MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cnlem2 Structured version   Unicode version

Theorem itg2cnlem2 22147
Description: Lemma for itgcn 22227. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2cn.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
itg2cn.5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
itg2cn.6  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Distinct variable groups:    u, d, x, C    F, d, u, x    ph, u, x    M, d, u, x
Allowed substitution hint:    ph( d)

Proof of Theorem itg2cnlem2
StepHypRef Expression
1 itg2cn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
21rphalfcld 11279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
3 itg2cn.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43nnrpd 11266 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
52, 4rpdivcld 11284 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR+ )
6 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  e.  dom  vol )
7 itg2cn.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
87adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F  e. MblFn )
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 rge0ssre 11639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
11 fss 5729 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
129, 10, 11sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1312adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> RR )
14 mbfima 22017 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
158, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
16 inmbl 21930 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
176, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
18 difmbl 21931 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( u  \  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
196, 15, 18syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
20 inass 3693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  ( u  i^i  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )
21 disjdif 3886 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
2221ineq2i 3682 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( u  i^i  (/) )
23 in0 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  (/) )  =  (/)
2420, 22, 233eqtri 2476 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
2524fveq2i 5859 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( vol* `  (/) )
26 ovol0 21882 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
2725, 26eqtri 2472 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0 )
29 inundif 3892 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  u
3029eqcomi 2456 . . . . . . . 8  |-  u  =  ( ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  =  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )
32 mblss 21920 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  u 
C_  RR )
336, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  C_  RR )
3433sselda 3489 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  x  e.  RR )
359adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3635ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
37 elrege0 11638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
3836, 37sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
3938simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
4039rexrd 9646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR* )
4138simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
42 elxrge0 11640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
4340, 41, 42sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4434, 43syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
45 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
46 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
47 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
48 0e0iccpnf 11642 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
49 ifcl 3968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5043, 48, 49sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5150, 45fmptd 6040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
52 itg2cn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
5352adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
54 icossicc 11622 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
55 fss 5729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
5635, 54, 55sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
5739leidd 10126 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
58 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
59 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
6058, 59ifboth 3962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
6157, 41, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
6261ralrimiva 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
63 reex 9586 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  RR  e.  _V )
65 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
6635feqmptd 5911 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
6764, 50, 39, 65, 66ofrfval2 6542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
6862, 67mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
69 itg2le 22124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
7051, 56, 68, 69syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
71 itg2lecl 22123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7251, 53, 70, 71syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
73 ifcl 3968 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7443, 48, 73sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7574, 46fmptd 6040 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
76 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
77 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
7876, 77ifboth 3962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
7957, 41, 78syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
8079ralrimiva 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
81 eqidd 2444 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
8264, 74, 39, 81, 66ofrfval2 6542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
8380, 82mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
84 itg2le 22124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
8575, 56, 83, 84syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
86 itg2lecl 22123 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8775, 53, 85, 86syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8817, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87itg2split 22134 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
891adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  C  e.  RR+ )
9089rphalfcld 11279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( C  /  2
)  e.  RR+ )
9190rpred 11267 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( C  /  2
)  e.  RR )
92 ifcl 3968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9343, 48, 92sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
94 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
9593, 94fmptd 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
96 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( ( F `  x )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
97 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
9896, 97ifboth 3962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
9957, 41, 98syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
10099ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
101 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
10264, 93, 43, 101, 66ofrfval2 6542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
103100, 102mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
104 itg2le 22124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
10595, 56, 103, 104syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
106 itg2lecl 22123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10795, 53, 105, 106syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
108 0red 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
109 inss2 3704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  C_  ( `' F " ( M (,) +oo ) )
110109sseli 3485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
112 ifle 11407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( x  e.  (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
11339, 108, 41, 111, 112syl31anc 1232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
114113ralrimiva 2857 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
11564, 50, 93, 65, 101ofrfval2 6542 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
116114, 115mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
117 itg2le 22124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
11851, 95, 116, 117syl3anc 1229 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
11966fveq2d 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) ) )
120 cmmbl 21923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
12115, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
122 disjdif 3886 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
123122fveq2i 5859 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( vol* `  (/) )
124123, 26eqtri 2472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0 )
126 undif2 3890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )
127 mblss 21920 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) 
C_  RR )
12815, 127syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( `' F "
( M (,) +oo ) )  C_  RR )
129 ssequn1 3659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) ) 
C_  RR  <->  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )  =  RR )
130128, 129sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )  =  RR )
131126, 130syl5req 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  RR  =  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )
132 eqid 2443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
133 iftrue 3932 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  RR ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
134133mpteq2ia 4519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  RR , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )
135134eqcomi 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  RR ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
136 ifcl 3968 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13743, 48, 136sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
138137, 132fmptd 6040 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
139 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
140 breq1 4440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
141139, 140ifboth 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
14257, 41, 141syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
143142ralrimiva 2857 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
144 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
14564, 137, 43, 144, 66ofrfval2 6542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
146143, 145mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
147 itg2le 22124 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
148138, 56, 146, 147syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
