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Theorem itg2addlem 22291
Description: Lemma for itg2add 22292. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
itg2add.p1  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2add.p2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.p3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2add.q1  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
itg2add.q2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.q3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2addlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, F    P, n, x    Q, n, x    n, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables  f 
g  j  k  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.g1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
31, 2mbfadd 22194 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)
4 ge0addcl 11657 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( y  +  z )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
54adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  (
y  +  z )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6 itg2add.f2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7 itg2add.g2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8 reex 9600 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 inidm 3703 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
12 simpl 457 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  f  e.  dom  S.1 )
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  g  e.  dom  S.1 )
1412, 13i1fadd 22228 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( f  oF  +  g )  e.  dom  S.1 )
1514adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( f  oF  +  g )  e. 
dom  S.1 )
16 itg2add.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
17 itg2add.q1 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
18 nnex 10562 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
20 inidm 3703 . . . 4  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 6553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  oF  oF  +  Q
) : NN --> dom  S.1 )
22 ge0addcl 11657 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( f  +  g )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
2322adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  ( f  +  g )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2416ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
26 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
2726breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
28 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
2928fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
3026, 29breq12d 4469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3127, 30anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3231rspccva 3209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  oR  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
3325, 32sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3433simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( P `  m )
)
35 breq2 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
0p  oR  <_  f  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
36 feq1 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
3735, 36imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
38 i1ff 22209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
39 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f  Fn  RR )
4140adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  -> 
f  Fn  RR )
42 0cn 9605 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
43 fnconstg 5779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
45 df-0p 22203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
4645fneq1i 5681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4744, 46mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0p  Fn  CC
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0p  Fn  CC )
49 cnex 9590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
52 ax-resscn 9566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
53 sseqin2 3713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
5452, 53mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
55 0pval 22204 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
5655adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0p `  x )  =  0 )
57 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  =  ( f `  x ) )
5848, 40, 50, 51, 54, 56, 57ofrfval 6547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  f  <->  A. x  e.  RR  0  <_  (
f `  x )
) )
5958biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )
6038ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
61 elrege0 11652 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( f `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  x
) ) )
6261simplbi2 625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( f `  x )  ->  (
f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( f `  x
)  ->  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6463ralimdva 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6564imp 429 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6659, 65syldan 470 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
67 ffnfv 6058 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( f  Fn  RR  /\  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6841, 66, 67sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  -> 
f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6968ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
7037, 69vtoclga 3173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
7124, 34, 70sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7217ffvelrnda 6032 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  e. 
dom  S.1 )
73 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
74 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  n )  =  ( Q `  m ) )
7574breq2d 4468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( Q `  n )  <->  0p  oR  <_  ( Q `
 m ) ) )
7628fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  ( n  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
7774, 76breq12d 4469 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
)  oR  <_ 
( Q `  (
n  +  1 ) )  <->  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
7875, 77anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
7978rspccva 3209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m
)  oR  <_ 
( Q `  (
m  +  1 ) ) ) )
8073, 79sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( Q `  m
)  /\  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
8180simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( Q `  m )
)
82 breq2 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
0p  oR  <_  f  <->  0p  oR  <_  ( Q `
 m ) ) )
83 feq1 5719 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8482, 83imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
8584, 69vtoclga 3173 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8672, 81, 85sylc 60 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
878a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
8823, 71, 86, 87, 87, 10off 6553 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89 0plef 22205 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( (
( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
9088, 89sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
9190simprd 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  (
( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) )
92 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( P : NN --> dom  S.1  ->  P  Fn  NN )
9316, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  Fn  NN )
94 ffn 5737 . . . . . . . 8  |-  ( Q : NN --> dom  S.1  ->  Q  Fn  NN )
9517, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  Fn  NN )
96 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  =  ( P `  m
) )
97 eqidd 2458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  =  ( Q `  m
) )
9893, 95, 19, 19, 20, 96, 97ofval 6548 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m )  =  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) )
9991, 98breqtrrd 4482 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)
100 i1ff 22209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
10124, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
102101ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
103 i1ff 22209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  m ) : RR --> RR )
10472, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> RR )
105104ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
106 peano2nn 10568 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
107 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
10816, 106, 107syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
109 i1ff 22209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
111110ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
112 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
11317, 106, 112syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
114 i1ff 22209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
116115ffvelrnda 6032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
11733simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
118 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
119101, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
120 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
121110, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
122 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
123 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
124119, 121, 87, 87, 10, 122, 123ofrfval 6547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
125117, 124mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
126125r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
12780simprd 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )
128 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  m ) : RR --> RR  ->  ( Q `  m )  Fn  RR )
129104, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  Fn  RR )
130 ffn 5737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
131115, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
132 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
133 eqidd 2458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
134129, 131, 87, 87, 10, 132, 133ofrfval 6547 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( Q `  m ) `  y
)  <_  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
135127, 134mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( Q `
 m ) `  y )  <_  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
136135r19.21bi 2826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  <_  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
137102, 105, 111, 116, 126, 136le2addd 10191 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) )  <_  ( ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  +  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) ) )
138137ralrimiva 2871 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
13924, 72i1fadd 22228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1 )
140 i1ff 22209 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR )
141 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
142139, 140, 1413syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
143108, 113i1fadd 22228 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1 )
144 i1ff 22209 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) : RR --> RR )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR )
146 ffn 5737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
147145, 146syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
148119, 129, 87, 87, 10, 122, 132ofval 6548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
149121, 131, 87, 87, 10, 123, 133ofval 6548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
150142, 147, 87, 87, 10, 148, 149ofrfval 6547 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  oR  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) ) )
151138, 150mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  oR  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
152 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
153 eqidd 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
15493, 95, 19, 19, 20, 152, 153ofval 6548 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) )  oF  +  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
155106, 154sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
156151, 98, 1553brtr4d 4486 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  ( m  +  1
) ) )
15799, 156jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  /\  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
158157ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m )  /\  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
159 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )
160159fveq1d 5874 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y )  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
161160cbvmptv 4548 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) `  y
) )
162 nnuz 11141 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
163 1zzd 10916 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
164 itg2add.p3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
165 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
166165mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
167 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
168166, 167breq12d 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
169168rspccva 3209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
170164, 169sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
17118mptex 6144 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V
172171a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V )
173 itg2add.q3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
174 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  n
) `  x )  =  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
175174mpteq2dv 4544 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) ) )
176 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
177175, 176breq12d 4469 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
178177rspccva 3209 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) )
179173, 178sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( G `  y
) )
18026fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
181 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
182 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
183180, 181, 182fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
184183adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
185102an32s 804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
186184, 185eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
187186recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
18874fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
189 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
190 fvex 5882 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m ) `
 y )  e. 
