 ) )
59	58	feq1d 5724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
60	59	rspcv 3132	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
61	28, 57, 60	mpsyl 64	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( F ` 1 ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
62	61	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
63		elrege0 11764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
64	62, 63	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) ) )
65	64	simpld 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. RR )
66	64	simprd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( ( F ` 1 ) ` x ) )
67	58	fveq1d 5881	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 1 -> ( ( F ` n ) ` x ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
68		fvex 5889	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( F ` 1 ) ` x ) e. _V
69	67, 24, 68	fvmpt 5963	. . . . . . . . . 10 |- ( 1 e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x ) )
70	28, 69	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) = ( ( F ` 1 ) ` x )
71		fnfvelrn 6034	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ 1 e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
72	37, 28, 71	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` 1 ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
73	70, 72	syl5eqelr 2554	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
74		suprub 10592	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` 1 ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
75	27, 35, 52, 73, 74	syl31anc 1295	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` 1 ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
76	56, 65, 54, 66, 75	letrd 9809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
77		elxrge0 11767	. . . . . 6 |- ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. RR* /\ 0 <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
78	55, 76, 77	sylanbrc 677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. ( 0 [,] +oo ) )
79	78, 1	fmptd 6061	. . . 4 |- ( ph -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
80		icossicc 11746	. . . . . . . . . 10 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
81		fss 5749	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
82	4, 80, 81	sylancl 675	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
83		itg2cl 22769	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
84	82, 83	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) e. RR* )
85		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) )
86	84, 85	fmptd 6061	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* )
87		frn 5747	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
88	86, 87	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* )
89		supxrcl 11625	. . . . . 6 |- ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
90	88, 89	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) e. RR* )
91	10, 90	syl5eqel 2553	. . . 4 |- ( ph -> S e. RR* )
92		itg2leub 22771	. . . 4 |- ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
93	79, 91, 92	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) <_ S <-> A. f e. dom S.1 ( f oR <_ G -> ( S.1 ` f ) <_ S ) ) )
94	18, 93	mpbird 240	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) <_ S )
95	41	feq1d 5724	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
96	95	cbvralv 3005	. . . . . . . . . 10 |- ( A. n e. NN ( F ` n ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
97	57, 96	sylib 201	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. m e. NN ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
98	97	r19.21bi 2776	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
99		fss 5749	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
100	98, 80, 99	sylancl 675	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
101	79	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
102	27, 35, 52	3jca 1210	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
103	102	adantlr 729	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) )
104	44	ad2antlr 741	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) = ( ( F ` m ) ` x ) )
105	37	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN )
106		simplr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> m e. NN )
107		fnfvelrn 6034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) Fn NN /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
108	105, 106, 107	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ` m ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
109	104, 108	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) )
110		suprub 10592	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) =/= (/) /\ E. y e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) z <_ y ) /\ ( ( F ` m ) ` x ) e. ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
111	103, 109, 110	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
112		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> x e. RR )
113		ltso 9732	. . . . . . . . . . . . 13 |- < Or RR
114	113	supex 7995	. . . . . . . . . . . 12 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V
115	1	fvmpt2 5972	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. RR /\ sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) e. _V ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
116	112, 114, 115	sylancl 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( F ` n ) ` x ) ) , RR , < ) )
117	111, 116	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
118	117	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) )
119		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( ( F ` m ) ` x ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
120		fveq2 5879	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = z -> ( G ` x ) = ( G ` z ) )
121	119, 120	breq12d 4408	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
122	121	cbvralv 3005	. . . . . . . . 9 |- ( A. x e. RR ( ( F ` m ) ` x ) <_ ( G ` x ) <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
123	118, 122	sylib 201	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) )
124		ffn 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( F ` m ) Fn RR )
125	100, 124	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) Fn RR )
126	54, 1	fmptd 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> G : RR --> RR )
127		ffn 5739	. . . . . . . . . . 11 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
128	126, 127	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> G Fn RR )
129	128	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> G Fn RR )
130		reex 9648	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
131	130	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
132		inidm 3632	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i RR ) = RR
133		eqidd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( ( F ` m ) ` z ) = ( ( F ` m ) ` z ) )
134		eqidd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ z e. RR ) -> ( G ` z ) = ( G ` z ) )
135	125, 129, 131, 131, 132, 133, 134	ofrfval 6558	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( F ` m ) oR <_ G <-> A. z e. RR ( ( F ` m ) ` z ) <_ ( G ` z ) ) )
136	123, 135	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( F ` m ) oR <_ G )
137		itg2le 22776	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` m ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ G : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( F ` m ) oR <_ G ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
138	100, 101, 136, 137	syl3anc 1292	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
139	138	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
140		ffn 5739	. . . . . . . 8 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
141	86, 140	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN )
142		breq1 4398	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( S.2 ` G ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
143	142	ralrn 6040	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
144	141, 143	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
145	41	fveq2d 5883	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( F ` n ) ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
146		fvex 5889	. . . . . . . . 9 |- ( S.2 ` ( F ` m ) ) e. _V
147	145, 85, 146	fvmpt 5963	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( F ` m ) ) )
148	147	breq1d 4405	. . . . . . 7 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
149	148	ralbiia 2822	. . . . . 6 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) ` m ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) )
150	144, 149	syl6bb 269	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( F ` m ) ) <_ ( S.2 ` G ) ) )
151	139, 150	mpbird 240	. . . 4 |- ( ph -> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) )
152		itg2cl 22769	. . . . . 6 |- ( G : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
153	79, 152	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) e. RR* )
154		supxrleub 11637	. . . . 5 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) C_ RR* /\ ( S.2 ` G ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
155	88, 153, 154	syl2anc 673	. . . 4 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) z <_ ( S.2 ` G ) ) )
156	151, 155	mpbird 240	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( F ` n ) ) ) , RR* , < ) <_ ( S.2 ` G ) )
157	10, 156	syl5eqbr 4429	. 2 |- ( ph -> S <_ ( S.2 ` G ) )
158		xrletri3 11474	. . 3 |- ( ( ( S.2 ` G ) e. RR* /\ S e. RR* ) -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
159	153, 91, 158	syl2anc 673	. 2 |- ( ph -> ( ( S.2 ` G ) = S <-> ( ( S.2 ` G ) <_ S /\ S <_ ( S.2 ` G ) ) ) )
160	94, 157, 159	mpbir2and 936	1 |- ( ph -> ( S.2 ` G ) = S )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oRcofr 6549   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662   [,]cicc 11663  MblFncmbf 22651   S.1citg1 22652   S.2citg2 22653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  22792  itg2cnlem1  22798