Proof of Theorem itg2cnlem2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itg2cn.4 |
. . . 4
   |
2 | 1 | rphalfcld 11353 |
. . 3
     |
3 | | itg2cn.5 |
. . . 4
   |
4 | 3 | nnrpd 11339 |
. . 3
   |
5 | 2, 4 | rpdivcld 11358 |
. 2
       |
6 | | simprl 764 |
. . . . . . . 8
 

         
  |
7 | | itg2cn.2 |
. . . . . . . . . 10
 MblFn |
8 | 7 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
 

         
MblFn |
9 | | itg2cn.1 |
. . . . . . . . . . 11
          |
10 | | rge0ssre 11740 |
. . . . . . . . . . 11
    |
11 | | fss 5737 |
. . . . . . . . . . 11
                   |
12 | 9, 10, 11 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . 10
       |
13 | 12 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
 

                |
14 | | mbfima 22588 |
. . . . . . . . 9
  MblFn
               |
15 | 8, 13, 14 | syl2anc 667 |
. . . . . . . 8
 

                    |
16 | | inmbl 22495 |
. . . . . . . 8
          
            |
17 | 6, 15, 16 | syl2anc 667 |
. . . . . . 7
 

                      |
18 | | difmbl 22496 |
. . . . . . . 8
          
            |
19 | 6, 15, 18 | syl2anc 667 |
. . . . . . 7
 

                      |
20 | | inass 3642 |
. . . . . . . . . . 11
                                
            |
21 | | disjdif 3839 |
. . . . . . . . . . . 12
                     |
22 | 21 | ineq2i 3631 |
. . . . . . . . . . 11
                         |
23 | | in0 3760 |
. . . . . . . . . . 11
   |
24 | 20, 22, 23 | 3eqtri 2477 |
. . . . . . . . . 10
                       |
25 | 24 | fveq2i 5868 |
. . . . . . . . 9
     
                           |
26 | | ovol0 22446 |
. . . . . . . . 9
      |
27 | 25, 26 | eqtri 2473 |
. . . . . . . 8
     
                      |
28 | 27 | a1i 11 |
. . . . . . 7
 

                                       |
29 | | inundif 3845 |
. . . . . . . . 9
                       |
30 | 29 | eqcomi 2460 |
. . . . . . . 8
                       |
31 | 30 | a1i 11 |
. . . . . . 7
 

         
 
                      |
32 | | mblss 22485 |
. . . . . . . . . 10
   |
33 | 6, 32 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
 

            |
34 | 33 | sselda 3432 |
. . . . . . . 8
       
      
  |
35 | 9 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                   |
36 | 35 | ffvelrnda 6022 |
. . . . . . . . . . . 12
       
                |
37 | | elrege0 11738 |
. . . . . . . . . . . 12
       
            |
38 | 36, 37 | sylib 200 |
. . . . . . . . . . 11
       
                   |
39 | 38 | simpld 461 |
. . . . . . . . . 10
       
             |
40 | 39 | rexrd 9690 |
. . . . . . . . 9
       
             |
41 | 38 | simprd 465 |
. . . . . . . . 9
       
             |
42 | | elxrge0 11741 |
. . . . . . . . 9
       
    
       |
43 | 40, 41, 42 | sylanbrc 670 |
. . . . . . . 8
       
                |
44 | 34, 43 | syldan 473 |
. . . . . . 7
       
      
         |
45 | | eqid 2451 |
. . . . . . 7
                                           |
46 | | eqid 2451 |
. . . . . . 7
                                           |
47 | | eqid 2451 |
. . . . . . 7
                       |
48 | | 0e0iccpnf 11743 |
. . . . . . . . . 10
    |
49 | | ifcl 3923 |
. . . . . . . . . 10
        
