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Theorem itg2cnlem1 22458
Description: Lemma for itgcn 22539. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2cnlem1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  F
) )
Distinct variable groups:    x, n, F    ph, n, x

Proof of Theorem itg2cnlem1
Dummy variables  m  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvex 5858 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
2 c0ex 9619 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
31, 2ifex 3952 . . . . . . . . 9  |-  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
4 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
54fvmpt2 5940 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x )  =  if ( ( F `
 x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
63, 5mpan2 669 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
)  =  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
76mpteq2dv 4481 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
87rneqd 5050 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x ) )  =  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )
98supeq1d 7938 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )
109mpteq2ia 4476 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )
11 nfcv 2564 . . . . 5  |-  F/_ y sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
) ) ,  RR ,  <  )
12 nfcv 2564 . . . . . . . 8  |-  F/_ x NN
13 nfmpt1 4483 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1412, 13nfmpt 4482 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
15 nfcv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ x m
1614, 15nffv 5855 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )
17 nfcv 2564 . . . . . . . . 9  |-  F/_ x
y
1816, 17nffv 5855 . . . . . . . 8  |-  F/_ x
( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
1912, 18nfmpt 4482 . . . . . . 7  |-  F/_ x
( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
)
2019nfrn 5065 . . . . . 6  |-  F/_ x ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
)
21 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ x RR
22 nfcv 2564 . . . . . 6  |-  F/_ x  <
2320, 21, 22nfsup 7943 . . . . 5  |-  F/_ x sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  )
24 fveq2 5848 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
2524mpteq2dv 4481 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) ) )
26 breq2 4398 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  x
)  <_  n  <->  ( F `  x )  <_  m
) )
2726ifbid 3906 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
2827mpteq2dv 4481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
2928fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
3029cbvmptv 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
31 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
32 reex 9612 . . . . . . . . . . . . 13  |-  RR  e.  _V
3332mptex 6123 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  e.  _V
3428, 31, 33fvmpt 5931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
3534fveq1d 5850 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 y ) )
3635mpteq2ia 4476 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
3730, 36eqtr4i 2434 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y ) )
3825, 37syl6eq 2459 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  x
) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y ) ) )
3938rneqd 5050 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x ) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
) ) )
4039supeq1d 7938 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  x ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
4111, 23, 40cbvmpt 4485 . . . 4  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 x ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )
) ,  RR ,  <  ) )
4210, 41eqtr3i 2433 . . 3  |-  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( y  e.  RR  |->  sup ( ran  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
) ) ,  RR ,  <  ) )
43 fveq2 5848 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
4443breq1d 4404 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
4544, 43ifbieq1d 3907 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
4645cbvmptv 4486 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
4734adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
48 nnre 10582 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  RR )
4948ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  m  e.  RR )
5049rexrd 9672 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  m  e.  RR* )
51 elioopnf 11670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  RR*  ->  ( ( F `  y )  e.  ( m (,) +oo )  <->  ( ( F `
 y )  e.  RR  /\  m  < 
( F `  y
) ) ) )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( m (,) +oo )  <->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  m  < 
( F `  y
) ) ) )
53 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
54 ffn 5713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
5553, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
5655ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  F  Fn  RR )
57 elpreima 5984 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
y  e.  ( `' F " ( m (,) +oo ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  ( F `  y
)  e.  ( m (,) +oo ) ) ) )
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( m (,) +oo ) )  <-> 
( y  e.  RR  /\  ( F `  y
)  e.  ( m (,) +oo ) ) ) )
59 simpr 459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  y  e.  RR )
6059biantrurd 506 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( F `  y
)  e.  ( m (,) +oo )  <->  ( y  e.  RR  /\  ( F `
 y )  e.  ( m (,) +oo ) ) ) )
6158, 60bitr4d 256 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( m (,) +oo ) )  <-> 
( F `  y
)  e.  ( m (,) +oo ) ) )
62 rge0ssre 11680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  RR
63 fss 5721 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  RR )  ->  F : RR --> RR )
6453, 62, 63sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
6564adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> RR )
6665ffvelrnda 6008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  e.  RR )
6766biantrurd 506 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
m  <  ( F `  y )  <->  ( ( F `  y )  e.  RR  /\  m  < 
( F `  y
) ) ) )
6852, 61, 673bitr4d 285 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( `' F " ( m (,) +oo ) )  <-> 
m  <  ( F `  y ) ) )
6968notbid 292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( -.  y  e.  ( `' F " ( m (,) +oo ) )  <->  -.  m  <  ( F `
 y ) ) )
70 eldif 3423 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,) +oo ) ) )  <->  ( y  e.  RR  /\  -.  y  e.  ( `' F "
( m (,) +oo ) ) ) )
7170baib 904 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR  ->  (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  <->  -.  y  e.  ( `' F "
( m (,) +oo ) ) ) )
7271adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  <->  -.  y  e.  ( `' F "
( m (,) +oo ) ) ) )
7366, 49lenltd 9762 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( F `  y
)  <_  m  <->  -.  m  <  ( F `  y
) ) )
7469, 72, 733bitr4d 285 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
7574ifbid 3906 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 y ) ,  0 )  =  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) )
7675mpteq2dva 4480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) ) )
7746, 47, 763eqtr4a 2469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 y ) ,  0 ) ) )
78 difss 3569 . . . . . 6  |-  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  C_  RR
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  C_  RR )
80 rembl 22241 . . . . . 6  |-  RR  e.  dom  vol
8180a1i 11 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  dom  vol )
82 fvex 5858 . . . . . . 7  |-  ( F `
 y )  e. 
