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Theorem itg2addlem 19603
Description: Lemma for itg2add 19604. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
itg2add.p1  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2add.p2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.p3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2add.q1  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
itg2add.q2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  o R  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.q3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2addlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, F    P, n, x    Q, n, x    n, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables  f 
g  j  k  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.g1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
31, 2mbfadd 19506 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G )  e. MblFn
)
4 ge0addcl 10965 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
y  +  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
54adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )  ->  (
y  +  z )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
6 itg2add.f2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
7 itg2add.g2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
8 reex 9037 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 inidm 3510 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  o F  +  G ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
12 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  f  e.  dom  S.1 )
13 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  g  e.  dom  S.1 )
1412, 13i1fadd 19540 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( f  o F  +  g )  e.  dom  S.1 )
1514adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( f  o F  +  g )  e. 
dom  S.1 )
16 itg2add.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
17 itg2add.q1 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
18 nnex 9962 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
20 inidm 3510 . . . 4  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 6279 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  o F  o F  +  Q
) : NN --> dom  S.1 )
22 ge0addcl 10965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,)  +oo ) )  ->  (
f  +  g )  e.  ( 0 [,) 
+oo ) )
2322adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f  e.  ( 0 [,)  +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )  -> 
( f  +  g )  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
2416ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
26 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
2726breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0 p  o R  <_  ( P `  n )  <->  0 p  o R  <_  ( P `
 m ) ) )
28 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
2928fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
3026, 29breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  o R  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3127, 30anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0 p  o R  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  o R  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3231rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  o R  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  o R  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
3325, 32sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3433simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  ( P `  m )
)
35 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
0 p  o R  <_  f  <->  0 p  o R  <_  ( P `
 m ) ) )
36 feq1 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
3735, 36imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
( 0 p  o R  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )  <->  ( 0 p  o R  <_ 
( P `  m
)  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
38 i1ff 19521 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
39 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
4038, 39syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f  Fn  RR )
4140adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  f )  -> 
f  Fn  RR )
42 0cn 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
43 fnconstg 5590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4442, 43ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
45 df-0p 19515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0 p  =  ( CC  X.  { 0 } )
4645fneq1i 5498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0 p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4744, 46mpbir 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0 p  Fn  CC
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0 p  Fn  CC )
49 cnex 9027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
52 ax-resscn 9003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
53 sseqin2 3520 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
5452, 53mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
55 0pval 19516 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0 p `  x
)  =  0 )
5655adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0 p `
 x )  =  0 )
57 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  =  ( f `  x ) )
5848, 40, 50, 51, 54, 56, 57ofrfval 6272 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  f  <->  A. x  e.  RR  0  <_  (
f `  x )
) )
5958biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )
6038ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
61 elrege0 10963 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( (
f `  x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  x
) ) )
6261simplbi2 609 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( f `  x )  ->  (
f `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo ) ) )
6360, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( f `  x
)  ->  ( f `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
6463ralimdva 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
6564imp 419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
6659, 65syldan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,)  +oo ) )
67 ffnfv 5853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( f  Fn  RR  /\  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,)  +oo )
) )
6841, 66, 67sylanbrc 646 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0 p  o R  <_  f )  -> 
f : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
6968ex 424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
7037, 69vtoclga 2977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
7124, 34, 70sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
7217ffvelrnda 5829 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  e. 
dom  S.1 )
73 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  o R  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
74 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  n )  =  ( Q `  m ) )
7574breq2d 4184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0 p  o R  <_  ( Q `  n )  <->  0 p  o R  <_  ( Q `
 m ) ) )
7628fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  ( n  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
7774, 76breq12d 4185 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
)  o R  <_ 
( Q `  (
n  +  1 ) )  <->  ( Q `  m )  o R  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
7875, 77anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0 p  o R  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  o R  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0 p  o R  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m )  o R  <_  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
7978rspccva 3011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  o R  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m
)  o R  <_ 
( Q `  (
m  +  1 ) ) ) )
8073, 79sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( Q `  m
)  /\  ( Q `  m )  o R  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
8180simpld 446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  ( Q `  m )
)
82 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
0 p  o R  <_  f  <->  0 p  o R  <_  ( Q `
 m ) ) )
83 feq1 5535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) )
8482, 83imbi12d 312 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
( 0 p  o R  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )  <->  ( 0 p  o R  <_ 
( Q `  m
)  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) ) ) )
8584, 69vtoclga 2977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0 p  o R  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) ) )
8672, 81, 85sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> ( 0 [,) 
+oo ) )
878a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
8823, 71, 86, 87, 87, 10off 6279 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo ) )
89 0plef 19517 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,)  +oo )  <->  ( (
( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0 p  o R  <_  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) ) )
