MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Unicode version

Theorem itg2i1fseq2 22031
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 22030, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching  F, then  S.2 F is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
itg2i1fseq2.7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
itg2i1fseq2.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Distinct variable groups:    k, m, n, x, F    k, M, n    P, k, m, n, x    ph, k, m    S, k
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)    M( x, m)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11129 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10907 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
43ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
5 itg1cl 21960 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
64, 5syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
7 itg2i1fseq.6 . . . 4  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
86, 7fmptd 6056 . . 3  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
93ffvelrnda 6032 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
10 peano2nn 10560 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
11 ffvelrn 6030 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
123, 10, 11syl2an 477 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
14 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
1514ralimi 2860 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
1613, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
17 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
18 oveq1 6302 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
1918fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2017, 19breq12d 4466 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
2120rspccva 3218 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2216, 21sylan 471 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
23 itg1le 21988 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  k
)  e.  dom  S.1  /\  ( P `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  k
)  oR  <_ 
( P `  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  <_ 
( S.1 `  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )
249, 12, 22, 23syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
25 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( P `  m )  =  ( P `  k ) )
2625fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
27 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  k
) )  e.  _V
2826, 7, 27fvmpt 5957 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
2928adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
30 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3130fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
32 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( S.1 `  ( P `  (
k  +  1 ) ) )  e.  _V
3331, 7, 32fvmpt 5957 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3410, 33syl 16 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3534adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3624, 29, 353brtr4d 4483 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( S `  (
k  +  1 ) ) )
37 itg2i1fseq2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
38 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
3929, 38eqbrtrd 4473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  M )
4039ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )
41 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (
( S `  k
)  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  M
) )
4241ralbidv 2906 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M
) )
4342rspcev 3219 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
)
4437, 40, 43syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z )
451, 2, 8, 36, 44climsup 13472 . 2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
46 itg2i1fseq.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
47 itg2i1fseq.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
48 itg2i1fseq.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
4946, 47, 3, 13, 48, 7itg2i1fseq 22030 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
50 frn 5743 . . . . 5  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
518, 50syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
52 fdm 5741 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  dom 
S  =  NN )
538, 52syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  =  NN )
54 1nn 10559 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
55 ne0i 3796 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
5654, 55mp1i 12 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  =/=  (/) )
5753, 56eqnetrd 2760 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =/=  (/) )
58 dm0rn0 5225 . . . . . 6  |-  ( dom 
S  =  (/)  <->  ran  S  =  (/) )
5958necon3bii 2735 . . . . 5  |-  ( dom 
S  =/=  (/)  <->  ran  S  =/=  (/) )
6057, 59sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =/=  (/) )
61 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
62 breq1 4456 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( S `  k )  ->  (
y  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  z
) )
6362ralrn 6035 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
) )
648, 61, 633syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6564rexbidv 2978 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  RR  A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6644, 65mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_  z )
67 supxrre 11531 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR  /\ 
ran  S  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_ 
z )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
6851, 60, 66, 67syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
6949, 68eqtrd 2508 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
7045, 69breqtrrd 4479 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   (/)c0 3790   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511   dom cdm 5005   ran crn 5006    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oRcofr 6534   supcsup 7912   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    < clt 9640    <_ cle 9641   NNcn 10548   [,)cico 11543    ~~> cli 13287  MblFncmbf 21891   S.1citg1 21892   S.2citg2 21893   0pc0p 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cmp 19755  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-0p 21945
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  22032  itg2addlem  22033
  Copyright terms: Public domain W3C validator