Theorem itg2i1fseq 21233

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 21199, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2i1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3	|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
itg2i1fseq.4	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
itg2i1fseq.6	|- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, F   P, m, n, x   ph, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2i1fseq.2	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
2	1	feqmptd 5744	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
3		fveq2 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( P ` n ) = ( P ` m ) )
4	3	fveq1d 5693	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
5	4	cbvmptv 4383	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
6	5	rneqi 5066	. . . . . . . 8 |- ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
7	6	supeq1i 7697	. . . . . . 7 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < )
8		nnuz 10896	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9		1zzd 10677	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
10		itg2i1fseq.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
11	10	ffvelrnda 5843	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. dom S.1 )
12		i1ff 21154	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) : RR --> RR )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> RR )
14	13	ffvelrnda 5843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
15	14	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
16	15, 5	fmptd 5867	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) : NN --> RR )
17		itg2i1fseq.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
18	3	breq2d 4304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 0p oR <_ ( P ` n ) <-> 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
19		oveq1 6098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( n + 1 ) = ( m + 1 ) )
20	19	fveq2d 5695	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
21	3, 20	breq12d 4305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
22	18, 21	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) )
23	22	rspccva 3072	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
24	17, 23	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
25	24	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) )
26		ffn 5559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` m ) : RR --> RR -> ( P ` m ) Fn RR )
27	13, 26	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) Fn RR )
28		peano2nn 10334	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
29		ffvelrn 5841	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
30	10, 28, 29	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
31		i1ff 21154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
33		ffn 5559	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
35		reex 9373	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
37		inidm 3559	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR i^i RR ) = RR
38		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
39		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
40	27, 34, 36, 36, 37, 38, 39	ofrfval 6328	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
41	25, 40	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
42	41	r19.21bi 2814	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
43	42	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
44		eqid 2443	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) )
45		fvex 5701	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` m ) ` y ) e. _V
46	4, 44, 45	fvmpt 5774	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
48		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( P ` n ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
49	48	fveq1d 5693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
50		fvex 5701	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) e. _V
51	49, 44, 50	fvmpt 5774	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
52	28, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
54	43, 47, 53	3brtr4d 4322	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) )
55		0re 9386	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
56		pnfxr 11092	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
57		icossre 11376	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
58	55, 56, 57	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
59	1	ffvelrnda 5843	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
60	58, 59	sseldi 3354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
61		itg2i1fseq.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. MblFn )
62		itg2i1fseq.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
63	61, 1, 10, 17, 62	itg2i1fseqle 21232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ F )
64		ffn 5559	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> F Fn RR )
65	1, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F Fn RR )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F Fn RR )
67		eqidd 2444	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
68	27, 66, 36, 36, 37, 38, 67	ofrfval 6328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ F <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
69	63, 68	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
70	69	r19.21bi 2814	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
71	70	an32s 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
72	71	ralrimiva 2799	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
73		breq2 4296	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F ` y ) -> ( ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
74	73	ralbidv 2735	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( F ` y ) -> ( A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
75	74	rspcev 3073	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
76	60, 72, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
77	46	breq1d 4302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) )
78	77	ralbiia 2747	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
79	78	rexbii 2740	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
80	76, 79	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z )
81	8, 9, 16, 54, 80	climsup 13147	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) )
82		fveq2 5691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` n ) ` y ) )
83	82	mpteq2dv 4379	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) )
84		fveq2 5691	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
85	83, 84	breq12d 4305	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) )
86	85	rspccva 3072	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
87	62, 86	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
88		climuni 13030	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) /\ ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
89	81, 87, 88	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
90	7, 89	syl5eqr 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
91	90	mpteq2dva 4378	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
92	2, 91	eqtr4d 2478	. . . 4 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) )
93	3	fveq1d 5693	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` x ) )
94	93	cbvmptv 4383	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) )
95		fveq2 5691	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( P ` m ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
96	95	mpteq2dv 4379	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
97	94, 96	syl5eq 2487	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
98	97	rneqd 5067	. . . . . 6 |- ( x = y -> ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
99	98	supeq1d 7696	. . . . 5 |- ( x = y -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
100	99	cbvmptv 4383	. . . 4 |- ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
101	92, 100	syl6eqr 2493	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
102	101	fveq2d 5695	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) )
103	24	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( P ` m ) )
104		itg2itg1 21214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` m ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
105	11, 103, 104	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
106	105	mpteq2dva 4378	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) )
107		itg2i1fseq.6	. . . . . . 7 |- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
108	106, 107	syl6reqr 2494	. . . . . 6 |- ( ph -> S = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) )
109	3	fveq2d 5695	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( P ` n ) ) = ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
110	109	cbvmptv 4383	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
111	108, 110	syl6eqr 2493	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
112	111	rneqd 5067	. . . 4 |- ( ph -> ran S = ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
113	112	supeq1d 7696	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
114		i1fmbf 21153	. . . . 5 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) e. MblFn )
115	11, 114	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. MblFn )
116		0plef 21150	. . . . 5 |- ( ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( P ` m ) : RR --> RR /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
117	13, 103, 116	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
118	110	rneqi 5066	. . . . 5 |- ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
119	118	supeq1i 7697	. . . 4 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) , RR* , < )
120	100, 115, 117, 25, 76, 119	itg2mono 21231	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
121	113, 120	eqtr4d 2478	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) )
122	102, 121	eqtr4d 2478	1 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   C_ wss 3328   class class class wbr 4292   e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841   Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   oRcofr 6319   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283   + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417   < clt 9418   <_ cle 9419   NNcn 10322   [,)cico 11302   ~~> cli 12962  MblFncmbf 21094   S.1citg1 21095   S.2citg2 21096   0pc0p 21147

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cc 8604  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101  df-0p 21148

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  21234