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Theorem itg2cnlem2 21932
Description: Lemma for itgcn 22012. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2cn.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
itg2cn.5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
itg2cn.6  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem2  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Distinct variable groups:    u, d, x, C    F, d, u, x    ph, u, x    M, d, u, x
Allowed substitution hint:    ph( d)

Proof of Theorem itg2cnlem2
StepHypRef Expression
1 itg2cn.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
21rphalfcld 11268 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
3 itg2cn.5 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
43nnrpd 11255 . . 3  |-  ( ph  ->  M  e.  RR+ )
52, 4rpdivcld 11273 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR+ )
6 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  e.  dom  vol )
7 itg2cn.2 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
87adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F  e. MblFn )
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 0re 9596 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
11 pnfxr 11321 . . . . . . . . . . . 12  |- +oo  e.  RR*
12 icossre 11605 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 0  e.  RR  /\ +oo  e.  RR* )  ->  (
0 [,) +oo )  C_  RR )
1310, 11, 12mp2an 672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
14 fss 5739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
159, 13, 14sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1615adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> RR )
17 mbfima 21802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
188, 16, 17syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
19 inmbl 21715 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
206, 18, 19syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
21 difmbl 21716 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol )  ->  ( u  \  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )
226, 18, 21syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
23 inass 3708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  ( u  i^i  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )
24 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
2524ineq2i 3697 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( u  i^i  (/) )
26 in0 3811 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  i^i  (/) )  =  (/)
2723, 25, 263eqtri 2500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
2827fveq2i 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( vol* `  (/) )
29 ovol0 21667 . . . . . . . . 9  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
3028, 29eqtri 2496 . . . . . . . 8  |-  ( vol* `  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0
3130a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  i^i  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0 )
32 inundif 3905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  =  u
3332eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  u  =  ( ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
3433a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  =  ( (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  u.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )
35 mblss 21705 . . . . . . . . . 10  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  u 
C_  RR )
366, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  u  C_  RR )
3736sselda 3504 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  x  e.  RR )
389adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
3938ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
40 elrege0 11627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
4139, 40sylib 196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
4241simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
4342rexrd 9643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR* )
4441simprd 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  ( F `  x )
)
45 elxrge0 11629 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
4643, 44, 45sylanbrc 664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
4737, 46syldan 470 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )
)
48 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
49 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
50 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
51 0e0iccpnf 11631 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
52 ifcl 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5346, 51, 52sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
5453, 48fmptd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
55 itg2cn.3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
5655adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR )
57 rexr 9639 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
5857anim1i 568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
59 elrege0 11627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
60 elxrge0 11629 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
6158, 59, 603imtr4i 266 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
6261ssriv 3508 . . . . . . . . . 10  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
63 fss 5739 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
6438, 62, 63sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
6542leidd 10119 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
66 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
67 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
6866, 67ifboth 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
6965, 44, 68syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
7069ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
71 reex 9583 . . . . . . . . . . . 12  |-  RR  e.  _V
7271a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  RR  e.  _V )
73 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
7438feqmptd 5920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
7572, 53, 42, 73, 74ofrfval2 6541 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
7670, 75mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
77 itg2le 21909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
7854, 64, 76, 77syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
79 itg2lecl 21908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
8054, 56, 78, 79syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
81 ifcl 3981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8246, 51, 81sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
8382, 49fmptd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
84 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
85 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
8684, 85ifboth 3975 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
8765, 44, 86syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
8887ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
89 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
9072, 82, 42, 89, 74ofrfval2 6541 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
9188, 90mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
92 itg2le 21909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
9383, 64, 91, 92syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
94 itg2lecl 21908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9583, 56, 93, 94syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
9620, 22, 31, 34, 47, 48, 49, 50, 80, 95itg2split 21919 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
971adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  C  e.  RR+ )
9897rphalfcld 11268 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( C  /  2
)  e.  RR+ )
9998rpred 11256 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( C  /  2
)  e.  RR )
100 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
10146, 51, 100sylancl 662 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
102 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
103101, 102fmptd 6045 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
104 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( ( F `  x )  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
105 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
106104, 105ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
10765, 44, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
108107ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
109 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
11072, 101, 46, 109, 74ofrfval2 6541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
111108, 110mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
112 itg2le 21909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F
)  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
113103, 64, 111, 112syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )
114 itg2lecl 21908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F
)  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( S.2 `  F ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
115103, 56, 113, 114syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e.  RR )
11610a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  RR )
117 inss2 3719 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  C_  ( `' F " ( M (,) +oo ) )
118117sseli 3500 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
119118a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
120 ifle 11396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x ) )  /\  ( x  e.  (
u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
