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Theorem itg2cn 21263
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 21531 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2cn.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itg2cn  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Distinct variable groups:    u, d, x, C    F, d, u, x    ph, u, x
Allowed substitution hint:    ph( d)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables  m  y  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
2 itg2cn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
32rphalfcld 11060 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
41, 3ltsubrpd 11076 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  F
) )
53rpred 11048 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR )
61, 5resubcld 9797 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
76, 1ltnled 9542 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  F
)  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
84, 7mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) )
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
109ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
11 elrege0 11413 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
1210, 11sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
1312simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
1413rexrd 9454 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
RR* )
1512simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
16 elxrge0 11415 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
1714, 15, 16sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
18 0e0iccpnf 11417 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
19 ifcl 3852 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2120adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
2321, 22fmptd 5888 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
24 itg2cl 21232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
26 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
2725, 26fmptd 5888 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR* )
28 frn 5586 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR* )
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR* )
306rexrd 9454 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR* )
31 supxrleub 11310 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR*  /\  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
33 itg2cn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
349, 33, 1itg2cnlem1 21261 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  F
) )
3534breq1d 4323 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  F )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
36 ffn 5580 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN )
3727, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN )
38 breq1 4316 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  -> 
( z  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
3938ralrn 5867 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
40 breq2 4317 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  x
)  <_  n  <->  ( F `  x )  <_  m
) )
4140ifbid 3832 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
4241mpteq2dv 4400 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
4342fveq2d 5716 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
44 fvex 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
_V
4543, 26, 44fvmpt 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
4645breq1d 4323 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
4746ralbiia 2768 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
4839, 47syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
4937, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
5032, 35, 493bitr3d 283 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
518, 50mtbid 300 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
52 rexnal 2747 . . 3  |-  ( E. m  e.  NN  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  -.  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
5351, 52sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
549adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5533adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
561adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
572adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
58 simprl 755 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  m  e.  NN )
59 simprr 756 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
60 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
6160breq1d 4323 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
6261, 60ifbieq1d 3833 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
6362cbvmptv 4404 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
6463fveq2i 5715 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
6564breq1i 4320 . . . . 5  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
6659, 65sylnib 304 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
6754, 55, 56, 57, 58, 66itg2cnlem2 21262 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
68 elequ1 1759 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  u  <->  y  e.  u ) )
6968, 60ifbieq1d 3833 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) )
7069cbvmptv 4404 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) )
7170fveq2i 5715 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
7271breq1i 4320 . . . . . 6  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
)
7372imbi2i 312 . . . . 5  |-  ( ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  < 
C ) )
7473ralbii 2760 . . . 4  |-  ( A. u  e.  dom  vol (
( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
7574rexbii 2761 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C )  <->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
7667, 75sylibr 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
7753, 76rexlimddv 2866 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737    C_ wss 3349   ifcif 3812   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371   dom cdm 4861   ran crn 4862    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supcsup 7711   RRcr 9302   0cc0 9303   +oocpnf 9436   RR*cxr 9438    < clt 9439    <_ cle 9440    - cmin 9616    / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   RR+crp 11012   [,)cico 11323   [,]cicc 11324   volcvol 20969  MblFncmbf 21116   S.2citg2 21118
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cmp 19012  df-ovol 20970  df-vol 20971  df-mbf 21121  df-itg1 21122  df-itg2 21123  df-0p 21170
This theorem is referenced by:  itgcn  21342
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