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Theorem itg2i1fseq 22792
Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 22758, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2i1fseq.2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2i1fseq.3  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2i1fseq.4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2i1fseq.5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2i1fseq.6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Distinct variable groups:    m, n, x, F    P, m, n, x    ph, m
Allowed substitution hints:    ph( x, n)    S( x, m, n)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5879 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
21fveq1d 5881 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  x ) )
32cbvmptv 4488 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  x ) )
4 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  m
) `  x )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
54mpteq2dv 4483 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
63, 5syl5eq 2517 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) )
76rneqd 5068 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) )
87supeq1d 7978 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
98cbvmptv 4488 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )
10 itg2i1fseq.3 . . . . 5  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
1110ffvelrnda 6037 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
12 i1fmbf 22712 . . . 4  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m )  e. MblFn )
1311, 12syl 17 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. MblFn
)
14 i1ff 22713 . . . . 5  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
1511, 14syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
16 itg2i1fseq.4 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
171breq2d 4407 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
18 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
1918fveq2d 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
201, 19breq12d 4408 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2117, 20anbi12d 725 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
2221rspccva 3135 . . . . . 6  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  oR  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
2316, 22sylan 479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
2423simpld 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( P `  m )
)
25 0plef 22709 . . . 4  |-  ( ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( P `  m ) : RR --> RR  /\  0p  oR  <_  ( P `  m )
) )
2615, 24, 25sylanbrc 677 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
2723simprd 470 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
28 rge0ssre 11766 . . . . 5  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
29 itg2i1fseq.2 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3029ffvelrnda 6037 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
3128, 30sseldi 3416 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
32 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
33 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
3432, 29, 10, 16, 33itg2i1fseqle 22791 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  F )
35 ffn 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
3615, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
37 ffn 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
3829, 37syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
3938adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
40 reex 9648 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
42 inidm 3632 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
43 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
44 eqidd 2472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
4536, 39, 41, 41, 42, 43, 44ofrfval 6558 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
4634, 45mpbid 215 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
4746r19.21bi 2776 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
4847an32s 821 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )
4948ralrimiva 2809 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
)
50 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  ( ( P `  m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
5150ralbidv 2829 . . . . 5  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  ( F `  y )
) )
5251rspcev 3136 . . . 4  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
5331, 49, 52syl2anc 673 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
541fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( P `  n ) )  =  ( S.2 `  ( P `  m )
) )
5554cbvmptv 4488 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
5655rneqi 5067 . . . 4  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) )  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )
5756supeq1i 7979 . . 3  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
589, 13, 26, 27, 53, 57itg2mono 22790 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
5929feqmptd 5932 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
601fveq1d 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
6160cbvmptv 4488 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) )
6261rneqi 5067 . . . . . . . 8  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  =  ran  (
m  e.  NN  |->  ( ( P `  m
) `  y )
)
6362supeq1i 7979 . . . . . . 7  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `
 m ) `  y ) ) ,  RR ,  <  )
64 nnuz 11218 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
65 1zzd 10992 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
6615ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
6766an32s 821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
6867, 61fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) : NN --> RR )
69 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
70 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
7110, 69, 70syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
72 i1ff 22713 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
7371, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
74 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
7573, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
76 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
7736, 75, 41, 41, 42, 43, 76ofrfval 6558 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
7827, 77mpbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
7978r19.21bi 2776 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
8079an32s 821 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
81 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
82 fvex 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
8360, 81, 82fvmpt 5963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
8483adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
85 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  ( P `  n )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
8685fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
87 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  e. 
_V
8886, 81, 87fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
8969, 88syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
9089adantl 473 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  (
m  +  1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) )
9180, 84, 903brtr4d 4426 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) `  ( m  +  1 ) ) )
9283breq1d 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  <_  z  <->  ( ( P `  m
) `  y )  <_  z ) )
9392ralbiia 2822 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
9493rexbii 2881 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  <_  z  <->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  z
)
9553, 94sylibr 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) `
 m )  <_ 
z )
9664, 65, 68, 91, 95climsup 13810 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
97 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
9897mpteq2dv 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
99 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
10098, 99breq12d 4408 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
101100rspccva 3135 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
10233, 101sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
103 climuni 13693 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  y )
)  ~~>  ( F `  y ) )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
10496, 102, 103syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
10563, 104syl5eqr 2519 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  y ) )
106105mpteq2dva 4482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `
 y ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
10759, 106eqtr4d 2508 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( P `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
108107, 9syl6eqr 2523 . . 3  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) ) ,  RR ,  <  ) ) )
109108fveq2d 5883 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
110 itg2itg1 22773 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  m
)  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  ( P `  m ) )  -> 
( S.2 `  ( P `
 m ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
11111, 24, 110syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( P `  m
) )  =  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
112111mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  m
) ) ) )
113 itg2i1fseq.6 . . . . . 6  |-  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 m ) ) )
114112, 113syl6reqr 2524 . . . . 5  |-  ( ph  ->  S  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  m
) ) ) )
115114, 55syl6eqr 2523 . . . 4  |-  ( ph  ->  S  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `  n
) ) ) )
116115rneqd 5068 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  S  =  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) )
117116supeq1d 7978 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( P `
 n ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
11858, 109, 1173eqtr4d 2515 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   ran crn 4840    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oRcofr 6549   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   [,)cico 11662    ~~> cli 13625  MblFncmbf 22651   S.1citg1 22652   S.2citg2 22653   0pc0p 22706
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-0p 22707
This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  22793
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