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Theorem itg2addlem 22457
Description: Lemma for itg2add 22458. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
itg2add.p1  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
itg2add.p2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.p3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
itg2add.q1  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
itg2add.q2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
itg2add.q3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
Assertion
Ref Expression
itg2addlem  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Distinct variable groups:    x, n, F    P, n, x    Q, n, x    n, G, x
Allowed substitution hints:    ph( x, n)

Proof of Theorem itg2addlem
Dummy variables  f 
g  j  k  m  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.g1 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
31, 2mbfadd 22360 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G )  e. MblFn
)
4 ge0addcl 11686 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( y  +  z )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
54adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  z  e.  ( 0 [,) +oo )
) )  ->  (
y  +  z )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6 itg2add.f2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7 itg2add.g2 . . . 4  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
8 reex 9613 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
98a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
10 inidm 3648 . . . 4  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
115, 6, 7, 9, 9, 10off 6536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F  oF  +  G ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
12 simpl 455 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  f  e.  dom  S.1 )
13 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  g  e.  dom  S.1 )
1412, 13i1fadd 22394 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 )  ->  ( f  oF  +  g )  e.  dom  S.1 )
1514adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( f  e.  dom  S.1  /\  g  e.  dom  S.1 ) )  -> 
( f  oF  +  g )  e. 
dom  S.1 )
16 itg2add.p1 . . . 4  |-  ( ph  ->  P : NN --> dom  S.1 )
17 itg2add.q1 . . . 4  |-  ( ph  ->  Q : NN --> dom  S.1 )
18 nnex 10582 . . . . 5  |-  NN  e.  _V
1918a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  NN  e.  _V )
20 inidm 3648 . . . 4  |-  ( NN 
i^i  NN )  =  NN
2115, 16, 17, 19, 19, 20off 6536 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  oF  oF  +  Q
) : NN --> dom  S.1 )
22 ge0addcl 11686 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,) +oo ) )  ->  ( f  +  g )  e.  ( 0 [,) +oo )
)
2322adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  (
f  e.  ( 0 [,) +oo )  /\  g  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )  ->  ( f  +  g )  e.  ( 0 [,) +oo ) )
2416ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  e. 
dom  S.1 )
25 itg2add.p2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
26 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  n )  =  ( P `  m ) )
2726breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( P `  n )  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
28 oveq1 6285 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
n  +  1 )  =  ( m  + 
1 ) )
2928fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( P `  ( n  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
3026, 29breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
)  oR  <_ 
( P `  (
n  +  1 ) )  <->  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3127, 30anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
3231rspccva 3159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( P `  n )  /\  ( P `  n )  oR  <_  ( P `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  /\  ( P `  m
)  oR  <_ 
( P `  (
m  +  1 ) ) ) )
3325, 32sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( P `  m
)  /\  ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1
) ) ) )
3433simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( P `  m )
)
35 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
0p  oR  <_  f  <->  0p  oR  <_  ( P `
 m ) ) )
36 feq1 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
3735, 36imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( P `  m )  ->  (
( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
38 i1ff 22375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f : RR --> RR )
39 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f : RR --> RR  ->  f  Fn  RR )
4038, 39syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  f  Fn  RR )
4140adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  -> 
f  Fn  RR )
42 0cn 9618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  e.  CC
43 fnconstg 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4442, 43ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
45 df-0p 22369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
4645fneq1i 5656 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
4744, 46mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  0p  Fn  CC
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  0p  Fn  CC )
49 cnex 9603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  CC  e.  _V
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
518a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
52 ax-resscn 9579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  RR  C_  CC
53 sseqin2 3658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
5452, 53mpbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
55 0pval 22370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  CC  ->  (
0p `  x
)  =  0 )
5655adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  CC )  ->  ( 0p `  x )  =  0 )
57 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  =  ( f `  x ) )
5848, 40, 50, 51, 54, 56, 57ofrfval 6529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  f  <->  A. x  e.  RR  0  <_  (
f `  x )
) )
5958biimpa 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )
6038ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( f `  x )  e.  RR )
61 elrege0 11681 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )  <->  ( ( f `
 x )  e.  RR  /\  0  <_ 
( f `  x
) ) )
6261simplbi2 623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f `  x )  e.  RR  ->  (
0  <_  ( f `  x )  ->  (
f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo ) ) )
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_ 
( f `  x
)  ->  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6463ralimdva 2812 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6564imp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\ 
A. x  e.  RR  0  <_  ( f `  x ) )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
6659, 65syldan 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  ->  A. x  e.  RR  ( f `  x
)  e.  ( 0 [,) +oo ) )
67 ffnfv 6036 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( f  Fn  RR  /\  A. x  e.  RR  ( f `  x )  e.  ( 0 [,) +oo )
) )
6841, 66, 67sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  f )  -> 
f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
6968ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
7037, 69vtoclga 3123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( P `  m )  ->  ( P `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
7124, 34, 70sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
7217ffvelrnda 6009 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  e. 