12142, 116, 44, 119, 120syl31anc 1231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
122121ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
12372, 53, 101, 73, 109ofrfval2 6541 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
124122, 123mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
125 itg2le 21909 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
12654, 103, 124, 125syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
12774fveq2d 5870 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) ) )
128 cmmbl 21708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
12918, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
130 disjdif 3899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  (/)
131130fveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  ( vol* `  (/) )
132131, 29eqtri 2496 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  i^i  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ) )  =  0 )
134 undif2 3903 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )  =  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )
135 mblss 21705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) 
C_  RR )
13618, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( `' F "
( M (,) +oo ) )  C_  RR )
137 ssequn1 3674 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) ) 
C_  RR  <->  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )  =  RR )
138136, 137sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  RR )  =  RR )
139134, 138syl5req 2521 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  RR  =  ( ( `' F " ( M (,) +oo ) )  u.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ) )
140 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
141 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  if ( x  e.  RR ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
142141mpteq2ia 4529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  RR , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )
143142eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  RR ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
144 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
14546, 51, 144sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
146145, 140fmptd 6045 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
147 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F `  x )  =  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
148 breq1 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0  =  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  ->  ( 0  <_ 
( F `  x
)  <->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
149147, 148ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
15065, 44, 149syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
151150ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
)
152 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )
15372, 145, 46, 152, 74ofrfval2 6541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F 
<-> 
A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  ( F `  x )
) )
154151, 153mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  F )
155 itg2le 21909 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  F : RR
--> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
156146, 64, 154, 155syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F ) )
157 itg2lecl 21908 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( S.2 `  F )  e.  RR  /\  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  F
) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
158146, 56, 156, 157syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  e.  RR )
15918, 129, 133, 139, 46, 102, 140, 143, 115, 158itg2split 21919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
160127, 159eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  =  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
161 itg2cn.6 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
162161adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
163 eldif 3486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )
164163baib 901 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  (
x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) )
165164adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
166 ffn 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
1679, 166syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
168167ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  F  Fn  RR )
169 elpreima 6001 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
170168, 169syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
17142biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  M  < 
( F `  x
) ) ) )
1723nnred 10551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
173172ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  RR )
174173rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  M  e.  RR* )
175 elioopnf 11618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( M  e.  RR*  ->  ( ( F `  x )  e.  ( M (,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  M  < 
( F `  x
) ) ) )
176174, 175syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) 
<->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  M  <  ( F `
 x ) ) ) )
177 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  x  e.  RR )
178177biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
179171, 176, 1783bitr2d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  e.  ( M (,) +oo ) ) ) )
180173, 42ltnled 9731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( M  < 
( F `  x
)  <->  -.  ( F `  x )  <_  M
) )
181170, 179, 1803bitr2rd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  ( F `  x )  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
182181con1bid 330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F "
( M (,) +oo ) )  <->  ( F `  x )  <_  M
) )
183165, 182bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  <->  ( F `  x )  <_  M
) )
184183ifbid 3961 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
185184mpteq2dva 4533 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  M ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
186185fveq2d 5870 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  M , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
187186breq1d 4457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  M , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
188162, 187mtbird 301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) )
18956, 99resubcld 9987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
190189, 158ltnled 9731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <->  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
191188, 190mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )
19256, 99, 158ltsubadd2d 10150 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <-> 
( S.2 `  F )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) ) )
193191, 192mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  F )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
194160, 193eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) )
195115, 99, 158ltadd1d 10145 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
( C  /  2
)  <->  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( RR  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) ) ) )
196194, 195mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
( C  /  2
) )
19780, 115, 99, 126, 196lelttrd 9739 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  ( C  /  2 ) )
198172adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  RR )
199 mblvol 21704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  e.  dom  vol  ->  ( vol `  u )  =  ( vol* `  u ) )
2006, 199syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  =  ( vol* `  u )
)
2015rpred 11256 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR )
202201adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR )
203 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) )
204200, 203eqbrtrrd 4469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) )
205 ovolcl 21652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u 
C_  RR  ->  ( vol* `  u )  e.  RR* )
20636, 205syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR* )
207202rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR* )
208 xrltle 11355 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( vol* `  u )  e.  RR*  /\  ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR* )  ->  ( ( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
209206, 207, 208syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( vol* `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
210204, 209mpd 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  <_  (
( C  /  2
)  /  M ) )
211 ovollecl 21657 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  C_  RR  /\  (
( C  /  2
)  /  M )  e.  RR  /\  ( vol* `  u )  <_  ( ( C  /  2 )  /  M ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR )
21236, 202, 210, 211syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol* `  u )  e.  RR )
213200, 212eqeltrd 2555 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( vol `  u
)  e.  RR )
214198, 213remulcld 9624 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( M  x.  ( vol `  u ) )  e.  RR )
215198rexrd 9643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  RR* )
2163adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  NN )
217216nnnn0d 10852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  NN0 )
218217nn0ge0d 10855 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <_  M )
219 elxrge0 11629 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( M  e. 
