Theorem itg2gt0 22797

Description: If the function F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2gt0.1	|- ( ph -> A e. dom vol )
itg2gt0.2	|- ( ph -> 0 < ( vol ` A ) )
itg2gt0.3	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2gt0.4	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2gt0.5	|- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 < ( F ` x ) )

Assertion

Ref	Expression
itg2gt0	|- ( ph -> 0 < ( S.2 ` F ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, F   ph, x

Proof of Theorem itg2gt0

Dummy variables k n z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2gt0.2	. 2 |- ( ph -> 0 < ( vol ` A ) )
2		itg2gt0.1	. . . . . . 7 |- ( ph -> A e. dom vol )
3		iccssxr 11742	. . . . . . . 8 |- ( 0 [,] +oo ) C_ RR*
4		volf 22561	. . . . . . . . 9 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
5	4	ffvelrni 6036	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) e. ( 0 [,] +oo ) )
6	3, 5	sseldi 3416	. . . . . . 7 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) e. RR* )
7	2, 6	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` A ) e. RR* )
8	7	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( vol ` A ) e. RR* )
9		itg2gt0.3	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10		reex 9648	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- RR e. _V
11		fex 6155	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ RR e. _V ) -> F e. _V )
12	9, 10, 11	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. _V )
13		cnvexg 6758	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
14	12, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> `' F e. _V )
15		imaexg 6749	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( `' F e. _V -> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) e. _V )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) e. _V )
17	16	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) e. _V )
18		eqid 2471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) = ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) )
19	17, 18	fmptd 6061	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V )
20		ffn 5739	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V -> ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) Fn NN )
21	19, 20	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) Fn NN )
22		fniunfv 6170	. . . . . . . . . 10 |- ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) Fn NN -> U_ k e. NN ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) = U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U_ k e. NN ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) = U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) )
24		itg2gt0.4	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F e. MblFn )
25		rge0ssre 11766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( 0 [,) +oo ) C_ RR
26		fss 5749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ RR ) -> F : RR --> RR )
27	9, 25, 26	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> F : RR --> RR )
28		mbfima 22667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F e. MblFn /\ F : RR --> RR ) -> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
29	24, 27, 28	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
30	29	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
31	30, 18	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom vol )
32	31	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) e. dom vol )
33	32	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> A. k e. NN ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) e. dom vol )
34		iunmbl 22585	. . . . . . . . . 10 |- ( A. k e. NN ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) e. dom vol -> U_ k e. NN ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) e. dom vol )
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> U_ k e. NN ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) e. dom vol )
36	23, 35	eqeltrrd 2550	. . . . . . . 8 |- ( ph -> U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol )
37		mblss 22563	. . . . . . . 8 |- ( U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol -> U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) C_ RR )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) C_ RR )
39		ovolcl 22509	. . . . . . 7 |- ( U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) C_ RR -> ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) e. RR* )
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) e. RR* )
41	40	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) e. RR* )
42		0xr 9705	. . . . . 6 |- 0 e. RR*
43	42	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> 0 e. RR* )
44		mblvol 22562	. . . . . . . 8 |- ( A e. dom vol -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
45	2, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol ` A ) = ( vol* ` A ) )
46		mblss 22563	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. dom vol -> A C_ RR )
47	2, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A C_ RR )
48	47	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> x e. RR )
49	9	ffvelrnda 6037	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
50		elrege0 11764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
51	49, 50	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
52	51	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
53	48, 52	syldan 478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( F ` x ) e. RR )
54		itg2gt0.5	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> 0 < ( F ` x ) )
55		nnrecl 10891	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 < ( F ` x ) ) -> E. k e. NN ( 1 / k ) < ( F ` x ) )
56	53, 54, 55	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. k e. NN ( 1 / k ) < ( F ` x ) )
57		ffn 5739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) -> F Fn RR )
58	9, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F Fn RR )
59	58	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> F Fn RR )
60		elpreima 6017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn RR -> ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) )
61	59, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) )
62	48	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> x e. RR )
63	62	biantrurd 516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) )
64		nnrecre 10668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. NN -> ( 1 / k ) e. RR )
65	64	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. RR )
66	65	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. RR* )
67	66	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. RR* )
