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Theorem itg2gt0 22293
Description: If the function  F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2gt0.2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itg2gt0.3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2gt0.4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2gt0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
itg2gt0  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    ph, x

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3 iccssxr 11632 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
4 volf 22066 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
54ffvelrni 6031 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
63, 5sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
72, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 reex 9600 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
11 fex 6146 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 cnvexg 6745 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
15 imaexg 6736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
18 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )
1917, 18fmptd 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V )
20 ffn 5737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN )
22 fniunfv 6160 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
25 rge0ssre 11653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
26 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
279, 25, 26sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
28 mbfima 22165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
2924, 27, 28syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3130, 18fmptd 6056 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol )
3231ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3332ralrimiva 2871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
34 iunmbl 22089 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3623, 35eqeltrrd 2546 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
37 mblss 22068 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )
3836, 37syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )
39 ovolcl 22015 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4038, 39syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4140adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
42 0xr 9657 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4342a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  0  e.  RR* )
44 mblvol 22067 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
452, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
46 mblss 22068 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
472, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
4847sselda 3499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
499ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
50 elrege0 11652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5149, 50sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5251simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
5348, 52syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
54 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
55 nnrecl 10814 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( F `  x ) )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
5653, 54, 55syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  / 
k )  <  ( F `  x )
)
57 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
589, 57syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
60 elpreima 6008 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
6248adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
6362biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
64 nnrecre 10593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
6564adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
6665rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e. 
RR* )
6766adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR* )
68 elioopnf 11643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7061, 63, 693bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) ) ) )
71 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
72 imaexg 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
7314, 72syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
7473adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
75 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
7675oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
) (,) +oo )  =  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )
7776imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
7877, 18fvmptg 5954 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )
7971, 74, 78syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
8079eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  <-> 
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
8153adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8281biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
8370, 80, 823bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8483rexbidva 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8556, 84mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )
8685ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
87 eluni2 4255 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z )
88 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8988rexrn 6034 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9021, 89syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9187, 90syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9286, 91sylibrd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9392ssrdv 3505 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
94 ovolss 22022 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  /\  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9593, 38, 94syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9645, 95eqbrtrd 4476 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9796adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
98 mblvol 22067 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9936, 98syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
100 peano2nn 10568 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
101100adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
102 nnrecre 10593 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
103101, 102syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
104103rexrd 9660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
RR* )
105 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
106105adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
107106lep1d 10497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_ 
( k  +  1 ) )
108 nngt0 10585 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
110101nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
111101nngt0d 10600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
112 lerec 10447 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( k  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
113106, 109, 110, 111, 112syl22anc 1229 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  <_  ( k  +  1 )  <->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
114107, 113mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) )
115 iooss1 11589 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  (
1  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )  -> 
( ( 1  / 
k ) (,) +oo )  C_  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
116104, 114, 115syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
117 imass2 5382 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
) (,) +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
118116, 117syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) 
C_  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
11971, 73, 78syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
120 imaexg 6736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )
12114, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )
122 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
123122oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  n
) (,) +oo )  =  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
124123imaeq2d 5347 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
125124, 18fvmptg 5954 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
126100, 121, 125syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
127118, 119, 1263sstr4d 3542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
128127ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
129 volsup 22092 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13031, 128, 129syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13199, 130eqtr3d 2500 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
132131adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13373adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
13471, 133, 78syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
135134fveq2d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  =  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
13642a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  e.  RR* )
137 nnrecgt0 10594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  k
) )
138137adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  k
) )
139 0re 9613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  RR
140 ltle 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  k
)  ->  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
141139, 65, 140sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  / 
k )  ->  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  k
) )
143 elxrge0 11654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( 1  /  k )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14466, 142, 143sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
145 0e0iccpnf 11656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
146 ifcl 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
147144, 145, 146sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
148147adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )
