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Theorem itg2addlem 22033
Description: Lemma for itg2add 22034. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
itg2add.p1  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2add.p2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.p3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2add.q1  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
itg2add.q2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.q3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2addlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, F    P, n, x    Q, n, x    n, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables  f 
g  j  k  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.g1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
31, 2mbfadd 21936 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)
4 ge0addcl 11644 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( y  +  z )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
54adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  (
y  +  z )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6 itg2add.f2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7 itg2add.g2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8 reex 9595 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 inidm 3712 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
12 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  f  e.  dom  S.1 )
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  g  e.  dom  S.1 )
1412, 13i1fadd 21970 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( f  oF  +  g )  e.  dom  S.1 )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( f  oF  +  g )  e. 
dom  S.1 )
16 itg2add.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
17 itg2add.q1 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
18 nnex 10554 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
20 inidm 3712 . . . 4  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 6549 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  oF  oF  +  Q
) : NN --> dom  S.1 )
22 ge0addcl 11644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( f  +  g )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
2322adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  ( f  +  g )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2416ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
26 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
2726breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
28 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
2928fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
3026, 29breq12d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3127, 30anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3231rspccva 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  oR  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
3325, 32sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3433simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( P `  m )
)
35 breq2 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
0p  oR  <_  f  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
36 feq1 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
3735, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
38 i1ff 21951 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
39 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f  Fn  RR )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  -> 
f  Fn  RR )
42 0cn 9600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
43 fnconstg 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
45 df-0p 21945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
4645fneq1i 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4744, 46mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0p  Fn  CC
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0p  Fn  CC )
49 cnex 9585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
52 ax-resscn 9561 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
53 sseqin2 3722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
5452, 53mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
55 0pval 21946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0p `  x )  =  0 )
57 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  =  ( f `  x ) )
5848, 40, 50, 51, 54, 56, 57ofrfval 6543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  f  <->  A. x  e.  RR  0  <_  (
f `  x )
) )
5958biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )
6038ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
61 elrege0 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( f `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  x
) ) )
6261simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( f `  x )  ->  (
f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( f `  x
)  ->  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6463ralimdva 2875 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6659, 65syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
67 ffnfv 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( f  Fn  RR  /\  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6841, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  -> 
f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
7037, 69vtoclga 3182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
7124, 34, 70sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7217ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  e. 
dom  S.1 )
73 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
74 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  n )  =  ( Q `  m ) )
7574breq2d 4465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( Q `  n )  <->  0p  oR  <_  ( Q `
 m ) ) )
7628fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  ( n  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
7774, 76breq12d 4466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
)  oR  <_ 
( Q `  (
n  +  1 ) )  <->  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
7875, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
7978rspccva 3218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m
)  oR  <_ 
( Q `  (
m  +  1 ) ) ) )
8073, 79sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( Q `  m
)  /\  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
8180simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( Q `  m )
)
82 breq2 4457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
0p  oR  <_  f  <->  0p  oR  <_  ( Q `
 m ) ) )
83 feq1 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8482, 83imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
8584, 69vtoclga 3182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8672, 81, 85sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
878a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
8823, 71, 86, 87, 87, 10off 6549 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89 0plef 21947 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( (
( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
9088, 89sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
9190simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  (
( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) )
92 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( P : NN --> dom  S.1  ->  P  Fn  NN )
9316, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  Fn  NN )
94 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( Q : NN --> dom  S.1  ->  Q  Fn  NN )
9517, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  Fn  NN )
96 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  =  ( P `  m
) )
97 eqidd 2468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  =  ( Q `  m
) )
9893, 95, 19, 19, 20, 96, 97ofval 6544 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m )  =  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) )
9991, 98breqtrrd 4479 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)
100 i1ff 21951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
10124, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
102101ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
103 i1ff 21951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  m ) : RR --> RR )
10472, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> RR )
105104ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
106 peano2nn 10560 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
107 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
10816, 106, 107syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
109 i1ff 21951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
111110ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
112 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
11317, 106, 112syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
114 i1ff 21951 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
116115ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
11733simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
118 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
119101, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
120 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
121110, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
122 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
123 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
124119, 121, 87, 87, 10, 122, 123ofrfval 6543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
125117, 124mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
126125r19.21bi 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
12780simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )
128 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  m ) : RR --> RR  ->  ( Q `  m )  Fn  RR )
129104, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  Fn  RR )
130 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
131115, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
132 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
133 eqidd 2468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
134129, 131, 87, 87, 10, 132, 133ofrfval 6543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( Q `  m ) `  y
)  <_  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
135127, 134mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( Q `
 m ) `  y )  <_  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
136135r19.21bi 2836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  <_  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
137102, 105, 111, 116, 126, 136le2addd 10182 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) )  <_  ( ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  +  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) ) )
138137ralrimiva 2881 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
13924, 72i1fadd 21970 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1 )
140 i1ff 21951 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR )
141 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
142139, 140, 1413syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
143108, 113i1fadd 21970 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1 )
144 i1ff 21951 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) : RR --> RR )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR )
146 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
147145, 146syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
148119, 129, 87, 87, 10, 122, 132ofval 6544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
149121, 131, 87, 87, 10, 123, 133ofval 6544 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
150142, 147, 87, 87, 10, 148, 149ofrfval 6543 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  oR  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) ) )
151138, 150mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  oR  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
152 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
153 eqidd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
15493, 95, 19, 19, 20, 152, 153ofval 6544 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) )  oF  +  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
155106, 154sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
156151, 98, 1553brtr4d 4483 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  ( m  +  1
) ) )
15799, 156jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  /\  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
158157ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m )  /\  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
159 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )
160159fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y )  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
161160cbvmptv 4544 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) `  y
) )
162 nnuz 11129 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
163 1zzd 10907 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
164 itg2add.p3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
165 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
166165mpteq2dv 4540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
167 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
168166, 167breq12d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
169168rspccva 3218 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
170164, 169sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
17118mptex 6142 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V
172171a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V )
173 itg2add.q3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
174 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  n
) `  x )  =  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
175174mpteq2dv 4540 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) ) )
176 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
177175, 176breq12d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
178177rspccva 3218 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) )
179173, 178sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( G `  y
) )
18026fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
181 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
182 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
183180, 181, 182fvmpt 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
184183adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
185102an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
186184, 185eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
187186recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
18874fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
189 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
190 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m ) `
 y )  e. 
