MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2eqa Structured version   Unicode version

Theorem itg2eqa 21235
Description: Approximate equality of integrals. If  F  =  G for almost all  x, then  S.2 F  = 
S.2 G. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2lea.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
itg2lea.3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg2lea.4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itg2eqa.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2eqa  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg2eqa
StepHypRef Expression
1 itg2lea.1 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
2 itg2lea.2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
3 itg2lea.3 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
4 itg2lea.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
5 iccssxr 11390 . . . . . 6  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
6 eldifi 3490 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
7 ffvelrn 5853 . . . . . . 7  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo ) )
81, 6, 7syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
95, 8sseldi 3366 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  e.  RR* )
10 xrleid 11139 . . . . 5  |-  ( ( F `  x )  e.  RR*  ->  ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
12 itg2eqa.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  =  ( G `  x ) )
1311, 12breqtrd 4328 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
141, 2, 3, 4, 13itg2lea 21234 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  <_  ( S.2 `  G ) )
1512, 11eqbrtrrd 4326 . . 3  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( G `  x )  <_  ( F `  x )
)
162, 1, 3, 4, 15itg2lea 21234 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) )
17 itg2cl 21222 . . . 4  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
181, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR* )
19 itg2cl 21222 . . . 4  |-  ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  G )  e.  RR* )
202, 19syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR* )
21 xrletri3 11141 . . 3  |-  ( ( ( S.2 `  F
)  e.  RR*  /\  ( S.2 `  G )  e. 
RR* )  ->  (
( S.2 `  F )  =  ( S.2 `  G
)  <->  ( ( S.2 `  F )  <_  ( S.2 `  G )  /\  ( S.2 `  G )  <_  ( S.2 `  F
) ) ) )
2218, 20, 21syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G )  <->  ( ( S.2 `  F )  <_ 
( S.2 `  G )  /\  ( S.2 `  G
)  <_  ( S.2 `  F ) ) ) )
2314, 16, 22mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  =  ( S.2 `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    \ cdif 3337    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   RRcr 9293   0cc0 9294   +oocpnf 9427   RR*cxr 9429    <_ cle 9431   [,]cicc 11315   vol*covol 20958   S.2citg2 21108
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-ofr 6333  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-sum 13176  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cmp 19002  df-ovol 20960  df-vol 20961  df-mbf 21111  df-itg1 21112  df-itg2 21113
This theorem is referenced by:  itgeqa  21303
  Copyright terms: Public domain W3C validator