                            |
50 | 43, 48, 49 | sylancl 668 |
. . . . . . . . 9
       
                               |
51 | 50, 45 | fmptd 6046 |
. . . . . . . 8
 

                                        |
52 | | itg2cn.3 |
. . . . . . . . 9
       |
53 | 52 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
 

                |
54 | | icossicc 11721 |
. . . . . . . . . 10
       |
55 | | fss 5737 |
. . . . . . . . . 10
                         |
56 | 35, 54, 55 | sylancl 668 |
. . . . . . . . 9
 

                   |
57 | 39 | leidd 10180 |
. . . . . . . . . . . 12
       
                 |
58 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                           |
59 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                   |
60 | 58, 59 | ifboth 3917 |
. . . . . . . . . . . 12
     
          

                      |
61 | 57, 41, 60 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . 11
       
                                |
62 | 61 | ralrimiva 2802 |
. . . . . . . . . 10
 

          
                         |
63 | | reex 9630 |
. . . . . . . . . . . 12
 |
64 | 63 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
 

            |
65 | | eqidd 2452 |
. . . . . . . . . . 11
 

                                                      |
66 | 35 | feqmptd 5918 |
. . . . . . . . . . 11
 

         
        |
67 | 64, 50, 39, 65, 66 | ofrfval2 6549 |
. . . . . . . . . 10
 

                                                            |
68 | 62, 67 | mpbird 236 |
. . . . . . . . 9
 

                               
  |
69 | | itg2le 22697 |
. . . . . . . . 9
                             
                                                             |
70 | 51, 56, 68, 69 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . 8
 

                                         |
71 | | itg2lecl 22696 |
. . . . . . . 8
                             
                                                             |
72 | 51, 53, 70, 71 | syl3anc 1268 |
. . . . . . 7
 

                                     |
73 | | ifcl 3923 |
. . . . . . . . . 10
        
                            |
74 | 43, 48, 73 | sylancl 668 |
. . . . . . . . 9
       
                               |
75 | 74, 46 | fmptd 6046 |
. . . . . . . 8
 

                                        |
76 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                           |
77 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                                   |
78 | 76, 77 | ifboth 3917 |
. . . . . . . . . . . 12
     
          

                      |
79 | 57, 41, 78 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . 11
       
                                |
80 | 79 | ralrimiva 2802 |
. . . . . . . . . 10
 

          
                         |
81 | | eqidd 2452 |
. . . . . . . . . . 11
 

                                                      |
82 | 64, 74, 39, 81, 66 | ofrfval2 6549 |
. . . . . . . . . 10
 

                                                            |
83 | 80, 82 | mpbird 236 |
. . . . . . . . 9
 

                               
  |
84 | | itg2le 22697 |
. . . . . . . . 9
                             
                                                             |
85 | 75, 56, 83, 84 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . 8
 

                                         |
86 | | itg2lecl 22696 |
. . . . . . . 8
                             
                                                             |
87 | 75, 53, 85, 86 | syl3anc 1268 |
. . . . . . 7
 

                                     |
88 | 17, 19, 28, 31, 44, 45, 46, 47, 72, 87 | itg2split 22707 |
. . . . . 6
 

                                                                               |
89 | 1 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
 

         
  |
90 | 89 | rphalfcld 11353 |
. . . . . . . 8
 

              |
91 | 90 | rpred 11341 |
. . . . . . 7
 

              |
92 | | ifcl 3923 |
. . . . . . . . . . 11
        
                          |
93 | 43, 48, 92 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . 10
       
                             |
94 | | eqid 2451 |
. . . . . . . . . 10
                                       |
95 | 93, 94 | fmptd 6046 |
. . . . . . . . 9
 

                                      |
96 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                               
       |
97 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                                       
       |
98 | 96, 97 | ifboth 3917 |
. . . . . . . . . . . . 13
     
          
              
      |
99 | 57, 41, 98 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . 12
       
                              |
100 | 99 | ralrimiva 2802 |
. . . . . . . . . . 11
 

          
                
      |
101 | | eqidd 2452 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                                                  |
102 | 64, 93, 43, 101, 66 | ofrfval2 6549 |
. . . . . . . . . . 11
 

