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Theorem itg2gt0 21238
Description: If the function  F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2gt0.2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itg2gt0.3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2gt0.4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2gt0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
itg2gt0  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    ph, x

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3 iccssxr 11378 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
4 volf 21012 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
54ffvelrni 5842 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
63, 5sseldi 3354 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
72, 6syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
87adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 reex 9373 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
11 fex 5950 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 cnvexg 6524 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
15 imaexg 6515 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
1716adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
18 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )
1917, 18fmptd 5867 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V )
20 ffn 5559 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN )
22 fniunfv 5964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
2321, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
25 0re 9386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  RR
26 pnfxr 11092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |- +oo  e.  RR*
27 icossre 11376 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
2825, 26, 27mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
29 fss 5567 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
309, 28, 29sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
31 mbfima 21110 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3224, 30, 31syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3332adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3433, 18fmptd 5867 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol )
3534ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3635ralrimiva 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
37 iunmbl 21034 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3836, 37syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3923, 38eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
40 mblss 21014 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )
4139, 40syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )
42 ovolcl 20961 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4341, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4443adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
45 0xr 9430 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4645a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  0  e.  RR* )
47 mblvol 21013 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
482, 47syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
49 mblss 21014 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
502, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
5150sselda 3356 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
529ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
53 elrege0 11392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5452, 53sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5554simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
5651, 55syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
57 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
58 nnrecl 10577 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( F `  x ) )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
5956, 57, 58syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  / 
k )  <  ( F `  x )
)
60 ffn 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
619, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
63 elpreima 5823 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
6462, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
6551adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
6665biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
67 nnrecre 10358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
6867adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
6968rexrd 9433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e. 
RR* )
7069adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR* )
71 elioopnf 11383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7270, 71syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7364, 66, 723bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) ) ) )
74 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
75 imaexg 6515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
7614, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
7776adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
78 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
7978oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
) (,) +oo )  =  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )
8079imaeq2d 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
8180, 18fvmptg 5772 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )
8274, 77, 81syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
8382eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  <-> 
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
8456adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8584biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
8673, 83, 853bitr4rd 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8786rexbidva 2732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8859, 87mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )
8988ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
90 eluni2 4095 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z )
91 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9291rexrn 5845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9321, 92syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9490, 93syl5bb 257 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9589, 94sylibrd 234 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9695ssrdv 3362 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
97 ovolss 20968 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  /\  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9896, 41, 97syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9948, 98eqbrtrd 4312 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
10099adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
101 mblvol 21013 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
10239, 101syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
103 peano2nn 10334 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
104103adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
105 nnrecre 10358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
106104, 105syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
107106rexrd 9433 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
RR* )
108 nnre 10329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
109108adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
110109lep1d 10264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_ 
( k  +  1 ) )
111 nngt0 10351 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
112111adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
113104nnred 10337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
114104nngt0d 10365 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
115 lerec 10214 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( k  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
116109, 112, 113, 114, 115syl22anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  <_  ( k  +  1 )  <->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
117110, 116mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) )
118 iooss1 11335 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  (
1  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )  -> 
( ( 1  / 
k ) (,) +oo )  C_  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
119107, 117, 118syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
120 imass2 5204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
) (,) +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
121119, 120syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) 
C_  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
12274, 76, 81syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
123 imaexg 6515 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )
12414, 123syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )
125 oveq2 6099 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
126125oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  n
) (,) +oo )  =  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
127126imaeq2d 5169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
128127, 18fvmptg 5772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
129103, 124, 128syl2anr 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
130121, 122, 1293sstr4d 3399 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
131130ralrimiva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
132 volsup 21037 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13334, 131, 132syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
134102, 133eqtr3d 2477 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
135134adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13676adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
13774, 136, 81syl2anr 478 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
138137fveq2d 5695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  =  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
13945a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  e.  RR* )
140 nnrecgt0 10359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  k
) )
141140adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  k
) )
142 ltle 9463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  k
)  ->  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14325, 68, 142sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  / 
k )  ->  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
144141, 143mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  k
) )
145 elxrge0 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( 1  /  k )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14669, 144, 145sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
147 0e0iccpnf 11396 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
148 ifcl 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149146, 147, 148sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
150149adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
151 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )
152150, 151fmptd 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
153152adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
154 itg2cl 21210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
155153, 154syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