dom  S.1 )
73 itg2add.q2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) ) )
74 fveq2 5849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  n )  =  ( Q `  m ) )
7574breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
0p  oR  <_  ( Q `  n )  <->  0p  oR  <_  ( Q `
 m ) ) )
7628fveq2d 5853 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( Q `  ( n  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
7774, 76breq12d 4408 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
)  oR  <_ 
( Q `  (
n  +  1 ) )  <->  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
7875, 77anbi12d 709 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  (
( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) ) )
7978rspccva 3159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( Q `  n )  /\  ( Q `  n )  oR  <_  ( Q `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  /\  ( Q `  m
)  oR  <_ 
( Q `  (
m  +  1 ) ) ) )
8073, 79sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( Q `  m
)  /\  ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
8180simpld 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  ( Q `  m )
)
82 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
0p  oR  <_  f  <->  0p  oR  <_  ( Q `
 m ) ) )
83 feq1 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
f : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8482, 83imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f  =  ( Q `  m )  ->  (
( 0p  oR  <_  f  ->  f : RR --> ( 0 [,) +oo ) )  <-> 
( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) ) )
8584, 69vtoclga 3123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  ( Q `  m )  ->  ( Q `  m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) ) )
8672, 81, 85sylc 59 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
878a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  RR  e.  _V )
8823, 71, 86, 87, 87, 10off 6536 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
89 0plef 22371 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> ( 0 [,) +oo )  <->  ( (
( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
9088, 89sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  /\  0p  oR 
<_  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
9190simprd 461 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  (
( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) )
92 ffn 5714 . . . . . . . 8  |-  ( P : NN --> dom  S.1  ->  P  Fn  NN )
9316, 92syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  Fn  NN )
94 ffn 5714 . . . . . . . 8  |-  ( Q : NN --> dom  S.1  ->  Q  Fn  NN )
9517, 94syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  Fn  NN )
96 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  =  ( P `  m
) )
97 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  =  ( Q `  m
) )
9893, 95, 19, 19, 20, 96, 97ofval 6530 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m )  =  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) )
9991, 98breqtrrd 4421 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  0p  oR  <_  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)
100 i1ff 22375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  m ) : RR --> RR )
10124, 100syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m ) : RR --> RR )
102101ffvelrnda 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
103 i1ff 22375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  m ) : RR --> RR )
10472, 103syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m ) : RR --> RR )
105104ffvelrnda 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
106 peano2nn 10588 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  +  1 )  e.  NN )
107 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
10816, 106, 107syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
109 i1ff 22375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
110108, 109syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
111110ffvelrnda 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
112 ffvelrn 6007 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Q : NN --> dom  S.1  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1
) )  e.  dom  S.1 )
11317, 106, 112syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  e. 
