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Theorem itg2i1fseq 21233
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 21199, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, F    P, m, n, x    ph, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
21feqmptd 5744 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
3 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
43fveq1d 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
54cbvmptv 4383 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) )
65rneqi 5066 . . . . . . . 8  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
)
76supeq1i 7697 . . . . . . 7  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
8 nnuz 10896 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
9 1zzd 10677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
10 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
1110ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
12 i1ff 21154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
1413ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
1514an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
1615, 5fmptd 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) : NN --> RR )
17 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
183breq2d 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
19 oveq1 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
2019fveq2d 5695 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
213, 20breq12d 4305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
2322rspccva 3072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  oR  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
2417, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2524simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
26 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
2713, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
28 peano2nn 10334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
29 ffvelrn 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
3010, 28, 29syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
31 i1ff 21154 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
33 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
35 reex 9373 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
37 inidm 3559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
38 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
39 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
4027, 34, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
4125, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
4241r19.21bi 2814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
4342an32s 802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
44 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
45 fvex 5701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
464, 44, 45fvmpt 5774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
48 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
4948fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
50 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
5149, 44, 50fvmpt 5774 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5228, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
5443, 47, 533brtr4d 4322 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( m  +  1 ) ) )
55 0re 9386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  RR
56 pnfxr 11092 . . . . . . . . . . . . 13  |- +oo  e.  RR*
57 icossre 11376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
5855, 56, 57mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
591ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6058, 59sseldi 3354 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
61 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
62 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
6361, 1, 10, 17, 62itg2i1fseqle 21232 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  F )
64 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
651, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
67 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
6827, 66, 36, 36, 37, 38, 67ofrfval 6328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
6963, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
7069r19.21bi 2814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
7170an32s 802 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
7271ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
73 breq2 4296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  ( ( P `  m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
7473ralbidv 2735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
7574rspcev 3073 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
7660, 72, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
7746breq1d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  <_  z  <->  ( ( P `  m
) `  y )  <_  z ) )
7877ralbiia 2747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
7978rexbii 2740 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
8076, 79sylibr 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 m )  <_ 
z )
818, 9, 16, 54, 80climsup 13147 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
82 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
8382mpteq2dv 4379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
84 fveq2 5691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
8583, 84breq12d 4305 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
8685rspccva 3072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
8762, 86sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
88 climuni 13030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
8981, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
907, 89syl5eqr 2489 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
9190mpteq2dva 4378 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
922, 91eqtr4d 2478 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
933fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  x ) )
9493cbvmptv 4383 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  x ) )
95 fveq2 5691 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  m
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
9695mpteq2dv 4379 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
9794, 96syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
9897rneqd 5067 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) )
9998supeq1d 7696 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
10099cbvmptv 4383 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )
10192, 100syl6eqr 2493 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
102101fveq2d 5695 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
10324simpld 459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( P `  m )
)
104 itg2itg1 21214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( P `  m ) )  -> 
( S.2 `  ( P `
 m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
10511, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( P `  m
) )  =  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
106105mpteq2dva 4378 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  m
) ) ) )
107 itg2i1fseq.6 . . . . . . 7  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
108106, 107syl6reqr 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  m
) ) ) )
1093fveq2d 5695 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( P `  n ) )  =  ( S.2 `  ( P `  m )
) )
110109cbvmptv 4383 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
111108, 110syl6eqr 2493 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) ) )
112111rneqd 5067 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  S  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) )
113112supeq1d 7696 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
114 i1fmbf 21153 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m )  e. MblFn )
11511, 114syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. MblFn
)
116 0plef 21150 . . . . 5  |-  ( ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( P `  m ) : RR --> RR  /\  0p  oR  <_  ( P `  m )
) )
11713, 103, 116sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
118110rneqi 5066 . . . . 5  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
119118supeq1i 7697 . . . 4  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
120100, 115, 117, 25, 76, 119itg2mono 21231 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
121113, 120eqtr4d 2478 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
122102, 121eqtr4d 2478 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   dom cdm 4840   ran crn 4841    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oRcofr 6319   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419   NNcn 10322   [,)cico 11302    ~~> cli 12962  MblFncmbf 21094   S.1citg1 21095   S.2citg2 21096   0pc0p 21147
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cc 8604  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-omul 6925  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-acn 8112  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ioc 11305  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101  df-0p 21148
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  21234
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