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Theorem itg2gt0 22704
Description: If the function  F is strictly positive on a set of positive measure, then the integral of the function is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2gt0.1  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
itg2gt0.2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
itg2gt0.3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2gt0.4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2gt0.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
itg2gt0  |-  ( ph  ->  0  <  ( S.2 `  F ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    ph, x

Proof of Theorem itg2gt0
Dummy variables  k  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2gt0.2 . 2  |-  ( ph  ->  0  <  ( vol `  A ) )
2 itg2gt0.1 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  dom  vol )
3 iccssxr 11717 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
4 volf 22469 . . . . . . . . 9  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
54ffvelrni 6032 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
63, 5sseldi 3462 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
72, 6syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
87adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  e. 
RR* )
9 itg2gt0.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 reex 9630 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  RR  e.  _V
11 fex 6149 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  RR  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
129, 10, 11sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
13 cnvexg 6749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F  e.  _V  ->  `' F  e.  _V )
1412, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  `' F  e.  _V )
15 imaexg 6740 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
1716adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  _V )
18 eqid 2422 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )
1917, 18fmptd 6057 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V )
20 ffn 5742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN )
2119, 20syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN )
22 fniunfv 6163 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  U_ k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
24 itg2gt0.4 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
25 rge0ssre 11740 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
26 fss 5750 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
279, 25, 26sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
28 mbfima 22574 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
2924, 27, 28syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3029adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
3130, 18fmptd 6057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol )
3231ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3332ralrimiva 2839 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
34 iunmbl 22492 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol  ->  U_ k  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3533, 34syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U_ k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  e.  dom  vol )
3623, 35eqeltrrd 2511 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
37 mblss 22471 . . . . . . . 8  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )
3836, 37syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )
39 ovolcl 22417 . . . . . . 7  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4038, 39syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
4140adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR* )
42 0xr 9687 . . . . . 6  |-  0  e.  RR*
4342a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  0  e.  RR* )
44 mblvol 22470 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
452, 44syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
46 mblss 22471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
472, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
4847sselda 3464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  RR )
499ffvelrnda 6033 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
50 elrege0 11738 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
5149, 50sylib 199 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
5251simpld 460 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
5348, 52syldan 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
54 itg2gt0.5 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  0  <  ( F `  x
) )
55 nnrecl 10867 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  <  ( F `  x ) )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
5653, 54, 55syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  ( 1  / 
k )  <  ( F `  x )
)
57 ffn 5742 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
589, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
5958ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
60 elpreima 6013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
6159, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
6248adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  x  e.  RR )
6362biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
64 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  NN  ->  (
1  /  k )  e.  RR )
6564adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR )
6665rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e. 
RR* )
6766adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
1  /  k )  e.  RR* )
68 elioopnf 11728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
7061, 63, 693bitr2d 284 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  <-> 
( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) ) ) )
71 id 23 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  NN )
72 imaexg 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
7314, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
7473adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
75 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  k  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
k ) )
7675oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  =  k  ->  (
( 1  /  n
) (,) +oo )  =  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )
7776imaeq2d 5183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  k  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
7877, 18fvmptg 5958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( k  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )
7971, 74, 78syl2anr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
8079eleq2d 2492 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  <-> 
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )
8153adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
8281biantrurd 510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) ) )
8370, 80, 823bitr4rd 289 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8483rexbidva 2936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  ( E. k  e.  NN  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8556, 84mpbid 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  A )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )
8685ex 435 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
87 eluni2 4220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  <->  E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z )
88 eleq2 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( x  e.  z  <->  x  e.  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
8988rexrn 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( E. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9021, 89syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( E. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) x  e.  z  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9187, 90syl5bb 260 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  <->  E. k  e.  NN  x  e.  ( (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
9286, 91sylibrd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( x  e.  A  ->  x  e.  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9392ssrdv 3470 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )
94 ovolss 22424 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  /\  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9593, 38, 94syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  <_  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9645, 95eqbrtrd 4441 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( vol `  A
)  <_  ( vol* `  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9796adantr 466 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
98 mblvol 22470 . . . . . . . . 9  |-  ( U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
9936, 98syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) )
100 peano2nn 10621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
101100adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  NN )
102 nnrecre 10646 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( k  +  1 )  e.  NN  ->  (
1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
103101, 102syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e.  RR )
104103rexrd 9690 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  e. 