dom  S.1 )
114 i1ff 22375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) )  e.  dom  S.1  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR )
115113, 114syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) : RR --> RR )
116115ffvelrnda 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  e.  RR )
11733simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) ) )
118 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  m ) : RR --> RR  ->  ( P `  m )  Fn  RR )
119101, 118syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  Fn  RR )
120 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
121110, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
122 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
123 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
124119, 121, 87, 87, 10, 122, 123ofrfval 6529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oR  <_  ( P `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( P `  m ) `  y
)  <_  ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
125117, 124mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( P `
 m ) `  y )  <_  (
( P `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
126125r19.21bi 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( P `  m
) `  y )  <_  ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
12780simprd 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )
128 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  m ) : RR --> RR  ->  ( Q `  m )  Fn  RR )
129104, 128syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  Fn  RR )
130 ffn 5714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) : RR --> RR  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  Fn  RR )
131115, 130syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 ( m  + 
1 ) )  Fn  RR )
132 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
133 eqidd 2403 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y )  =  ( ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) `  y ) )
134129, 131, 87, 87, 10, 132, 133ofrfval 6529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( Q `  m )  oR  <_  ( Q `  ( m  +  1 ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( Q `  m ) `  y
)  <_  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
135127, 134mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( Q `
 m ) `  y )  <_  (
( Q `  (
m  +  1 ) ) `  y ) )
136135r19.21bi 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  <_  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) )
137102, 105, 111, 116, 126, 136le2addd 10210 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) )  <_  ( ( ( P `  ( m  +  1 ) ) `
 y )  +  ( ( Q `  ( m  +  1
) ) `  y
) ) )
138137ralrimiva 2818 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
13924, 72i1fadd 22394 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1 )
140 i1ff 22375 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR )
141 ffn 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
142139, 140, 1413syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  Fn  RR )
143108, 113i1fadd 22394 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1 )
144 i1ff 22375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  e.  dom  S.1  ->  ( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) : RR --> RR )
145143, 144syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR )
146 ffn 5714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) ) : RR --> RR  ->  ( ( P `  (
m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
147145, 146syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  ( m  +  1 ) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1 ) ) )  Fn  RR )
148119, 129, 87, 87, 10, 122, 132ofval 6530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
149121, 131, 87, 87, 10, 123, 133ofval 6530 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) `  y )  =  ( ( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) )
150142, 147, 87, 87, 10, 148, 149ofrfval 6529 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P `  m
)  oF  +  ( Q `  m ) )  oR  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) )  <->  A. y  e.  RR  ( ( ( P `  m ) `
 y )  +  ( ( Q `  m ) `  y
) )  <_  (
( ( P `  ( m  +  1
) ) `  y
)  +  ( ( Q `  ( m  +  1 ) ) `
 y ) ) ) )
151138, 150mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) )  oR  <_ 
( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
152 eqidd 2403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( P `  ( m  +  1 ) )  =  ( P `  ( m  +  1
) ) )
153 eqidd 2403 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  ( Q `  ( m  +  1 ) )  =  ( Q `  ( m  +  1
) ) )
15493, 95, 19, 19, 20, 152, 153ofval 6530 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  +  1 )  e.  NN )  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  ( m  +  1 ) )  =  ( ( P `
 ( m  + 
1 ) )  oF  +  ( Q `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
155106, 154sylan2 472 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) )  =  ( ( P `  ( m  +  1
) )  oF  +  ( Q `  ( m  +  1
) ) ) )
156151, 98, 1553brtr4d 4425 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  ( m  +  1
) ) )
15799, 156jca 530 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 0p  oR  <_ 
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  /\  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
158157ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m )  /\  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  oR  <_  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 ( m  + 
1 ) ) ) )
159 fveq2 5849 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  m  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )
160159fveq1d 5851 . . . . . . 7  |-  ( n  =  m  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y )  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
161160cbvmptv 4487 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) `  y
) )
162 nnuz 11162 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
163 1zzd 10936 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  1  e.  ZZ )
164 itg2add.p3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x ) )
165 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( P `  n
) `  x )  =  ( ( P `
 n ) `  y ) )
166165mpteq2dv 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( P `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) ) )
167 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  x )  =  ( F `  y ) )
168166, 167breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( F `
 y ) ) )
169168rspccva 3159 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  x
) )  ~~>  ( F `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) )  ~~>  ( F `
 y ) )
170164, 169sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( F `  y
) )
17118mptex 6124 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V
172171a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  e. 
_V )
173 itg2add.q3 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x ) )
174 fveq2 5849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  y  ->  (
( Q `  n
) `  x )  =  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
175174mpteq2dv 4482 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  (
n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  x )
)  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) ) )
176 fveq2 5849 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  y  ->  ( G `  x )  =  ( G `  y ) )
177175, 176breq12d 4408 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  <->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )  ~~>  ( G `
 y ) ) )
178177rspccva 3159 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  x
) )  ~~>  ( G `
 x )  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) )  ~~>  ( G `
 y ) )
179173, 178sylan 469 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  ~~>  ( G `  y
) )
18026fveq1d 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( P `  n
) `  y )  =  ( ( P `
 m ) `  y ) )
181 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) )
182 fvex 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P `  m ) `
 y )  e. 
