MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ge0 Structured version   Unicode version

Theorem itg2ge0 21870
Description: The integral of a nonnegative real function is greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ge0  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  F ) )

Proof of Theorem itg2ge0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 21823 . 2  |-  ( S.1 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
2 ffvelrn 6010 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3 0xr 9629 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
4 pnfxr 11310 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
5 elicc1 11562 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `  y )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  y
)  /\  ( F `  y )  <_ +oo )
) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <_ +oo )
)
76simp2bi 1007 . . . . . 6  |-  ( ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  y
) )
82, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  y ) )
98ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) )
10 0re 9585 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
11 fnconstg 5764 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( RR  X.  { 0 } )  Fn  RR )
1210, 11mp1i 12 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( RR  X.  {
0 } )  Fn  RR )
13 ffn 5722 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  RR )
14 reex 9572 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  RR  e.  _V )
16 inidm 3700 . . . . 5  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
17 c0ex 9579 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1817fvconst2 6107 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( RR  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( RR  X.  { 0 } ) `
 y )  =  0 )
20 eqidd 2461 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 y ) )
2112, 13, 15, 15, 16, 19, 20ofrfval 6523 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) ) )
229, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  F )
23 i1f0 21822 . . . 4  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  e.  dom  S.1
24 itg2ub 21868 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( RR  X.  { 0 } )  e.  dom  S.1 
/\  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
2523, 24mp3an2 1307 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  ( RR 
X.  { 0 } ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
2622, 25mpdan 668 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.1 `  ( RR 
X.  { 0 } ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
271, 26syl5eqbrr 4474 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106   {csn 4020   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   dom cdm 4992    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oRcofr 6514   RRcr 9480   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    <_ cle 9618   [,]cicc 11521   S.1citg1 21752   S.2citg2 21753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-xmet 18176  df-met 18177  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758
This theorem is referenced by:  itg2lecl  21873  itg2const2  21876  itg2seq  21877  itg2monolem2  21886  itg2monolem3  21887  itg2gt0  21895
  Copyright terms: Public domain W3C validator