Theorem itg2cn 22769

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 23037 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2cn.3	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
itg2cn.4	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )

Distinct variable groups:   u, d, x, C   F, d, u, x   ph, u, x

Allowed substitution hint:   ph( d)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables m y z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR+ )
3	2	rphalfcld 11381	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR+ )
4	1, 3	ltsubrpd 11398	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) < ( S.2 ` F ) )
5	3	rpred 11369	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR )
6	1, 5	resubcld 10074	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR )
7	6, 1	ltnled 9807	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) < ( S.2 ` F ) <-> -. ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
8	4, 7	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> -. ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10	9	ffvelrnda 6044	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
11		elrege0 11766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
12	10, 11	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
13	12	simpld 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
14	13	rexrd 9715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR* )
15	12	simprd 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
16		elxrge0 11769	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR* /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
17	14, 15, 16	sylanbrc 675	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18		0e0iccpnf 11771	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
19		ifcl 3934	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20	17, 18, 19	sylancl 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21	20	adantlr 726	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
22		eqid 2461	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) )
23	21, 22	fmptd 6068	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
24		itg2cl 22738	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR* )
25	23, 24	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR* )
26		eqid 2461	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
27	25, 26	fmptd 6068	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* )
28		frn 5757	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* )
29	27, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* )
30	6	rexrd 9715	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR* )
31		supxrleub 11640	. . . . . 6 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* /\ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 671	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
33		itg2cn.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. MblFn )
34	9, 33, 1	itg2cnlem1 22767	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) = ( S.2 ` F ) )
35	34	breq1d 4425	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
36		ffn 5750	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN )
37	27, 36	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN )
38		breq1 4418	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
39	38	ralrn 6047	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
40		breq2 4419	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( F ` x ) <_ n <-> ( F ` x ) <_ m ) )
41	40	ifbid 3914	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) )
42	41	mpteq2dv 4503	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) )
43	42	fveq2d 5891	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
44		fvex 5897	. . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. _V
45	43, 26, 44	fvmpt 5970	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
46	45	breq1d 4425	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
47	46	ralbiia 2829	. . . . . . 7 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
48	39, 47	syl6bb 269	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
49	37, 48	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
50	32, 35, 49	3bitr3d 291	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
51	8, 50	mtbid 306	. . 3 |- ( ph -> -. A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
52		rexnal 2847	. . 3 |- ( E. m e. NN -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> -. A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
53	51, 52	sylibr 217	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
54	9	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
55	33	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> F e. MblFn )
56	1	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> ( S.2 ` F ) e. RR )
57	2	adantr 471	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> C e. RR+ )
58		simprl 769	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> m e. NN )
59		simprr 771	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
60		fveq2 5887	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
61	60	breq1d 4425	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) <_ m <-> ( F ` y ) <_ m ) )
62	61, 60	ifbieq1d 3915	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) )
63	62	cbvmptv 4508	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) )
64	63	fveq2i 5890	. . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) )
65	64	breq1i 4422	. . . . 5 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
66	59, 65	sylnib 310	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> -. ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
67	54, 55, 56, 57, 58, 66	itg2cnlem2 22768	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
68		elequ1 1904	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. u <-> y e. u ) )
69	68, 60	ifbieq1d 3915	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) = if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) )
70	69	cbvmptv 4508	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) )
71	70	fveq2i 5890	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) )
72	71	breq1i 4422	. . . . . 6 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C )
73	72	imbi2i 318	. . . . 5 |- ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
74	73	ralbii 2830	. . . 4 |- ( A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
75	74	rexbii 2900	. . 3 |- ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
76	67, 75	sylibr 217	. 2 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )
77	53, 76	rexlimddv 2894	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 375   e. wcel 1897   A.wral 2748   E.wrex 2749   C_ wss 3415   ifcif 3892   class class class wbr 4415   |-> cmpt 4474   dom cdm 4852   ran crn 4853   Fn wfn 5595   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   supcsup 7979   RRcr 9563   0cc0 9564   +oocpnf 9697   RR*cxr 9699   < clt 9700   <_ cle 9701   - cmin 9885   / cdiv 10296   NNcn 10636   2c2 10686   RR+crp 11330   [,)cico 11665   [,]cicc 11666   volcvol 22463  MblFncmbf 22620   S.2citg2 22622

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-rep 4528  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-inf2 8171  ax-cc 8890  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642  ax-addf 9643

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-fal 1460  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-int 4248  df-iun 4293  df-disj 4387  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-se 4812  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-isom 5609  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-of 6557  df-ofr 6558  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-1o 7207  df-2o 7208  df-oadd 7211  df-omul 7212  df-er 7388  df-map 7499  df-pm 7500  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-fin 7598  df-fi 7950  df-sup 7981  df-inf 7982  df-oi 8050  df-card 8398  df-acn 8401  df-cda 8623  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-ioo 11667  df-ioc 11668  df-ico 11669  df-icc 11670  df-fz 11813  df-fzo 11946  df-fl 12059  df-seq 12245  df-exp 12304  df-hash 12547  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-clim 13600  df-rlim 13601  df-sum 13801  df-rest 15369  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cmp 20450  df-ovol 22464  df-vol 22466  df-mbf 22625  df-itg1 22626  df-itg2 22627  df-0p 22676

This theorem is referenced by:  itgcn  22848