MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2eqa Structured version   Unicode version

Theorem itg2eqa 22577
Description: Approximate equality of integrals. If  F  =  G for almost all  x, then  S.2 F  = 
S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itg2eqa.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2eqa  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2eqa
StepHypRef Expression
1 itg2lea.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
2 itg2lea.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
3 itg2lea.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
4 itg2lea.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
5 iccssxr 11706 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
6 eldifi 3584 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
7 ffvelrn 6026 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
81, 6, 7syl2an 479 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
95, 8sseldi 3459 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR* )
10 xrleid 11438 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  e.  RR*  ->  ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
) )
119, 10syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
12 itg2eqa.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
1311, 12breqtrd 4441 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
141, 2, 3, 4, 13itg2lea 22576 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
1512, 11eqbrtrrd 4439 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
162, 1, 3, 4, 15itg2lea 22576 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
17 itg2cl 22564 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
181, 17syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
19 itg2cl 22564 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  G )  e.  RR* )
202, 19syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
21 xrletri3 11440 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  =  ( S.2 `  G
)  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G )  /\  ( S.2 `  G )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
2218, 20, 21syl2anc 665 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_ 
( S.2 `  G )  /\  ( S.2 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) ) ) )
2314, 16, 22mpbir2and 930 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    \ cdif 3430    C_ wss 3433   class class class wbr 4417   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   RRcr 9527   0cc0 9528   +oocpnf 9661   RR*cxr 9663    <_ cle 9665   [,]cicc 11627   vol*covol 22287   S.2citg2 22448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-ofr 6537  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-sum 13720  df-rest 15273  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-cmp 20326  df-ovol 22290  df-vol 22292  df-mbf 22451  df-itg1 22452  df-itg2 22453
This theorem is referenced by:  itgeqa  22645
  Copyright terms: Public domain W3C validator