RR*  /\  0  <_  M ) )
220215, 218, 219sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  ( 0 [,] +oo ) )
221 ifcl 3981 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( M  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
222220, 51, 221sylancl 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
223222adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
224 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
225223, 224fmptd 6045 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
226 eldifn 3627 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
227226adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )
228 difssd 3632 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  C_  u )
229228sselda 3504 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  x  e.  u )
23037, 181syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  u
)  ->  ( -.  ( F `  x )  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
231229, 230syldan 470 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( -.  ( F `  x
)  <_  M  <->  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )
232231con1bid 330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( -.  x  e.  ( `' F " ( M (,) +oo ) )  <-> 
( F `  x
)  <_  M )
)
233227, 232mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  ( F `  x )  <_  M )
234 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
235234adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
236 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  u  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  =  M )
237229, 236syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  =  M )
238233, 235, 2373brtr4d 4477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
239 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  0 )
240239adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  0 )
241 0le0 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  0  <_  0
242 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( M  =  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  -> 
( 0  <_  M  <->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
243 breq2 4451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0  =  if ( x  e.  u ,  M ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
244242, 243ifboth 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 0  <_  M  /\  0  <_  0 )  -> 
0  <_  if (
x  e.  u ,  M ,  0 ) )
245218, 241, 244sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <_  if (
x  e.  u ,  M ,  0 ) )
246245adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  0  <_  if ( x  e.  u ,  M , 
0 ) )
247240, 246eqbrtrd 4467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )  /\  -.  x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( x  e.  (
u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
248238, 247pm2.61dan 789 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
249248ralrimivw 2879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )
250 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
25172, 82, 223, 89, 250ofrfval2 6541 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \ 
( `' F "
( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  <_  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
252249, 251mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )
253 itg2le 21909 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) ) )
25483, 225, 252, 253syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) ) )
255 elrege0 11627 . . . . . . . . . . 11  |-  ( M  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( M  e.  RR  /\  0  <_  M ) )
256198, 218, 255sylanbrc 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  M  e.  ( 0 [,) +oo ) )
257 itg2const 21910 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u
)  e.  RR  /\  M  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
2586, 213, 256, 257syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  M ,  0 ) ) )  =  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
259254, 258breqtrd 4471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  ( M  x.  ( vol `  u ) ) )
260216nngt0d 10579 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
0  <  M )
261 ltmuldiv2 10416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( vol `  u
)  e.  RR  /\  ( C  /  2
)  e.  RR  /\  ( M  e.  RR  /\  0  <  M ) )  ->  ( ( M  x.  ( vol `  u ) )  < 
( C  /  2
)  <->  ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M ) ) )
262213, 99, 198, 260, 261syl112anc 1232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( M  x.  ( vol `  u ) )  <  ( C  /  2 )  <->  ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
263203, 262mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( M  x.  ( vol `  u ) )  <  ( C  / 
2 ) )
26495, 214, 99, 259, 263lelttrd 9739 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u 
\  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  ( C  /  2 ) )
26580, 95, 99, 99, 197, 264lt2addd 10174 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  i^i  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) )  +  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( u  \  ( `' F " ( M (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) ) ) )  <  ( ( C  /  2 )  +  ( C  / 
2 ) ) )
26696, 265eqbrtrd 4467 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  (
( C  /  2
)  +  ( C  /  2 ) ) )
26797rpcnd 11258 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  ->  C  e.  CC )
2682672halvesd 10784 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( ( C  / 
2 )  +  ( C  /  2 ) )  =  C )
269266, 268breqtrd 4471 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  dom  vol  /\  ( vol `  u )  < 
( ( C  / 
2 )  /  M
) ) )  -> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)
270269expr 615 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  dom  vol )  ->  (
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
271270ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
272 breq2 4451 . . . . 5  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  (
( vol `  u
)  <  d  <->  ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M ) ) )
273272imbi1d 317 . . . 4  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  (
( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  ( ( vol `  u )  <  (
( C  /  2
)  /  M )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
C ) ) )
274273ralbidv 2903 . . 3  |-  ( d  =  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) ) )
275274rspcev 3214 . 2  |-  ( ( ( ( C  / 
2 )  /  M
)  e.  RR+  /\  A. u  e.  dom  vol (
( vol `  u
)  <  ( ( C  /  2 )  /  M )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e. 
dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  < 
C ) )
2765, 271, 275syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    oRcofr 6523   RRcr 9491   0cc0 9492    + caddc 9495    x. cmul 9497   +oocpnf 9625   RR*cxr 9627    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805    / cdiv 10206   NNcn 10536   2c2 10585   RR+crp 11220   (,)cioo 11529   [,)cico 11531   [,]cicc 11532   vol*covol 21637   volcvol 21638  MblFncmbf 21786   S.2citg2 21788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570  ax-addf 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664