                                 
              
       |
103 | 100, 102 | mpbird 236 |
. . . . . . . . . 10
 

                                |
104 | | itg2le 22697 |
. . . . . . . . . 10
                                                       
                             |
105 | 95, 56, 103, 104 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . 9
 

                                       |
106 | | itg2lecl 22696 |
. . . . . . . . 9
                                                           
                         |
107 | 95, 53, 105, 106 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . 8
 

                                   |
108 | | 0red 9644 |
. . . . . . . . . . . 12
       
         |
109 | | inss2 3653 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                   |
110 | 109 | sseli 3428 |
. . . . . . . . . . . . 13
          
          |
111 | 110 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
       
                 
           |
112 | | ifle 11490 |
. . . . . . . . . . . 12
            

        
                                                |
113 | 39, 108, 41, 111, 112 | syl31anc 1271 |
. . . . . . . . . . 11
       
                                             |
114 | 113 | ralrimiva 2802 |
. . . . . . . . . 10
 

          
                    
                 |
115 | 64, 50, 93, 65, 101 | ofrfval2 6549 |
. . . . . . . . . 10
 

                                                   
                                        |
116 | 114, 115 | mpbird 236 |
. . . . . . . . 9
 

                               
                     |
117 | | itg2le 22697 |
. . . . . . . . 9
                             
                                                                                                                      |
118 | 51, 95, 116, 117 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . 8
 

                                                            |
119 | 66 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . 11
 

                          |
120 | | cmmbl 22488 |
. . . . . . . . . . . . 13
                     |
121 | 15, 120 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                      |
122 | | disjdif 3839 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                     |
123 | 122 | fveq2i 5868 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                               |
124 | 123, 26 | eqtri 2473 |
. . . . . . . . . . . . 13
                          |
125 | 124 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                                     |
126 | | undif2 3843 |
. . . . . . . . . . . . 13
                               |
127 | | mblss 22485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                   |
128 | 15, 127 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

                    |
129 | | ssequn1 3604 |
. . . . . . . . . . . . . 14
        
            |
130 | 128, 129 | sylib 200 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                   
  |
131 | 126, 130 | syl5req 2498 |
. . . . . . . . . . . 12
 

         
                      |
132 | | eqid 2451 |
. . . . . . . . . . . 12
                                           |
133 | | iftrue 3887 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
             |
134 | 133 | mpteq2ia 4485 |
. . . . . . . . . . . . 13
                  |
135 | 134 | eqcomi 2460 |
. . . . . . . . . . . 12
                  |
136 | | ifcl 3923 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
        
                            |
137 | 43, 48, 136 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       
                               |
138 | 137, 132 | fmptd 6046 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                                        |
139 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                           |
140 | | breq1 4405 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
                                                   |
141 | 139, 140 | ifboth 3917 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
     
          
                       |
142 | 57, 41, 141 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       
                                |
143 | 142 | ralrimiva 2802 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

          
                         |
144 | | eqidd 2452 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 

                                                      |
145 | 64, 137, 43, 144, 66 | ofrfval2 6549 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

                                                            |
146 | 143, 145 | mpbird 236 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

                               
  |
147 | | itg2le 22697 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                             
                                                             |
148 | 138, 56, 146, 147 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                                         |
149 | | itg2lecl 22696 |
. . . . . . . . . . . . 13
                             
                                                             |
150 | 138, 53, 148, 149 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                                     |
151 | 15, 121, 125, 131, 43, 94, 132, 135, 107, 150 | itg2split 22707 |
. . . . . . . . . . 11
 

                                                                        |
152 | 119, 151 | eqtrd 2485 |
. . . . . . . . . 10
 

                                                                  |
153 | | itg2cn.6 |
. . . . . . . . . . . . . 14
                              |
154 | 153 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                                       |
155 | | eldif 3414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
          
            |
156 | 155 | baib 914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
           
           |
157 | 156 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
       
                 
           |
158 | | ffn 5728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
       
  |
159 | 9, 158 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
   |
160 | 159 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
       
         |
161 | | elpreima 6002 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
                      |
162 | 160, 161 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
       
