Theorem itg2cn 21263

Description: A sort of absolute continuity of the Lebesgue integral (this is the core of ftc1a 21531 which is about actual absolute continuity). (Contributed by Mario Carneiro, 1-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2cn.1	|- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2cn.2	|- ( ph -> F e. MblFn )
itg2cn.3	|- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
itg2cn.4	|- ( ph -> C e. RR+ )

Assertion

Ref	Expression
itg2cn	|- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )

Distinct variable groups:   u, d, x, C   F, d, u, x   ph, u, x

Allowed substitution hint:   ph( d)

Proof of Theorem itg2cn

Dummy variables m y z n are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2cn.3	. . . . . 6 |- ( ph -> ( S.2 ` F ) e. RR )
2		itg2cn.4	. . . . . . 7 |- ( ph -> C e. RR+ )
3	2	rphalfcld 11060	. . . . . 6 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR+ )
4	1, 3	ltsubrpd 11076	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) < ( S.2 ` F ) )
5	3	rpred 11048	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( C / 2 ) e. RR )
6	1, 5	resubcld 9797	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR )
7	6, 1	ltnled 9542	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) < ( S.2 ` F ) <-> -. ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
8	4, 7	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> -. ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
9		itg2cn.1	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10	9	ffvelrnda 5864	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) )
11		elrege0 11413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,) +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
12	10, 11	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( ( F ` x ) e. RR /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
13	12	simpld 459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR )
14	13	rexrd 9454	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. RR* )
15	12	simprd 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> 0 <_ ( F ` x ) )
16		elxrge0 11415	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) <-> ( ( F ` x ) e. RR* /\ 0 <_ ( F ` x ) ) )
17	14, 15, 16	sylanbrc 664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) )
18		0e0iccpnf 11417	. . . . . . . . . . . 12 |- 0 e. ( 0 [,] +oo )
19		ifcl 3852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) e. ( 0 [,] +oo ) /\ 0 e. ( 0 [,] +oo ) ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
20	17, 18, 19	sylancl 662	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. RR ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
21	20	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) e. ( 0 [,] +oo ) )
22		eqid 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) )
23	21, 22	fmptd 5888	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
24		itg2cl 21232	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) : RR --> ( 0 [,] +oo ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR* )
25	23, 24	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. RR* )
26		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
27	25, 26	fmptd 5888	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* )
28		frn 5586	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* )
29	27, 28	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* )
30	6	rexrd 9454	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR* )
31		supxrleub 11310	. . . . . 6 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) C_ RR* /\ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) e. RR* ) -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
32	29, 30, 31	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
33		itg2cn.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F e. MblFn )
34	9, 33, 1	itg2cnlem1 21261	. . . . . 6 |- ( ph -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) = ( S.2 ` F ) )
35	34	breq1d 4323	. . . . 5 |- ( ph -> ( sup ( ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) , RR* , < ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
36		ffn 5580	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) : NN --> RR* -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN )
37	27, 36	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN )
38		breq1 4316	. . . . . . . 8 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) -> ( z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
39	38	ralrn 5867	. . . . . . 7 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
40		breq2 4317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = m -> ( ( F ` x ) <_ n <-> ( F ` x ) <_ m ) )
41	40	ifbid 3832	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = m -> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) )
42	41	mpteq2dv 4400	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = m -> ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) )
43	42	fveq2d 5716	. . . . . . . . . 10 |- ( n = m -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
44		fvex 5722	. . . . . . . . . 10 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) e. _V
45	43, 26, 44	fvmpt 5795	. . . . . . . . 9 |- ( m e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) = ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) )
46	45	breq1d 4323	. . . . . . . 8 |- ( m e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
47	46	ralbiia 2768	. . . . . . 7 |- ( A. m e. NN ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) ` m ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
48	39, 47	syl6bb 261	. . . . . 6 |- ( ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
49	37, 48	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ n , ( F ` x ) , 0 ) ) ) ) z <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
50	32, 35, 49	3bitr3d 283	. . . 4 |- ( ph -> ( ( S.2 ` F ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) )
51	8, 50	mtbid 300	. . 3 |- ( ph -> -. A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
52		rexnal 2747	. . 3 |- ( E. m e. NN -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> -. A. m e. NN ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
53	51, 52	sylibr 212	. 2 |- ( ph -> E. m e. NN -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
54	9	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
55	33	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> F e. MblFn )
56	1	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> ( S.2 ` F ) e. RR )
57	2	adantr 465	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> C e. RR+ )
58		simprl 755	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> m e. NN )
59		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
60		fveq2 5712	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( F ` x ) = ( F ` y ) )
61	60	breq1d 4323	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> ( ( F ` x ) <_ m <-> ( F ` y ) <_ m ) )
62	61, 60	ifbieq1d 3833	. . . . . . . 8 |- ( x = y -> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) = if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) )
63	62	cbvmptv 4404	. . . . . . 7 |- ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) )
64	63	fveq2i 5715	. . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) )
65	64	breq1i 4320	. . . . 5 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
66	59, 65	sylnib 304	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> -. ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( ( F ` y ) <_ m , ( F ` y ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) )
67	54, 55, 56, 57, 58, 66	itg2cnlem2 21262	. . 3 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
68		elequ1 1759	. . . . . . . . . 10 |- ( x = y -> ( x e. u <-> y e. u ) )
69	68, 60	ifbieq1d 3833	. . . . . . . . 9 |- ( x = y -> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) = if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) )
70	69	cbvmptv 4404	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) = ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) )
71	70	fveq2i 5715	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) )
72	71	breq1i 4320	. . . . . 6 |- ( ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C <-> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C )
73	72	imbi2i 312	. . . . 5 |- ( ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
74	73	ralbii 2760	. . . 4 |- ( A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
75	74	rexbii 2761	. . 3 |- ( E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) <-> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( y e. RR |-> if ( y e. u , ( F ` y ) , 0 ) ) ) < C ) )
76	67, 75	sylibr 212	. 2 |- ( ( ph /\ ( m e. NN /\ -. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( F ` x ) <_ m , ( F ` x ) , 0 ) ) ) <_ ( ( S.2 ` F ) - ( C / 2 ) ) ) ) -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )
77	53, 76	rexlimddv 2866	1 |- ( ph -> E. d e. RR+ A. u e. dom vol ( ( vol ` u ) < d -> ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( x e. u , ( F ` x ) , 0 ) ) ) < C ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1756   A.wral 2736   E.wrex 2737   C_ wss 3349   ifcif 3812   class class class wbr 4313   e. cmpt 4371   dom cdm 4861   ran crn 4862   Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   supcsup 7711   RRcr 9302   0cc0 9303   +oocpnf 9436   RR*cxr 9438   < clt 9439   <_ cle 9440   - cmin 9616   / cdiv 10014   NNcn 10343   2c2 10392   RR+crp 11012   [,)cico 11323   [,]cicc 11324   volcvol 20969  MblFncmbf 21116   S.2citg2 21118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cmp 19012  df-ovol 20970  df-vol 20971  df-mbf 21121  df-itg1 21122  df-itg2 21123  df-0p 21170

This theorem is referenced by:  itgcn  21342