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Theorem itg2const2 22438
Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 752 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
2 simpr 459 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
3 rpre 11270 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
43ad2antlr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5 rpge0 11276 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  0  <_  B )
65ad2antlr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
7 elrege0 11679 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
84, 6, 7sylanbrc 662 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)
9 itg2const 22437 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  A ) ) )
101, 2, 8, 9syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  A ) ) )
114, 2remulcld 9653 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  e.  RR )
1210, 11eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
13 mblvol 22231 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
1413ad2antrr 724 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
15 mblss 22232 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1615ad3antrrr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  A  C_  RR )
17 peano2re 9786 . . . . . . . 8  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
1817adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
19 simplr 754 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR+ )
2018, 19rerpdivcld 11330 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
2120adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
22 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol* `  A )  <_ 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
23 ovollecl 22184 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR  /\  ( vol* `  A )  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
2416, 21, 22, 23syl3anc 1230 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
25 simplll 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  ->  A  e.  dom  vol )
2620adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
2726rexrd 9672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )
28 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
293ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
3029rexrd 9672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
315ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
32 elxrge0 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e. 
RR*  /\  0  <_  B ) )
3330, 31, 32sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
34 0e0iccpnf 11683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
35 ifcl 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3633, 34, 35sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
37 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3836, 37fmptd 6032 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
3938adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
40 itg2ge0 22432 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4228, 41ge0p1rpd 11329 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
4342, 19rpdivcld 11320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR+ )
4443rpge0d 11307 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
4544adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
4614breq2d 4406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
)  <->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) ) )
4746biimpar 483 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) )
48 0xr 9669 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
49 iccssxr 11659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
50 volf 22230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
5150ffvelrni 6007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5249, 51sseldi 3439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
5325, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  RR* )
54 elicc1 11625 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( vol `  A )  e. 
RR* )  ->  (
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) )  <->  ( (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) ) ) )
5548, 53, 54sylancr 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) )  <->  ( (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) ) ) )
5627, 45, 47, 55mpbir3and 1180 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) ) )
57 volivth 22306 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) ) )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
5825, 56, 57syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
5958ex 432 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )
60 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
z  e.  dom  vol )
61 simprrr 767 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
6220adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
6361, 62eqeltrd 2490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol `  z
)  e.  RR )
643ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
6564adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
6619adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
6766rpge0d 11307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
0  <_  B )
6865, 67, 7sylanbrc 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
69 itg2const 22437 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  vol  /\  ( vol `  z
)  e.  RR  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  z ) ) )
7060, 63, 68, 69syl3anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  z ) ) )
7161oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( B  x.  ( vol `  z ) )  =  ( B  x.  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
7218recnd 9651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  CC )
7364recnd 9651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
74 rpne0 11279 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  =/=  0 )
7574ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  =/=  0
)
7672, 73, 75divcan2d 10362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
7776adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( B  x.  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
7870, 71, 773eqtrd 2447 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
793adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
8079rexrd 9672 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
815adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <_  B )
8280, 81, 32sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
83 ifcl 3926 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8482, 34, 83sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( x  e.  z ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8584adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
86 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )
8785, 86fmptd 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
8887ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
8939adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
90 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ ) )
91 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  vol  /\  ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )  ->  z  C_  A )
9279ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  B  e.  RR )
9392leidd 10158 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  B  <_  B )
94 iftrue 3890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  =  B )
9594adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  =  B )
96 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  z  C_  A )
9796sselda 3441 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  x  e.  A )
9897iftrued 3892 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
9993, 95, 983brtr4d 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
100 iffalse 3893 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  =  0 )
101100adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  =  0 )
102 0le0 10665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  0
103 breq2 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
104 breq2 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
105103, 104ifboth 3920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )
10681, 102, 105sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
108101, 107eqbrtrd 4414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
10999, 108pm2.61dan 792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
110109ralrimiva 2817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A
)  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
111 reex 9612 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  RR  e.  _V )
113 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )
114 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
115112, 85, 36, 113, 114ofrfval2 6538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
116115biimpar 483 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
117110, 116syldan 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A
)  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
11890, 91, 117syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
119 itg2le 22436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
12088, 89, 118, 119syl3anc 1230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
12178, 120eqbrtrrd 4416 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
122 ltp1 10420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
123122ad2antlr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
124 simplr 754 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
12517ad2antlr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
126124, 125ltnled 9763 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <->  -.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
127123, 126mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  -.  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
128121, 127pm2.21dd 174 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol* `  A )  e.  RR )
129128rexlimdvaa 2896 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  dom  vol ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
13059, 129syld 42 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
131130imp 427 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( vol* `  A )  e.  RR )
13252ad2antrr 724 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
13314, 132eqeltrrd 2491 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
13420rexrd 9672 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )
135 xrletri 11409 . . . . 5  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR*  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  \/  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) ) )
136133, 134, 135syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  A )  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  \/  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) ) )
13724, 131, 136mpjaodan 787 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
13814, 137eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
13912, 138impbida 833 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    C_ wss 3413   ifcif 3884   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   dom cdm 4822   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oRcofr 6519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    x. cmul 9526   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658    / cdiv 10246   RR+crp 11264   [,)cico 11583   [,]cicc 11584   vol*covol 22164   volcvol 22165   S.2citg2 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cmp 20178  df-cncf 21672  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318  df-itg1 22319  df-itg2 22320  df-0p 22367
This theorem is referenced by:  itg2gt0  22457
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