9088, 89sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0 p  o R  <_  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) ) )
9190simprd 450 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  (
( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) )
92 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( P : NN --> dom  S.1  ->  P  Fn  NN )
9316, 92syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  Fn  NN )
94 ffn 5550 . . . . . . . 8  |-  ( Q : NN --> dom  S.1  ->  Q  Fn  NN )
9517, 94syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  Fn  NN )
96 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  =  ( P `  m
) )
97 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  =  ( Q `  m
) )
9893, 95, 19, 19, 20, 96, 97ofval 6273 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m )  =  ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) )
9991, 98breqtrrd 4198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0 p  o R  <_  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)
100 i1ff 19521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
10124, 100syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
102101ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
103 i1ff 19521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  m ) : RR --> RR )
10472, 103syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> RR )
105104ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
106 peano2nn 9968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
107 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
10816, 106, 107syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
109 i1ff 19521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
110108, 109syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
111110ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
112 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
11317, 106, 112syl2an 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
114 i1ff 19521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
116115ffvelrnda 5829 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
11733simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
118 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
119101, 118syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
120 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
121110, 120syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
122 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
123 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
124119, 121, 87, 87, 10, 122, 123ofrfval 6272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o R  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
125117, 124mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
126125r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
12780simprd 450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  o R  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )
128 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  m ) : RR --> RR  ->  ( Q `  m )  Fn  RR )
129104, 128syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  Fn  RR )
130 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
131115, 130syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
132 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
133 eqidd 2405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
134129, 131, 87, 87, 10, 132, 133ofrfval 6272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( Q `  m )  o R  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( Q `  m ) `  y
)  <_  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
135127, 134mpbid 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( Q `
 m ) `  y )  <_  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
136135r19.21bi 2764 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  <_  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
137102, 105, 111, 116, 126, 136le2addd 9600 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) )  <_  ( ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  +  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) ) )
138137ralrimiva 2749 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
13924, 72i1fadd 19540 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1 )
140 i1ff 19521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR )
141 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
142139, 140, 1413syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
143108, 113i1fadd 19540 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1 )
144 i1ff 19521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  ( m  +  1
) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) : RR --> RR )
145143, 144syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR )
146 ffn 5550 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  (
m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
147145, 146syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
148119, 129, 87, 87, 10, 122, 132ofval 6273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
149121, 131, 87, 87, 10, 123, 133ofval 6273 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  ( m  +  1
) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
150142, 147, 87, 87, 10, 148, 149ofrfval 6272 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  o F  +  ( Q `  m ) )  o R  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) ) )
151138, 150mpbird 224 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) )  o R  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
152 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
153 eqidd 2405 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
15493, 95, 19, 19, 20, 152, 153ofval 6273 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) )  o F  +  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
155106, 154sylan2 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( P `  (
m  +  1 ) )  o F  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) )
156151, 98, 1553brtr4d 4202 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m )  o R  <_  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  ( m  +  1
) ) )
15799, 156jca 519 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0 p  o R  <_ 
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )  /\  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )  o R  <_  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  ( m  +  1 ) ) ) )
158157ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( 0 p  o R  <_  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m )  /\  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )  o R  <_  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  ( m  +  1 ) ) ) )
159 fveq2 5687 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )
160159fveq1d 5689 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y )  =  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )
161160cbvmptv 4260 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) `  y
) )
162 nnuz 10477 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
163 1z 10267 . . . . . . . 8  |-  1  e.  ZZ
164163a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
165 itg2add.p3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
166 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
167166mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
168 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
169167, 168breq12d 4185 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
170169rspccva 3011 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
171165, 170sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
17218mptex 5925 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V
173172a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V )
174 itg2add.q3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
175 fveq2 5687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  n
) `  x )  =  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
176175mpteq2dv 4256 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) ) )
177 fveq2 5687 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
178176, 177breq12d 4185 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
179178rspccva 3011 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) )
180174, 179sylan 458 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( G `  y
) )
18126fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
182 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
183 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
184181, 182, 183fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
185184adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
186102an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
187185, 186eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
188187recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
18974fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
190 eqid 2404 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
191 fvex 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m ) `
 y )  e. 