_V
183180, 181, 182fvmpt 5932 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
184183adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( P `  m ) `
 y ) )
185102an32s 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( P `  m
) `  y )  e.  RR )
186184, 185eqeltrd 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
187186recnd 9652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
18874fveq1d 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  m  ->  (
( Q `  n
) `  y )  =  ( ( Q `
 m ) `  y ) )
189 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `
 y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `
 n ) `  y ) )
190 fvex 5859 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Q `  m ) `
 y )  e. 
_V
191188, 189, 190fvmpt 5932 . . . . . . . . . 10  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
192191adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( Q `  m ) `
 y ) )
193105an32s 805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( Q `  m
) `  y )  e.  RR )
194192, 193eqeltrd 2490 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  RR )
195194recnd 9652 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
)  e.  CC )
19698fveq1d 5851 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
197196adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) `  y ) )
198197, 148eqtrd 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  m  e.  NN )  /\  y  e.  RR )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
199198an32s 805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
200 eqid 2402 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) )
201 fvex 5859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y )  e.  _V
202160, 200, 201fvmpt 5932 . . . . . . . . 9  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
203202adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )
204184, 192oveq12d 6296 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `
 n ) `  y ) ) `  m )  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n ) `  y
) ) `  m
) )  =  ( ( ( P `  m ) `  y
)  +  ( ( Q `  m ) `
 y ) ) )
205199, 203, 2043eqtr4d 2453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  y  e.  RR )  /\  m  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) `  y
) ) `  m
)  =  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( P `  n ) `  y
) ) `  m
)  +  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( Q `  n
) `  y )
) `  m )
) )
206162, 163, 170, 172, 179, 187, 195, 205climadd 13603 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
207161, 206syl5eqbrr 4429 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
208 ffn 5714 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  F  Fn  RR )
2096, 208syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
210 ffn 5714 . . . . . . 7  |-  ( G : RR --> ( 0 [,) +oo )  ->  G  Fn  RR )
2117, 210syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
212 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `
 y )  =  ( F `  y
) )
213 eqidd 2403 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( G `
 y )  =  ( G `  y
) )
214209, 211, 9, 9, 10, 212, 213ofval 6530 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( F  oF  +  G ) `  y
)  =  ( ( F `  y )  +  ( G `  y ) ) )
215207, 214breqtrrd 4421 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  y  e.  RR )  ->  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m ) `  y ) )  ~~>  ( ( F  oF  +  G ) `  y
) )
216215ralrimiva 2818 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  RR  ( m  e.  NN  |->  ( ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) `  y
) )  ~~>  ( ( F  oF  +  G ) `  y
) )
217 fveq2 5849 . . . . 5  |-  ( n  =  j  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  n )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  j ) )
218217fveq2d 5853 . . . 4  |-  ( n  =  j  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  n ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  j )
) )
219218cbvmptv 4487 . . 3  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n )
) )  =  ( j  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 j ) ) )
220 itg2add.f3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
221 itg2add.g3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
222220, 221readdcld 9653 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) )  e.  RR )
22398fveq2d 5853 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  =  ( S.1 `  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) ) )
22424, 72itg1add 22400 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P `  m )  oF  +  ( Q `  m ) ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m
) )  +  ( S.1 `  ( Q `
 m ) ) ) )
225223, 224eqtrd 2443 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  =  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) ) )
226 itg1cl 22384 . . . . . . . 8  |-  ( ( P `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( P `
 m ) )  e.  RR )
22724, 226syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  RR )
228 itg1cl 22384 . . . . . . . 8  |-  ( ( Q `  m )  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  ( Q `
 m ) )  e.  RR )
22972, 228syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  RR )
230220adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
231221adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
2326adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
233 icossicc 11665 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo )
234 fss 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
235232, 233, 234sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  F : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
2361, 6, 16, 25, 164itg2i1fseqle 22453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( P `
 m )  oR  <_  F )
237 itg2ub 22432 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( P `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( P `  m )  oR  <_  F
)  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
238235, 24, 236, 237syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  <_  ( S.2 `  F ) )
2397adantr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,) +oo ) )
