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Theorem itg2i1fseqle 21368
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 21335, the sequence of simple functions are all less than the target function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseqle  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  oR  <_  F )
Distinct variable groups:    x, n, F    n, M    P, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    M( x)

Proof of Theorem itg2i1fseqle
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5802 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( P `  n )  =  ( P `  M ) )
21fveq1d 5804 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 M ) `  y ) )
3 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
4 fvex 5812 . . . . . 6  |-  ( ( P `  M ) `
 y )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  =  ( ( P `  M ) `
 y ) )
65ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  =  ( ( P `  M ) `
 y ) )
7 nnuz 11010 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  M  e.  NN )
9 itg2i1fseq.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
10 fveq2 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
1110mpteq2dv 4490 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
12 fveq2 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
1311, 12breq12d 4416 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
1413rspccva 3178 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
159, 14sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
1615adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )
17 fveq2 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
1817fveq1d 5804 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 k ) `  y ) )
19 fvex 5812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P `  k ) `
 y )  e. 
_V
2018, 3, 19fvmpt 5886 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 y ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 y ) )
22 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
2322ffvelrnda 5955 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
24 i1ff 21290 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  k ) : RR --> RR )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k ) : RR --> RR )
2625ffvelrnda 5955 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  e.  RR )
2726an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P `  k
) `  y )  e.  RR )
2821, 27eqeltrd 2542 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  e.  RR )
2928adantllr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 k )  e.  RR )
30 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
31 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
3231ralimi 2819 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
34 oveq1 6210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
3534fveq2d 5806 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3617, 35breq12d 4416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3736rspccva 3178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3833, 37sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
39 ffn 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  k ) : RR --> RR  ->  ( P `  k )  Fn  RR )
4023, 24, 393syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  Fn  RR )
41 peano2nn 10448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
42 ffvelrn 5953 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
4322, 41, 42syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
44 i1ff 21290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) ) : RR --> RR )
45 ffn 5670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  Fn  RR )
4643, 44, 453syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  Fn  RR )
47 reex 9487 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
49 inidm 3670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
50 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  =  ( ( P `
 k ) `  y ) )
51 eqidd 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
k  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( k  +  1 ) ) `  y ) )
5240, 46, 48, 48, 49, 50, 51ofrfval 6441 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  k ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) ) )
5338, 52mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 k ) `  y )  <_  (
( P `  (
k  +  1 ) ) `  y ) )
5453r19.21bi 2920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `  y
) )
5554an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P `  k
) `  y )  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `  y
) )
56 fveq2 5802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
5756fveq1d 5804 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( k  +  1 ) ) `  y ) )
58 fvex 5812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
5957, 3, 58fvmpt 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6041, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6160adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6255, 21, 613brtr4d 4433 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( k  +  1 ) ) )
6362adantllr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 k )  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
647, 8, 16, 29, 63climub 13260 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  <_  ( F `  y ) )
656, 64eqbrtrrd 4425 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  M
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
6665ralrimiva 2830 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 M ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
6722ffvelrnda 5955 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  e. 
dom  S.1 )
68 i1ff 21290 . . . 4  |-  ( ( P `  M )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  M ) : RR --> RR )
69 ffn 5670 . . . 4  |-  ( ( P `  M ) : RR --> RR  ->  ( P `  M )  Fn  RR )
7067, 68, 693syl 20 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  Fn  RR )
71 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
72 rexr 9543 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
7372anim1i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
74 elrege0 11512 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
75 elxrge0 11514 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
7673, 74, 753imtr4i 266 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7776ssriv 3471 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
78 fss 5678 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
7971, 77, 78sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
80 ffn 5670 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  RR )
8179, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
8281adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
8347a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
84 eqidd 2455 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  M
) `  y )  =  ( ( P `
 M ) `  y ) )
85 eqidd 2455 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
8670, 82, 83, 83, 49, 84, 85ofrfval 6441 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( P `  M )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  M
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
8766, 86mpbird 232 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  oR  <_  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078    C_ wss 3439   class class class wbr 4403    |-> cmpt 4461   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oRcofr 6432   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399   +oocpnf 9529   RR*cxr 9531    <_ cle 9533   NNcn 10436   [,)cico 11416   [,]cicc 11417    ~~> cli 13083  MblFncmbf 21230   S.1citg1 21231   0pc0p 21283
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-rp 11106  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-rlim 13088  df-sum 13285  df-itg1 21236
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  21369  itg2i1fseq3  21371  itg2addlem  21372
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