68		elioopnf 11753	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( 1 / k ) e. RR* -> ( ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ ( 1 / k ) < ( F ` x ) ) ) )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ ( 1 / k ) < ( F ` x ) ) ) )
70	61, 63, 69	3bitr2d 289	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ ( 1 / k ) < ( F ` x ) ) ) )
71		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. NN )
72		imaexg 6749	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( `' F e. _V -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. _V )
73	14, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. _V )
74	73	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. _V )
75		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( n = k -> ( 1 / n ) = ( 1 / k ) )
76	75	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( n = k -> ( ( 1 / n ) (,) +oo ) = ( ( 1 / k ) (,) +oo ) )
77	76	imaeq2d 5174	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( n = k -> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) = ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) )
78	77, 18	fvmptg 5961	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. NN /\ ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) = ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) )
79	71, 74, 78	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) = ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) )
80	79	eleq2d 2534	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) <-> x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) )
81	53	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( F ` x ) e. RR )
82	81	biantrurd 516	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / k ) < ( F ` x ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ ( 1 / k ) < ( F ` x ) ) ) )
83	70, 80, 82	3bitr4rd 294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ x e. A ) /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / k ) < ( F ` x ) <-> x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) )
84	83	rexbidva 2889	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> ( E. k e. NN ( 1 / k ) < ( F ` x ) <-> E. k e. NN x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) )
85	56, 84	mpbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. A ) -> E. k e. NN x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) )
86	85	ex 441	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. A -> E. k e. NN x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) )
87		eluni2 4194	. . . . . . . . . . 11 |- ( x e. U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) <-> E. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) x e. z )
88		eleq2 2538	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) -> ( x e. z <-> x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) )
89	88	rexrn 6039	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) Fn NN -> ( E. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) x e. z <-> E. k e. NN x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) )
90	21, 89	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( E. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) x e. z <-> E. k e. NN x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) )
91	87, 90	syl5bb 265	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( x e. U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) <-> E. k e. NN x e. ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) )
92	86, 91	sylibrd 242	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( x e. A -> x e. U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) )
93	92	ssrdv 3424	. . . . . . . 8 |- ( ph -> A C_ U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) )
94		ovolss 22516	. . . . . . . 8 |- ( ( A C_ U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) /\ U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` A ) <_ ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) )
95	93, 38, 94	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol* ` A ) <_ ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) )
96	45, 95	eqbrtrd 4416	. . . . . 6 |- ( ph -> ( vol ` A ) <_ ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) )
97	96	adantr 472	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( vol ` A ) <_ ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) )
98		mblvol 22562	. . . . . . . . 9 |- ( U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) e. dom vol -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) = ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) )
99	36, 98	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) = ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) )
100		peano2nn 10643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> ( k + 1 ) e. NN )
101	100	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. NN )
102		nnrecre 10668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( k + 1 ) e. NN -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR )
103	101, 102	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR )
104	103	rexrd 9708	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR* )
105		nnre 10638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> k e. RR )
106	105	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k e. RR )
107	106	lep1d 10560	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> k <_ ( k + 1 ) )
108		nngt0 10660	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( k e. NN -> 0 < k )
109	108	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < k )
110	101	nnred 10646	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k + 1 ) e. RR )
111	101	nngt0d 10675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( k + 1 ) )
112		lerec 10511	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( k e. RR /\ 0 < k ) /\ ( ( k + 1 ) e. RR /\ 0 < ( k + 1 ) ) ) -> ( k <_ ( k + 1 ) <-> ( 1 / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / k ) ) )
113	106, 109, 110, 111, 112	syl22anc 1293	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( k <_ ( k + 1 ) <-> ( 1 / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / k ) ) )
114	107, 113	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / k ) )
115		iooss1 11696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( 1 / ( k + 1 ) ) e. RR* /\ ( 1 / ( k + 1 ) ) <_ ( 1 / k ) ) -> ( ( 1 / k ) (,) +oo ) C_ ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) )
116	104, 114, 115	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( 1 / k ) (,) +oo ) C_ ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) )
117		imass2 5210	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( 1 / k ) (,) +oo ) C_ ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) C_ ( `' F " ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) ) )
