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Theorem itg2cnlem2 22799
Description: Lemma for itgcn 22879. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2cn.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
itg2cn.5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
itg2cn.6  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Distinct variable groups:    u, d, x, C    F, d, u, x    ph, u, x    M, d, u, x
Allowed substitution hint:    ph( d)

Proof of Theorem itg2cnlem2
StepHypRef Expression
1 itg2cn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
21rphalfcld 11376 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
3 itg2cn.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43nnrpd 11362 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
52, 4rpdivcld 11381 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR+ )
6 simprl 772 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  e.  dom  vol )
7 itg2cn.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
87adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F  e. MblFn )
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 rge0ssre 11766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
11 fss 5749 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
129, 10, 11sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1312adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> RR )
14 mbfima 22667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
158, 13, 14syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
16 inmbl 22574 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
176, 15, 16syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
18 difmbl 22575 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( u  \  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
196, 15, 18syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
20 inass 3633 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  ( u  i^i  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )
21 disjdif 3830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
2221ineq2i 3622 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( u  i^i  (/) )
23 in0 3763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  (/) )  =  (/)
2420, 22, 233eqtri 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
2524fveq2i 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( vol* `  (/) )
26 ovol0 22524 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
2725, 26eqtri 2493 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0
2827a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0 )
29 inundif 3836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  u
3029eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  u  =  ( ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  =  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )
32 mblss 22563 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  u 
C_  RR )
336, 32syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  C_  RR )
3433sselda 3418 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  x  e.  RR )
359adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3635ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
37 elrege0 11764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
3836, 37sylib 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
3938simpld 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
4039rexrd 9708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR* )
4138simprd 470 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
42 elxrge0 11767 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
4340, 41, 42sylanbrc 677 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4434, 43syldan 478 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
45 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
46 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
47 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
48 0e0iccpnf 11769 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
49 ifcl 3914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5043, 48, 49sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5150, 45fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
52 itg2cn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
5352adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
54 icossicc 11746 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
55 fss 5749 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
5635, 54, 55sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
5739leidd 10201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
58 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
59 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
6058, 59ifboth 3908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
6157, 41, 60syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
6261ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
63 reex 9648 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
6463a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  RR  e.  _V )
65 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
6635feqmptd 5932 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
6764, 50, 39, 65, 66ofrfval2 6568 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
6862, 67mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
69 itg2le 22776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
7051, 56, 68, 69syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
71 itg2lecl 22775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
7251, 53, 70, 71syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
73 ifcl 3914 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7443, 48, 73sylancl 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
7574, 46fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
76 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
77 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
7876, 77ifboth 3908 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
7957, 41, 78syl2anc 673 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
8079ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
81 eqidd 2472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
8264, 74, 39, 81, 66ofrfval2 6568 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
8380, 82mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
84 itg2le 22776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
8575, 56, 83, 84syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
86 itg2lecl 22775 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8775, 53, 85, 86syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8817, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87itg2split 22786 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
891adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  C  e.  RR+ )
9089rphalfcld 11376 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( C  /  2
)  e.  RR+ )
9190rpred 11364 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( C  /  2
)  e.  RR )
92 ifcl 3914 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
9343, 48, 92sylancl 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
94 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
9593, 94fmptd 6061 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
96 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( ( F `  x )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
97 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
9896, 97ifboth 3908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
9957, 41, 98syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
10099ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
101 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
10264, 93, 43, 101, 66ofrfval2 6568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
103100, 102mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
104 itg2le 22776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
10595, 56, 103, 104syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
106 itg2lecl 22775 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
10795, 53, 105, 106syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
108 0red 9662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
109 inss2 3644 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  C_  ( `' F " ( M (,) +oo ) )
110109sseli 3414 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
112 ifle 11513 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( x  e.  (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
11339, 108, 41, 111, 112syl31anc 1295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
114113ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
11564, 50, 93, 65, 101ofrfval2 6568 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
116114, 115mpbird 240 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
117 itg2le 22776 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
11851, 95, 116, 117syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
11966fveq2d 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) ) )
120 cmmbl 22566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
12115, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
122 disjdif 3830 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
123122fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( vol* `  (/) )
124123, 26eqtri 2493 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0
125124a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0 )
126 undif2 3834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )
127 mblss 22563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) 
C_  RR )
12815, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( `' F "
( M (,) +oo ) )  C_  RR )
129 ssequn1 3595 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) ) 
C_  RR  <->  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )  =  RR )
130128, 129sylib 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )  =  RR )
131126, 130syl5req 2518 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  RR  =  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )
132 eqid 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
133 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  RR ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
134133mpteq2ia 4478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  RR , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )
135134eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  RR ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
136 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
13743, 48, 136sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
138137, 132fmptd 6061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
139 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
140 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
141139, 140ifboth 3908 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
14257, 41, 141syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
143142ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
144 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
14564, 137, 43, 144, 66ofrfval2 6568 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
146143, 145mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
147 itg2le 22776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
148138, 56, 146, 147syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