149 itg2lecl 22123 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
150138, 53, 148, 149syl3anc 1229 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
15115, 121, 125, 131, 43, 94, 132, 135, 107, 150itg2split 22134 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
152119, 151eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
153 itg2cn.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
154153adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
155 eldif 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )
156155baib 903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )
157156adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
158 ffn 5721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
1599, 158syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
160159ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  F  Fn  RR )
161 elpreima 5992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
162160, 161syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
16339biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  M  < 
( F `  x
) ) ) )
1643nnred 10558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
165164ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
166165rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  RR* )
167 elioopnf 11629 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( M (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  M  < 
( F `  x
) ) ) )
168166, 167syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  M  <  ( F `
 x ) ) ) )
169 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
170169biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
171163, 168, 1703bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
172165, 39ltnled 9735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  -.  ( F `  x )  <_  M
) )
173162, 171, 1723bitr2rd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( F `  x )  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
174173con1bid 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  <->  ( F `  x )  <_  M
) )
175157, 174bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  ( F `  x )  <_  M
) )
176175ifbid 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
177176mpteq2dva 4523 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
178177fveq2d 5860 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  M , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
179178breq1d 4447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  M , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
180154, 179mtbird 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) )
18153, 91resubcld 9994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
182181, 150ltnled 9735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
183180, 182mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )
18453, 91, 150ltsubadd2d 10157 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <-> 
( S.2 `  F )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) ) )
185183, 184mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
186152, 185eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
187107, 91, 150ltadd1d 10152 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
( C  /  2
)  <->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) ) )
188186, 187mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
( C  /  2
) )
18972, 107, 91, 118, 188lelttrd 9743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  ( C  /  2 ) )
190164adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  RR )
191 mblvol 21919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  ( vol `  u )  =  ( vol* `  u ) )
1926, 191syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  =  ( vol* `  u )
)
1935rpred 11267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR )
194193adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR )
195 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) )
196192, 195eqbrtrrd 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) )
197 ovolcl 21867 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u 
C_  RR  ->  ( vol* `  u )  e.  RR* )
19833, 197syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR* )
199194rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR* )
200 xrltle 11366 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( vol* `  u )  e.  RR*  /\  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
201198, 199, 200syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
202196, 201mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) )
203 ovollecl 21872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  C_  RR  /\  (
( C  /  2
)  /  M )  e.  RR  /\  ( vol* `  u )  <_  ( ( C  /  2 )  /  M ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR )
20433, 194, 202, 203syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR )
205192, 204eqeltrd 2531 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  e.  RR )
206190, 205remulcld 9627 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( M  x.  ( vol `  u ) )  e.  RR )
207190rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  RR* )
2083adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  NN )
209208nnnn0d 10859 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  NN0 )
210209nn0ge0d 10862 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <_  M )
211 elxrge0 11640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( M  e. 
RR*  /\  0  <_  M ) )
212207, 210, 211sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )
213 ifcl 3968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
214212, 48, 213sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
215214adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
216 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
217215, 216fmptd 6040 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
218 eldifn 3612 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
219218adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
220 difssd 3617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  C_  u )
221220sselda 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  x  e.  u )
22234, 173syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( -.  ( F `  x )  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
223221, 222syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( -.  ( F `  x
)  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
224223con1bid 330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  <-> 
( F `  x
)  <_  M )
)
225219, 224mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( F `  x )  <_  M )
226 iftrue 3932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
227226adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
228221iftrued 3934 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  =  M )
229225, 227, 2283brtr4d 4467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
230 iffalse 3935 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  0 )
231230adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  0 )
232 0le0 10632 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  0
233 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  -> 
( 0  <_  M  <->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
234 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
235233, 234ifboth 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  <_  M  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
x  e.  u ,  M ,  0 ) )
236210, 232, 235sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <_  if (
x  e.  u ,  M ,  0 ) )
237236adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M , 
0 ) )
238231, 237eqbrtrd 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
239229, 238pm2.61dan 791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
240239ralrimivw 2858 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
241 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
24264, 74, 215, 81, 241ofrfval2 6542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
243240, 242mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
244 itg2le 22124 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) ) )
24575, 217, 243, 244syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) ) )
246 elrege0 11638 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( M  e.  RR  /\  0  <_  M ) )
247190, 210, 246sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  ( 0 [,) +oo ) )
248 itg2const 22125 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  e.  RR  /\  M  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
2496, 205, 247, 248syl3anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
250245, 249breqtrd 4461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
251208nngt0d 10586 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <  M )
252 ltmuldiv2 10423 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( vol `  u
)  e.  RR  /\  ( C  /  2
)  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( ( M  x.  ( vol `  u ) )  < 
( C  /  2
)  <->  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )
253205, 91, 190, 251, 252syl112anc 1233 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( M  x.  ( vol `  u ) )  <  ( C  /  2 )  <->  ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
254195, 253mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( M  x.  ( vol `  u ) )  <  ( C  / 
2 ) )
25587, 206, 91, 250, 254lelttrd 9743 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  ( C  /  2 ) )
25672, 87, 91, 91, 189, 255lt2addd 10181 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( C  / 
2 ) ) )
25788, 256eqbrtrd 4457 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  (
( C  /  2
)  +  ( C  /  2 ) ) )
25889rpcnd 11269 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  C  e.  CC )
2592582halvesd 10791 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  +  ( C  /  2 ) )  =  C )
260257, 259breqtrd 4461 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)
261260expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
262261ralrimiva 2857 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
263 breq2 4441 . . . . 5  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  (
( vol `  u
)  <  d  <->  ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
264263imbi1d 317 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  ( ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
C ) ) )
265264ralbidv 2882 . . 3  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) ) )
266265rspcev 3196 . 2  |-  ( ( ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR+  /\  A. u  e.  dom  vol (
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
C ) )
2675, 262, 266syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095    \ cdif 3458    u. cun 3459    i^i cin 3460    C_ wss 3461   (/)c0 3770   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   `'ccnv 4988   dom cdm 4989   "cima 4992    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oRcofr 6524   RRcr 9494   0cc0 9495    + caddc 9498    x. cmul 9500   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   RR+crp 11231   (,)cioo 11540   [,)cico 11542   [,]cicc 11543   vol*covol 21852   volcvol 21853  MblFncmbf 22001   S.2citg2 22003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-sum 13491  df-rest 14802  df-topgen