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Theorem itg2addlem 21258
Description: Lemma for itg2add 21259. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
itg2add.p1  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2add.p2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.p3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2add.q1  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
itg2add.q2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.q3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2addlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, F    P, n, x    Q, n, x    n, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables  f 
g  j  k  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.g1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
31, 2mbfadd 21161 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)
4 ge0addcl 11418 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( y  +  z )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
54adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  (
y  +  z )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6 itg2add.f2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7 itg2add.g2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8 reex 9394 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 inidm 3580 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6355 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
12 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  f  e.  dom  S.1 )
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  g  e.  dom  S.1 )
1412, 13i1fadd 21195 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( f  oF  +  g )  e.  dom  S.1 )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( f  oF  +  g )  e. 
dom  S.1 )
16 itg2add.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
17 itg2add.q1 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
18 nnex 10349 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
20 inidm 3580 . . . 4  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 6355 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  oF  oF  +  Q
) : NN --> dom  S.1 )
22 ge0addcl 11418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( f  +  g )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
2322adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  ( f  +  g )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2416ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
26 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
2726breq2d 4325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
28 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
2928fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
3026, 29breq12d 4326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3127, 30anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3231rspccva 3093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  oR  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
3325, 32sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3433simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( P `  m )
)
35 breq2 4317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
0p  oR  <_  f  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
36 feq1 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
3735, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
38 i1ff 21176 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
39 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f  Fn  RR )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  -> 
f  Fn  RR )
42 0cn 9399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
43 fnconstg 5619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
45 df-0p 21170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
4645fneq1i 5526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4744, 46mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0p  Fn  CC
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0p  Fn  CC )
49 cnex 9384 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
52 ax-resscn 9360 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
53 sseqin2 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
5452, 53mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
55 0pval 21171 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0p `  x )  =  0 )
57 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  =  ( f `  x ) )
5848, 40, 50, 51, 54, 56, 57ofrfval 6349 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  f  <->  A. x  e.  RR  0  <_  (
f `  x )
) )
5958biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )
6038ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
61 elrege0 11413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( f `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  x
) ) )
6261simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( f `  x )  ->  (
f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( f `  x
)  ->  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6463ralimdva 2815 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6659, 65syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
67 ffnfv 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( f  Fn  RR  /\  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6841, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  -> 
f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
7037, 69vtoclga 3057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
7124, 34, 70sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7217ffvelrnda 5864 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  e. 
dom  S.1 )
73 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
74 fveq2 5712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  n )  =  ( Q `  m ) )
7574breq2d 4325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( Q `  n )  <->  0p  oR  <_  ( Q `
 m ) ) )
7628fveq2d 5716 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  ( n  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
7774, 76breq12d 4326 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
)  oR  <_ 
( Q `  (
n  +  1 ) )  <->  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
7875, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
7978rspccva 3093 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m
)  oR  <_ 
( Q `  (
m  +  1 ) ) ) )
8073, 79sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( Q `  m
)  /\  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
8180simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( Q `  m )
)
82 breq2 4317 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
0p  oR  <_  f  <->  0p  oR  <_  ( Q `
 m ) ) )
83 feq1 5563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8482, 83imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
8584, 69vtoclga 3057 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8672, 81, 85sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
878a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
8823, 71, 86, 87, 87, 10off 6355 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89 0plef 21172 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( (
( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
9088, 89sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
9190simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  (
( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) )
92 ffn 5580 . . . . . . . 8  |-  ( P : NN --> dom  S.1  ->  P  Fn  NN )
9316, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  Fn  NN )
94 ffn 5580 . . . . . . . 8  |-  ( Q : NN --> dom  S.1  ->  Q  Fn  NN )
9517, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  Fn  NN )
96 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  =  ( P `  m
) )
97 eqidd 2444 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  =  ( Q `  m
) )
9893, 95, 19, 19, 20, 96, 97ofval 6350 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m )  =  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) )
9991, 98breqtrrd 4339 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)
100 i1ff 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
10124, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
102101ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
103 i1ff 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  m ) : RR --> RR )
10472, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> RR )
105104ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
106 peano2nn 10355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
107 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
10816, 106, 107syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
109 i1ff 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
111110ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
112 ffvelrn 5862 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
11317, 106, 112syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
114 i1ff 21176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
116115ffvelrnda 5864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
11733simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
118 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
119101, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
120 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
121110, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
122 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
123 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