_V
191188, 189, 190fvmpt 5956 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
192191adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
193105an32s 804 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
194192, 193eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
195194recnd 9639 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
19698fveq1d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
197196adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
198197, 148eqtrd 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
199198an32s 804 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
200 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) )
201 fvex 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  e.  _V
202160, 200, 201fvmpt 5956 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
203202adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
204184, 192oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
) )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
205199, 203, 2043eqtr4d 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  y )
) `  m )
) )
206162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205climadd 13466 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
207161, 206syl5eqbrr 4490 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
208 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
2096, 208syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
210 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( G : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  G  Fn  RR )
2117, 210syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
212 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  y
) )
213 eqidd 2458 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  y
) )
214209, 211, 9, 9, 10, 212, 213ofval 6548 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( F  oF  +  G ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
215207, 214breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F  oF  +  G ) `  y
) )
216215ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) `  y
) )  ~~>  ( ( F  oF  +  G ) `  y
) )
217 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  j ) )
218217fveq2d 5876 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  j )
) )
219218cbvmptv 4548 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n )
) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 j ) ) )
220 itg2add.f3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
221 itg2add.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
222220, 221readdcld 9640 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
22398fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  =  ( S.1 `  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
22424, 72itg1add 22234 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m
) )  +  ( S.1 `  ( Q `
 m ) ) ) )
225223, 224eqtrd 2498 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  =  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) ) )
226 itg1cl 22218 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
22724, 226syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
228 itg1cl 22218 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( Q `
 m ) )  e.  RR )
22972, 228syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  RR )
230220adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
231221adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
2326adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
233 icossicc 11636 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
234 fss 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
235232, 233, 234sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
2361, 6, 16, 25, 164itg2i1fseqle 22287 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  F )
237 itg2ub 22266 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( P `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  m )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
238235, 24, 236, 237syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
2397adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
240 fss 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
241239, 233, 240sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
2422, 7, 17, 73, 173itg2i1fseqle 22287 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  oR  <_  G )
243 itg2ub 22266 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( Q `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( Q `  m )  oR  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
244241, 72, 242, 243syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
245227, 229, 230, 231, 238, 244le2addd 10191 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
246225, 245eqbrtrd 4476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
247246ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
248 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  k ) )
249248fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
) )
250249breq1d 4466 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
251250rspccva 3209 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  k ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
252247, 251sylan 471 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2533, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 252itg2i1fseq2 22289 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) ) )
254 1zzd 10916 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
255 eqid 2457 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )
2561, 6, 16, 25, 164, 255, 220itg2i1fseq3 22290 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  F
) )
25718mptex 6144 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n )
) )  e.  _V
258257a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  e.  _V )
259 eqid 2457 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )
2602, 7, 17, 73, 173, 259, 221itg2i1fseq3 22290 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  G
) )
261 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( P `  k )  =  ( P `  m ) )
262261fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
263 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  _V
264262, 255, 263fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
265264adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
266227recnd 9639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  CC )
267265, 266eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
268 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  m ) )
269268fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( Q `  k ) )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
270 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  _V
271269, 259, 270fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
272271adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
273229recnd 9639 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  CC )
274272, 273eqeltrd 2545 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
275 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  j )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )
276275fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  j ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
277 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  e.  _V
278276, 219, 277fvmpt 5956 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
279278adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
280265, 272oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m )
)  +  ( S.1 `  ( Q `  m
) ) ) )
281225, 279, 2803eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) ) )
282162, 254, 256, 258, 260, 267, 274, 281climadd 13466 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
283 climuni 13387 . 2  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G )
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
284253, 282, 283syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    i^i cin 3470    C_ wss 3471   {csn 4032   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   dom cdm 5008    Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537    oRcofr 6538   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   +oocpnf 9642    <_ cle 9646   NNcn 10556   [,)cico 11556   [,]cicc 11557    ~~> cli 13319  MblFncmbf 22149   S.1citg1 22150   S.2citg2 22151   0pc0p 22202
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-ofr 6540  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155  df-itg2 22156  df-0p 22203
This theorem is referenced by:  itg2add  22292
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