MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg2cl Structured version   Unicode version

Theorem itg2cl 21867
Description: The integral of a nonnegative real function is an extended real number. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg2cl  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )

Proof of Theorem itg2cl
Dummy variables  x  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2460 . . 3  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  =  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) }
21itg2val 21863 . 2  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  =  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )
)
31itg2lcl 21862 . . 3  |-  { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g
) ) }  C_  RR*
4 supxrcl 11495 . . 3  |-  ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 ( g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } 
C_  RR*  ->  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
53, 4ax-mp 5 . 2  |-  sup ( { x  |  E. g  e.  dom  S.1 (
g  oR  <_  F  /\  x  =  ( S.1 `  g ) ) } ,  RR* ,  <  )  e.  RR*
62, 5syl6eqel 2556 1  |-  ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  -> 
( S.2 `  F )  e.  RR* )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   E.wrex 2808    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   dom cdm 4992   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oRcofr 6514   supcsup 7889   RRcr 9480   0cc0 9481   +oocpnf 9614   RR*cxr 9616    < clt 9617    <_ cle 9618   [,]cicc 11521   S.1citg1 21752   S.2citg2 21753
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-xmet 18176  df-met 18177  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-itg2 21758
This theorem is referenced by:  itg2itg1  21871  itg2lecl  21873  itg2le  21874  itg2seq  21877  itg2uba  21878  itg2lea  21879  itg2eqa  21880  itg2mulc  21882  itg2split  21884  itg2monolem1  21885  itg2monolem2  21886  itg2monolem3  21887  itg2mono  21888  itg2gt0  21895  itg2cn  21898  itg2gt0cn  29634  ftc1anclem6  29659  ftc1anclem7  29660  ftc1anc  29662
  Copyright terms: Public domain W3C validator