_V
8382, 2ifex 3952 . . . . . 6  |-  if ( y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 )  e.  _V
8483a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) )  ->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 y ) ,  0 )  e.  _V )
85 eldifn 3565 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) )  ->  -.  y  e.  ( RR  \  ( `' F "
( m (,) +oo ) ) ) )
8685adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  ( RR  \  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ) )  ->  -.  y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) )
8786iffalsed 3895 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  ( RR  \  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ) )  ->  if (
y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 )  =  0 )
88 iftrue 3890 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,) +oo ) ) )  ->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 y ) ,  0 )  =  ( F `  y ) )
8988mpteq2ia 4476 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,) +oo ) ) )  |->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 y ) ,  0 ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  |->  ( F `  y ) )
90 resmpt 5142 . . . . . . . . 9  |-  ( ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  C_  RR  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F "
( m (,) +oo ) ) ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  |->  ( F `  y ) ) )
9178, 90ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F "
( m (,) +oo ) ) ) )  =  ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  |->  ( F `  y ) )
9289, 91eqtr4i 2434 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,) +oo ) ) )  |->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 y ) ,  0 ) )  =  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) )
9353feqmptd 5901 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  =  ( y  e.  RR  |->  ( F `
 y ) ) )
94 itg2cn.2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
9593, 94eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  e. MblFn )
96 mbfima 22329 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e. MblFn  /\  F : RR
--> RR )  ->  ( `' F " ( m (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
9794, 64, 96syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( `' F "
( m (,) +oo ) )  e.  dom  vol )
98 cmmbl 22235 . . . . . . . . 9  |-  ( ( `' F " ( m (,) +oo ) )  e.  dom  vol  ->  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
9997, 98syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  e.  dom  vol )
100 mbfres 22341 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  e. MblFn  /\  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  e. 
dom  vol )  ->  (
( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F "
( m (,) +oo ) ) ) )  e. MblFn )
10195, 99, 100syl2anc 659 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  |->  ( F `  y ) )  |`  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) )  e. MblFn )
10292, 101syl5eqel 2494 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) )  |->  if ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 ) )  e. MblFn )
103102adantr 463 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( y  e.  ( RR  \ 
( `' F "
( m (,) +oo ) ) )  |->  if ( y  e.  ( RR  \  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `
 y ) ,  0 ) )  e. MblFn
)
10479, 81, 84, 87, 103mbfss 22343 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  ( RR 
\  ( `' F " ( m (,) +oo ) ) ) ,  ( F `  y
) ,  0 ) )  e. MblFn )
10577, 104eqeltrd 2490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  e. MblFn )
10653ffvelrnda 6008 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
107 0e0icopnf 11682 . . . . . . 7  |-  0  e.  ( 0 [,) +oo )
108 ifcl 3926 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
109106, 107, 108sylancl 660 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
110109adantlr 713 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
111 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
112110, 111fmptd 6032 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
11347feq1d 5699 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) 
<->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
114112, 113mpbird 232 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
115 elrege0 11679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
116106, 115sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
117116simpld 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
118117adantlr 713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
119118adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( F `  x )  e.  RR )
120119leidd 10158 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( F `  x )  <_  ( F `  x )
)
121 iftrue 3890 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  <_  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
122121adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  if (
( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
12348ad3antlr 729 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  m  e.  RR )
124 peano2re 9786 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  RR  ->  (
m  +  1 )  e.  RR )
125123, 124syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( m  +  1 )  e.  RR )
126 simpr 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( F `  x )  <_  m
)
127123lep1d 10516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  m  <_  ( m  +  1 ) )
128119, 123, 125, 126, 127letrd 9772 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) )
129128iftrued 3892 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  if (
( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  ( F `  x ) )
130120, 122, 1293brtr4d 4424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  ( F `  x )  <_  m
)  ->  if (
( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  <_  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
131 iffalse 3893 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  ( F `  x
)  <_  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  0 )
132131adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( F `
 x )  <_  m )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  0 )
133116simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
134 0le0 10665 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <_  0
135 breq2 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F `  x )  =  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  0  <_  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
136 breq2 4398 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  =  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  0  <->  0  <_  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
137135, 136ifboth 3920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 0  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  0 )  ->  0  <_  if ( ( F `
 x )  <_ 
( m  +  1 ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
138133, 134, 137sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
139138adantlr 713 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_  if ( ( F `
 x )  <_ 
( m  +  1 ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
140139adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( F `
 x )  <_  m )  ->  0  <_  if ( ( F `
 x )  <_ 
( m  +  1 ) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
141132, 140eqbrtrd 4414 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  /\  -.  ( F `
 x )  <_  m )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  if (
( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
142130, 141pm2.61dan 792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  if (
( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
143142ralrimiva 2817 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
1441, 2ifex 3952 . . . . . . 7  |-  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
145144a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )
146 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )
147 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )
14881, 110, 145, 146, 147ofrfval2 6538 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  ( m  + 
1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  <->  A. x  e.  RR  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  if (
( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )
149143, 148mpbird 232 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_ 