118	116, 117	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) C_ ( `' F " ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) ) )
119	71, 73, 78	syl2anr 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) = ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) )
120		imaexg 6749	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' F e. _V -> ( `' F " ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) ) e. _V )
121	14, 120	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( `' F " ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) ) e. _V )
122		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( 1 / n ) = ( 1 / ( k + 1 ) ) )
123	122	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( ( 1 / n ) (,) +oo ) = ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) )
124	123	imaeq2d 5174	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( k + 1 ) -> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) = ( `' F " ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) ) )
125	124, 18	fvmptg 5961	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( k + 1 ) e. NN /\ ( `' F " ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) ) e. _V ) -> ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( `' F " ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) ) )
126	100, 121, 125	syl2anr 486	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` ( k + 1 ) ) = ( `' F " ( ( 1 / ( k + 1 ) ) (,) +oo ) ) )
127	118, 119, 126	3sstr4d 3461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) C_ ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` ( k + 1 ) ) )
128	127	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. k e. NN ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) C_ ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` ( k + 1 ) ) )
129		volsup 22588	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom vol /\ A. k e. NN ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) C_ ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` ( k + 1 ) ) ) -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) , RR* , < ) )
130	31, 128, 129	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) , RR* , < ) )
131	99, 130	eqtr3d 2507	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) , RR* , < ) )
132	131	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) , RR* , < ) )
133	73	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. _V )
134	71, 133, 78	syl2anr 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) /\ k e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) = ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) )
135	134	fveq2d 5883	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) /\ k e. NN ) -> ( vol ` ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) = ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) )
136	42	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> 0 e. RR* )
137		nnrecgt0 10669	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( k e. NN -> 0 < ( 1 / k ) )
138	137	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 < ( 1 / k ) )
139		0re 9661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- 0 e. RR
140		ltle 9740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 0 e. RR /\ ( 1 / k ) e. RR ) -> ( 0 < ( 1 / k ) -> 0 <_ ( 1 / k ) ) )
141	139, 65, 140	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 0 < ( 1 / k ) -> 0 <_ ( 1 / k ) ) )
142	138, 141	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> 0 <_ ( 1 / k ) )
143		elxrge0 11767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( 1 / k ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( 1 / k ) e. RR* /\ 0 <_ ( 1 / k ) ) )
144	66, 142, 143	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. ( 0 [,] +oo ) )
145		0e0iccpnf 11769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
146		ifcl 3914	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( 1 / k ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
147	144, 145, 146	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
148	147	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
149		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) )
150	148, 149	fmptd 6061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
151	150	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
152		itg2cl 22769	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) e. RR* )
153	151, 152	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) e. RR* )
154		icossicc 11746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo )
155		fss 5749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo ) /\ ( 0 [,) +oo ) C_ ( 0 [,] +oo ) ) -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
156	9, 154, 155	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
157		itg2cl 22769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( F : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` F ) e. RR* )
158	156, 157	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR* )
159	158	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( S.2 ` F ) e. RR* )
160		0nrp 11357	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- -. 0 e. RR+
161		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) )
162	119, 32	eqeltrrd 2550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
163	162	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
164	163	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. dom vol )
165	161, 139	syl6eqelr 2558	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) e. RR )
166	65, 138	elrpd 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. RR+ )
167	166	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( 1 / k ) e. RR+ )
168	167	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( 1 / k ) e. RR+ )
169		itg2const2 22778	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. dom vol /\ ( 1 / k ) e. RR+ ) -> ( ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
170	164, 168, 169	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. RR <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) e. RR ) )
171	165, 170	mpbird 240	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. RR )
172		elrege0 11764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 1 / k ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( 1 / k ) e. RR /\ 0 <_ ( 1 / k ) ) )
173	65, 142, 172	sylanbrc 677	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 1 / k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
174	173	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( 1 / k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
