Theorem itg2i1fseq 22706

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 22672, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2i1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3	|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
itg2i1fseq.4	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
itg2i1fseq.6	|- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, F   P, m, n, x   ph, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5863	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( P ` n ) = ( P ` m ) )
2	1	fveq1d 5865	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` x ) )
3	2	cbvmptv 4494	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) )
4		fveq2 5863	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( P ` m ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
5	4	mpteq2dv 4489	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
6	3, 5	syl5eq 2496	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
7	6	rneqd 5061	. . . . 5 |- ( x = y -> ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
8	7	supeq1d 7957	. . . 4 |- ( x = y -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
9	8	cbvmptv 4494	. . 3 |- ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
10		itg2i1fseq.3	. . . . 5 |- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
11	10	ffvelrnda 6020	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. dom S.1 )
12		i1fmbf 22626	. . . 4 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) e. MblFn )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. MblFn )
14		i1ff 22627	. . . . 5 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) : RR --> RR )
15	11, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> RR )
16		itg2i1fseq.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
17	1	breq2d 4413	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( 0p oR <_ ( P ` n ) <-> 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
18		oveq1 6295	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( n + 1 ) = ( m + 1 ) )
19	18	fveq2d 5867	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
20	1, 19	breq12d 4414	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 716	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) )
22	21	rspccva 3148	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
23	16, 22	sylan 474	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
24	23	simpld 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( P ` m ) )
25		0plef 22623	. . . 4 |- ( ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( P ` m ) : RR --> RR /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
26	15, 24, 25	sylanbrc 669	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
27	23	simprd 465	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) )
28		rge0ssre 11737	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
29		itg2i1fseq.2	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
30	29	ffvelrnda 6020	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
31	28, 30	sseldi 3429	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
32		itg2i1fseq.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. MblFn )
33		itg2i1fseq.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
34	32, 29, 10, 16, 33	itg2i1fseqle 22705	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ F )
35		ffn 5726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` m ) : RR --> RR -> ( P ` m ) Fn RR )
36	15, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) Fn RR )
37		ffn 5726	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> F Fn RR )
38	29, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F Fn RR )
39	38	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F Fn RR )
40		reex 9627	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
42		inidm 3640	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i RR ) = RR
43		eqidd 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
44		eqidd 2451	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
45	36, 39, 41, 41, 42, 43, 44	ofrfval 6536	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ F <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
46	34, 45	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
47	46	r19.21bi 2756	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
48	47	an32s 812	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
49	48	ralrimiva 2801	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
50		breq2 4405	. . . . . 6 |- ( z = ( F ` y ) -> ( ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
51	50	ralbidv 2826	. . . . 5 |- ( z = ( F ` y ) -> ( A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
52	51	rspcev 3149	. . . 4 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
53	31, 49, 52	syl2anc 666	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
54	1	fveq2d 5867	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( P ` n ) ) = ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
55	54	cbvmptv 4494	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
56	55	rneqi 5060	. . . 4 |- ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
57	56	supeq1i 7958	. . 3 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) , RR* , < )
58	9, 13, 26, 27, 53, 57	itg2mono 22704	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
59	29	feqmptd 5916	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
60	1	fveq1d 5865	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
61	60	cbvmptv 4494	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
62	61	rneqi 5060	. . . . . . . 8 |- ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
63	62	supeq1i 7958	. . . . . . 7 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < )
64		nnuz 11191	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65		1zzd 10965	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
66	15	ffvelrnda 6020	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
67	66	an32s 812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
68	67, 61	fmptd 6044	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) : NN --> RR )
69		peano2nn 10618	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
70		ffvelrn 6018	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
71	10, 69, 70	syl2an 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
72		i1ff 22627	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
74		ffn 5726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
76		eqidd 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
77	36, 75, 41, 41, 42, 43, 76	ofrfval 6536	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
78	27, 77	mpbid 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
79	78	r19.21bi 2756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
80	79	an32s 812	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
81		eqid 2450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) )
82		fvex 5873	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` m ) ` y ) e. _V
83	60, 81, 82	fvmpt 5946	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
84	83	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
85		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( P ` n ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
86	85	fveq1d 5865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
87		fvex 5873	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) e. _V
88	86, 81, 87	fvmpt 5946	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
89	69, 88	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
90	89	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
91	80, 84, 90	3brtr4d 4432	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) )
92	83	breq1d 4411	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) )
93	92	ralbiia 2817	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
94	93	rexbii 2888	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
95	53, 94	sylibr 216	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z )
96	64, 65, 68, 91, 95	climsup 13726	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) )
97		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` n ) ` y ) )
98	97	mpteq2dv 4489	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) )
99		fveq2 5863	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
100	98, 99	breq12d 4414	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) )
101	100	rspccva 3148	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
102	33, 101	sylan 474	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
103		climuni 13609	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) /\ ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
104	96, 102, 103	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
105	63, 104	syl5eqr 2498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
106	105	mpteq2dva 4488	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
107	59, 106	eqtr4d 2487	. . . 4 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) )
108	107, 9	syl6eqr 2502	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
109	108	fveq2d 5867	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) )
110		itg2itg1 22687	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ` m ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
111	11, 24, 110	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
112	111	mpteq2dva 4488	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) )
113		itg2i1fseq.6	. . . . . 6 |- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
114	112, 113	syl6reqr 2503	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) )
115	114, 55	syl6eqr 2502	. . . 4 |- ( ph -> S = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
116	115	rneqd 5061	. . 3 |- ( ph -> ran S = ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
117	116	supeq1d 7957	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
118	58, 109, 117	3eqtr4d 2494	1 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   class class class wbr 4401   |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834   Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   oRcofr 6527   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537   + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671   < clt 9672   <_ cle 9673   NNcn 10606   [,)cico 11634   ~~> cli 13541  MblFncmbf 22565   S.1citg1 22566   S.2citg2 22567   0pc0p 22620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-0p 22621

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  22707