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Theorem itg2cnlem2 22712
Description: Lemma for itgcn 22792. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2cn.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
itg2cn.5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
itg2cn.6  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Distinct variable groups:    u, d, x, C    F, d, u, x    ph, u, x    M, d, u, x
Allowed substitution hint:    ph( d)

Proof of Theorem itg2cnlem2
StepHypRef Expression
1 itg2cn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
21rphalfcld 11355 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
3 itg2cn.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43nnrpd 11341 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
52, 4rpdivcld 11360 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR+ )
6 simprl 763 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  e.  dom  vol )
7 itg2cn.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
87adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F  e. MblFn )
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 rge0ssre 11742 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
11 fss 5752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
129, 10, 11sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1312adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> RR )
14 mbfima 22580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
158, 13, 14syl2anc 666 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
16 inmbl 22487 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
176, 15, 16syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
18 difmbl 22488 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( u  \  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
196, 15, 18syl2anc 666 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
20 inass 3673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  ( u  i^i  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )
21 disjdif 3868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
2221ineq2i 3662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( u  i^i  (/) )
23 in0 3789 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  (/) )  =  (/)
2420, 22, 233eqtri 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
2524fveq2i 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( vol* `  (/) )
26 ovol0 22438 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
2725, 26eqtri 2452 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0 )
29 inundif 3874 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  u
3029eqcomi 2436 . . . . . . . 8  |-  u  =  ( ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  =  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )
32 mblss 22477 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  u 
C_  RR )
336, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  C_  RR )
3433sselda 3465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  x  e.  RR )
359adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3635ffvelrnda 6035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
37 elrege0 11740 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
3836, 37sylib 200 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
3938simpld 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
4039rexrd 9692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR* )
4138simprd 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
42 elxrge0 11743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
4340, 41, 42sylanbrc 669 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4434, 43syldan 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
45 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
46 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
47 eqid 2423 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
48 0e0iccpnf 11745 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
49 ifcl 3952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5043, 48, 49sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5150, 45fmptd 6059 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
52 itg2cn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
5352adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
54 icossicc 11723 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
55 fss 5752 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
5635, 54, 55sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
5739leidd 10182 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
58 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
59 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
6058, 59ifboth 3946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
6157, 41, 60syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
6261ralrimiva 2840 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
63 reex 9632 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  RR  e.  _V )
65 eqidd 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
6635feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
6764, 50, 39, 65, 66ofrfval2 6561 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
6862, 67mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
69 itg2le 22689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
7051, 56, 68, 69syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
71 itg2lecl 22688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7251, 53, 70, 71syl3anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
73 ifcl 3952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7443, 48, 73sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7574, 46fmptd 6059 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
76 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
77 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
7876, 77ifboth 3946 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
7957, 41, 78syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
8079ralrimiva 2840 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
81 eqidd 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
8264, 74, 39, 81, 66ofrfval2 6561 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
8380, 82mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
84 itg2le 22689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
8575, 56, 83, 84syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
86 itg2lecl 22688 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8775, 53, 85, 86syl3anc 1265 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8817, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87itg2split 22699 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
891adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  C  e.  RR+ )
9089rphalfcld 11355 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( C  /  2
)  e.  RR+ )
9190rpred 11343 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( C  /  2
)  e.  RR )
92 ifcl 3952 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9343, 48, 92sylancl 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
94 eqid 2423 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
9593, 94fmptd 6059 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
96 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( ( F `  x )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
97 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
9896, 97ifboth 3946 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
9957, 41, 98syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
10099ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
101 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
10264, 93, 43, 101, 66ofrfval2 6561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
103100, 102mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
104 itg2le 22689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
10595, 56, 103, 104syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
106 itg2lecl 22688 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10795, 53, 105, 106syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
108 0red 9646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
109 inss2 3684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  C_  ( `' F " ( M (,) +oo ) )
110109sseli 3461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
