Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itg2i1fseq 22792
 Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 22758, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 MblFn
itg2i1fseq.2
itg2i1fseq.3
itg2i1fseq.4
itg2i1fseq.5
itg2i1fseq.6
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
21fveq1d 5881 . . . . . . . 8
32cbvmptv 4488 . . . . . . 7
4 fveq2 5879 . . . . . . . 8
54mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
63, 5syl5eq 2517 . . . . . 6
76rneqd 5068 . . . . 5
87supeq1d 7978 . . . 4
98cbvmptv 4488 . . 3
10 itg2i1fseq.3 . . . . 5
1110ffvelrnda 6037 . . . 4
12 i1fmbf 22712 . . . 4 MblFn
1311, 12syl 17 . . 3 MblFn
14 i1ff 22713 . . . . 5
1511, 14syl 17 . . . 4
16 itg2i1fseq.4 . . . . . 6
171breq2d 4407 . . . . . . . 8
18 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . 9
201, 19breq12d 4408 . . . . . . . 8
2117, 20anbi12d 725 . . . . . . 7
2221rspccva 3135 . . . . . 6
2316, 22sylan 479 . . . . 5
2423simpld 466 . . . 4
25 0plef 22709 . . . 4
2615, 24, 25sylanbrc 677 . . 3
2723simprd 470 . . 3
28 rge0ssre 11766 . . . . 5
29 itg2i1fseq.2 . . . . . 6
3029ffvelrnda 6037 . . . . 5
3128, 30sseldi 3416 . . . 4
32 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . 9 MblFn
33 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . 9
3432, 29, 10, 16, 33itg2i1fseqle 22791 . . . . . . . 8
35 ffn 5739 . . . . . . . . . 10
3615, 35syl 17 . . . . . . . . 9
37 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11
3829, 37syl 17 . . . . . . . . . 10
3938adantr 472 . . . . . . . . 9
40 reex 9648 . . . . . . . . . 10
4140a1i 11 . . . . . . . . 9
42 inidm 3632 . . . . . . . . 9
43 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
44 eqidd 2472 . . . . . . . . 9
4536, 39, 41, 41, 42, 43, 44ofrfval 6558 . . . . . . . 8
4634, 45mpbid 215 . . . . . . 7
4746r19.21bi 2776 . . . . . 6
4847an32s 821 . . . . 5
4948ralrimiva 2809 . . . 4
50 breq2 4399 . . . . . 6
5150ralbidv 2829 . . . . 5
5251rspcev 3136 . . . 4
5331, 49, 52syl2anc 673 . . 3
541fveq2d 5883 . . . . . 6
5554cbvmptv 4488 . . . . 5
5655rneqi 5067 . . . 4
5756supeq1i 7979 . . 3
589, 13, 26, 27, 53, 57itg2mono 22790 . 2
5929feqmptd 5932 . . . . 5
601fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10
6160cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9
6261rneqi 5067 . . . . . . . 8
6362supeq1i 7979 . . . . . . 7
64 nnuz 11218 . . . . . . . . 9
65 1zzd 10992 . . . . . . . . 9
6615ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11
6766an32s 821 . . . . . . . . . 10
6867, 61fmptd 6061 . . . . . . . . 9
69 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
70 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
7110, 69, 70syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16
72 i1ff 22713 . . . . . . . . . . . . . . . 16
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
74 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
76 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14
7736, 75, 41, 41, 42, 43, 76ofrfval 6558 . . . . . . . . . . . . 13
7827, 77mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12
7978r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11
8079an32s 821 . . . . . . . . . 10
81 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12
82 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12
8360, 81, 82fvmpt 5963 . . . . . . . . . . 11
8483adantl 473 . . . . . . . . . 10
85 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14
8685fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13
87 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13
8886, 81, 87fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . 12
8969, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11
9089adantl 473 . . . . . . . . . 10
9180, 84, 903brtr4d 4426 . . . . . . . . 9
9283breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12
9392ralbiia 2822 . . . . . . . . . . 11
9493rexbii 2881 . . . . . . . . . 10
9553, 94sylibr 217 . . . . . . . . 9
9664, 65, 68, 91, 95climsup 13810 . . . . . . . 8
97 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12
9897mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11
99 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11
10098, 99breq12d 4408 . . . . . . . . . 10
101100rspccva 3135 . . . . . . . . 9
10233, 101sylan 479 . . . . . . . 8
103 climuni 13693 . . . . . . . 8
10496, 102, 103syl2anc 673 . . . . . . 7
10563, 104syl5eqr 2519 . . . . . 6
106105mpteq2dva 4482 . . . . 5
10759, 106eqtr4d 2508 . . . 4
108107, 9syl6eqr 2523 . . 3
109108fveq2d 5883 . 2
110 itg2itg1 22773 . . . . . . . 8
11111, 24, 110syl2anc 673 . . . . . . 7
112111mpteq2dva 4482 . . . . . 6
113 itg2i1fseq.6 . . . . . 6
114112, 113syl6reqr 2524 . . . . 5
115114, 55syl6eqr 2523 . . . 4
116115rneqd 5068 . . 3
117116supeq1d 7978 . 2
11858, 109, 1173eqtr4d 2515 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cdm 4839   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cofr 6549  csup 7972  cr 9556  cc0 9557  c1 9558   caddc 9560   cpnf 9690  cxr 9692   clt 9693   cle 9694  cn 10631  cico 11662   cli 13625  MblFncmbf 22651  citg1 22652  citg2 22653  c0p 22706 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-0p 22707 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  22793
 Copyright terms: Public domain W3C validator