               
            |
163 | 39 | biantrurd 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
       
                         |
164 | 3 | nnred 10624 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
   |
165 | 164 | ad2antrr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
       
         |
166 | 165 | rexrd 9690 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
       
         |
167 | | elioopnf 11728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

                     |
168 | 166, 167 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
       
                            |
169 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
       
         |
170 | 169 | biantrurd 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
       
                           |
171 | 163, 168,
170 | 3bitr2d 285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
       
                        |
172 | 165, 39 | ltnled 9782 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
       
           
       |
173 | 162, 171,
172 | 3bitr2rd 286 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
       
           
           |
174 | 173 | con1bid 332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
       
               
       |
175 | 157, 174 | bitrd 257 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       
                         |
176 | 175 | ifbid 3903 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       
                                         |
177 | 176 | mpteq2dva 4489 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

                                                |
178 | 177 | fveq2d 5869 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

                                            
           |
179 | 178 | breq1d 4412 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                                                     
                    |
180 | 154, 179 | mtbird 303 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                                             |
181 | 53, 91 | resubcld 10047 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                    |
182 | 181, 150 | ltnled 9782 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                                                                                |
183 | 180, 182 | mpbird 236 |
. . . . . . . . . . 11
 

                                             |
184 | 53, 91, 150 | ltsubadd2d 10211 |
. . . . . . . . . . 11
 

                                                                                |
185 | 183, 184 | mpbid 214 |
. . . . . . . . . 10
 

                                             |
186 | 152, 185 | eqbrtrrd 4425 |
. . . . . . . . 9
 

                                                                                           |
187 | 107, 91, 150 | ltadd1d 10206 |
. . . . . . . . 9
 

                                                                                                                      |
188 | 186, 187 | mpbird 236 |
. . . . . . . 8
 

                                     |
189 | 72, 107, 91, 118, 188 | lelttrd 9793 |
. . . . . . 7
 

                                       |
190 | 164 | adantr 467 |
. . . . . . . . 9
 

         
  |
191 | | mblvol 22484 |
. . . . . . . . . . 11
            |
192 | 6, 191 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
 

                     |
193 | 5 | rpred 11341 |
. . . . . . . . . . . 12
       |
194 | 193 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
 

                |
195 | | simprr 766 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

             
      |
196 | 192, 195 | eqbrtrrd 4425 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                     |
197 | | ovolcl 22431 |
. . . . . . . . . . . . . 14

       |
198 | 33, 197 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                 |
199 | 194 | rexrd 9690 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

                |
200 | | xrltle 11448 |
. . . . . . . . . . . . 13
                                  |
201 | 198, 199,
200 | syl2anc 667 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                                |
202 | 196, 201 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . 11
 

                     |
203 | | ovollecl 22436 |
. . . . . . . . . . 11
 
                     |
204 | 33, 194, 202, 203 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . . 10
 

                 |
205 | 192, 204 | eqeltrd 2529 |
. . . . . . . . 9
 

                |
206 | 190, 205 | remulcld 9671 |
. . . . . . . 8
 

                  |
207 | 190 | rexrd 9690 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

         
  |
208 | 3 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 

         
  |
209 | 208 | nnnn0d 10925 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

         
  |
210 | 209 | nn0ge0d 10928 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

         
  |
211 | | elxrge0 11741 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   

   |
212 | 207, 210,
211 | sylanbrc 670 |
. . . . . . . . . . . . 13
 

         
     |
213 | | ifcl 3923 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
              |
214 | 212, 48, 213 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                    |
215 | 214 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . 11
       
                 |
216 | | eqid 2451 |
. . . . . . . . . . 11
               |
217 | 215, 216 | fmptd 6046 |
. . . . . . . . . 10
 