RR* )
105 nnre 10616 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
106105adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
107106lep1d 10538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  <_ 
( k  +  1 ) )
108 nngt0 10638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  k )
109108adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
k )
110101nnred 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  +  1 )  e.  RR )
111101nngt0d 10653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( k  +  1 ) )
112 lerec 10489 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( k  e.  RR  /\  0  <  k )  /\  ( ( k  +  1 )  e.  RR  /\  0  < 
( k  +  1 ) ) )  -> 
( k  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( 1  /  (
k  +  1 ) )  <_  ( 1  /  k ) ) )
113106, 109, 110, 111, 112syl22anc 1265 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( k  <_  ( k  +  1 )  <->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) ) )
114107, 113mpbid 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  ( k  +  1 ) )  <_ 
( 1  /  k
) )
115 iooss1 11671 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 1  /  (
k  +  1 ) )  e.  RR*  /\  (
1  /  ( k  +  1 ) )  <_  ( 1  / 
k ) )  -> 
( ( 1  / 
k ) (,) +oo )  C_  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
116104, 114, 115syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
117 imass2 5219 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1  /  k
) (,) +oo )  C_  ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  C_  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
118116, 117syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) 
C_  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
11971, 73, 78syl2anr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
120 imaexg 6740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )
12114, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )
122 oveq2 6309 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
1  /  n )  =  ( 1  / 
( k  +  1 ) ) )
123122oveq1d 6316 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
( 1  /  n
) (,) +oo )  =  ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )
124123imaeq2d 5183 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
125124, 18fvmptg 5958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) )  e.  _V )  -> 
( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' F " ( ( 1  /  ( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
126100, 121, 125syl2anr 480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
( k  +  1 ) ) (,) +oo ) ) )
127118, 119, 1263sstr4d 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) 
C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
128127ralrimiva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )
129 volsup 22495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. k  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  C_  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  ( k  +  1 ) ) )  ->  ( vol ` 
U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13031, 128, 129syl2anc 665 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13199, 130eqtr3d 2465 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  (
n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
132131adantr 466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
13373adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  _V )
13471, 133, 78syl2anr 480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  =  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )
135134fveq2d 5881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  =  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
13642a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  e.  RR* )
137 nnrecgt0 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( k  e.  NN  ->  0  <  ( 1  /  k
) )
138137adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  < 
( 1  /  k
) )
139 0re 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  0  e.  RR
140 ltle 9722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  RR )  ->  ( 0  < 
( 1  /  k
)  ->  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
141139, 65, 140sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( 1  / 
k )  ->  0  <_  ( 1  /  k
) ) )
142138, 141mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  0  <_ 
( 1  /  k
) )
143 elxrge0 11741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( 1  /  k )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( 1  /  k ) ) )
14466, 142, 143sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
145 0e0iccpnf 11743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
146 ifcl 3951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
147144, 145, 146sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
148147adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
149 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )
150148, 149fmptd 6057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
151150adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
152 itg2cl 22676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
153151, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
154 icossicc 11721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
155 fss 5750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
1569, 154, 155sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
157 itg2cl 22676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
158156, 157syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
159158adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
160 0nrp 11334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  0  e.  RR+
161 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
162119, 32eqeltrrd 2511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
163162adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
164163adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
165161, 139syl6eqelr 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
16665, 138elrpd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  RR+ )
167166adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR+ )
168167adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )
169 itg2const2 22685 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( 1  / 
k )  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
170164, 168, 169syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  <->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
171165, 170mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR )
172 elrege0 11738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( 1  /  k )  e.  RR  /\  0  <_ 
( 1  /  k
) ) )
17365, 142, 172sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1  /  k )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
174173adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
175174adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( 1  / 
k )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
176 itg2const 22684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
177164, 171, 175, 176syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  =  ( ( 1  / 
k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
178161, 177eqtrd 2463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  =  ( ( 1  /  k
)  x.  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) ) )
179 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
180171, 179elrpd 11338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR+ )
181168, 180rpmulcld 11357 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  ( ( 1  /  k )  x.  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) )  e.  RR+ )
182178, 181eqeltrd 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  /\  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )  ->  0  e.  RR+ )
183182ex 435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  -> 
0  e.  RR+ )
)
184160, 183mtoi 181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  -.  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
185 itg2ge0 22679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) ) )
186151, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
187 xrleloe 11443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  e.  RR* )  ->  ( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) ) )
18842, 153, 187sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  <->  ( 0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) ) )
189186, 188mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( 0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) ) )  \/  0  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) )
190189ord 378 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( -.  0  < 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  -> 
0  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) ) )
191184, 190mt3d 128 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) ) )
192156adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
19365adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR )
19458adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
195194, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ) )
196195biimpa 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )
197196simpld 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  RR )
19852adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
199197, 198syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  RR )
20066adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  e.  RR* )
201196simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( F `  x
)  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )
202 simpr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  ( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
20368, 202syl6bi 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( 1  /  k )  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( ( 1  /  k ) (,) +oo )  ->  ( 1  /  k )  < 
( F `  x
) ) )
204200, 201, 203sylc 62 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <  ( F `  x ) )
205193, 199, 204ltled 9783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
( 1  /  k
)  <_  ( F `  x ) )
20651simprd 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
207206adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x
) )
208197, 207syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
209 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( 1  /  k )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( ( 1  / 
k )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
210 breq1 4423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
211209, 210ifboth 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( 1  /  k
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
212205, 208, 211syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
213212adantlr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  ->  if (
x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
214 iffalse 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( -.  x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  =  0 )
215214adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  =  0 )
216207adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  -> 
0  <_  ( F `  x ) )
217215, 216eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
218213, 217pm2.61dan 798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
219218ralrimiva 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
220219adantrr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
22110a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
222 ovex 6329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 1  /  k )  e. 
