MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2ge0 Structured version   Unicode version

Theorem itg2ge0 22119
Description: The integral of a nonnegative real function is greater or equal to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2ge0  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  F ) )

Proof of Theorem itg2ge0
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg10 22072 . 2  |-  ( S.1 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
2 ffvelrn 6014 . . . . . 6  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3 0xr 9643 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR*
4 pnfxr 11331 . . . . . . . 8  |- +oo  e.  RR*
5 elicc1 11583 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `  y )  e.  RR*  /\  0  <_ 
( F `  y
)  /\  ( F `  y )  <_ +oo )
) )
63, 4, 5mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 y )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  y )  /\  ( F `  y )  <_ +oo )
)
76simp2bi 1013 . . . . . 6  |-  ( ( F `  y )  e.  ( 0 [,] +oo )  ->  0  <_ 
( F `  y
) )
82, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  y ) )
98ralrimiva 2857 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) )
10 0re 9599 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
11 fnconstg 5763 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  RR  ->  ( RR  X.  { 0 } )  Fn  RR )
1210, 11mp1i 12 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( RR  X.  {
0 } )  Fn  RR )
13 ffn 5721 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  F  Fn  RR )
14 reex 9586 . . . . . 6  |-  RR  e.  _V
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  RR  e.  _V )
16 inidm 3692 . . . . 5  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
17 c0ex 9593 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
1817fvconst2 6111 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR  ->  (
( RR  X.  {
0 } ) `  y )  =  0 )
1918adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( RR  X.  { 0 } ) `
 y )  =  0 )
20 eqidd 2444 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y
)  =  ( F `
 y ) )
2112, 13, 15, 15, 16, 19, 20ofrfval 6533 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) ) )
229, 21mpbird 232 . . 3  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( RR  X.  {
0 } )  oR  <_  F )
23 i1f0 22071 . . . 4  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  e.  dom  S.1
24 itg2ub 22117 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( RR  X.  { 0 } )  e.  dom  S.1 
/\  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  <_  ( S.2 `  F
) )
2523, 24mp3an2 1313 . . 3  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( RR  X.  { 0 } )  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  ( RR 
X.  { 0 } ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
2622, 25mpdan 668 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.1 `  ( RR 
X.  { 0 } ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
271, 26syl5eqbrr 4471 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   _Vcvv 3095   {csn 4014   class class class wbr 4437    X. cxp 4987   dom cdm 4989    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oRcofr 6524   RRcr 9494   0cc0 9495   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    <_ cle 9632   [,]cicc 11542   S.1citg1 22001   S.2citg2 22002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11092  df-q 11193  df-rp 11231  df-xadd 11329  df-ioo 11543  df-ico 11545  df-icc 11546  df-fz 11683  df-fzo 11806  df-fl 11910  df-seq 12089  df-exp 12148  df-hash 12387  df-cj 12913  df-re 12914  df-im 12915  df-sqrt 13049  df-abs 13050  df-clim 13292  df-sum 13490  df-xmet 18390  df-met 18391  df-ovol 21853  df-vol 21854  df-mbf 22005  df-itg1 22006  df-itg2 22007
This theorem is referenced by:  itg2lecl  22122  itg2const2  22125  itg2seq  22126  itg2monolem2  22135  itg2monolem3  22136  itg2gt0  22144
  Copyright terms: Public domain W3C validator