112 ifle 11492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( x  e.  (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
11339, 108, 41, 111, 112syl31anc 1268 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
114113ralrimiva 2840 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
11564, 50, 93, 65, 101ofrfval2 6561 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
116114, 115mpbird 236 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
117 itg2le 22689 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
11851, 95, 116, 117syl3anc 1265 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
11966fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) ) )
120 cmmbl 22480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
12115, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
122 disjdif 3868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
123122fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( vol* `  (/) )
124123, 26eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0 )
126 undif2 3872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )
127 mblss 22477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) 
C_  RR )
12815, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( `' F "
( M (,) +oo ) )  C_  RR )
129 ssequn1 3637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) ) 
C_  RR  <->  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )  =  RR )
130128, 129sylib 200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )  =  RR )
131126, 130syl5req 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  RR  =  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )
132 eqid 2423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
133 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  RR ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
134133mpteq2ia 4504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  RR , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )
135134eqcomi 2436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  RR ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
136 ifcl 3952 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13743, 48, 136sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
138137, 132fmptd 6059 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
139 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
140 breq1 4424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
141139, 140ifboth 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
14257, 41, 141syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
143142ralrimiva 2840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
144 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
14564, 137, 43, 144, 66ofrfval2 6561 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
146143, 145mpbird 236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
147 itg2le 22689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
148138, 56, 146, 147syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
149 itg2lecl 22688 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
150138, 53, 148, 149syl3anc 1265 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
15115, 121, 125, 131, 43, 94, 132, 135, 107, 150itg2split 22699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
152119, 151eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
153 itg2cn.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
154153adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
155 eldif 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )
156155baib 912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )
157156adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
158 ffn 5744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
1599, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
160159ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  F  Fn  RR )
161 elpreima 6015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
16339biantrurd 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  M  < 
( F `  x
) ) ) )
1643nnred 10626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
165164ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
166165rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  RR* )
167 elioopnf 11730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( M (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  M  < 
( F `  x
) ) ) )
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  M  <  ( F `
 x ) ) ) )
169 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
170169biantrurd 511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
171163, 168, 1703bitr2d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
172165, 39ltnled 9784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  -.  ( F `  x )  <_  M
) )
173162, 171, 1723bitr2rd 286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( F `  x )  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
174173con1bid 332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  <->  ( F `  x )  <_  M
) )
175157, 174bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  ( F `  x )  <_  M
) )
176175ifbid 3932 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
177176mpteq2dva 4508 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
178177fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  M , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
179178breq1d 4431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  M , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
180154, 179mtbird 303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) )
18153, 91resubcld 10049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
182181, 150ltnled 9784 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
183180, 182mpbird 236 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )
18453, 91, 150ltsubadd2d 10213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <-> 
( S.2 `  F )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) ) )
185183, 184mpbid 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
186152, 185eqbrtrrd 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
187107, 91, 150ltadd1d 10208 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
( C  /  2
)  <->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) ) )
188186, 187mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
( C  /  2
) )
18972, 107, 91, 118, 188lelttrd 9795 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  ( C  /  2 ) )
190164adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  RR )
191 mblvol 22476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  ( vol `  u )  =  ( vol* `  u ) )
1926, 191syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  =  ( vol* `  u )
)
1935rpred 11343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR )
194193adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR )
195 simprr 765 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) )
196192, 195eqbrtrrd 4444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) )
197 ovolcl 22423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u 
C_  RR  ->  ( vol* `  u )  e.  RR* )
19833, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR* )
199194rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR* )
200 xrltle 11450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( vol* `  u )  e.  RR*  /\  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
201198, 199, 200syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
202196, 201mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) )
203 ovollecl 22428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  C_  RR  /\  (
( C  /  2
)  /  M )  e.  RR  /\  ( vol* `  u )  <_  ( ( C  /  2 )  /  M ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR )
20433, 194, 202, 203syl3anc 1265 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR )
205192, 204eqeltrd 2511 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  e.  RR )
206190, 205remulcld 9673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( M  x.  ( vol `  u ) )  e.  RR )
207190rexrd 9692 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  RR* )
2083adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  NN )
209208nnnn0d 10927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  NN0 )
210209nn0ge0d 10930 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <_  M )
211 elxrge0 11743 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( M  e. 