149 itg2lecl 22775 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
150138, 53, 148, 149syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
15115, 121, 125, 131, 43, 94, 132, 135, 107, 150itg2split 22786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
152119, 151eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
153 itg2cn.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
154153adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
155 eldif 3400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )
156155baib 919 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )
157156adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
158 ffn 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
1599, 158syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
160159ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  F  Fn  RR )
161 elpreima 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
162160, 161syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
16339biantrurd 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  M  < 
( F `  x
) ) ) )
1643nnred 10646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
165164ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
166165rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  RR* )
167 elioopnf 11753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( M (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  M  < 
( F `  x
) ) ) )
168166, 167syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  M  <  ( F `
 x ) ) ) )
169 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
170169biantrurd 516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
171163, 168, 1703bitr2d 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
172165, 39ltnled 9799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  -.  ( F `  x )  <_  M
) )
173162, 171, 1723bitr2rd 290 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( F `  x )  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
174173con1bid 337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  <->  ( F `  x )  <_  M
) )
175157, 174bitrd 261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  ( F `  x )  <_  M
) )
176175ifbid 3894 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
177176mpteq2dva 4482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
178177fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  M , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
179178breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  M , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
180154, 179mtbird 308 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) )
18153, 91resubcld 10068 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
182181, 150ltnled 9799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
183180, 182mpbird 240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )
18453, 91, 150ltsubadd2d 10232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <-> 
( S.2 `  F )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) ) )
185183, 184mpbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
186152, 185eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
187107, 91, 150ltadd1d 10227 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
( C  /  2
)  <->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) ) )
188186, 187mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
( C  /  2
) )
18972, 107, 91, 118, 188lelttrd 9810 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  ( C  /  2 ) )
190164adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  RR )
191 mblvol 22562 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  ( vol `  u )  =  ( vol* `  u ) )
1926, 191syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  =  ( vol* `  u )
)
1935rpred 11364 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR )
194193adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR )
195 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) )
196192, 195eqbrtrrd 4418 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) )
197 ovolcl 22509 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u 
C_  RR  ->  ( vol* `  u )  e.  RR* )
19833, 197syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR* )
199194rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR* )
200 xrltle 11471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( vol* `  u )  e.  RR*  /\  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
201198, 199, 200syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
202196, 201mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) )
203 ovollecl 22514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  C_  RR  /\  (
( C  /  2
)  /  M )  e.  RR  /\  ( vol* `  u )  <_  ( ( C  /  2 )  /  M ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR )
20433, 194, 202, 203syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR )
205192, 204eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  e.  RR )
206190, 205remulcld 9689 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( M  x.  ( vol `  u ) )  e.  RR )
207190rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  RR* )
2083adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  NN )
209208nnnn0d 10949 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  NN0 )
210209nn0ge0d 10952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <_  M )
211 elxrge0 11767 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( M  e. 
RR*  /\  0  <_  M ) )
212207, 210, 211sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )
213 ifcl 3914 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
214212, 48, 213sylancl 675 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
215214adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
216 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
217215, 216fmptd 6061 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
218 eldifn 3545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
219218adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
220 difssd 3550 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  C_  u )
221220sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  x  e.  u )
22234, 173syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( -.  ( F `  x )  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
223221, 222syldan 478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( -.  ( F `  x
)  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
224223con1bid 337 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  <-> 
( F `  x
)  <_  M )
)
225219, 224mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( F `  x )  <_  M )
226 iftrue 3878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
227226adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
228221iftrued 3880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  =  M )
229225, 227, 2283brtr4d 4426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
230 iffalse 3881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  0 )
231230adantl 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  0 )
232 0le0 10721 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  0
233 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  -> 
( 0  <_  M  <->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
234 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
235233, 234ifboth 3908 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  <_  M  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
x  e.  u ,  M ,  0 ) )
236210, 232, 235sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <_  if (
x  e.  u ,  M ,  0 ) )
237236adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M , 
0 ) )
238231, 237eqbrtrd 4416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
239229, 238pm2.61dan 808 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
240239ralrimivw 2810 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
241 eqidd 2472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
24264, 74, 215, 81, 241ofrfval2 6568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
243240, 242mpbird 240 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
244 itg2le 22776 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) ) )
24575, 217, 243, 244syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) ) )
246 elrege0 11764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( M  e.  RR  /\  0  <_  M ) )
247190, 210, 246sylanbrc 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  ( 0 [,) +oo ) )
248 itg2const 22777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  e.  RR  /\  M  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
2496, 205, 247, 248syl3anc 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
250245, 249breqtrd 4420 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
251208nngt0d 10675 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <  M )
252 ltmuldiv2 10501 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( vol `  u
)  e.  RR  /\  ( C  /  2
)  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( ( M  x.  ( vol `  u ) )  < 
( C  /  2
)  <->  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )
253205, 91, 190, 251, 252syl112anc 1296 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( M  x.  ( vol `  u ) )  <  ( C  /  2 )  <->  ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
254195, 253mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( M  x.  ( vol `  u ) )  <  ( C  / 
2 ) )
25587, 206, 91, 250, 254lelttrd 9810 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  ( C  /  2 ) )
25672, 87, 91, 91, 189, 255lt2addd 10257 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( C  / 
2 ) ) )
25788, 256eqbrtrd 4416 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  (
( C  /  2
)  +  ( C  /  2 ) ) )
25889rpcnd 11366 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  C  e.  CC )
2592582halvesd 10881 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  +  ( C  /  2 ) )  =  C )
260257, 259breqtrd 4420 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)
261260expr 626 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
262261ralrimiva 2809 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
263 breq2 4399 . . . . 5  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  (
( vol `  u
)  <  d  <->  ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
264263imbi1d 324 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  ( ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
C ) ) )
265264ralbidv 2829 . . 3  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) ) )
266265rspcev 3136 . 2  |-  ( ( ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR+  /\  A. u  e.  dom  vol (
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
C ) )
2675, 262, 266syl2anc 673 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    i^i cin 3389    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ifcif 3872   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   "cima 4842    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oRcofr 6549   RRcr 9556   0cc0 9557    + caddc 9560    x. cmul 9562   +oocpnf 9690   RR*cxr 9692    < clt 9693    <_ cle 9694    - cmin 9880    / cdiv 10291   NNcn 10631   2c2 10681   RR+crp 11325   (,)cioo 11660   [,)cico 11662   [,]cicc 11663   vol*covol 22491   volcvol 22493  MblFncmbf 22651   S.2citg2 22653
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-ofr 6551  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs