MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq2 Structured version   Unicode version

Theorem itg2i1fseq2 22345
Description: In an extension to the results of itg2i1fseq 22344, if there is an upper bound on the integrals of the simple functions approaching  F, then  S.2 F is real and the standard limit relation applies. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
itg2i1fseq2.7  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
itg2i1fseq2.8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Distinct variable groups:    k, m, n, x, F    k, M, n    P, k, m, n, x    ph, k, m    S, k
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)    M( x, m)

Proof of Theorem itg2i1fseq2
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11078 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10854 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 itg2i1fseq.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
43ffvelrnda 5963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
5 itg1cl 22274 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
64, 5syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
7 itg2i1fseq.6 . . . 4  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
86, 7fmptd 5987 . . 3  |-  ( ph  ->  S : NN --> RR )
93ffvelrnda 5963 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  e. 
dom  S.1 )
10 peano2nn 10506 . . . . . 6  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
11 ffvelrn 5961 . . . . . 6  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( k  +  1 ) )  e.  dom  S.1 )
123, 10, 11syl2an 475 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 ( k  +  1 ) )  e. 
dom  S.1 )
13 itg2i1fseq.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
14 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1
) ) )
1514ralimi 2794 . . . . . . 7  |-  ( A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
1613, 15syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) ) )
17 fveq2 5803 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  n )  =  ( P `  k ) )
18 oveq1 6239 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  k  ->  (
n  +  1 )  =  ( k  +  1 ) )
1918fveq2d 5807 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  k  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2017, 19breq12d 4405 . . . . . . 7  |-  ( n  =  k  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
2120rspccva 3156 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( P `  n )  oR  <_  ( P `  ( n  +  1 ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `  k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
2216, 21sylan 469 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P `
 k )  oR  <_  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
23 itg1le 22302 . . . . 5  |-  ( ( ( P `  k
)  e.  dom  S.1  /\  ( P `  (
k  +  1 ) )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  k
)  oR  <_ 
( P `  (
k  +  1 ) ) )  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  <_ 
( S.1 `  ( P `
 ( k  +  1 ) ) ) )
249, 12, 22, 23syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
25 fveq2 5803 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  ( P `  m )  =  ( P `  k ) )
2625fveq2d 5807 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
27 fvex 5813 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  k
) )  e.  _V
2826, 7, 27fvmpt 5886 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
2928adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  =  ( S.1 `  ( P `  k )
) )
30 fveq2 5803 . . . . . . . 8  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( P `  m )  =  ( P `  ( k  +  1 ) ) )
3130fveq2d 5807 . . . . . . 7  |-  ( m  =  ( k  +  1 )  ->  ( S.1 `  ( P `  m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
32 fvex 5813 . . . . . . 7  |-  ( S.1 `  ( P `  (
k  +  1 ) ) )  e.  _V
3331, 7, 32fvmpt 5886 . . . . . 6  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3410, 33syl 17 . . . . 5  |-  ( k  e.  NN  ->  ( S `  ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3534adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 ( k  +  1 ) )  =  ( S.1 `  ( P `  ( k  +  1 ) ) ) )
3624, 29, 353brtr4d 4422 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( S `  (
k  +  1 ) ) )
37 itg2i1fseq2.7 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
38 itg2i1fseq2.8 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  k
) )  <_  M
)
3929, 38eqbrtrd 4412 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_  M )
4039ralrimiva 2815 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )
41 breq2 4396 . . . . . 6  |-  ( z  =  M  ->  (
( S `  k
)  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  M
) )
