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Theorem itg2i1fseq 21897
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 21863, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, F    P, m, n, x    ph, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
21feqmptd 5918 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
3 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
43fveq1d 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
54cbvmptv 4538 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) )
65rneqi 5227 . . . . . . . 8  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
)
76supeq1i 7903 . . . . . . 7  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
8 nnuz 11113 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9 1zzd 10891 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
10 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
1110ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
12 i1ff 21818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
1413ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
1514an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
1615, 5fmptd 6043 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) : NN --> RR )
17 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
183breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
19 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
2019fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
213, 20breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
2322rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  oR  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
2417, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2524simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
26 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
2713, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
28 peano2nn 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
29 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
3010, 28, 29syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
31 i1ff 21818 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
33 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
35 reex 9579 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
37 inidm 3707 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
38 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
39 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
4027, 34, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
4125, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
4241r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
4342an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
44 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
45 fvex 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
464, 44, 45fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
48 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
4948fveq1d 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
50 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
5149, 44, 50fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5228, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5443, 47, 533brtr4d 4477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( m  +  1 ) ) )
55 0re 9592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
56 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
57 icossre 11601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
5855, 56, 57mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
591ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6058, 59sseldi 3502 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
61 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
62 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
6361, 1, 10, 17, 62itg2i1fseqle 21896 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  F )
64 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
651, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
67 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
6827, 66, 36, 36, 37, 38, 67ofrfval 6530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
6963, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
7069r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
7170an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
7271ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
73 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  ( ( P `  m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
7473ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
7574rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
7660, 72, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
7746breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  <_  z  <->  ( ( P `  m
) `  y )  <_  z ) )
7877ralbiia 2894 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
7978rexbii 2965 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
8076, 79sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 m )  <_ 
z )
818, 9, 16, 54, 80climsup 13451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
82 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
8382mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
84 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
8583, 84breq12d 4460 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
8685rspccva 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
8762, 86sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
88 climuni 13334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
8981, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
907, 89syl5eqr 2522 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
9190mpteq2dva 4533 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
922, 91eqtr4d 2511 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
933fveq1d 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  x ) )
9493cbvmptv 4538 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  x ) )
95 fveq2 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  m
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
9695mpteq2dv 4534 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
9794, 96syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
9897rneqd 5228 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) )
9998supeq1d 7902 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
10099cbvmptv 4538 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )
10192, 100syl6eqr 2526 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
102101fveq2d 5868 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
10324simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( P `  m )
)
104 itg2itg1 21878 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( P `  m ) )  -> 
( S.2 `  ( P `
 m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
10511, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( P `  m
) )  =  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
106105mpteq2dva 4533 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  m
) ) ) )
107 itg2i1fseq.6 . . . . . . 7  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
108106, 107syl6reqr 2527 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  m
) ) ) )
1093fveq2d 5868 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( P `  n ) )  =  ( S.2 `  ( P `  m )
) )
110109cbvmptv 4538 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
111108, 110syl6eqr 2526 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) ) )
112111rneqd 5228 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) )
113112supeq1d 7902 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
114 i1fmbf 21817 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m )  e. MblFn )
11511, 114syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. MblFn
)
116 0plef 21814 . . . . 5  |-  ( ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( P `  m ) : RR --> RR  /\  0p  oR  <_  ( P `  m )
) )
11713, 103, 116sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
118110rneqi 5227 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
119118supeq1i 7903 . . . 4  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
120100, 115, 117, 25, 76, 119itg2mono 21895 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
121113, 120eqtr4d 2511 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
122102, 121eqtr4d 2511 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282    oRcofr 6521   supcsup 7896   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489    + caddc 9491   +oocpnf 9621   RR*cxr 9623    < clt 9624    <_ cle 9625   NNcn 10532   [,)cico 11527    ~~> cli 13266  MblFncmbf 21758   S.1citg1 21759   S.2citg2 21760   0pc0p 21811
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-0p 21812
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  21898
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