Theorem itg2i1fseq 22456

Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 22422, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2i1fseq.1	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2i1fseq.2	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3	|- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
itg2i1fseq.4	|- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5	|- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
itg2i1fseq.6	|- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2i1fseq	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Distinct variable groups:   m, n, x, F   P, m, n, x   ph, m

Allowed substitution hints:   ph( x, n)   S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5851	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( P ` n ) = ( P ` m ) )
2	1	fveq1d 5853	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` x ) )
3	2	cbvmptv 4489	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) )
4		fveq2 5851	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> ( ( P ` m ) ` x ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
5	4	mpteq2dv 4484	. . . . . . 7 |- ( x = y -> ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
6	3, 5	syl5eq 2457	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
7	6	rneqd 5053	. . . . 5 |- ( x = y -> ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) )
8	7	supeq1d 7941	. . . 4 |- ( x = y -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
9	8	cbvmptv 4489	. . 3 |- ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) )
10		itg2i1fseq.3	. . . . 5 |- ( ph -> P : NN --> dom S.1 )
11	10	ffvelrnda 6011	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. dom S.1 )
12		i1fmbf 22376	. . . 4 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) e. MblFn )
13	11, 12	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) e. MblFn )
14		i1ff 22377	. . . . 5 |- ( ( P ` m ) e. dom S.1 -> ( P ` m ) : RR --> RR )
15	11, 14	syl 17	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> RR )
16		itg2i1fseq.4	. . . . . 6 |- ( ph -> A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) )
17	1	breq2d 4409	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( 0p oR <_ ( P ` n ) <-> 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
18		oveq1 6287	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( n + 1 ) = ( m + 1 ) )
19	18	fveq2d 5855	. . . . . . . . 9 |- ( n = m -> ( P ` ( n + 1 ) ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
20	1, 19	breq12d 4410	. . . . . . . 8 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) <-> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
21	17, 20	anbi12d 711	. . . . . . 7 |- ( n = m -> ( ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) ) )
22	21	rspccva 3161	. . . . . 6 |- ( ( A. n e. NN ( 0p oR <_ ( P ` n ) /\ ( P ` n ) oR <_ ( P ` ( n + 1 ) ) ) /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
23	16, 22	sylan 471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( 0p oR <_ ( P ` m ) /\ ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) ) )
24	23	simpld 459	. . . 4 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> 0p oR <_ ( P ` m ) )
25		0plef 22373	. . . 4 |- ( ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( P ` m ) : RR --> RR /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) )
26	15, 24, 25	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
27	23	simprd 463	. . 3 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) )
28		rge0ssre 11684	. . . . 5 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
29		itg2i1fseq.2	. . . . . 6 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
30	29	ffvelrnda 6011	. . . . 5 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. ( 0 [,) +oo ) )
31	28, 30	sseldi 3442	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) e. RR )
32		itg2i1fseq.1	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> F e. MblFn )
33		itg2i1fseq.5	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) )
34	32, 29, 10, 16, 33	itg2i1fseqle 22455	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) oR <_ F )
35		ffn 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P ` m ) : RR --> RR -> ( P ` m ) Fn RR )
36	15, 35	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` m ) Fn RR )
37		ffn 5716	. . . . . . . . . . 11 |- ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> F Fn RR )
38	29, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> F Fn RR )
39	38	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> F Fn RR )
40		reex 9615	. . . . . . . . . 10 |- RR e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> RR e. _V )
42		inidm 3650	. . . . . . . . 9 |- ( RR i^i RR ) = RR
43		eqidd 2405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
44		eqidd 2405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( F ` y ) = ( F ` y ) )
45	36, 39, 41, 41, 42, 43, 44	ofrfval 6531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ F <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
46	34, 45	mpbid 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
47	46	r19.21bi 2775	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
48	47	an32s 807	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
49	48	ralrimiva 2820	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) )
50		breq2 4401	. . . . . 6 |- ( z = ( F ` y ) -> ( ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
51	50	ralbidv 2845	. . . . 5 |- ( z = ( F ` y ) -> ( A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) )
52	51	rspcev 3162	. . . 4 |- ( ( ( F ` y ) e. RR /\ A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( F ` y ) ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
53	31, 49, 52	syl2anc 661	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
54	1	fveq2d 5855	. . . . . 6 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( P ` n ) ) = ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
55	54	cbvmptv 4489	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
56	55	rneqi 5052	. . . 4 |- ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) = ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) )
57	56	supeq1i 7942	. . 3 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) , RR* , < )
58	9, 13, 26, 27, 53, 57	itg2mono 22454	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
59	29	feqmptd 5904	. . . . 5 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
60	1	fveq1d 5853	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
61	60	cbvmptv 4489	. . . . . . . . 9 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
62	61	rneqi 5052	. . . . . . . 8 |- ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) )
63	62	supeq1i 7942	. . . . . . 7 |- sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < )
64		nnuz 11164	. . . . . . . . 9 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
65		1zzd 10938	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> 1 e. ZZ )
66	15	ffvelrnda 6011	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
67	66	an32s 807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) e. RR )
68	67, 61	fmptd 6035	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) : NN --> RR )