4241ralbidv 2840 . . . . 5  |-  ( z  =  M  ->  ( A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M
) )
4342rspcev 3157 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  M )  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
)
4437, 40, 43syl2anc 659 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z )
451, 2, 8, 36, 44climsup 13546 . 2  |-  ( ph  ->  S  ~~>  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
46 itg2i1fseq.1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
47 itg2i1fseq.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
48 itg2i1fseq.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
4946, 47, 3, 13, 48, 7itg2i1fseq 22344 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
50 frn 5674 . . . . 5  |-  ( S : NN --> RR  ->  ran 
S  C_  RR )
518, 50syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR )
527, 6dmmptd 5648 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  S  =  NN )
53 1nn 10505 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
54 ne0i 3741 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
5553, 54mp1i 13 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  NN  =/=  (/) )
5652, 55eqnetrd 2694 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  S  =/=  (/) )
57 dm0rn0 5159 . . . . . 6  |-  ( dom 
S  =  (/)  <->  ran  S  =  (/) )
5857necon3bii 2669 . . . . 5  |-  ( dom 
S  =/=  (/)  <->  ran  S  =/=  (/) )
5956, 58sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =/=  (/) )
60 ffn 5668 . . . . . . 7  |-  ( S : NN --> RR  ->  S  Fn  NN )
61 breq1 4395 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  ( S `  k )  ->  (
y  <_  z  <->  ( S `  k )  <_  z
) )
6261ralrn 5966 . . . . . . 7  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. y  e.  ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z
) )
638, 60, 623syl 20 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6463rexbidv 2915 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  RR  A. y  e. 
ran  S  y  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  z ) )
6544, 64mpbird 232 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_  z )
66 supxrre 11488 . . . 4  |-  ( ( ran  S  C_  RR  /\ 
ran  S  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. y  e.  ran  S  y  <_ 
z )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
6751, 59, 65, 66syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  )
)
6849, 67eqtrd 2441 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR ,  <  ) )
6945, 68breqtrrd 4418 1  |-  ( ph  ->  S  ~~>  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1403    e. wcel 1840    =/= wne 2596   A.wral 2751   E.wrex 2752    C_ wss 3411   (/)c0 3735   class class class wbr 4392    |-> cmpt 4450   dom cdm 4940   ran crn 4941    Fn wfn 5518   -->wf 5519   ` cfv 5523  (class class class)co 6232    oRcofr 6474   supcsup 7852   RRcr 9439   0cc0 9440   1c1 9441    + caddc 9443   +oocpnf 9573   RR*cxr 9575    < clt 9576    <_ cle 9577   NNcn 10494   [,)cico 11500    ~~> cli 13361  MblFncmbf 22205   S.1citg1 22206   S.2citg2 22207   0pc0p 22258
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-inf2 8009  ax-cc 8765  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517  ax-pre-sup 9518  ax-addf 9519
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-fal 1409  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rmo 2759  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-disj 4364  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-isom 5532  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-of 6475  df-ofr 6476  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-2o 7086  df-oadd 7089  df-omul 7090  df-er 7266  df-map 7377  df-pm 7378  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-fi 7823  df-sup 7853  df-oi 7887  df-card 8270  df-acn 8273  df-cda 8498  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-div 10166  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-n0 10755  df-z 10824  df-uz 11044  df-q 11144  df-rp 11182  df-xneg 11287  df-xadd 11288  df-xmul 11289  df-ioo 11502  df-ioc 11503  df-ico 11504  df-icc 11505  df-fz 11642  df-fzo 11766  df-fl 11877  df-seq 12060  df-exp 12119  df-hash 12358  df-cj 12986  df-re 12987  df-im 12988  df-sqrt 13122  df-abs 13123  df-clim 13365  df-rlim 13366  df-sum 13563  df-rest 14927  df-topgen 14948  df-psmet 18621  df-xmet 18622  df-met 18623  df-bl 18624  df-mopn 18625  df-top 19581  df-bases 19583  df-topon 19584  df-cmp 20070  df-ovol 22058  df-vol 22059  df-mbf 22210  df-itg1 22211  df-itg2 22212  df-0p 22259
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq3  22346  itg2addlem  22347
  Copyright terms: Public domain W3C validator