156 rexr 9429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
157156anim1i 568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
158 elrege0 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
159 elxrge0 11394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
160157, 158, 1593imtr4i 266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
161160ssriv 3360 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
162 fss 5567 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1639, 161, 162sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
164 itg2cl 21210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
165163, 164syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
166165adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
167 0nrp 11021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  e.  RR+
168 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
169122, 35eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
170169adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
171170adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
172168, 25syl6eqelr 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
17368, 141elrpd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR+ )
174173adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR+ )
175174adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )
176 itg2const2 21219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
177171, 175, 176syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
178172, 177mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR )
179 elrege0 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( 1  /  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 1  /  k
) ) )
18068, 144, 179sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
181180adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
182181adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
183 itg2const 21218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
184171, 178, 182, 183syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
185168, 184eqtrd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
186 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
187178, 186elrpd 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR+ )
188175, 187rpmulcld 11043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( 1  /  k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR+ )
189185, 188eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  e.  RR+ )
190189ex 434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  -> 
0  e.  RR+ )
)
191167, 190mtoi 178 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  -.  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
192 itg2ge0 21213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
193153, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
194 xrleloe 11121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) ) )
19545, 155, 194sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) ) )
196193, 195mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) )
197196ord 377 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( -.  0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  -> 
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) )
198191, 197mt3d 125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
199163adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
20068adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR )
20161adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
202201, 63syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
203202biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )
204203simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
20555adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
206204, 205syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
20769adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR* )
208203simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )
209 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
21071, 209syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  ->  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) )
211207, 208, 210sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
212200, 206, 211ltled 9522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <_  ( F `  x ) )
21354simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
214213adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
215204, 214syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
216 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  /  k )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( ( 1  / 
k )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
217 breq1 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
218216, 217ifboth 3825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  k
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
219212, 215, 218syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
220219adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  ->  if (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
221 iffalse 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0 )
222221adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  =  0 )
223214adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
224222, 223eqbrtrd 4312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
225220, 224pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
226225ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
227226adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
22810a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
229 ovex 6116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
230 c0ex 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
231229, 230ifex 3858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  _V
232231a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  _V )
233 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
234233a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
235 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )
2369feqmptd 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
237228, 232, 234, 235, 236ofrfval2 6337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
238237biimpar 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
239227, 238syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
240 itg2le 21217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
241153, 199, 239, 240syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
242139, 155, 166, 198, 241xrltletrd 11135 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <  ( S.2 `  F ) )
243242expr 615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F ) ) )
244243con3d 133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
2454ffvelrni 5842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2463, 245sseldi 3354 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR* )
247169, 246syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e. 
RR* )
248 xrlenlt 9442 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
249247, 45, 248sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
250244, 249sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 ) )
251250imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 )
252251an32s 802 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 )
253138, 252eqbrtrd 4312 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 )
254253ralrimiva 2799 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 )
255 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
256255breq1d 4302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( ( vol `  z )  <_  0  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
257256ralrn 5846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
25819, 20, 2573syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
259258adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
260254, 259mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0 )
261 ffn 5559 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol  Fn  dom  vol )
2624, 261ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  vol  Fn  dom  vol
263 frn 5565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
26434, 263syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
265264adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
266 breq1 4295 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( vol `  z
)  ->  ( x  <_  0  <->  ( vol `  z
)  <_  0 ) )
267266ralima 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
268262, 265, 267sylancr 663 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
269260, 268mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0 )
270 imassrn 5180 . . . . . . . . 9  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) 
C_  ran  vol
271 frn 5565 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo ) )
2724, 271ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo )
273272, 3sstri 3365 . . . . . . . . 9  |-  ran  vol  C_ 
RR*
274270, 273sstri 3365 . . . . . . . 8  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) 
C_  RR*
275 supxrleub 11289 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_  0 ) )
276274, 45, 275mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_  0 )
277269, 276sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0
)
278135, 277eqbrtrd 4312 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  <_  0
)
2798, 44, 46, 100, 278xrletrd 11136 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
0 )
280279ex 434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  ( vol `  A
)  <_  0 ) )
281 xrlenlt 9442 . . . 4  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
2827, 45, 281sylancl 662 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
283280, 282sylibd 214 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  A ) ) )
2841, 283mt4d 138 1  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ifcif 3791   U.cuni 4091   U_ciun 4171   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    oRcofr 6319   supcsup 7690   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287   +oocpnf 9415   RR*cxr 9417    < clt 9418    <_ cle 9419    / cdiv 9993   NNcn 10322   RR+crp 10991   (,)cioo 11300   [,)cico 11302   [,]cicc 11303   vol*covol 20946   volcvol 20947  MblFncmbf 21094   S.2citg2 21096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cc 8604  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-disj 4263  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-of 6320  df-ofr 6321  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-pm 7217  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-sup 7691  df-oi 7724  df-card 8109  df-cda 8337  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-q 10954  df-rp 10992  df-xneg 11089  df-xadd 11090  df-xmul 11091  df-ioo 11304  df-ico 11306  df-icc 11307  df-fz 11438  df-fzo 11549  df-fl 11642  df-seq 11807  df-exp 11866  df-hash 12104  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-clim 12966  df-rlim 12967  df-sum 13164  df-rest 14361  df-topgen 14382  df-psmet 17809  df-xmet 17810  df-met 17811  df-bl 17812  df-mopn 17813  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-cmp 18990  df-cncf 20454  df-ovol 20948  df-vol 20949  df-mbf 21099  df-itg1 21100  df-itg2 21101  df-0p 21148
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