124119, 121, 87, 87, 10, 122, 123ofrfval 6349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
125117, 124mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
126125r19.21bi 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
12780simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )
128 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  m ) : RR --> RR  ->  ( Q `  m )  Fn  RR )
129104, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  Fn  RR )
130 ffn 5580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
131115, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
132 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
133 eqidd 2444 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
134129, 131, 87, 87, 10, 132, 133ofrfval 6349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( Q `  m ) `  y
)  <_  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
135127, 134mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( Q `
 m ) `  y )  <_  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
136135r19.21bi 2835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  <_  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
137102, 105, 111, 116, 126, 136le2addd 9978 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) )  <_  ( ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  +  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) ) )
138137ralrimiva 2820 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
13924, 72i1fadd 21195 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1 )
140 i1ff 21176 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR )
141 ffn 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
142139, 140, 1413syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
143108, 113i1fadd 21195 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1 )
144 i1ff 21176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) : RR --> RR )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR )
146 ffn 5580 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
147145, 146syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
148119, 129, 87, 87, 10, 122, 132ofval 6350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
149121, 131, 87, 87, 10, 123, 133ofval 6350 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
150142, 147, 87, 87, 10, 148, 149ofrfval 6349 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  oR  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) ) )
151138, 150mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  oR  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
152 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
153 eqidd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
15493, 95, 19, 19, 20, 152, 153ofval 6350 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) )  oF  +  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
155106, 154sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
156151, 98, 1553brtr4d 4343 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  ( m  +  1
) ) )
15799, 156jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  /\  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
158157ralrimiva 2820 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m )  /\  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
159 fveq2 5712 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )
160159fveq1d 5714 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y )  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
161160cbvmptv 4404 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) `  y
) )
162 nnuz 10917 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
163 1zzd 10698 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
164 itg2add.p3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
165 fveq2 5712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
166165mpteq2dv 4400 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
167 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
168166, 167breq12d 4326 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
169168rspccva 3093 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
170164, 169sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
17118mptex 5969 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V
172171a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V )
173 itg2add.q3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
174 fveq2 5712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  n
) `  x )  =  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
175174mpteq2dv 4400 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) ) )
176 fveq2 5712 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
177175, 176breq12d 4326 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
178177rspccva 3093 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) )
179173, 178sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( G `  y
) )
18026fveq1d 5714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
181 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
182 fvex 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
183180, 181, 182fvmpt 5795 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
184183adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
185102an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
186184, 185eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
187186recnd 9433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
18874fveq1d 5714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
189 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
190 fvex 5722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m ) `
 y )  e. 
_V
191188, 189, 190fvmpt 5795 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
192191adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
193105an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
194192, 193eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
195194recnd 9433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
19698fveq1d 5714 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
197196adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
198197, 148eqtrd 2475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
199198an32s 802 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
200 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) )
201 fvex 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  e.  _V
202160, 200, 201fvmpt 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
203202adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
204184, 192oveq12d 6130 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
) )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
205199, 203, 2043eqtr4d 2485 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  y )
) `  m )
) )
206162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205climadd 13130 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
207161, 206syl5eqbrr 4347 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
208 ffn 5580 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
2096, 208syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
210 ffn 5580 . . . . . . 7  |-  ( G : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  G  Fn  RR )
2117, 210syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
212 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  y
) )
213 eqidd 2444 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  y
) )
214209, 211, 9, 9, 10, 212, 213ofval 6350 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( F  oF  +  G ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
215207, 214breqtrrd 4339 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F  oF  +  G ) `  y
) )
216215ralrimiva 2820 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) `  y
) )  ~~>  ( ( F  oF  +  G ) `  y
) )
217 fveq2 5712 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  j ) )
218217fveq2d 5716 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  j )
) )
219218cbvmptv 4404 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n )
) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 j ) ) )
220 itg2add.f3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
221 itg2add.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
222220, 221readdcld 9434 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
22398fveq2d 5716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  =  ( S.1 `  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
22424, 72itg1add 21201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m
) )  +  ( S.1 `  ( Q `
 m ) ) ) )
225223, 224eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  =  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) ) )
226 itg1cl 21185 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
22724, 226syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
228 itg1cl 21185 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( Q `
 m ) )  e.  RR )
22972, 228syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  RR )
230220adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
231221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
2326adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
233 rexr 9450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
234233anim1i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
235 elrege0 11413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
236 elxrge0 11415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] +oo )  <->  ( x  e. 
