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Theorem itg2cn 22148
Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 22416 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2cn.1  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2cn.3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2cn.4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
itg2cn  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Distinct variable groups:    u, d, x, C    F, d, u, x    ph, u, x
Allowed substitution hint:    ph( d)

Proof of Theorem itg2cn
Dummy variables  m  y  z  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2cn.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
2 itg2cn.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
32rphalfcld 11279 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
41, 3ltsubrpd 11295 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  F
) )
53rpred 11267 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR )
61, 5resubcld 9994 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR )
76, 1ltnled 9735 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) )  <  ( S.2 `  F
)  <->  -.  ( S.2 `  F )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
84, 7mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) )
9 itg2cn.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
109ffvelrnda 6016 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
11 elrege0 11638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( F `  x
) ) )
1210, 11sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( F `  x )  e.  RR  /\  0  <_  ( F `  x
) ) )
1312simpld 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
1413rexrd 9646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e. 
RR* )
1512simprd 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  0  <_ 
( F `  x
) )
16 elxrge0 11640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  x )  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( ( F `
 x )  e. 
RR*  /\  0  <_  ( F `  x ) ) )
1714, 15, 16sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
18 0e0iccpnf 11642 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] +oo )
19 ifcl 3968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  e.  ( 0 [,] +oo )  /\  0  e.  ( 0 [,] +oo ) )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2017, 18, 19sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
2120adantlr 714 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ( 0 [,] +oo ) )
22 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) )
2321, 22fmptd 6040 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
24 itg2cl 22117 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo )  ->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
2523, 24syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
RR* )
26 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
2725, 26fmptd 6040 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR* )
28 frn 5727 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR*  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR* )
2927, 28syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR* )
306rexrd 9646 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  e.  RR* )
31 supxrleub 11529 . . . . . 6  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) 
C_  RR*  /\  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
3229, 30, 31syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <->  A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
33 itg2cn.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
349, 33, 1itg2cnlem1 22146 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  ( S.2 `  F
) )
3534breq1d 4447 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  F )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2 ) ) ) )
36 ffn 5721 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) : NN --> RR*  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN )
3727, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN )
38 breq1 4440 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  -> 
( z  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
3938ralrn 6019 . . . . . . 7  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
40 breq2 4441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( F `  x
)  <_  n  <->  ( F `  x )  <_  m
) )
4140ifbid 3948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )
4241mpteq2dv 4524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )
4342fveq2d 5860 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) )
44 fvex 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  e. 
_V
4543, 26, 44fvmpt 5941 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  =  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )
4645breq1d 4447 . . . . . . . 8  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) `
 m )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) )  <-> 
( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) ) ) )
4746ralbiia 2873 . . . . . . 7  |-  ( A. m  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) ) `  m )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
4839, 47syl6bb 261 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  n , 
( F `  x
) ,  0 ) ) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
4937, 48syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  n ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) ) ) z  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
5032, 35, 493bitr3d 283 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) )  <->  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) ) )
518, 50mtbid 300 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
52 rexnal 2891 . . 3  |-  ( E. m  e.  NN  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  -.  A. m  e.  NN  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
5351, 52sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. m  e.  NN  -.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
549adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
5533adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
561adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
572adantr 465 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
58 simprl 756 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  m  e.  NN )
59 simprr 757 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
60 fveq2 5856 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
6160breq1d 4447 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( F `  x
)  <_  m  <->  ( F `  y )  <_  m
) )
6261, 60ifbieq1d 3949 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
6362cbvmptv 4528 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y
)  <_  m , 
( F `  y
) ,  0 ) )
6463fveq2i 5859 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
6564breq1i 4444 . . . . 5  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x
)  <_  m , 
( F `  x
) ,  0 ) ) )  <_  (
( S.2 `  F )  -  ( C  / 
2 ) )  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
6659, 65sylnib 304 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  -.  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( ( F `  y )  <_  m ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  -  ( C  /  2 ) ) )
6754, 55, 56, 57, 58, 66itg2cnlem2 22147 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
68 elequ1 1807 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  u  <->  y  e.  u ) )
6968, 60ifbieq1d 3949 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) )
7069cbvmptv 4528 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) )  =  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) )
7170fveq2i 5859 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )
7271breq1i 4444 . . . . . 6  |-  ( ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C  <->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
)
7372imbi2i 312 . . . . 5  |-  ( ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  (
y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  < 
C ) )
7473ralbii 2874 . . . 4  |-  ( A. u  e.  dom  vol (
( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
)  <->  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
7574rexbii 2945 . . 3  |-  ( E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <  C )  <->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u )  <  d  ->  ( S.2 `  ( y  e.  RR  |->  if ( y  e.  u ,  ( F `  y ) ,  0 ) ) )  <  C ) )
7667, 75sylibr 212 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  NN  /\  -.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( F `  x )  <_  m ,  ( F `  x ) ,  0 ) ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  -  ( C  /  2
) ) ) )  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
7753, 76rexlimddv 2939 1  |-  ( ph  ->  E. d  e.  RR+  A. u  e.  dom  vol ( ( vol `  u
)  <  d  ->  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  u ,  ( F `  x
) ,  0 ) ) )  <  C
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794    C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437    |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630    < clt 9631    <_ cle 9632    - cmin 9810    / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   RR+crp 11231   [,)cico 11542   [,]cicc 11543   volcvol 21853  MblFncmbf 22001   S.2citg2 22003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-rest 14802  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-cmp 19865  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006  df-itg1 22007  df-itg2 22008  df-0p 22055
This theorem is referenced by:  itgcn  22227
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