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Theorem itg2gt0 21138
Description: If the function  F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2gt0.2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itg2gt0.3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2gt0.4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2gt0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
itg2gt0  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    ph, x

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3 iccssxr 11374 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
4 volf 20912 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
54ffvelrni 5839 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
63, 5sseldi 3351 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
72, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
87adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 reex 9369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
11 fex 5947 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 cnvexg 6523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
15 imaexg 6514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
1716adantr 462 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
18 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )
1917, 18fmptd 5864 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V )
20 ffn 5556 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN )
22 fniunfv 5961 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
25 0re 9382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
26 pnfxr 11088 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  e.  RR*
27 icossre 11372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
2825, 26, 27mp2an 667 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
29 fss 5564 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
309, 28, 29sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
31 mbfima 21010 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3224, 30, 31syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3332adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3433, 18fmptd 5864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol )
3534ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3635ralrimiva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
37 iunmbl 20934 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3923, 38eqeltrrd 2516 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
40 mblss 20914 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )
42 ovolcl 20861 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4443adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
45 0xr 9426 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  0  e.  RR* )
47 mblvol 20913 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
482, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
49 mblss 20914 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
502, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5150sselda 3353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
529ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
53 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5554simpld 456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
5651, 55syldan 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
57 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
58 nnrecl 10573 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( F `  x ) )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
5956, 57, 58syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  / 
k )  <  ( F `  x )
)
60 ffn 5556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
6261ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
63 elpreima 5820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
6551adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
6665biantrurd 505 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
67 nnrecre 10354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
6867adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
6968rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e. 
RR* )
7069adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR* )
71 elioopnf 11379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7364, 66, 723bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) ) ) )
74 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
75 imaexg 6514 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
7614, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
7776adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
78 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
7978oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
) (,) +oo )  =  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )
8079imaeq2d 5166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
8180, 18fvmptg 5769 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )
8274, 77, 81syl2anr 475 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
8382eleq2d 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  <-> 
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
8456adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8584biantrurd 505 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
8673, 83, 853bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8786rexbidva 2730 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8859, 87mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )
8988ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
90 eluni2 4092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z )
91 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9291rexrn 5842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9321, 92syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9490, 93syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9589, 94sylibrd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9695ssrdv 3359 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
97 ovolss 20868 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  /\  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9896, 41, 97syl2anc 656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9948, 98eqbrtrd 4309 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
10099adantr 462 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
101 mblvol 20913 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
10239, 101syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
103 peano2nn 10330 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
104103adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
105 nnrecre 10354 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
107106rexrd 9429 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
RR* )
108 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
109108adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
110109lep1d 10260 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_ 
( k  +  1 ) )
111 nngt0 10347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
112111adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
113104nnred 10333 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
114104nngt0d 10361 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
115 lerec 10210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( k  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
116109, 112, 113, 114, 115syl22anc 1214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  <_  ( k  +  1 )  <->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
117110, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) )
118 iooss1 11331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  (
1  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )  -> 
( ( 1  / 
k ) (,) +oo )  C_  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
119107, 117, 118syl2anc 656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
120 imass2 5201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
) (,) +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) 
C_  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
12274, 76, 81syl2anr 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
123 imaexg 6514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )
12414, 123syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )
125 oveq2 6098 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
126125oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  n
) (,) +oo )  =  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
127126imaeq2d 5166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
128127, 18fvmptg 5769 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
129103, 124, 128syl2anr 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
130121, 122, 1293sstr4d 3396 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
131130ralrimiva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
132 volsup 20937 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13334, 131, 132syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
134102, 133eqtr3d 2475 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
135134adantr 462 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13676adantr 462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
13774, 136, 81syl2anr 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
138137fveq2d 5692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  =  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
13945a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  e.  RR* )
140 nnrecgt0 10355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  k
) )
141140adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  k
) )
142 ltle 9459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  k
)  ->  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14325, 68, 142sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  / 
k )  ->  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
144141, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  k
) )
145 elxrge0 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( 1  /  k )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14669, 144, 145sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
147 0e0iccpnf 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
148 ifcl 3828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149146, 147, 148sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
150149adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
151 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )
152150, 151fmptd 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
153152adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
154 itg2cl 21110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