_V
223 c0ex 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  0  e.  _V
224222, 223ifex 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  _V
225224a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  e.  _V )
226 fvex 5887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
227226a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
_V )
228 eqidd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )
2299feqmptd 5930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
230221, 225, 227, 228, 229ofrfval2 6559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
231230biimpar 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
232220, 231syldan 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
233 itg2le 22683 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  /  k ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
234151, 192, 232, 233syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ,  ( 1  / 
k ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
235136, 153, 159, 191, 234xrltletrd 11458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  0  < 
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )  -> 
0  <  ( S.2 `  F ) )
236235expr 618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  ->  0  <  ( S.2 `  F ) ) )
237236con3d 138 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
2384ffvelrni 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2393, 238sseldi 3462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR* )
240162, 239syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F "
( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  e. 
RR* )
241 xrlenlt 9699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
242240, 42, 241sylancl 666 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) )  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  /  k ) (,) +oo ) ) ) ) )
243237, 242sylibrd 237 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( -.  0  <  ( S.2 `  F )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 ) )
244243imp 430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 )
245244an32s 811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " ( ( 1  / 
k ) (,) +oo ) ) )  <_ 
0 )
246135, 245eqbrtrd 4441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 )
247246ralrimiva 2839 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 )
248 fveq2 5877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( vol `  z
)  =  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) ) )
249248breq1d 4430 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k )  ->  ( ( vol `  z )  <_  0  <->  ( vol `  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
250249ralrn 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
25119, 20, 2503syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
252251adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0  <->  A. k  e.  NN  ( vol `  (
( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) `  k ) )  <_  0 ) )
253247, 252mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z )  <_  0 )
254 ffn 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  vol  Fn  dom  vol )
2554, 254ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  vol  Fn  dom  vol
256 frn 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
25731, 256syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
258257adantr 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )
259 breq1 4423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( vol `  z
)  ->  ( x  <_  0  <->  ( vol `  z
)  <_  0 ) )
260259ralima 6156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( vol  Fn  dom  vol  /\ 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) )  C_  dom  vol )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
261255, 258, 260sylancr 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ( vol `  z
)  <_  0 ) )
262253, 261mpbird 235 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_ 
0 )
263 imassrn 5194 . . . . . . . . 9  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) 
C_  ran  vol
264 frn 5748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( vol
: dom  vol --> ( 0 [,] +oo )  ->  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo ) )
2654, 264ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ran  vol  C_  ( 0 [,] +oo )
266265, 3sstri 3473 . . . . . . . . 9  |-  ran  vol  C_ 
RR*
267263, 266sstri 3473 . . . . . . . 8  |-  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) 
C_  RR*
268 supxrleub 11612 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  C_  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_  0 ) )
269267, 42, 268mp2an 676 . . . . . . 7  |-  ( sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0  <->  A. x  e.  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) x  <_  0 )
270262, 269sylibr 215 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  0
)
271132, 270eqbrtrd 4441 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol* `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( `' F " ( ( 1  /  n ) (,) +oo ) ) ) )  <_  0
)
2728, 41, 43, 97, 271xrletrd 11459 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  0  <  ( S.2 `  F
) )  ->  ( vol `  A )  <_ 
0 )
273272ex 435 . . 3  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  ( vol `  A
)  <_  0 ) )
274 xrlenlt 9699 . . . 4  |-  ( ( ( vol `  A
)  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  (
( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
2757, 42, 274sylancl 666 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( vol `  A
)  <_  0  <->  -.  0  <  ( vol `  A
) ) )
276273, 275sylibd 217 . 2  |-  ( ph  ->  ( -.  0  < 
( S.2 `  F )  ->  -.  0  <  ( vol `  A ) ) )
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Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1868   A.wral 2775   E.wrex 2776   _Vcvv 3081    C_ wss 3436   ifcif 3909   U.cuni 4216   U_ciun 4296   class class class wbr 4420    |-> cmpt 4479   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   ran crn 4850   "cima 4852    Fn wfn 5592   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301    oRcofr 6540   supcsup 7956   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676    / cdiv 10269   NNcn 10609   RR+crp 11302   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   [,]cicc 11638   vol*covol 22399   volcvol 22401  MblFncmbf 22558   S.2citg2 22560
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-of 6541  df-ofr 6542  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-er 7367  df-map 7478  df-pm 7479  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-fi 7927  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-seq 12213  df-exp 12272  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-clim 13539  df-rlim 13540  df-sum 13740  df-rest 15308  df-topgen 15329  df-psmet 18949  df-xmet 18950  df-met 18951  df-bl 18952  df-mopn 18953  df-top 19907  df-bases 19908  df-topon 19909  df-cmp 20388  df-cncf 21896  df-ovol 22402  df-vol 22404  df-mbf 22563  df-itg1 22564  df-itg2 22565  df-0p 22614
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