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Theorem itg2i1fseqle 21988
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 21955, the sequence of simple functions are all less than the target function  F. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseqle  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  oR  <_  F )
Distinct variable groups:    x, n, F    n, M    P, n, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    M( x)

Proof of Theorem itg2i1fseqle
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( n  =  M  ->  ( P `  n )  =  ( P `  M ) )
21fveq1d 5868 . . . . . 6  |-  ( n  =  M  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 M ) `  y ) )
3 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
4 fvex 5876 . . . . . 6  |-  ( ( P `  M ) `
 y )  e. 
_V
52, 3, 4fvmpt 5951 . . . . 5  |-  ( M  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  =  ( ( P `  M ) `
 y ) )
65ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  =  ( ( P `  M ) `
 y ) )
7 nnuz 11118 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
8 simplr 754 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  M  e.  NN )
9 itg2i1fseq.5 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
10 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
1110mpteq2dv 4534 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
12 fveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
1311, 12breq12d 4460 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
1413rspccva 3213 . . . . . . 7  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
159, 14sylan 471 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
1615adantlr 714 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )
17 fveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
1817fveq1d 5868 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 k ) `  y ) )
19 fvex 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P `  k ) `
 y )  e. 
_V
2018, 3, 19fvmpt 5951 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 y ) )
2120adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  =  ( ( P `  k ) `
 y ) )
22 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
2322ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
24 i1ff 21910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  k )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  k ) : RR --> RR )
2523, 24syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k ) : RR --> RR )
2625ffvelrnda 6022 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  e.  RR )
2726an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P `  k
) `  y )  e.  RR )
2821, 27eqeltrd 2555 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  e.  RR )
2928adantllr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 k )  e.  RR )
30 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
31 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
3231ralimi 2857 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
34 oveq1 6292 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
3534fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3617, 35breq12d 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3736rspccva 3213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3833, 37sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
39 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  k ) : RR --> RR  ->  ( P `  k )  Fn  RR )
4023, 24, 393syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  Fn  RR )
41 peano2nn 10549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
42 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
4322, 41, 42syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
44 i1ff 21910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( k  +  1 ) ) : RR --> RR )
45 ffn 5731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  Fn  RR )
4643, 44, 453syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  Fn  RR )
47 reex 9584 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
49 inidm 3707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
50 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  =  ( ( P `
 k ) `  y ) )
51 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
k  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( k  +  1 ) ) `  y ) )
5240, 46, 48, 48, 49, 50, 51ofrfval 6533 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  k ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) ) )
5338, 52mpbid 210 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 k ) `  y )  <_  (
( P `  (
k  +  1 ) ) `  y ) )
5453r19.21bi 2833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  k
) `  y )  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `  y
) )
5554an32s 802 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( P `  k
) `  y )  <_  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `  y
) )
56 fveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
5756fveq1d 5868 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( k  +  1 ) ) `  y ) )
58 fvex 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
5957, 3, 58fvmpt 5951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6041, 59syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6160adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( k  +  1 ) ) `
 y ) )
6255, 21, 613brtr4d 4477 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  k
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( k  +  1 ) ) )
6362adantllr 718 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 k )  <_ 
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
647, 8, 16, 29, 63climub 13450 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  M
)  <_  ( F `  y ) )
656, 64eqbrtrrd 4469 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  M
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
6665ralrimiva 2878 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 M ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
6722ffvelrnda 6022 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  e. 
dom  S.1 )
68 i1ff 21910 . . . 4  |-  ( ( P `  M )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  M ) : RR --> RR )
69 ffn 5731 . . . 4  |-  ( ( P `  M ) : RR --> RR  ->  ( P `  M )  Fn  RR )
7067, 68, 693syl 20 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  Fn  RR )
71 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
72 rexr 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
7372anim1i 568 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
74 elrege0 11628 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
75 elxrge0 11630 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
7673, 74, 753imtr4i 266 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7776ssriv 3508 . . . . . 6  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
78 fss 5739 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
7971, 77, 78sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
80 ffn 5731 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  RR )
8179, 80syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
8281adantr 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
8347a1i 11 . . 3  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
84 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  M
) `  y )  =  ( ( P `
 M ) `  y ) )
85 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ( ( ph  /\  M  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
8670, 82, 83, 83, 49, 84, 85ofrfval 6533 . 2  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( ( P `  M )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  M
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
8766, 86mpbird 232 1  |-  ( (
ph  /\  M  e.  NN )  ->  ( P `
 M )  oR  <_  F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285    oRcofr 6524   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496   +oocpnf 9626   RR*cxr 9628    <_ cle 9630   NNcn 10537   [,)cico 11532   [,]cicc 11533    ~~> cli 13273  MblFncmbf 21850   S.1citg1 21851   0pc0p 21903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-er 7312  df-pm 7424  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-rp 11222  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-rlim 13278  df-sum 13475  df-itg1 21856
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq  21989  itg2i1fseq3  21991  itg2addlem  21992
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