MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2itg1 Structured version   Unicode version

Theorem itg2itg1 21350
Description: The integral of a nonnegative simple function using 
S.2 is the same as its value under  S.1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2itg1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( S.1 `  F
) )

Proof of Theorem itg2itg1
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1le 21327 . . . . . . 7  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  F  e.  dom  S.1  /\  g  oR  <_  F )  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( S.1 `  F ) )
213expia 1190 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  dom  S.1  /\  F  e.  dom  S.1 )  ->  ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( S.1 `  F
) ) )
32ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( S.1 `  F
) ) )
43ralrimiva 2830 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( S.1 `  F ) ) )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( S.1 `  F ) ) )
6 i1ff 21290 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
7 xrge0f 21345 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  F )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
86, 7sylan 471 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
9 itg1cl 21299 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
109adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  e.  RR )
1110rexrd 9547 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  e.  RR* )
12 itg2leub 21348 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.1 `  F )  e.  RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  <_  ( S.1 `  F
)  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_ 
( S.1 `  F ) ) ) )
138, 11, 12syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ( S.2 `  F
)  <_  ( S.1 `  F )  <->  A. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  ->  ( S.1 `  g )  <_  ( S.1 `  F
) ) ) )
145, 13mpbird 232 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  <_  ( S.1 `  F
) )
15 simpl 457 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F  e.  dom  S.1 )
16 reex 9487 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1716a1i 11 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
18 leid 9584 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  x )
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  x  <_  x
)
2017, 6, 19caofref 6459 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  oR  <_  F
)
2120adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F  oR  <_  F
)
22 itg2ub 21347 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  F )  <_  ( S.2 `  F ) )
238, 15, 21, 22syl3anc 1219 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  <_  ( S.2 `  F
) )
24 itg2cl 21346 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
258, 24syl 16 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
26 xrletri3 11243 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  ( S.1 `  F )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  =  ( S.1 `  F
)  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  ( S.1 `  F )  /\  ( S.1 `  F )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
2725, 11, 26syl2anc 661 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ( S.2 `  F
)  =  ( S.1 `  F )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_ 
( S.1 `  F )  /\  ( S.1 `  F
)  <_  ( S.2 `  F ) ) ) )
2814, 23, 27mpbir2and 913 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( S.1 `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   class class class wbr 4403   dom cdm 4951   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oRcofr 6432   RRcr 9395   0cc0 9396   +oocpnf 9529   RR*cxr 9531    <_ cle 9533   [,]cicc 11417   S.1citg1 21231   S.2citg2 21232   0pc0p 21283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xadd 11204  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-xmet 17938  df-met 17939  df-ovol 21083  df-vol 21084  df-mbf 21235  df-itg1 21236  df-itg2 21237  df-0p 21284
This theorem is referenced by:  itg20  21351  itg2const  21354  itg2i1fseq  21369  i1fibl  21421  itgitg1  21422  ftc1anclem5  28639  ftc1anclem7  28641  ftc1anclem8  28642
  Copyright terms: Public domain W3C validator