RR*  /\  0  <_  M ) )
212207, 210, 211sylanbrc 669 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )
213 ifcl 3952 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
214212, 48, 213sylancl 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
215214adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
216 eqid 2423 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
217215, 216fmptd 6059 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
218 eldifn 3589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
219218adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
220 difssd 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  C_  u )
221220sselda 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  x  e.  u )
22234, 173syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( -.  ( F `  x )  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
223221, 222syldan 473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( -.  ( F `  x
)  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
224223con1bid 332 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  <-> 
( F `  x
)  <_  M )
)
225219, 224mpbid 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( F `  x )  <_  M )
226 iftrue 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
227226adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
228221iftrued 3918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  =  M )
229225, 227, 2283brtr4d 4452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
230 iffalse 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  0 )
231230adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  0 )
232 0le0 10701 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  0
233 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  -> 
( 0  <_  M  <->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
234 breq2 4425 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
235233, 234ifboth 3946 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  <_  M  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
x  e.  u ,  M ,  0 ) )
236210, 232, 235sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <_  if (
x  e.  u ,  M ,  0 ) )
237236adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M , 
0 ) )
238231, 237eqbrtrd 4442 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
239229, 238pm2.61dan 799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
240239ralrimivw 2841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
241 eqidd 2424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
24264, 74, 215, 81, 241ofrfval2 6561 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
243240, 242mpbird 236 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
244 itg2le 22689 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) ) )
24575, 217, 243, 244syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) ) )
246 elrege0 11740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( M  e.  RR  /\  0  <_  M ) )
247190, 210, 246sylanbrc 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  ( 0 [,) +oo ) )
248 itg2const 22690 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  e.  RR  /\  M  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
2496, 205, 247, 248syl3anc 1265 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
250245, 249breqtrd 4446 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
251208nngt0d 10655 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <  M )
252 ltmuldiv2 10481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( vol `  u
)  e.  RR  /\  ( C  /  2
)  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( ( M  x.  ( vol `  u ) )  < 
( C  /  2
)  <->  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )
253205, 91, 190, 251, 252syl112anc 1269 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( M  x.  ( vol `  u ) )  <  ( C  /  2 )  <->  ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
254195, 253mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( M  x.  ( vol `  u ) )  <  ( C  / 
2 ) )
25587, 206, 91, 250, 254lelttrd 9795 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  ( C  /  2 ) )
25672, 87, 91, 91, 189, 255lt2addd 10238 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( C  / 
2 ) ) )
25788, 256eqbrtrd 4442 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  (
( C  /  2
)  +  ( C  /  2 ) ) )
25889rpcnd 11345 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  C  e.  CC )
2592582halvesd 10860 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  +  ( C  /  2 ) )  =  C )
260257, 259breqtrd 4446 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)
261260expr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
262261ralrimiva 2840 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
263 breq2 4425 . . . . 5  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  (
( vol `  u
)  <  d  <->  ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
264263imbi1d 319 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  ( ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
C ) ) )
265264ralbidv 2865 . . 3  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) ) )
266265rspcev 3183 . 2  |-  ( ( ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR+  /\  A. u  e.  dom  vol (
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
C ) )
2675, 262, 266syl2anc 666 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   E.wrex 2777   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ifcif 3910   class class class wbr 4421    |-> cmpt 4480   `'ccnv 4850   dom cdm 4851   "cima 4854    Fn wfn 5594   -->wf 5595   ` cfv 5599  (class class class)co 6303    oRcofr 6542   RRcr 9540   0cc0 9541    + caddc 9544    x. cmul 9546   +oocpnf 9674   RR*cxr 9676    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862    / cdiv 10271   NNcn 10611   2c2 10661   RR+crp 11304   (,)cioo 11637   [,)cico 11639   [,]cicc 11640   vol*covol 22405   volcvol 22407  MblFncmbf 22564   S.2citg2 22566
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-disj 4393  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-ofr 6544  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  <