156 rexr 9425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
157156anim1i 565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
158 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
159 elxrge0 11390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
160157, 158, 1593imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
161160ssriv 3357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
162 fss 5564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1639, 161, 162sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
164 itg2cl 21110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
166165adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
167 0nrp 11017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  e.  RR+
168 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
169122, 35eqeltrrd 2516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
170169adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
171170adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
172168, 25syl6eqelr 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
17368, 141elrpd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR+ )
174173adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR+ )
175174adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )
176 itg2const2 21119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
177171, 175, 176syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
178172, 177mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR )
179 elrege0 11388 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( 1  /  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 1  /  k
) ) )
18068, 144, 179sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
181180adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
182181adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
183 itg2const 21118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
184171, 178, 182, 183syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
185168, 184eqtrd 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
186 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
187178, 186elrpd 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR+ )
188175, 187rpmulcld 11039 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( 1  /  k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR+ )
189185, 188eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  e.  RR+ )
190189ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  -> 
0  e.  RR+ )
)
191167, 190mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  -.  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
192 itg2ge0 21113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
193153, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
194 xrleloe 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) ) )
19545, 155, 194sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) ) )
196193, 195mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) )
197196ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( -.  0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  -> 
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) )
198191, 197mt3d 125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
199163adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
20068adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR )
20161adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
202201, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
203202biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )
204203simpld 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
20555adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
206204, 205syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
20769adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR* )
208203simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )
209 simpr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
21071, 209syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  ->  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) )
211207, 208, 210sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
212200, 206, 211ltled 9518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <_  ( F `  x ) )
21354simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
214213adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
215204, 214syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
216 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  /  k )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( ( 1  / 
k )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
217 breq1 4292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
218216, 217ifboth 3822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  k
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
219212, 215, 218syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
220219adantlr 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  ->  if (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
221 iffalse 3796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0 )
222221adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  =  0 )
223214adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
224222, 223eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
225220, 224pm2.61dan 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
226225ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
227226adantrr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
22810a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
229 ovex 6115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
230 c0ex 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
231229, 230ifex 3855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  _V
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  _V )
233 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
235 eqidd 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )
2369feqmptd 5741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
237228, 232, 234, 235, 236ofrfval2 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
238237biimpar 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
239227, 238syldan 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
240 itg2le 21117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
241153, 199, 239, 240syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
242139, 155, 166, 198, 241xrltletrd 11131 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <  ( S.2 `  F ) )
243242expr 612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F ) ) )
244243con3d 133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
2454ffvelrni 5839 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2463, 245sseldi 3351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR* )
247169, 246syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e. 
RR* )
248 xrlenlt 9438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
249247, 45, 248sylancl 657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
250244, 249sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 ) )
251250imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 )
252251an32s 797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 )
253138, 252eqbrtrd 4309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 )
254253ralrimiva 2797 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 )
255 fveq2 5688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
256255breq1d 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( ( vol `  z )  <_  0  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
257256ralrn 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
25819, 20, 2573syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
259258adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
260254, 259mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0 )
261 ffn 5556 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol  Fn  dom  vol )
2624, 261ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  vol  Fn  dom  vol
263 frn 5562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
26434, 263syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
265264adantr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
266 breq1 4292 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( vol `  z
)  ->  ( x  <_  0  <->  ( vol `  z
)  <_  0 ) )
267266ralima 5954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
268262, 265, 267sylancr 658 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
269260, 268mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0 )
270 imassrn 5177 . . . . . . . . 9  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) 
C_  ran  vol
271 frn 5562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo ) )
2724, 271ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo )
273272, 3sstri 3362 . . . . . . . . 9  |-  ran  vol  C_ 
RR*
274270, 273sstri 3362 . . . . . . . 8  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) 
C_  RR*
275 supxrleub 11285 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_  0 ) )
276274, 45, 275mp2an 667 . . . . . . 7  |-  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_  0 )
277269, 276sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0
)
278135, 277eqbrtrd 4309 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  <_  0
)
2798, 44, 46, 100, 278xrletrd 11132 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
0 )
280279ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  ( vol `  A
)  <_  0 ) )
281 xrlenlt 9438 . . . 4  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
2827, 45, 281sylancl 657 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
283280, 282sylibd 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  A ) ) )
2841, 283mt4d 138 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   ifcif 3788   U.cuni 4088   U_ciun 4168   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839    Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    oRcofr 6318   supcsup 7686   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283   +oocpnf 9411   RR*cxr 9413    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   RR+crp 10987   (,)cioo 11296   [,)cico 11298   [,]cicc 11299   vol*covol 20846   volcvol 20847  MblFncmbf 20994   S.2citg2 20996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cc 8600  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-rest 14357  df-topgen 14378  df-psmet 17709  df-xmet 17710  df-met 17711  df-bl 17712  df-mopn 17713  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-cmp 18890  df-cncf 20354  df-ovol 20848  df-vol 20849  df-mbf 20999  df-itg1 21000  df-itg2 21001  df-0p 21048
This theorem is referenced by:  itggt0  21219
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