                          |
218 | | eldifn 3556 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
          
          |
219 | 218 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
       
                
          |
220 | | difssd 3561 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 

                   
  |
221 | 220 | sselda 3432 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       
                   |
222 | 34, 173 | syldan 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
       
      
    
           |
223 | 221, 222 | syldan 473 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
       
                     
           |
224 | 223 | con1bid 332 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
       
                 
           
   |
225 | 219, 224 | mpbid 214 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       
                       |
226 | | iftrue 3887 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                    |
227 | 226 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       
                  

                      |
228 | 221 | iftrued 3889 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       
                  
     |
229 | 225, 227,
228 | 3brtr4d 4433 |
. . . . . . . . . . . . 13
       
                  

                       |
230 | | iffalse 3890 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
                                |
231 | 230 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       
                  

                  |
232 | | 0le0 10699 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 |
233 | | breq2 4406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
               |
234 | | breq2 4406 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
               |
235 | 233, 234 | ifboth 3917 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 

       |
236 | 210, 232,
235 | sylancl 668 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

         
       |
237 | 236 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
       
                        |
238 | 231, 237 | eqbrtrd 4423 |
. . . . . . . . . . . . 13
       
                  

                       |
239 | 229, 238 | pm2.61dan 800 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                              
     |
240 | 239 | ralrimivw 2803 |
. . . . . . . . . . 11
 

          
                    
     |
241 | | eqidd 2452 |
. . . . . . . . . . . 12
 

                          |
242 | 64, 74, 215, 81, 241 | ofrfval2 6549 |
. . . . . . . . . . 11
 

                                                             
      |
243 | 240, 242 | mpbird 236 |
. . . . . . . . . 10
 

                               
         |
244 | | itg2le 22697 |
. . . . . . . . . 10
                             
              
                    
       
                                      |
245 | 75, 217, 243, 244 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . 9
 

                                                |
246 | | elrege0 11738 |
. . . . . . . . . . 11
   
    |
247 | 190, 210,
246 | sylanbrc 670 |
. . . . . . . . . 10
 

         
     |
248 | | itg2const 22698 |
. . . . . . . . . 10
     
                       |
249 | 6, 205, 247, 248 | syl3anc 1268 |
. . . . . . . . 9
 

                             |
250 | 245, 249 | breqtrd 4427 |
. . . . . . . 8
 

                                   
       |
251 | 208 | nngt0d 10653 |
. . . . . . . . . 10
 

         
  |
252 | | ltmuldiv2 10479 |
. . . . . . . . . 10
      
 
 
 
          
       |
253 | 205, 91, 190, 251, 252 | syl112anc 1272 |
. . . . . . . . 9
 

                  
           |
254 | 195, 253 | mpbird 236 |
. . . . . . . 8
 

                    |
255 | 87, 206, 91, 250, 254 | lelttrd 9793 |
. . . . . . 7
 

                                       |
256 | 72, 87, 91, 91, 189, 255 | lt2addd 10236 |
. . . . . 6
 

                                                                      |
257 | 88, 256 | eqbrtrd 4423 |
. . . . 5
 

                                 |
258 | 89 | rpcnd 11343 |
. . . . . 6
 

         
  |
259 | 258 | 2halvesd 10858 |
. . . . 5
 

                  |
260 | 257, 259 | breqtrd 4427 |
. . . 4
 

                           |
261 | 260 | expr 620 |
. . 3
 
     
                      |
262 | 261 | ralrimiva 2802 |
. 2
       
                      |
263 | | breq2 4406 |
. . . . 5
         
           |
264 | 263 | imbi1d 319 |
. . . 4
          
                                            |
265 | 264 | ralbidv 2827 |
. . 3
      
     
                      
                       |
266 | 265 | rspcev 3150 |
. 2
      
     
                    
                          |
267 | 5, 262, 266 | syl2anc 667 |
1
        
                  |