69		peano2nn 10590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m e. NN -> ( m + 1 ) e. NN )
70		ffvelrn 6009	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P : NN --> dom S.1 /\ ( m + 1 ) e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
71	10, 69, 70	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 )
72		i1ff 22377	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) e. dom S.1 -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
73	71, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR )
74		ffn 5716	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) : RR --> RR -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
75	73, 74	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( P ` ( m + 1 ) ) Fn RR )
76		eqidd 2405	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
77	36, 75, 41, 41, 42, 43, 76	ofrfval 6531	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) oR <_ ( P ` ( m + 1 ) ) <-> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) ) )
78	27, 77	mpbid 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> A. y e. RR ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
79	78	r19.21bi 2775	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ m e. NN ) /\ y e. RR ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
80	79	an32s 807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( P ` m ) ` y ) <_ ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
81		eqid 2404	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) )
82		fvex 5861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( P ` m ) ` y ) e. _V
83	60, 81, 82	fvmpt 5934	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
84	83	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) = ( ( P ` m ) ` y ) )
85		fveq2 5851	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( P ` n ) = ( P ` ( m + 1 ) ) )
86	85	fveq1d 5853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( m + 1 ) -> ( ( P ` n ) ` y ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
87		fvex 5861	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) e. _V
88	86, 81, 87	fvmpt 5934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( m + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
89	69, 88	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
90	89	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) = ( ( P ` ( m + 1 ) ) ` y ) )
91	80, 84, 90	3brtr4d 4427	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ y e. RR ) /\ m e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` ( m + 1 ) ) )
92	83	breq1d 4407	. . . . . . . . . . . 12 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> ( ( P ` m ) ` y ) <_ z ) )
93	92	ralbiia 2836	. . . . . . . . . . 11 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
94	93	rexbii 2908	. . . . . . . . . 10 |- ( E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z <-> E. z e. RR A. m e. NN ( ( P ` m ) ` y ) <_ z )
95	53, 94	sylibr 214	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> E. z e. RR A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ` m ) <_ z )
96	64, 65, 68, 91, 95	climsup 13643	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) )
97		fveq2 5851	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( P ` n ) ` x ) = ( ( P ` n ) ` y ) )
98	97	mpteq2dv 4484	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) = ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) )
99		fveq2 5851	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
100	98, 99	breq12d 4410	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) <-> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) )
101	100	rspccva 3161	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. x e. RR ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) ~~> ( F ` x ) /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
102	33, 101	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) )
103		climuni 13526	. . . . . . . 8 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) /\ ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) ~~> ( F ` y ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
104	96, 102, 103	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
105	63, 104	syl5eqr 2459	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. RR ) -> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) = ( F ` y ) )
106	105	mpteq2dva 4483	. . . . 5 |- ( ph -> ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) = ( y e. RR |-> ( F ` y ) ) )
107	59, 106	eqtr4d 2448	. . . 4 |- ( ph -> F = ( y e. RR |-> sup ( ran ( m e. NN |-> ( ( P ` m ) ` y ) ) , RR , < ) ) )
108	107, 9	syl6eqr 2463	. . 3 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) )
109	108	fveq2d 5855	. 2 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> sup ( ran ( n e. NN |-> ( ( P ` n ) ` x ) ) , RR , < ) ) ) )
110		itg2itg1 22437	. . . . . . . 8 |- ( ( ( P ` m ) e. dom S.1 /\ 0p oR <_ ( P ` m ) ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
111	11, 24, 110	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ m e. NN ) -> ( S.2 ` ( P ` m ) ) = ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
112	111	mpteq2dva 4483	. . . . . 6 |- ( ph -> ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) ) )
113		itg2i1fseq.6	. . . . . 6 |- S = ( m e. NN |-> ( S.1 ` ( P ` m ) ) )
114	112, 113	syl6reqr 2464	. . . . 5 |- ( ph -> S = ( m e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` m ) ) ) )
115	114, 55	syl6eqr 2463	. . . 4 |- ( ph -> S = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
116	115	rneqd 5053	. . 3 |- ( ph -> ran S = ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) )
117	116	supeq1d 7941	. 2 |- ( ph -> sup ( ran S , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( P ` n ) ) ) , RR* , < ) )
118	58, 109, 117	3eqtr4d 2455	1 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) = sup ( ran S , RR* , < ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   = wceq 1407   e. wcel 1844   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3061   class class class wbr 4397   |-> cmpt 4455   dom cdm 4825   ran crn 4826   Fn wfn 5566   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   oRcofr 6522   supcsup 7936   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525   + caddc 9527   +oocpnf 9657   RR*cxr 9659   < clt 9660   <_ cle 9661   NNcn 10578   [,)cico 11586   ~~> cli 13458  MblFncmbf 22317   S.1citg1 22318   S.2citg2 22319   0pc0p 22370

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cc 8849  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-ofr 6524  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-omul 7174  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-fi 7907  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-acn 8357  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xneg 11373  df-xadd 11374  df-xmul 11375  df-ioo 11588  df-ioc 11589  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-rlim 13463  df-sum 13660  df-rest 15039  df-topgen 15060  df-psmet 18733  df-xmet 18734  df-met 18735  df-bl 18736  df-mopn 18737  df-top 19693  df-bases 19695  df-topon 19696  df-cmp 20182  df-ovol 22170  df-vol 22171  df-mbf 22322  df-itg1 22323  df-itg2 22324  df-0p 22371

This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  22457