Theorem itg2cn 22148

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 22416 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2cn.3	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
itg2cn.4	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )

Distinct variable groups:   u, d, x, C   F, d, u, x   ph, u, x

Allowed substitution hint:   ph( d)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables m y z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR+ )
3	2	rphalfcld 11279	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR+ )
4	1, 3	ltsubrpd 11295	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) < ( S.2 ` F ) )
5	3	rpred 11267	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR )
6	1, 5	resubcld 9994	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR )
7	6, 1	ltnled 9735	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) < ( S.2 ` F ) <-> -. ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
8	4, 7	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> -. ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10	9	ffvelrnda 6016	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
11		elrege0 11638	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
12	10, 11	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
13	12	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
14	13	rexrd 9646	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR* )
15	12	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
16		elxrge0 11640	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR* /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
17	14, 15, 16	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18		0e0iccpnf 11642	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
19		ifcl 3968	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20	17, 18, 19	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21	20	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
22		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) )
23	21, 22	fmptd 6040	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
24		itg2cl 22117	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR* )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR* )
26		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
27	25, 26	fmptd 6040	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* )
28		frn 5727	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* )
29	27, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* )
30	6	rexrd 9646	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR* )
31		supxrleub 11529	. . . . . 6 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* /\ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
33		itg2cn.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. MblFn )
34	9, 33, 1	itg2cnlem1 22146	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) = ( S.2 ` F ) )
35	34	breq1d 4447	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
36		ffn 5721	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN )
37	27, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN )
38		breq1 4440	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
39	38	ralrn 6019	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
40		breq2 4441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( F ` x ) <_ n <-> ( F ` x ) <_ m ) )
41	40	ifbid 3948	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) )
42	41	mpteq2dv 4524	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) )
43	42	fveq2d 5860	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
44		fvex 5866	. . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. _V
45	43, 26, 44	fvmpt 5941	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
46	45	breq1d 4447	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
47	46	ralbiia 2873	. . . . . . 7 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
48	39, 47	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
49	37, 48	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
50	32, 35, 49	3bitr3d 283	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
51	8, 50	mtbid 300	. . 3 |- ( ph -> -. A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
52		rexnal 2891	. . 3 |- ( E. m e. NN -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> -. A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
53	51, 52	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
54	9	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
55	33	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> F e. MblFn )
56	1	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> ( S.2 ` F ) e. RR )
57	2	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> C e. RR+ )
58		simprl 756	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> m e. NN )
59		simprr 757	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
60		fveq2 5856	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
61	60	breq1d 4447	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) <_ m <-> ( F ` y ) <_ m ) )
62	61, 60	ifbieq1d 3949	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) )
63	62	cbvmptv 4528	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) )
64	63	fveq2i 5859	. . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) )
65	64	breq1i 4444	. . . . 5 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
66	59, 65	sylnib 304	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> -. ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
67	54, 55, 56, 57, 58, 66	itg2cnlem2 22147	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
68		elequ1 1807	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. u <-> y e. u ) )
69	68, 60	ifbieq1d 3949	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) = if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) )
70	69	cbvmptv 4528	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) )
71	70	fveq2i 5859	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) )
72	71	breq1i 4444	. . . . . 6 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C )
73	72	imbi2i 312	. . . . 5 |- ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
74	73	ralbii 2874	. . . 4 |- ( A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
75	74	rexbii 2945	. . 3 |- ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
76	67, 75	sylibr 212	. 2 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )
77	53, 76	rexlimddv 2939	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   C_ wss 3461   ifcif 3926   class class class wbr 4437   |-> cmpt 4495   dom cdm 4989   ran crn 4990   Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   supcsup 7902   RRcr 9494   0cc0 9495   +oocpnf 9628   RR*cxr 9630   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   / cdiv 10213   NNcn 10543   2c2 10592   RR+crp 11231   [,)cico 11542   [,]cicc 11543   volcvol 21853  MblFncmbf 22001   S.2citg2 22003

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-inf2 8061  ax-cc 8818  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573  ax-addf 9574

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-fal 1389  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-disj 4408  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-ofr 6526  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-2o 7133  df-oadd 7136  df-omul 7137  df-er 7313  df-map 7424  df-pm 7425  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fi 7873  df-sup 7903  df-oi 7938  df-card 8323  df-acn 8326  df-cda 8551  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-q 11194  df-rp 11232  df-xneg 11329  df-xadd 11330  df-xmul 11331  df-ioo 11544  df-ioc 11545  df-ico 11546  df-icc 11547  df-fz 11684  df-fzo 11807  df-fl 11911  df-seq 12090  df-exp 12149  df-hash 12388  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-clim 13293  df-rlim 13294  df-sum 13491  df-rest 14802  df-topgen 14823  df-psmet 18390  df-xmet 18391  df-met 18392  df-bl 18393  df-mopn 18394  df-top 19377  df-bases 19379  df-topon 19380  df-cmp 19865  df-ovol 21854  df-vol 21855  df-mbf 22006  df-itg1 22007  df-itg2 22008  df-0p 22055

This theorem is referenced by:  itgcn  22227