175	174	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( 1 / k ) e. ( 0 [,) +oo ) )
176		itg2const 22777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. dom vol /\ ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. RR /\ ( 1 / k ) e. ( 0 [,) +oo ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) = ( ( 1 / k ) x. ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) )
177	164, 171, 175, 176	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) = ( ( 1 / k ) x. ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) )
178	161, 177	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> 0 = ( ( 1 / k ) x. ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) )
179		simplrr 779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) )
180	171, 179	elrpd 11361	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. RR+ )
181	168, 180	rpmulcld 11380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> ( ( 1 / k ) x. ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) e. RR+ )
182	178, 181	eqeltrd 2549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) /\ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) -> 0 e. RR+ )
183	182	ex 441	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) -> 0 e. RR+ ) )
184	160, 183	mtoi 183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> -. 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) )
185		itg2ge0 22772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> 0 <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) )
186	151, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> 0 <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) )
187		xrleloe 11466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( 0 e. RR* /\ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) e. RR* ) -> ( 0 <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) <-> ( 0 < ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) \/ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) ) )
188	42, 153, 187	sylancr 676	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( 0 <_ ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) <-> ( 0 < ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) \/ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) ) )
189	186, 188	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( 0 < ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) \/ 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) )
190	189	ord 384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( -. 0 < ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) -> 0 = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) ) )
191	184, 190	mt3d 130	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> 0 < ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) )
192	156	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
193	65	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> ( 1 / k ) e. RR )
194	58	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> F Fn RR )
195	194, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) )
196	195	biimpa 492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> ( x e. RR /\ ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) )
197	196	simpld 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> x e. RR )
198	52	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
199	197, 198	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> ( F ` x ) e. RR )
200	66	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> ( 1 / k ) e. RR* )
201	196	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) )
202		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ( F ` x ) e. RR /\ ( 1 / k ) < ( F ` x ) ) -> ( 1 / k ) < ( F ` x ) )
203	68, 202	syl6bi 236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( 1 / k ) e. RR* -> ( ( F ` x ) e. ( ( 1 / k ) (,) +oo ) -> ( 1 / k ) < ( F ` x ) ) )
204	200, 201, 203	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> ( 1 / k ) < ( F ` x ) )
205	193, 199, 204	ltled 9800	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> ( 1 / k ) <_ ( F ` x ) )
206	51	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
207	206	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
208	197, 207	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
209		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( 1 / k ) = if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) -> ( ( 1 / k ) <_ ( F ` x ) <-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) ) )
210		breq1 4398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( 0 = if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) -> ( 0 <_ ( F ` x ) <-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) ) )
211	209, 210	ifboth 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ( 1 / k ) <_ ( F ` x ) /\ 0 <_ ( F ` x ) ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) )
212	205, 208, 211	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) )
213	212	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) )
214		iffalse 3881	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( -. x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) = 0 )
215	214	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) = 0 )
216	207	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
217	215, 216	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) /\ -. x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) )
218	213, 217	pm2.61dan 808	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) )
219	218	ralrimiva 2809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> A. x e. RR if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) )
220	219	adantrr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> A. x e. RR if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) )
221	10	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> RR e. _V )
222		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( 1 / k ) e. _V
223		c0ex 9655	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- 0 e. _V
224	222, 223	ifex 3940	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) e. _V
225	224	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) e. _V )
226		fvex 5889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( F ` x ) e. _V
227	226	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. _V )
228		eqidd 2472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) )
229	9	feqmptd 5932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> F = ( x e. RR |-> ( F ` x ) ) )
230	221, 225, 227, 228, 229	ofrfval2 6568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) oR <_ F <-> A. x e. RR if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) ) )