240 fss 5722 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,) +oo )  /\  ( 0 [,) +oo )  C_  ( 0 [,] +oo ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,] +oo ) )
241239, 233, 240sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  G : RR
--> ( 0 [,] +oo ) )
2422, 7, 17, 73, 173itg2i1fseqle 22453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( Q `
 m )  oR  <_  G )
243 itg2ub 22432 . . . . . . . 8  |-  ( ( G : RR --> ( 0 [,] +oo )  /\  ( Q `  m )  e.  dom  S.1  /\  ( Q `  m )  oR  <_  G
)  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
244241, 72, 242, 243syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  <_  ( S.2 `  G ) )
245227, 229, 230, 231, 238, 244le2addd 10210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( S.1 `  ( P `
 m ) )  +  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )  <_  (
( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
246225, 245eqbrtrd 4415 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
247246ralrimiva 2818 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
248 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( m  =  k  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  k ) )
249248fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( m  =  k  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
) )
250249breq1d 4405 . . . . 5  |-  ( m  =  k  ->  (
( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  <->  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) ) )
251250rspccva 3159 . . . 4  |-  ( ( A. m  e.  NN  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 m ) )  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) )  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  k ) )  <_ 
( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
252247, 251sylan 469 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  k )
)  <_  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2533, 11, 21, 158, 216, 219, 222, 252itg2i1fseq2 22455 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) ) )
254 1zzd 10936 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
255 eqid 2402 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )
2561, 6, 16, 25, 164, 255, 220itg2i1fseq3 22456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  F
) )
25718mptex 6124 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  n )
) )  e.  _V
258257a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  e.  _V )
259 eqid 2402 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )
2602, 7, 17, 73, 173, 259, 221itg2i1fseq3 22456 . . 3  |-  ( ph  ->  ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) )  ~~>  ( S.2 `  G
) )
261 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( P `  k )  =  ( P `  m ) )
262261fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( P `  k ) )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
263 fvex 5859 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  _V
264262, 255, 263fvmpt 5932 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
265264adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( P `  m )
) )
266227recnd 9652 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( P `  m
) )  e.  CC )
267265, 266eqeltrd 2490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
268 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( k  =  m  ->  ( Q `  k )  =  ( Q `  m ) )
269268fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( k  =  m  ->  ( S.1 `  ( Q `  k ) )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
270 fvex 5859 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  _V
271269, 259, 270fvmpt 5932 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
272271adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  ( Q `  m )
) )
273229recnd 9652 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( S.1 `  ( Q `  m
) )  e.  CC )
274272, 273eqeltrd 2490 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `
 k ) ) ) `  m )  e.  CC )
275 fveq2 5849 . . . . . . 7  |-  ( j  =  m  ->  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  j )  =  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  m ) )
276275fveq2d 5853 . . . . . 6  |-  ( j  =  m  ->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `  j ) )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
277 fvex 5859 . . . . . 6  |-  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
)  e.  _V
278276, 219, 277fvmpt 5932 . . . . 5  |-  ( m  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
279278adantl 464 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( S.1 `  (
( P  oF  oF  +  Q
) `  m )
) )
280265, 272oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) )  =  ( ( S.1 `  ( P `  m )
)  +  ( S.1 `  ( Q `  m
) ) ) )
281225, 279, 2803eqtr4d 2453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) ) `  m )  =  ( ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( P `
 k ) ) ) `  m )  +  ( ( k  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( Q `  k
) ) ) `  m ) ) )
282162, 254, 256, 258, 260, 267, 274, 281climadd 13603 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )
283 climuni 13524 . 2  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  /\  (
n  e.  NN  |->  ( S.1 `  ( ( P  oF  oF  +  Q ) `
 n ) ) )  ~~>  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G )
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
284253, 282, 283syl2anc 659 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    i^i cin 3413    C_ wss 3414   {csn 3972   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   dom cdm 4823    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oFcof 6519    oRcofr 6520   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   1c1 9523    + caddc 9525   +oocpnf 9655    <_ cle 9659   NNcn 10576   [,)cico 11584   [,]cicc 11585    ~~> cli 13456  MblFncmbf 22315   S.1citg1 22316   S.2citg2 22317   0pc0p 22368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cc 8847  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-rest 15037  df-topgen 15058  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-cmp 20180  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-0p 22369
This theorem is referenced by:  itg2add  22458
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