MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Unicode version

Theorem itg2i1fseq2 21239
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 21238, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching  F, then  S.2 F is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
itg2i1fseq2.7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
itg2i1fseq2.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Distinct variable groups:    k, m, n, x, F    k, M, n    P, k, m, n, x    ph, k, m    S, k
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)    M( x, m)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 10901 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10682 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
43ffvelrnda 5848 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
5 itg1cl 21168 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
7 itg2i1fseq.6 . . . 4  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
86, 7fmptd 5872 . . 3  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
93ffvelrnda 5848 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
10 peano2nn 10339 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
11 ffvelrn 5846 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
123, 10, 11syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
14 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
1514ralimi 2796 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
1613, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
17 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
18 oveq1 6103 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
1918fveq2d 5700 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2017, 19breq12d 4310 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
2120rspccva 3077 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2216, 21sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
23 itg1le 21196 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  k
)  e.  dom  S.1  /\  ( P `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  k
)  oR  <_ 
( P `  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  <_ 
( S.1 `  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )
249, 12, 22, 23syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
25 fveq2 5696 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( P `  m )  =  ( P `  k ) )
2625fveq2d 5700 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
27 fvex 5706 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  k
) )  e.  _V
2826, 7, 27fvmpt 5779 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
2928adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
30 fveq2 5696 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3130fveq2d 5700 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
32 fvex 5706 . . . . . . 7  |-  ( S.1 `  ( P `  (
k  +  1 ) ) )  e.  _V
3331, 7, 32fvmpt 5779 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3410, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3624, 29, 353brtr4d 4327 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( S `  (
k  +  1 ) ) )
37 itg2i1fseq2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
38 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
3929, 38eqbrtrd 4317 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  M )
4039ralrimiva 2804 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )
41 breq2 4301 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (
( S `  k
)  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  M
) )
4241ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M
) )
4342rspcev 3078 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
)
4437, 40, 43syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z )
451, 2, 8, 36, 44climsup 13152 . 2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
46 itg2i1fseq.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
47 itg2i1fseq.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
48 itg2i1fseq.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
4946, 47, 3, 13, 48, 7itg2i1fseq 21238 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
50 frn 5570 . . . . 5  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
518, 50syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
52 fdm 5568 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  dom 
S  =  NN )
538, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  =  NN )
54 1nn 10338 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
55 ne0i 3648 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
5654, 55mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  =/=  (/) )
5753, 56eqnetrd 2631 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =/=  (/) )
58 dm0rn0 5061 . . . . . 6  |-  ( dom 
S  =  (/)  <->  ran  S  =  (/) )
5958necon3bii 2645 . . . . 5  |-  ( dom 
S  =/=  (/)  <->  ran  S  =/=  (/) )
6057, 59sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =/=  (/) )
61 ffn 5564 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
62 breq1 4300 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( S `  k )  ->  (
y  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  z
) )
6362ralrn 5851 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
) )
648, 61, 633syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6564rexbidv 2741 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  RR  A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6644, 65mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_  z )
67 supxrre 11295 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR  /\ 
ran  S  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_ 
z )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
6851, 60, 66, 67syl3anc 1218 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
6949, 68eqtrd 2475 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
7045, 69breqtrrd 4323 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   (/)c0 3642   class class class wbr 4297    e. cmpt 4355   dom cdm 4845   ran crn 4846    Fn wfn 5418   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    oRcofr 6324   supcsup 7695   RRcr 9286   0cc0 9287   1c1 9288    + caddc 9290   +oocpnf 9420   RR*cxr 9422    < clt 9423    <_ cle 9424   NNcn 10327   [,)cico 11307    ~~> cli 12967  MblFncmbf 21099   S.1citg1 21100   S.2citg2 21101   0pc0p 21152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cc 8609  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-of 6325  df-ofr 6326  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fi 7666  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-xneg 11094  df-xadd 11095  df-xmul 11096  df-ioo 11309  df-ioc 11310  df-ico 11311  df-icc 11312  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-seq 11812  df-exp 11871  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-rlim 12972  df-sum 13169  df-rest 14366  df-topgen 14387  df-psmet 17814  df-xmet 17815  df-met 17816  df-bl 17817  df-mopn 17818  df-top 18508  df-bases 18510  df-topon 18511  df-cmp 18995  df-ovol 20953  df-vol 20954  df-mbf 21104  df-itg1 21105  df-itg2 21106  df-0p 21153
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  21240  itg2addlem  21241
  Copyright terms: Public domain W3C validator