MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2const2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itg2const2 22778
Description: When the base set of a constant function has infinite volume, the integral is also infinite and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2const2  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B

Proof of Theorem itg2const2
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 768 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  A  e.  dom  vol )
2 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
3 rpre 11331 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  e.  RR )
43ad2antlr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
5 rpge0 11337 . . . . . 6  |-  ( B  e.  RR+  ->  0  <_  B )
65ad2antlr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
7 elrege0 11764 . . . . 5  |-  ( B  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( B  e.  RR  /\  0  <_  B ) )
84, 6, 7sylanbrc 677 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo )
)
9 itg2const 22777 . . . 4  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( vol `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  A ) ) )
101, 2, 8, 9syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  A ) ) )
114, 2remulcld 9689 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( vol `  A ) )  e.  RR )
1210, 11eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( vol `  A
)  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
13 mblvol 22562 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  =  ( vol* `  A ) )
1413ad2antrr 740 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  =  ( vol* `  A )
)
15 mblss 22563 . . . . . 6  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  A 
C_  RR )
1615ad3antrrr 744 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  A  C_  RR )
17 peano2re 9824 . . . . . . . 8  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
1817adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
19 simplr 770 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR+ )
2018, 19rerpdivcld 11392 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
2120adantr 472 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
22 simpr 468 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol* `  A )  <_ 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
23 ovollecl 22514 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR  /\  ( vol* `  A )  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
2416, 21, 22, 23syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
25 simplll 776 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  ->  A  e.  dom  vol )
2620adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
2726rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )
28 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
293ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
3029rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  RR* )
315ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  B
)
32 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( B  e. 
RR*  /\  0  <_  B ) )
3330, 31, 32sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo )
)
34 0e0iccpnf 11769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
35 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
3633, 34, 35sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
37 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
3836, 37fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
3938adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
40 itg2ge0 22772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
4228, 41ge0p1rpd 11391 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR+ )
4342, 19rpdivcld 11381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR+ )
4443rpge0d 11368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  0  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
4544adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
0  <_  ( (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
4614breq2d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
)  <->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) ) )
4746biimpar 493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) )
48 0xr 9705 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR*
49 iccssxr 11742 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] +oo )  C_  RR*
50 volf 22561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
5150ffvelrni 6036 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5249, 51sseldi 3416 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  dom  vol  ->  ( vol `  A )  e.  RR* )
5325, 52syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( vol `  A
)  e.  RR* )
54 elicc1 11705 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR*  /\  ( vol `  A )  e. 
RR* )  ->  (
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) )  <->  ( (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) ) ) )
5548, 53, 54sylancr 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) )  <->  ( (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR*  /\  0  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol `  A
) ) ) )
5627, 45, 47, 55mpbir3and 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) ) )
57 volivth 22644 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  ( 0 [,] ( vol `  A
) ) )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
5825, 56, 57syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
5958ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A )  ->  E. z  e.  dom  vol ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )
60 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
z  e.  dom  vol )
61 simprrr 783 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )
6220adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR )
6361, 62eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol `  z
)  e.  RR )
643ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  RR )
6564adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  RR )
6619adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
6766rpge0d 11368 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
0  <_  B )
6865, 67, 7sylanbrc 677 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )
69 itg2const 22777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  vol  /\  ( vol `  z
)  e.  RR  /\  B  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  z ) ) )
7060, 63, 68, 69syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( B  x.  ( vol `  z ) ) )
7161oveq2d 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( B  x.  ( vol `  z ) )  =  ( B  x.  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )
7218recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  CC )
7364recnd 9687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  e.  CC )
74 rpne0 11340 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR+  ->  B  =/=  0 )
7574ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  B  =/=  0
)
7672, 73, 75divcan2d 10407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( B  x.  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
7776adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( B  x.  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
7870, 71, 773eqtrd 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
793adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR )
8079rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  RR* )
815adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <_  B )
8280, 81, 32sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  B  e.  ( 0 [,] +oo ) )
83 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8482, 34, 83sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  if ( x  e.  z ,  B , 
0 )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
8584adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
86 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )
8785, 86fmptd 6061 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
8887ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
8939adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
90 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ ) )
91 simprl 772 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  dom  vol  /\  ( z  C_  A  /\  ( vol `  z
)  =  ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) )  ->  z  C_  A )
9279ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  B  e.  RR )
9392leidd 10201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  B  <_  B )
94 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  =  B )
9594adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  =  B )
96 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  z  C_  A )
9796sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  x  e.  A )
9897iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  A ,  B ,  0 )  =  B )
9993, 95, 983brtr4d 4426 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  x  e.  z
)  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
100 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  x  e.  z  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  =  0 )
101100adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  =  0 )
102 0le0 10721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0  <_  0
103 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( B  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  B  <->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
104 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  if ( x  e.  A ,  B ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
105103, 104ifboth 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 0  <_  B  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )
10681, 102, 105sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  0  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) )
107106ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  0  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
108101, 107eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  x  e.  z )  ->  if (
x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
10999, 108pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
110109ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A
)  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )
111 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
112111a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  RR  e.  _V )
113 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )
114 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
115112, 85, 36, 113, 114ofrfval2 6568 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if (
x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
116115biimpar 493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  A. x  e.  RR  if ( x  e.  z ,  B ,  0 )  <_  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
117110, 116syldan 478 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  z  C_  A
)  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
11890, 91, 117syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )
119 itg2le 22776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
12088, 89, 118, 119syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  z ,  B ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
12178, 120eqbrtrrd 4418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
122 ltp1 10465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
123122ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 ) )
124 simplr 770 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )
12517ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  e.  RR )
126124, 125ltnled 9799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  <  (
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <->  -.  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) ) )
127123, 126mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  ->  -.  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) ) )
128121, 127pm2.21dd 179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( z  e. 
dom  vol  /\  ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) ) ) )  -> 
( vol* `  A )  e.  RR )
129128rexlimdvaa 2872 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( E. z  e.  dom  vol ( z 
C_  A  /\  ( vol `  z )  =  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B ) )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
13059, 129syld 44 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR ) )
131130imp 436 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) )  -> 
( vol* `  A )  e.  RR )
13252ad2antrr 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR* )
13314, 132eqeltrrd 2550 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR* )
13420rexrd 9708 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )
135 xrletri 11473 . . . . 5  |-  ( ( ( vol* `  A )  e.  RR*  /\  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  e.  RR* )  ->  (
( vol* `  A )  <_  (
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  \/  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) ) )
136133, 134, 135syl2anc 673 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( vol* `  A )  <_  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  \/  ( ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  +  1 )  /  B )  <_  ( vol* `  A ) ) )
13724, 131, 136mpjaodan 803 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  A )  e.  RR )
13814, 137eqeltrd 2549 . 2  |-  ( ( ( A  e.  dom  vol 
/\  B  e.  RR+ )  /\  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR )  ->  ( vol `  A
)  e.  RR )
13912, 138impbida 850 1  |-  ( ( A  e.  dom  vol  /\  B  e.  RR+ )  ->  ( ( vol `  A
)  e.  RR  <->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  A ,  B ,  0 ) ) )  e.  RR ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oRcofr 6549   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    / cdiv 10291   RR+crp 11325   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   vol*covol 22491   volcvol 22493   S.2citg2 22653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cc 8883  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-rest 15399  df-topgen 15420  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-cmp 20479  df-cncf 21988  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657  df-itg2 22658  df-0p 22707
This theorem is referenced by:  itg2gt0  22797
  Copyright terms: Public domain W3C validator