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Theorem itg2i1fseq 22706
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 22672, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, F    P, m, n, x    ph, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5863 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
21fveq1d 5865 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  x ) )
32cbvmptv 4494 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  x ) )
4 fveq2 5863 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  m
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
54mpteq2dv 4489 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
63, 5syl5eq 2496 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
76rneqd 5061 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) )
87supeq1d 7957 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
98cbvmptv 4494 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )
10 itg2i1fseq.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
1110ffvelrnda 6020 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
12 i1fmbf 22626 . . . 4  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m )  e. MblFn )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. MblFn
)
14 i1ff 22627 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
1511, 14syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
16 itg2i1fseq.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
171breq2d 4413 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
18 oveq1 6295 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
1918fveq2d 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
201, 19breq12d 4414 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2117, 20anbi12d 716 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
2221rspccva 3148 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  oR  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
2316, 22sylan 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2423simpld 461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( P `  m )
)
25 0plef 22623 . . . 4  |-  ( ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( P `  m ) : RR --> RR  /\  0p  oR  <_  ( P `  m )
) )
2615, 24, 25sylanbrc 669 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
2723simprd 465 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
28 rge0ssre 11737 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
29 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3029ffvelrnda 6020 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3128, 30sseldi 3429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
32 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
33 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
3432, 29, 10, 16, 33itg2i1fseqle 22705 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  F )
35 ffn 5726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
3615, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
37 ffn 5726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
3829, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
3938adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
40 reex 9627 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
42 inidm 3640 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
43 eqidd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
44 eqidd 2451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
4536, 39, 41, 41, 42, 43, 44ofrfval 6536 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
4634, 45mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
4746r19.21bi 2756 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
4847an32s 812 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
4948ralrimiva 2801 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
50 breq2 4405 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  ( ( P `  m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
5150ralbidv 2826 . . . . 5  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
5251rspcev 3149 . . . 4  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
5331, 49, 52syl2anc 666 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
541fveq2d 5867 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( P `  n ) )  =  ( S.2 `  ( P `  m )
) )
5554cbvmptv 4494 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
5655rneqi 5060 . . . 4  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
5756supeq1i 7958 . . 3  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
589, 13, 26, 27, 53, 57itg2mono 22704 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
5929feqmptd 5916 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
601fveq1d 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
6160cbvmptv 4494 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) )
6261rneqi 5060 . . . . . . . 8  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
)
6362supeq1i 7958 . . . . . . 7  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
64 nnuz 11191 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65 1zzd 10965 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
6615ffvelrnda 6020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
6766an32s 812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
6867, 61fmptd 6044 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) : NN --> RR )
69 peano2nn 10618 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
70 ffvelrn 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
7110, 69, 70syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
72 i1ff 22627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
74 ffn 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
76 eqidd 2451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
7736, 75, 41, 41, 42, 43, 76ofrfval 6536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
7827, 77mpbid 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
7978r19.21bi 2756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
8079an32s 812 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
81 eqid 2450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
82 fvex 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
8360, 81, 82fvmpt 5946 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
8483adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
85 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
8685fveq1d 5865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
87 fvex 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
8886, 81, 87fvmpt 5946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
8969, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
9089adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
9180, 84, 903brtr4d 4432 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( m  +  1 ) ) )
9283breq1d 4411 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  <_  z  <->  ( ( P `  m
) `  y )  <_  z ) )
9392ralbiia 2817 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
9493rexbii 2888 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
9553, 94sylibr 216 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 m )  <_ 
z )
9664, 65, 68, 91, 95climsup 13726 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
97 fveq2 5863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
9897mpteq2dv 4489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
99 fveq2 5863 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
10098, 99breq12d 4414 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
101100rspccva 3148 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
10233, 101sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
103 climuni 13609 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
10496, 102, 103syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
10563, 104syl5eqr 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
106105mpteq2dva 4488 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
10759, 106eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
108107, 9syl6eqr 2502 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
109108fveq2d 5867 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
110 itg2itg1 22687 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  m
)  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( P `  m ) )  -> 
( S.2 `  ( P `
 m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
11111, 24, 110syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( P `  m
) )  =  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
112111mpteq2dva 4488 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  m
) ) ) )
113 itg2i1fseq.6 . . . . . 6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
114112, 113syl6reqr 2503 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  m
) ) ) )
115114, 55syl6eqr 2502 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) ) )
116115rneqd 5061 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  S  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) )
117116supeq1d 7957 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
11858, 109, 1173eqtr4d 2494 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   class class class wbr 4401    |-> cmpt 4460   dom cdm 4833   ran crn 4834    Fn wfn 5576   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6288    oRcofr 6527   supcsup 7951   RRcr 9535   0cc0 9536   1c1 9537    + caddc 9539   +oocpnf 9669   RR*cxr 9671    < clt 9672    <_ cle 9673   NNcn 10606   [,)cico 11634    ~~> cli 13541  MblFncmbf 22565   S.1citg1 22566   S.2citg2 22567   0pc0p 22620
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cc 8862  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614  ax-addf 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-of 6528  df-ofr 6529  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-map 7471  df-pm 7472  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-xneg 11406  df-xadd 11407  df-xmul 11408  df-ioo 11636  df-ioc 11637  df-ico 11638  df-icc 11639  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-rest 15314  df-topgen 15335  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-top 19914  df-bases 19915  df-topon 19916  df-cmp 20395  df-ovol 22409  df-vol 22411  df-mbf 22570  df-itg1 22571  df-itg2 22572  df-0p 22621
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  22707
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