Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2i1fseq Structured version   Unicode version

Theorem itg2i1fseq 21897
 Description: Subject to the conditions coming from mbfi1fseq 21863, the integral of the sequence of simple functions converges to the integral of the target function. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2i1fseq.1 MblFn
itg2i1fseq.2
itg2i1fseq.3
itg2i1fseq.4
itg2i1fseq.5
itg2i1fseq.6
Assertion
Ref Expression
itg2i1fseq
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem itg2i1fseq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2i1fseq.2 . . . . . 6
21feqmptd 5918 . . . . 5
3 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11
43fveq1d 5866 . . . . . . . . . 10
54cbvmptv 4538 . . . . . . . . 9
65rneqi 5227 . . . . . . . 8
76supeq1i 7903 . . . . . . 7
8 nnuz 11113 . . . . . . . . 9
9 1zzd 10891 . . . . . . . . 9
10 itg2i1fseq.3 . . . . . . . . . . . . . 14
1110ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . . 13
12 i1ff 21818 . . . . . . . . . . . . 13
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . . 12
1413ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . 11
1514an32s 802 . . . . . . . . . 10
1615, 5fmptd 6043 . . . . . . . . 9
17 itg2i1fseq.4 . . . . . . . . . . . . . . 15
183breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
19 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2019fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
213, 20breq12d 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2218, 21anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322rspccva 3213 . . . . . . . . . . . . . . 15
2417, 23sylan 471 . . . . . . . . . . . . . 14
2524simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13
26 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15
2713, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
28 peano2nn 10544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
29 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3010, 28, 29syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . 16
31 i1ff 21818 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
33 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . 15
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14
35 reex 9579 . . . . . . . . . . . . . . 15
3635a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14
37 inidm 3707 . . . . . . . . . . . . . 14
38 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14
39 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . 14
4027, 34, 36, 36, 37, 38, 39ofrfval 6530 . . . . . . . . . . . . 13
4125, 40mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
4241r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . 11
4342an32s 802 . . . . . . . . . 10
44 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12
45 fvex 5874 . . . . . . . . . . . 12
464, 44, 45fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11
4746adantl 466 . . . . . . . . . 10
48 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . 14
4948fveq1d 5866 . . . . . . . . . . . . 13
50 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . 13
5149, 44, 50fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12
5228, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11
5352adantl 466 . . . . . . . . . 10
5443, 47, 533brtr4d 4477 . . . . . . . . 9
55 0re 9592 . . . . . . . . . . . . 13
56 pnfxr 11317 . . . . . . . . . . . . 13
57 icossre 11601 . . . . . . . . . . . . 13
5855, 56, 57mp2an 672 . . . . . . . . . . . 12
591ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . . 12
6058, 59sseldi 3502 . . . . . . . . . . 11
61 itg2i1fseq.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 MblFn
62 itg2i1fseq.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6361, 1, 10, 17, 62itg2i1fseqle 21896 . . . . . . . . . . . . . . 15
64 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
651, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
6665adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
67 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6827, 66, 36, 36, 37, 38, 67ofrfval 6530 . . . . . . . . . . . . . . 15
6963, 68mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14
7069r19.21bi 2833 . . . . . . . . . . . . 13
7170an32s 802 . . . . . . . . . . . 12
7271ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11
73 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . 13
7473ralbidv 2903 . . . . . . . . . . . 12
7574rspcev 3214 . . . . . . . . . . 11
7660, 72, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
7746breq1d 4457 . . . . . . . . . . . 12
7877ralbiia 2894 . . . . . . . . . . 11
7978rexbii 2965 . . . . . . . . . 10
8076, 79sylibr 212 . . . . . . . . 9
818, 9, 16, 54, 80climsup 13451 . . . . . . . 8
82 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . 12
8382mpteq2dv 4534 . . . . . . . . . . 11
84 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11
8583, 84breq12d 4460 . . . . . . . . . 10
8685rspccva 3213 . . . . . . . . 9
8762, 86sylan 471 . . . . . . . 8
88 climuni 13334 . . . . . . . 8
8981, 87, 88syl2anc 661 . . . . . . 7
907, 89syl5eqr 2522 . . . . . 6
9190mpteq2dva 4533 . . . . 5
922, 91eqtr4d 2511 . . . 4
933fveq1d 5866 . . . . . . . . 9
9493cbvmptv 4538 . . . . . . . 8
95 fveq2 5864 . . . . . . . . 9
9695mpteq2dv 4534 . . . . . . . 8
9794, 96syl5eq 2520 . . . . . . 7
9897rneqd 5228 . . . . . 6
9998supeq1d 7902 . . . . 5
10099cbvmptv 4538 . . . 4
10192, 100syl6eqr 2526 . . 3
102101fveq2d 5868 . 2
10324simpld 459 . . . . . . . . 9
104 itg2itg1 21878 . . . . . . . . 9
10511, 103, 104syl2anc 661 . . . . . . . 8
106105mpteq2dva 4533 . . . . . . 7
107 itg2i1fseq.6 . . . . . . 7
108106, 107syl6reqr 2527 . . . . . 6
1093fveq2d 5868 . . . . . . 7
110109cbvmptv 4538 . . . . . 6
111108, 110syl6eqr 2526 . . . . 5
112111rneqd 5228 . . . 4
113112supeq1d 7902 . . 3
114 i1fmbf 21817 . . . . 5 MblFn
11511, 114syl 16 . . . 4 MblFn
116 0plef 21814 . . . . 5
11713, 103, 116sylanbrc 664 . . . 4
118110rneqi 5227 . . . . 5
119118supeq1i 7903 . . . 4
120100, 115, 117, 25, 76, 119itg2mono 21895 . . 3
121113, 120eqtr4d 2511 . 2
122102, 121eqtr4d 2511 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 369   wceq 1379   wcel 1767  wral 2814  wrex 2815  cvv 3113   wss 3476   class class class wbr 4447   cmpt 4505   cdm 4999   crn 5000   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282   cofr 6521  csup 7896  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cpnf 9621  cxr 9623   clt 9624   cle 9625  cn 10532  cico 11527   cli 13266  MblFncmbf 21758  citg1 21759  citg2 21760  c0p 21811 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-acn 8319  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ioc 11530  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-rlim 13271  df-sum 13468  df-rest 14674  df-topgen 14695  df-psmet 18182  df-xmet 18183  df-met 18184  df-bl 18185  df-mopn 18186  df-top 19166  df-bases 19168  df-topon 19169  df-cmp 19653  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-0p 21812 This theorem is referenced by:  itg2i1fseq2  21898
 Copyright terms: Public domain W3C validator