RR*  /\  0  <_  x ) )
237234, 235, 2363imtr4i 266 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) +oo )  ->  x  e.  ( 0 [,] +oo ) )
238237ssriv 3381 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
239 fss 5588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
240232, 238, 239sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
2411, 6, 16, 25, 164itg2i1fseqle 21254 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  F )
242 itg2ub 21233 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( P `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  m )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
243240, 24, 241, 242syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
2447adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
245 fss 5588 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
246244, 238, 245sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
2472, 7, 17, 73, 173itg2i1fseqle 21254 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  oR  <_  G )
248 itg2ub 21233 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( Q `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( Q `  m )  oR  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
249246, 72, 247, 248syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
250227, 229, 230, 231, 243, 249le2addd 9978 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
251225, 250eqbrtrd 4333 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
252251ralrimiva 2820 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
253 fveq2 5712 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  k ) )
254253fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
) )
255254breq1d 4323 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
256255rspccva 3093 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  k ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
257252, 256sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2583, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 257itg2i1fseq2 21256 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) ) )
259 1zzd 10698 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
260 eqid 2443 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )
2611, 6, 16, 25, 164, 260, 220itg2i1fseq3 21257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  F
) )
26218mptex 5969 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n )
) )  e.  _V
263262a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  e.  _V )
264 eqid 2443 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )
2652, 7, 17, 73, 173, 264, 221itg2i1fseq3 21257 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  G
) )
266 fveq2 5712 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( P `  k )  =  ( P `  m ) )
267266fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
268 fvex 5722 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  _V
269267, 260, 268fvmpt 5795 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
270269adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
271227recnd 9433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  CC )
272270, 271eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
273 fveq2 5712 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  m ) )
274273fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( Q `  k ) )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
275 fvex 5722 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  _V
276274, 264, 275fvmpt 5795 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
277276adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
278229recnd 9433 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  CC )
279277, 278eqeltrd 2517 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
280 fveq2 5712 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  j )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )
281280fveq2d 5716 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  j ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
282 fvex 5722 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  e.  _V
283281, 219, 282fvmpt 5795 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
284283adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
285270, 277oveq12d 6130 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m )
)  +  ( S.1 `  ( Q `  m
) ) ) )
286225, 284, 2853eqtr4d 2485 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) ) )
287162, 259, 261, 263, 265, 272, 279, 286climadd 13130 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
288 climuni 13051 . 2  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G )
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
289258, 287, 288syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2736   _Vcvv 2993    i^i cin 3348    C_ wss 3349   {csn 3898   class class class wbr 4313    e. cmpt 4371    X. cxp 4859   dom cdm 4861    Fn wfn 5434   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112    oFcof 6339    oRcofr 6340   CCcc 9301   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306   +oocpnf 9436   RR*cxr 9438    <_ cle 9440   NNcn 10343   [,)cico 11323   [,]cicc 11324    ~~> cli 12983  MblFncmbf 21116   S.1citg1 21117   S.2citg2 21118   0pc0p 21169
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-inf2 7868  ax-cc 8625  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380  ax-pre-sup 9381  ax-addf 9382
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-disj 4284  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-se 4701  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-isom 5448  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-of 6341  df-ofr 6342  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-2o 6942  df-oadd 6945  df-omul 6946  df-er 7122  df-map 7237  df-pm 7238  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-fi 7682  df-sup 7712  df-oi 7745  df-card 8130  df-acn 8133  df-cda 8358  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-q 10975  df-rp 11013  df-xneg 11110  df-xadd 11111  df-xmul 11112  df-ioo 11325  df-ioc 11326  df-ico 11327  df-icc 11328  df-fz 11459  df-fzo 11570  df-fl 11663  df-seq 11828  df-exp 11887  df-hash 12125  df-cj 12609  df-re 12610  df-im 12611  df-sqr 12745  df-abs 12746  df-clim 12987  df-rlim 12988  df-sum 13185  df-rest 14382  df-topgen 14403  df-psmet 17831  df-xmet 17832  df-met 17833  df-bl 17834  df-mopn 17835  df-top 18525  df-bases 18527  df-topon 18528  df-cmp 19012  df-ovol 20970  df-vol 20971  df-mbf 21121  df-itg1 21122  df-itg2 21123  df-0p 21170
This theorem is referenced by:  itg2add  21259
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