_V
192189, 190, 191fvmpt 5765 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
193192adantl 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
194105an32s 780 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
195193, 194eqeltrd 2478 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
196195recnd 9070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
19798fveq1d 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
198197adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
199198, 148eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
200199an32s 780 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
201 eqid 2404 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) `  y
) )
202 fvex 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y )  e.  _V
203160, 201, 202fvmpt 5765 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )
204203adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )
205185, 193oveq12d 6058 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
) )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
206200, 204, 2053eqtr4d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  y )
) `  m )
) )
207162, 164, 171, 173, 180, 188, 196, 206climadd 12380 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
208161, 207syl5eqbrr 4206 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
209 ffn 5550 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  F  Fn  RR )
2106, 209syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
211 ffn 5550 . . . . . . 7  |-  ( G : RR --> ( 0 [,)  +oo )  ->  G  Fn  RR )
2127, 211syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
213 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  y
) )
214 eqidd 2405 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  y
) )
215210, 212, 9, 9, 10, 213, 214ofval 6273 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( F  o F  +  G ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
216208, 215breqtrrd 4198 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F  o F  +  G ) `  y
) )
217216ralrimiva 2749 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) `  y
) )  ~~>  ( ( F  o F  +  G ) `  y
) )
218 fveq2 5687 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  j ) )
219218fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  j )
) )
220219cbvmptv 4260 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n )
) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  j ) ) )
221 itg2add.f3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
222 itg2add.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
223221, 222readdcld 9071 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
22498fveq2d 5691 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)  =  ( S.1 `  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) ) )
22524, 72itg1add 19546 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P `  m )  o F  +  ( Q `  m ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m
) )  +  ( S.1 `  ( Q `
 m ) ) ) )
226224, 225eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)  =  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) ) )
227 itg1cl 19530 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
22824, 227syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
229 itg1cl 19530 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( Q `
 m ) )  e.  RR )
23072, 229syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  RR )
231221adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
232222adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
2336adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,)  +oo ) )
234 rexr 9086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  e.  RR* )
235234anim1i 552 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  RR  /\  0  <_  x )  -> 
( x  e.  RR*  /\  0  <_  x )
)
236 elrege0 10963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  0  <_  x ) )
237 elxrge0 10964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 
+oo )  <->  ( x  e.  RR*  /\  0  <_  x ) )
238235, 236, 2373imtr4i 258 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 0 [,) 
+oo )  ->  x  e.  ( 0 [,]  +oo ) )
239238ssriv 3312 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  (
0 [,]  +oo )
240 fss 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
241233, 239, 240sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
2421, 6, 16, 25, 165itg2i1fseqle 19599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  o R  <_  F )
243 itg2ub 19578 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( P `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  m )  o R  <_  F )  ->  ( S.1 `  ( P `  m )
)  <_  ( S.2 `  F ) )
244241, 24, 242, 243syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
2457adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,)  +oo ) )
246 fss 5558 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  ( 0 [,]  +oo ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,] 
+oo ) )
247245, 239, 246sylancl 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,]  +oo ) )
2482, 7, 17, 73, 174itg2i1fseqle 19599 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  o R  <_  G )
249 itg2ub 19578 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,]  +oo )  /\  ( Q `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( Q `  m )  o R  <_  G )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m )
)  <_  ( S.2 `  G ) )
250247, 72, 248, 249syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
251228, 230, 231, 232, 244, 250le2addd 9600 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
252226, 251eqbrtrd 4192 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
253252ralrimiva 2749 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
254 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )  =  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  k ) )
255254fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  k )
) )
256255breq1d 4182 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
257256rspccva 3011 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
258253, 257sylan 458 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2593, 11, 21, 158, 217, 220, 223, 258itg2i1fseq2 19601 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) ) )
260163a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
261 eqid 2404 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )
2621, 6, 16, 25, 165, 261, 221itg2i1fseq3 19602 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  F
) )
26318mptex 5925 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  n )
) )  e.  _V
264263a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  e.  _V )
265 eqid 2404 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )
2662, 7, 17, 73, 174, 265, 222itg2i1fseq3 19602 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  G
) )
267 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( P `  k )  =  ( P `  m ) )
268267fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
269 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  _V
270268, 261, 269fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
271270adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
272228recnd 9070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  CC )
273271, 272eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
274 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  m ) )
275274fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( Q `  k ) )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
276 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  _V
277275, 265, 276fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
278277adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
279230recnd 9070 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  CC )
280278, 279eqeltrd 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
281 fveq2 5687 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  j )  =  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  m ) )
282281fveq2d 5691 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  j ) )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
) )
283 fvex 5701 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
)  e.  _V
284282, 220, 283fvmpt 5765 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) ) `
 m )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
) )
285284adantl 453 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) ) `
 m )  =  ( S.1 `  (
( P  o F  o F  +  Q
) `  m )
) )
286271, 278oveq12d 6058 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m )
)  +  ( S.1 `  ( Q `  m
) ) ) )
287226, 285, 2863eqtr4d 2446 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) ) `
 m )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  k
) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m ) ) )
288162, 260, 262, 264, 266, 273, 280, 287climadd 12380 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
289 climuni 12301 . 2  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  o F  o F  +  Q ) `  n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
290259, 288, 289syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  o F  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   _Vcvv 2916    i^i cin 3279    C_ wss 3280   {csn 3774   class class class wbr 4172    e. cmpt 4226    X. cxp 4835   dom cdm 4837    Fn wfn 5408   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040    o Fcof 6262    o Rcofr 6263   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    + caddc 8949    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    <_ cle 9077   NNcn 9956   ZZcz 10238   [,)cico 10874   [,]cicc 10875    ~~> cli 12233  MblFncmbf 19459   S.1citg1 19460   S.2citg2 19461   0 pc0p 19514
This theorem is referenced by:  itg2add  19604
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cc 8271  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-of 6264  df-ofr 6265  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-map 6979  df-pm 6980  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-fi 7374  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-xneg 10666  df-xadd 10667  df-xmul 10668  df-ioo 10876  df-ioc 10877  df-ico 10878  df-icc 10879  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-seq 11279  df-exp 11338  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-rlim 12238  df-sum 12435  df-rest 13605  df-topgen 13622  df-psmet 16649  df-xmet 16650  df-met 16651  df-bl 16652  df-mopn 16653  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cmp 17404  df-ovol 19314  df-vol 19315  df-mbf 19465  df-itg1 19466  df-itg2 19467  df-0p 19515
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