Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Unicode version

Theorem itg2i1fseq2 22345
 Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 22344, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching , then is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 MblFn
itg2i1fseq.2
itg2i1fseq.3
itg2i1fseq.4
itg2i1fseq.5
itg2i1fseq.6
itg2i1fseq2.7
itg2i1fseq2.8
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11078 . . 3
2 1zzd 10854 . . 3
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6
43ffvelrnda 5963 . . . . 5
5 itg1cl 22274 . . . . 5
64, 5syl 17 . . . 4
7 itg2i1fseq.6 . . . 4
86, 7fmptd 5987 . . 3
93ffvelrnda 5963 . . . . 5
10 peano2nn 10506 . . . . . 6
11 ffvelrn 5961 . . . . . 6
123, 10, 11syl2an 475 . . . . 5
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7
14 simpr 459 . . . . . . . 8
1514ralimi 2794 . . . . . . 7
1613, 15syl 17 . . . . . 6
17 fveq2 5803 . . . . . . . 8
18 oveq1 6239 . . . . . . . . 9
1918fveq2d 5807 . . . . . . . 8
2017, 19breq12d 4405 . . . . . . 7
2120rspccva 3156 . . . . . 6
2216, 21sylan 469 . . . . 5
23 itg1le 22302 . . . . 5
249, 12, 22, 23syl3anc 1228 . . . 4
25 fveq2 5803 . . . . . . 7
2625fveq2d 5807 . . . . . 6
27 fvex 5813 . . . . . 6
2826, 7, 27fvmpt 5886 . . . . 5
2928adantl 464 . . . 4
30 fveq2 5803 . . . . . . . 8
3130fveq2d 5807 . . . . . . 7
32 fvex 5813 . . . . . . 7
3331, 7, 32fvmpt 5886 . . . . . 6
3410, 33syl 17 . . . . 5
3534adantl 464 . . . 4
3624, 29, 353brtr4d 4422 . . 3
37 itg2i1fseq2.7 . . . 4
38 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6
3929, 38eqbrtrd 4412 . . . . 5
4039ralrimiva 2815 . . . 4
41 breq2 4396 . . . . . 6
4241ralbidv 2840 . . . . 5
4342rspcev 3157 . . . 4
4437, 40, 43syl2anc 659 . . 3
451, 2, 8, 36, 44climsup 13546 . 2
46 itg2i1fseq.1 . . . 4 MblFn
47 itg2i1fseq.2 . . . 4
48 itg2i1fseq.5 . . . 4
4946, 47, 3, 13, 48, 7itg2i1fseq 22344 . . 3
50 frn 5674 . . . . 5
518, 50syl 17 . . . 4
527, 6dmmptd 5648 . . . . . 6
53 1nn 10505 . . . . . . 7
54 ne0i 3741 . . . . . . 7
5553, 54mp1i 13 . . . . . 6
5652, 55eqnetrd 2694 . . . . 5
57 dm0rn0 5159 . . . . . 6
5857necon3bii 2669 . . . . 5
5956, 58sylib 196 . . . 4
60 ffn 5668 . . . . . . 7
61 breq1 4395 . . . . . . . 8
6261ralrn 5966 . . . . . . 7
638, 60, 623syl 20 . . . . . 6
6463rexbidv 2915 . . . . 5
6544, 64mpbird 232 . . . 4
66 supxrre 11488 . . . 4
6751, 59, 65, 66syl3anc 1228 . . 3
6849, 67eqtrd 2441 . 2
6945, 68breqtrrd 4418 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 367   wceq 1403   wcel 1840   wne 2596  wral 2751  wrex 2752   wss 3411  c0 3735   class class class wbr 4392   cmpt 4450   cdm 4940   crn 4941   wfn 5518  wf 5519  cfv 5523  (class class class)co 6232   cofr 6474  csup 7852  cr 9439  cc0 9440  c1 9441   caddc 9443   cpnf 9573  cxr 9575   clt 9576   cle 9577  cn 10494  cico 11500   cli 13361  MblFncmbf 22205  citg1 22206  citg2 22207  c0p 22258 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cc 8765  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-ofr 6476  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-omul 7090  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-acn 8273  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-rest 14927  df-topgen 14948  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cmp 20070  df-ovol 22058  df-vol 22059  df-mbf 22210  df-itg1 22211  df-itg2 22212  df-0p 22259 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  22346  itg2addlem  22347
 Copyright terms: Public domain W3C validator