231	230	biimpar 493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ A. x e. RR if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) <_ ( F ` x ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) oR <_ F )
232	220, 231	syldan 478	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) oR <_ F )
233		itg2le 22776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ F : RR --> ( 0 [,] +oo ) /\ ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) oR <_ F ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
234	151, 192, 232, 233	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) , ( 1 / k ) , 0 ) ) ) <_ ( S.2 ` F ) )
235	136, 153, 159, 191, 234	xrltletrd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k e. NN /\ 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) ) -> 0 < ( S.2 ` F ) )
236	235	expr 626	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) -> 0 < ( S.2 ` F ) ) )
237	236	con3d 140	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -. 0 < ( S.2 ` F ) -> -. 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) )
238	4	ffvelrni 6036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. ( 0 [,] +oo ) )
239	3, 238	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. RR* )
240	162, 239	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. RR* )
241		xrlenlt 9717	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) )
242	240, 42, 241	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) <_ 0 <-> -. 0 < ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) ) )
243	237, 242	sylibrd 242	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ k e. NN ) -> ( -. 0 < ( S.2 ` F ) -> ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) <_ 0 ) )
244	243	imp 436	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. NN ) /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) <_ 0 )
245	244	an32s 821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) /\ k e. NN ) -> ( vol ` ( `' F " ( ( 1 / k ) (,) +oo ) ) ) <_ 0 )
246	135, 245	eqbrtrd 4416	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) /\ k e. NN ) -> ( vol ` ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) <_ 0 )
247	246	ralrimiva 2809	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> A. k e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) <_ 0 )
248		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) -> ( vol ` z ) = ( vol ` ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) )
249	248	breq1d 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) -> ( ( vol ` z ) <_ 0 <-> ( vol ` ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) <_ 0 ) )
250	249	ralrn 6040	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ( vol ` z ) <_ 0 <-> A. k e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) <_ 0 ) )
251	19, 20, 250	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ( vol ` z ) <_ 0 <-> A. k e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) <_ 0 ) )
252	251	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ( vol ` z ) <_ 0 <-> A. k e. NN ( vol ` ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ` k ) ) <_ 0 ) )
253	247, 252	mpbird 240	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ( vol ` z ) <_ 0 )
254		ffn 5739	. . . . . . . . . 10 |- ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) -> vol Fn dom vol )
255	4, 254	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- vol Fn dom vol
256		frn 5747	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom vol -> ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) C_ dom vol )
257	31, 256	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) C_ dom vol )
258	257	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) C_ dom vol )
259		breq1 4398	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( vol ` z ) -> ( x <_ 0 <-> ( vol ` z ) <_ 0 ) )
260	259	ralima 6163	. . . . . . . . 9 |- ( ( vol Fn dom vol /\ ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) C_ dom vol ) -> ( A. x e. ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) x <_ 0 <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ( vol ` z ) <_ 0 ) )
261	255, 258, 260	sylancr 676	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( A. x e. ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) x <_ 0 <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ( vol ` z ) <_ 0 ) )
262	253, 261	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> A. x e. ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) x <_ 0 )
263		imassrn 5185	. . . . . . . . 9 |- ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) C_ ran vol
264		frn 5747	. . . . . . . . . . 11 |- ( vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) -> ran vol C_ ( 0 [,] +oo ) )
265	4, 264	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 |- ran vol C_ ( 0 [,] +oo )
266	265, 3	sstri 3427	. . . . . . . . 9 |- ran vol C_ RR*
267	263, 266	sstri 3427	. . . . . . . 8 |- ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) C_ RR*
268		supxrleub 11637	. . . . . . . 8 |- ( ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) C_ RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. x e. ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) x <_ 0 ) )
269	267, 42, 268	mp2an 686	. . . . . . 7 |- ( sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) , RR* , < ) <_ 0 <-> A. x e. ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) x <_ 0 )
270	262, 269	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) , RR* , < ) <_ 0 )
271	132, 270	eqbrtrd 4416	. . . . 5 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( vol* ` U. ran ( n e. NN |-> ( `' F " ( ( 1 / n ) (,) +oo ) ) ) ) <_ 0 )
272	8, 41, 43, 97, 271	xrletrd 11482	. . . 4 |- ( ( ph /\ -. 0 < ( S.2 ` F ) ) -> ( vol ` A ) <_ 0 )
273	272	ex 441	. . 3 |- ( ph -> ( -. 0 < ( S.2 ` F ) -> ( vol ` A ) <_ 0 ) )
274		xrlenlt 9717	. . . 4 |- ( ( ( vol ` A ) e. RR* /\ 0 e. RR* ) -> ( ( vol ` A ) <_ 0 <-> -. 0 < ( vol ` A ) ) )
275	7, 42, 274	sylancl 675	. . 3 |- ( ph -> ( ( vol ` A ) <_ 0 <-> -. 0 < ( vol ` A ) ) )
276	273, 275	sylibd 222	. 2 |- ( ph -> ( -. 0 < ( S.2 ` F ) -> -. 0 < ( vol ` A ) ) )
277	1, 276	mt4d 145	1 |- ( ph -> 0 < ( S.2 ` F ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ifcif 3872   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   oRcofr 6549   supcsup 7972   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558   + caddc 9560   x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692   < clt 9693   <_ cle 9694   / cdiv 10291   NNcn 10631   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   vol*covol 22491   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   S.2citg2 22653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-0p 22707

This theorem is referenced by:  itggt0  22878