150148, 149fmptd 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
151150adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
152 itg2cl 22265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
153151, 152syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
154 icossicc 11636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
155 fss 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1569, 154, 155sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
157 itg2cl 22265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
158156, 157syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
159158adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
160 0nrp 11275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  e.  RR+
161 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
162119, 32eqeltrrd 2546 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
163162adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
164163adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
165161, 139syl6eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
16665, 138elrpd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR+ )
167166adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR+ )
168167adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )
169 itg2const2 22274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
170164, 168, 169syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
171165, 170mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR )
172 elrege0 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( 1  /  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 1  /  k
) ) )
17365, 142, 172sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
174173adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
175174adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
176 itg2const 22273 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
177164, 171, 175, 176syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
178161, 177eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
179 simplrr 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
180171, 179elrpd 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR+ )
181168, 180rpmulcld 11297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( 1  /  k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR+ )
182178, 181eqeltrd 2545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  e.  RR+ )
183182ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  -> 
0  e.  RR+ )
)
184160, 183mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  -.  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
185 itg2ge0 22268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
186151, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
187 xrleloe 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) ) )
18842, 153, 187sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) ) )
189186, 188mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) )
190189ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( -.  0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  -> 
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) )
191184, 190mt3d 125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
192156adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
19365adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR )
19458adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
195194, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
196195biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )
197196simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
19852adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
199197, 198syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
20066adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR* )
201196simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )
202 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
20368, 202syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  ->  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) )
204200, 201, 203sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
205193, 199, 204ltled 9750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <_  ( F `  x ) )
20651simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
207206adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
208197, 207syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
209 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  /  k )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( ( 1  / 
k )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
210 breq1 4459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
211209, 210ifboth 3980 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  k
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
212205, 208, 211syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
213212adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  ->  if (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
214 iffalse 3953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0 )
215214adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  =  0 )
216207adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
217215, 216eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
218213, 217pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
219218ralrimiva 2871 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
220219adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
22110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
222 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
223 c0ex 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
224222, 223ifex 4013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  _V
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  _V )
226 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
228 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )
2299feqmptd 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
230221, 225, 227, 228, 229ofrfval2 6556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
231230biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
232220, 231syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
233 itg2le 22272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
234151, 192, 232, 233syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
235136, 153, 159, 191, 234xrltletrd 11389 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <  ( S.2 `  F ) )
236235expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F ) ) )
237236con3d 133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
2384ffvelrni 6031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2393, 238sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR* )
240162, 239syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e. 
RR* )
241 xrlenlt 9669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
242240, 42, 241sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
243237, 242sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 ) )
244243imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 )
245244an32s 804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 )
246135, 245eqbrtrd 4476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 )
247246ralrimiva 2871 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 )
248 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
249248breq1d 4466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( ( vol `  z )  <_  0  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
250249ralrn 6035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
25119, 20, 2503syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
252251adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
253247, 252mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0 )
254 ffn 5737 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol  Fn  dom  vol )
2554, 254ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  vol  Fn  dom  vol
256 frn 5743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
25731, 256syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
258257adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
259 breq1 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( vol `  z
)  ->  ( x  <_  0  <->  ( vol `  z
)  <_  0 ) )
260259ralima 6153 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
261255, 258, 260sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
262253, 261mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0 )
263 imassrn 5358 . . . . . . . . 9  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) 
C_  ran  vol
264 frn 5743 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo ) )
2654, 264ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo )
266265, 3sstri 3508 . . . . . . . . 9  |-  ran  vol  C_ 
RR*
267263, 266sstri 3508 . . . . . . . 8  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) 
C_  RR*
268 supxrleub 11543 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_  0 ) )
269267, 42, 268mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_  0 )
270262, 269sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0
)
271132, 270eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  <_  0
)
2728, 41, 43, 97, 271xrletrd 11390 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
0 )
273272ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  ( vol `  A
)  <_  0 ) )
274 xrlenlt 9669 . . . 4  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
2757, 42, 274sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
276273, 275sylibd 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  A ) ) )
2771, 276mt4d 138 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ifcif 3944   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oRcofr 6538   supcsup 7918   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644    < clt 9645    <_ cle 9646    / cdiv 10227   NNcn 10556   RR+crp 11245   (,)cioo 11554   [,)cico 11556   [,]cicc 11557   vol*covol 22000   volcvol 22001  MblFncmbf 22149   S.2citg2 22151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-cncf 21508  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-0p 22203
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