Theorem itg2i1fseq 21897

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 21863, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2i1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3	|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
itg2i1fseq.4	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
itg2i1fseq.6	|- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, F   P, m, n, x   ph, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2i1fseq.2	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
2	1	feqmptd 5918	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
3		fveq2 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( P ` n ) = ( P ` m ) )
4	3	fveq1d 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
5	4	cbvmptv 4538	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
6	5	rneqi 5227	. . . . . . . 8 |- ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
7	6	supeq1i 7903	. . . . . . 7 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < )
8		nnuz 11113	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
9		1zzd 10891	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
10		itg2i1fseq.3	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
11	10	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. dom S.1 )
12		i1ff 21818	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) : RR --> RR )
13	11, 12	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> RR )
14	13	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
15	14	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
16	15, 5	fmptd 6043	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) : NN --> RR )
17		itg2i1fseq.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
18	3	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( 0p oR <_ ( P ` n ) <-> 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
19		oveq1 6289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = m -> ( n + 1 ) = ( m + 1 ) )
20	19	fveq2d 5868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = m -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
21	3, 20	breq12d 4460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
22	18, 21	anbi12d 710	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n = m -> ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) )
23	22	rspccva 3213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
24	17, 23	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
25	24	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) )
26		ffn 5729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` m ) : RR --> RR -> ( P ` m ) Fn RR )
27	13, 26	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) Fn RR )
28		peano2nn 10544	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
29		ffvelrn 6017	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
30	10, 28, 29	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
31		i1ff 21818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
32	30, 31	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
33		ffn 5729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
34	32, 33	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
35		reex 9579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- RR e. _V
36	35	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
37		inidm 3707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( RR i^i RR ) = RR
38		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
39		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
40	27, 34, 36, 36, 37, 38, 39	ofrfval 6530	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
41	25, 40	mpbid 210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
42	41	r19.21bi 2833	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
43	42	an32s 802	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
44		eqid 2467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) )
45		fvex 5874	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` m ) ` y ) e. _V
46	4, 44, 45	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
47	46	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
48		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( P ` n ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
49	48	fveq1d 5866	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
50		fvex 5874	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) e. _V
51	49, 44, 50	fvmpt 5948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
52	28, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
53	52	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
54	43, 47, 53	3brtr4d 4477	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) )
55		0re 9592	. . . . . . . . . . . . 13 |- 0 e. RR
56		pnfxr 11317	. . . . . . . . . . . . 13 |- +oo e. RR*
57		icossre 11601	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( 0 e. RR /\ +oo e. RR* ) -> ( 0 [,) +oo ) C_ RR )
58	55, 56, 57	mp2an 672	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
59	1	ffvelrnda 6019	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
60	58, 59	sseldi 3502	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
61		itg2i1fseq.1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F e. MblFn )
62		itg2i1fseq.5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
63	61, 1, 10, 17, 62	itg2i1fseqle 21896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ F )
64		ffn 5729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> F Fn RR )
65	1, 64	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F Fn RR )
66	65	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F Fn RR )
67		eqidd 2468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
68	27, 66, 36, 36, 37, 38, 67	ofrfval 6530	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ F <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
69	63, 68	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
70	69	r19.21bi 2833	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
71	70	an32s 802	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
72	71	ralrimiva 2878	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
73		breq2 4451	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( F ` y ) -> ( ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
74	73	ralbidv 2903	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( F ` y ) -> ( A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
75	74	rspcev 3214	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
76	60, 72, 75	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
77	46	breq1d 4457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) )
78	77	ralbiia 2894	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
79	78	rexbii 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
80	76, 79	sylibr 212	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z )
81	8, 9, 16, 54, 80	climsup 13451	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) )
82		fveq2 5864	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` n ) ` y ) )
83	82	mpteq2dv 4534	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) )
84		fveq2 5864	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
85	83, 84	breq12d 4460	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) )
86	85	rspccva 3213	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
87	62, 86	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
88		climuni 13334	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) /\ ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
89	81, 87, 88	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
90	7, 89	syl5eqr 2522	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
91	90	mpteq2dva 4533	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
92	2, 91	eqtr4d 2511	. . . 4 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) )
93	3	fveq1d 5866	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` x ) )
94	93	cbvmptv 4538	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) )
95		fveq2 5864	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( P ` m ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
96	95	mpteq2dv 4534	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
97	94, 96	syl5eq 2520	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
98	97	rneqd 5228	. . . . . 6 |- ( x = y -> ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
99	98	supeq1d 7902	. . . . 5 |- ( x = y -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
100	99	cbvmptv 4538	. . . 4 |- ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
101	92, 100	syl6eqr 2526	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
102	101	fveq2d 5868	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) )
103	24	simpld 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( P ` m ) )
104		itg2itg1 21878	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( P ` m ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
105	11, 103, 104	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
106	105	mpteq2dva 4533	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) )
107		itg2i1fseq.6	. . . . . . 7 |- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
108	106, 107	syl6reqr 2527	. . . . . 6 |- ( ph -> S = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) )
109	3	fveq2d 5868	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( P ` n ) ) = ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
110	109	cbvmptv 4538	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
111	108, 110	syl6eqr 2526	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
112	111	rneqd 5228	. . . 4 |- ( ph -> ran S = ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
113	112	supeq1d 7902	. . 3 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
114		i1fmbf 21817	. . . . 5 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) e. MblFn )
115	11, 114	syl 16	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. MblFn )
116		0plef 21814	. . . . 5 |- ( ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( P ` m ) : RR --> RR /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
117	13, 103, 116	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
118	110	rneqi 5227	. . . . 5 |- ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
119	118	supeq1i 7903	. . . 4 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) , RR* , < )
120	100, 115, 117, 25, 76, 119	itg2mono 21895	. . 3 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
121	113, 120	eqtr4d 2511	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) )
122	102, 121	eqtr4d 2511	1 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   oRcofr 6521   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489   + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623   < clt 9624   <_ cle 9625   NNcn 10532   [,)cico 11527   ~~> cli 13266  MblFncmbf 21758   S.1citg1 21759   S.2citg2 21760   0pc0p 21811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-0p 21812

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  21898