_V
191188, 189, 190fvmpt 5957 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
192191adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
193105an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
194192, 193eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
195194recnd 9634 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
19698fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
197196adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
198197, 148eqtrd 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
199198an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
200 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) )
201 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  e.  _V
202160, 200, 201fvmpt 5957 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
203202adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
204184, 192oveq12d 6313 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
) )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
205199, 203, 2043eqtr4d 2518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  y )
) `  m )
) )
206162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205climadd 13434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
207161, 206syl5eqbrr 4487 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
208 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
2096, 208syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
210 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( G : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  G  Fn  RR )
2117, 210syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
212 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  y
) )
213 eqidd 2468 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  y
) )
214209, 211, 9, 9, 10, 212, 213ofval 6544 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( F  oF  +  G ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
215207, 214breqtrrd 4479 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F  oF  +  G ) `  y
) )
216215ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) `  y
) )  ~~>  ( ( F  oF  +  G ) `  y
) )
217 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  j ) )
218217fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  j )
) )
219218cbvmptv 4544 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n )
) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 j ) ) )
220 itg2add.f3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
221 itg2add.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
222220, 221readdcld 9635 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
22398fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  =  ( S.1 `  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
22424, 72itg1add 21976 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m
) )  +  ( S.1 `  ( Q `
 m ) ) ) )
225223, 224eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  =  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) ) )
226 itg1cl 21960 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
22724, 226syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
228 itg1cl 21960 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( Q `
 m ) )  e.  RR )
22972, 228syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  RR )
230220adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
231221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
2326adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
233 rexr 9651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
234233anim1i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
235 elrege0 11639 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
236 elxrge0 11641 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
237234, 235, 2363imtr4i 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
238237ssriv 3513 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
239 fss 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
240232, 238, 239sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
2411, 6, 16, 25, 164itg2i1fseqle 22029 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  F )
242 itg2ub 22008 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( P `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  m )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
243240, 24, 241, 242syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
2447adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
245 fss 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
246244, 238, 245sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
2472, 7, 17, 73, 173itg2i1fseqle 22029 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  oR  <_  G )
248 itg2ub 22008 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( Q `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( Q `  m )  oR  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
249246, 72, 247, 248syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
250227, 229, 230, 231, 243, 249le2addd 10182 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
251225, 250eqbrtrd 4473 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
252251ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
253 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  k ) )
254253fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
) )
255254breq1d 4463 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
256255rspccva 3218 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  k ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
257252, 256sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2583, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 257itg2i1fseq2 22031 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) ) )
259 1zzd 10907 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
260 eqid 2467 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )
2611, 6, 16, 25, 164, 260, 220itg2i1fseq3 22032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  F
) )
26218mptex 6142 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n )
) )  e.  _V
263262a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  e.  _V )
264 eqid 2467 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )
2652, 7, 17, 73, 173, 264, 221itg2i1fseq3 22032 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  G
) )
266 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( P `  k )  =  ( P `  m ) )
267266fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
268 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  _V
269267, 260, 268fvmpt 5957 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
270269adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
271227recnd 9634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  CC )
272270, 271eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
273 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  m ) )
274273fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( Q `  k ) )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
275 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  _V
276274, 264, 275fvmpt 5957 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
277276adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
278229recnd 9634 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  CC )
279277, 278eqeltrd 2555 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
280 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  j )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )
281280fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  j ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
282 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  e.  _V
283281, 219, 282fvmpt 5957 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
284283adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
285270, 277oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m )
)  +  ( S.1 `  ( Q `  m
) ) ) )
286225, 284, 2853eqtr4d 2518 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) ) )
287162, 259, 261, 263, 265, 272, 279, 286climadd 13434 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
288 climuni 13355 . 2  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G )
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
289258, 287, 288syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   {csn 4033   class class class wbr 4453    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003   dom cdm 5005    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533    oRcofr 6534   CCcc 9502   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507   +oocpnf 9637   RR*cxr 9639    <_ cle 9641   NNcn 10548   [,)cico 11543   [,]cicc 11544    ~~> cli 13287  MblFncmbf 21891   S.1citg1 21892   S.2citg2 21893   0pc0p 21944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cc 8827  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-ofr 6536  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-map 7434  df-pm 7435  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fi 7883  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-xneg 11330  df-xadd 11331  df-xmul 11332  df-ioo 11545  df-ioc 11546  df-ico 11547  df-icc 11548  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-seq 12088  df-exp 12147  df-hash 12386  df-cj 12912  df-re 12913  df-im 12914  df-sqrt 13048  df-abs 13049  df-clim 13291  df-rlim 13292  df-sum 13489  df-rest 14695  df-topgen 14716  df-psmet 18281  df-xmet 18282  df-met 18283  df-bl 18284  df-mopn 18285  df-top 19268  df-bases 19270  df-topon 19271  df-cmp 19755  df-ovol 21744  df-vol 21745  df-mbf 21896  df-itg1 21897  df-itg2 21898  df-0p 21945
This theorem is referenced by:  itg2add  22034
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