MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2itg1 Structured version   Unicode version

Theorem itg2itg1 21875
Description: The integral of a nonnegative simple function using 
S.2 is the same as its value under  S.1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2itg1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( S.1 `  F
) )

Proof of Theorem itg2itg1
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1le 21852 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  F  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  F )  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( S.1 `  F ) )
213expia 1198 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  F  e.  dom  S.1 )  ->  ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( S.1 `  F
) ) )
32ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( S.1 `  F
) ) )
43ralrimiva 2878 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( S.1 `  F ) ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( S.1 `  F ) ) )
6 i1ff 21815 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
7 xrge0f 21870 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  F )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
86, 7sylan 471 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
9 itg1cl 21824 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  e.  RR )
1110rexrd 9639 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  e.  RR* )
12 itg2leub 21873 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.1 `  F )  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( S.1 `  F
)  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( S.1 `  F ) ) ) )
138, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ( S.2 `  F
)  <_  ( S.1 `  F )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( S.1 `  F
) ) ) )
145, 13mpbird 232 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  <_  ( S.1 `  F
) )
15 simpl 457 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F  e.  dom  S.1 )
16 reex 9579 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
18 leid 9676 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  x )
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  x
)
2017, 6, 19caofref 6548 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  oR  <_  F
)
2120adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F  oR  <_  F
)
22 itg2ub 21872 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  F )  <_  ( S.2 `  F ) )
238, 15, 21, 22syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  <_  ( S.2 `  F
) )
24 itg2cl 21871 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
258, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
26 xrletri3 11354 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  ( S.1 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  =  ( S.1 `  F
)  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  ( S.1 `  F )  /\  ( S.1 `  F )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
2725, 11, 26syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  ( S.1 `  F )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_ 
( S.1 `  F )  /\  ( S.1 `  F
)  <_  ( S.2 `  F ) ) ) )
2814, 23, 27mpbir2and 920 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( S.1 `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   dom cdm 4999   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oRcofr 6521   RRcr 9487   0cc0 9488   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    <_ cle 9625   [,]cicc 11528   S.1citg1 21756   S.2citg2 21757   0pc0p 21808
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-sum 13465  df-xmet 18180  df-met 18181  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760  df-itg1 21761  df-itg2 21762  df-0p 21809
This theorem is referenced by:  itg20  21876  itg2const  21879  itg2i1fseq  21894  i1fibl  21946  itgitg1  21947  ftc1anclem5  29669  ftc1anclem7  29671  ftc1anclem8  29672
  Copyright terms: Public domain W3C validator