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
150 peano2nn 10587 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
151150adantl 464 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  1 )  e.  NN )
152 breq2 4398 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
( F `  x
)  <_  n  <->  ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ) )
153152ifbid 3906 . . . . . . 7  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
154153mpteq2dv 4481 . . . . . 6  |-  ( n  =  ( m  + 
1 )  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
15532mptex 6123 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  ( m  +  1 ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  e.  _V
156154, 31, 155fvmpt 5931 . . . . 5  |-  ( ( m  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
157151, 156syl 17 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  ( m  +  1
) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  (
m  +  1 ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
158149, 47, 1573brtr4d 4424 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  oR  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  (
m  +  1 ) ) )
15964ffvelrnda 6008 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  e.  RR )
16034adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
161160fveq1d 5850 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y )  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `
 y ) )
162117leidd 10158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  <_ 
( F `  x
) )
163 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  x )  =  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( ( F `  x )  <_  ( F `  x )  <->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
164 breq1 4397 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0  =  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  -> 
( 0  <_  ( F `  x )  <->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) ) )
165163, 164ifboth 3920 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  <_  ( F `  x )  /\  0  <_  ( F `  x
) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
166162, 133, 165syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
167166adantlr 713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
168167ralrimiva 2817 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. x  e.  RR  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) )
16932a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
1701, 2ifex 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
171170a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )
17253feqmptd 5901 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `
 x ) ) )
173172adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
174169, 171, 118, 146, 173ofrfval2 6538 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. x  e.  RR  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_ 
( F `  x
) ) )
175168, 174mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  oR  <_  F )
176171, 111fmptd 6032 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : RR --> _V )
177 ffn 5713 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> _V  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  RR )
178176, 177syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  Fn  RR )
17955adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
180 inidm 3647 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
181 eqidd 2403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
)  =  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
) )
182 eqidd 2403 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
183178, 179, 169, 169, 180, 181, 182ofrfval 6528 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  y )  <_  ( F `  y ) ) )
184175, 183mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  y )  <_  ( F `  y ) )
185184r19.21bi 2772 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
)  <_  ( F `  y ) )
186185an32s 805 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  y
)  <_  ( F `  y ) )
187161, 186eqbrtrd 4414 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y )  <_ 
( F `  y
) )
188187ralrimiva 2817 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
)  <_  ( F `  y ) )
189 breq2 4398 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  (
( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )  <_  z  <->  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
)  <_  ( F `  y ) ) )
190189ralbidv 2842 . . . . 5  |-  ( z  =  ( F `  y )  ->  ( A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )  <_  z  <->  A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) `  y )  <_  ( F `  y
) ) )
191190rspcev 3159 . . . 4  |-  ( ( ( F `  y
)  e.  RR  /\  A. m  e.  NN  (
( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `
 y )  <_ 
( F `  y
) )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
)  <_  z )
192159, 188, 191syl2anc 659 . . 3  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. m  e.  NN  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) `  y
)  <_  z )
19328fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
194193cbvmptv 4486 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
19534fveq2d 5852 . . . . . . 7  |-  ( m  e.  NN  ->  ( S.2 `  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) `  m
) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
196195mpteq2ia 4476 . . . . . 6  |-  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
197194, 196eqtr4i 2434 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) ) )
198197rneqi 5049 . . . 4  |-  ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  =  ran  ( m  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) ) )
199198supeq1i 7939 . . 3  |-  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
m  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( ( n  e.  NN  |->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
20042, 105, 114, 158, 192, 199itg2mono 22450 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
201 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
20227, 201, 170fvmpt 5931 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  m
)  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
203202adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  m
)  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
204166adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  <_  ( F `  x ) )
205203, 204eqbrtrd 4414 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  m
)  <_  ( F `  x ) )
206205ralrimiva 2817 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  <_  ( F `  x ) )
2073a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )
208207, 201fmptd 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : NN --> _V )
209 ffn 5713 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : NN --> _V  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  NN )
210208, 209syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  Fn  NN )
211 breq1 4397 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  ->  ( w  <_ 
( F `  x
)  <->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  <_  ( F `  x ) ) )
212211ralrn 6011 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  NN  ->  ( A. w  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  ( F `  x )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  <_  ( F `  x ) ) )
213210, 212syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) w  <_  ( F `  x )  <->  A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) `  m
)  <_  ( F `  x ) ) )
214206, 213mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  ( F `  x ) )
215117adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  x )  e.  RR )
216 0re 9625 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
217 ifcl 3926 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( ( F `
 x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
218215, 216, 217sylancl 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  RR )
219218, 201fmptd 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : NN --> RR )
220 frn 5719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) 
C_  RR )
221219, 220syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  C_  RR )
222 1nn 10586 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  NN
223201, 218dmmptd 5693 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  dom  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  NN )
224222, 223syl5eleqr 2497 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  1  e. 
dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
225 n0i 3742 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  ->  -.  dom  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  (/) )
226 dm0rn0 5039 . . . . . . . . . . 11  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  (/) )
227226necon3bbii 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( -. 
dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  (/)  <->  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/) )
228225, 227sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  dom  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =/=  (/) )
229224, 228syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/) )
230 breq2 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  (
w  <_  z  <->  w  <_  ( F `  x ) ) )
231230ralbidv 2842 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  =  ( F `  x )  ->  ( A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_ 
z  <->  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_ 
( F `  x
) ) )
232231rspcev 3159 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  A. w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_ 
( F `  x
) )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )
233117, 214, 232syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. z  e.  RR  A. w  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )
234 suprleub 10546 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )  /\  ( F `  x
)  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  x )  <->  A. w  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_ 
( F `  x
) ) )
235221, 229, 233, 117, 234syl31anc 1233 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  x )  <->  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  ( F `  x ) ) )
236214, 235mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  x )
)
237 arch 10832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F `  x )  e.  RR  ->  E. m  e.  NN  ( F `  x )  <  m
)
238117, 237syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  E. m  e.  NN  ( F `  x )  <  m
)
239202ad2antrl 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  =  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
240 ltle 9703 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  RR  /\  m  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  <  m  ->  ( F `  x
)  <_  m )
)
241117, 48, 240syl2an 475 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( F `  x
)  <  m  ->  ( F `  x )  <_  m ) )
242241impr 617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( F `  x )  <_  m
)
243242iftrued 3892 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `  x
) )
244239, 243eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  =  ( F `  x ) )
245210adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  NN )
246 simprl 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  m  e.  NN )
247 fnfvelrn 6005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  Fn  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )
248245, 246, 247syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) `  m )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )
249244, 248eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  (
m  e.  NN  /\  ( F `  x )  <  m ) )  ->  ( F `  x )  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
250238, 249rexlimddv 2899 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
251 suprub 10543 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )  /\  ( F `  x
)  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  -> 
( F `  x
)  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )
252221, 229, 233, 250, 251syl31anc 1233 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  <_  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )
253 suprcl 10542 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) 
C_  RR  /\  ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =/=  (/)  /\  E. z  e.  RR  A. w  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) w  <_  z )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
254221, 229, 233, 253syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  e.  RR )
255254, 117letri3d 9758 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `
 x )  <->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  <_  ( F `  x )  /\  ( F `  x )  <_  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) ) ) )
256236, 252, 255mpbir2and 923 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  )  =  ( F `  x ) )
257256mpteq2dva 4480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  ( x  e.  RR  |->  ( F `  x ) ) )
258257, 172eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) )  =  F )
259258fveq2d 5852 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ,  RR ,  <  ) ) )  =  ( S.2 `  F
) )
260200, 259eqtr3d 2445 1  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2753   E.wrex 2754   _Vcvv 3058    \ cdif 3410    C_ wss 3413   (/)c0 3737   ifcif 3884   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   `'ccnv 4821   dom cdm 4822   ran crn 4823    |` cres 4824   "cima 4825    Fn wfn 5563   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oRcofr 6519   supcsup 7933   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524   +oocpnf 9654   RR*cxr 9656    < clt 9657    <_ cle 9658   NNcn 10575   (,)cioo 11581   [,)cico 11583   volcvol 22165  MblFncmbf 22313   S.2citg2 22315
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cmp 20178  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318  df-itg1 22319  df-itg2 22320
This theorem is referenced by:  itg2cn  22460
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