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Theorem itg2add 22456
Description: The  S.2 integral is linear. (Measurability is an essential component of this theorem; otherwise consider the characteristic function of a nonmeasurable set and its complement.) (Contributed by Mario Carneiro, 17-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2add.f1  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
itg2add.f2  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.f3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
itg2add.g1  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
itg2add.g2  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
itg2add.g3  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg2add  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )

Proof of Theorem itg2add
Dummy variables  f 
g  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2add.f1 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e. MblFn )
2 itg2add.f2 . . 3  |-  ( ph  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
31, 2mbfi1fseq 22418 . 2  |-  ( ph  ->  E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) ) )
4 itg2add.g1 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e. MblFn )
5 itg2add.g2 . . 3  |-  ( ph  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
64, 5mbfi1fseq 22418 . 2  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )
7 eeanv 2016 . . 3  |-  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  oR  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( g `  n
) `  x )
)  ~~>  ( G `  x ) ) )  <-> 
( E. f ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )
81adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  F  e. MblFn )
92adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  F : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
10 itg2add.f3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  F
)  e.  RR )
1110adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  F )  e.  RR )
124adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  G  e. MblFn )
135adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  G : RR --> ( 0 [,) +oo ) )
14 itg2add.g3 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  G
)  e.  RR )
1514adantr 463 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  G )  e.  RR )
16 simprl1 1042 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  f : NN --> dom  S.1 )
17 simprl2 1043 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) ) )
18 simprl3 1044 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )
19 simprr1 1045 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  g : NN --> dom  S.1 )
20 simprr2 1046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
g `  n )  /\  ( g `  n
)  oR  <_ 
( g `  (
n  +  1 ) ) ) )
21 simprr3 1047 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) )
228, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21itg2addlem 22455 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( (
f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G )
)  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G
) ) )
2322ex 432 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
2423exlimdvv 1746 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. f E. g ( ( f : NN --> dom  S.1  /\ 
A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  ( f `  n )  /\  (
f `  n )  oR  <_  ( f `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( f `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( F `
 x ) )  /\  ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
257, 24syl5bir 218 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. f
( f : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  ( 0p  oR  <_  (
f `  n )  /\  ( f `  n
)  oR  <_ 
( f `  (
n  +  1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  (
n  e.  NN  |->  ( ( f `  n
) `  x )
)  ~~>  ( F `  x ) )  /\  E. g ( g : NN --> dom  S.1  /\  A. n  e.  NN  (
0p  oR  <_  ( g `  n )  /\  (
g `  n )  oR  <_  ( g `
 ( n  + 
1 ) ) )  /\  A. x  e.  RR  ( n  e.  NN  |->  ( ( g `
 n ) `  x ) )  ~~>  ( G `
 x ) ) )  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G ) )  =  ( ( S.2 `  F )  +  ( S.2 `  G ) ) ) )
263, 6, 25mp2and 677 1  |-  ( ph  ->  ( S.2 `  ( F  oF  +  G
) )  =  ( ( S.2 `  F
)  +  ( S.2 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405   E.wex 1633    e. wcel 1842   A.wral 2753   class class class wbr 4394    |-> cmpt 4452   dom cdm 4822   -->wf 5564   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oFcof 6518    oRcofr 6519   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524   +oocpnf 9654    <_ cle 9658   NNcn 10575   [,)cico 11583    ~~> cli 13454  MblFncmbf 22313   S.1citg1 22314   S.2citg2 22315   0pc0p 22366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-inf2 8090  ax-cc 8846  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599  ax-addf 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-isom 5577  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-ofr 6521  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-omul 7171  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fi 7904  df-sup 7934  df-oi 7968  df-card 8351  df-acn 8354  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-q 11227  df-rp 11265  df-xneg 11370  df-xadd 11371  df-xmul 11372  df-ioo 11585  df-ioc 11586  df-ico 11587  df-icc 11588  df-fz 11725  df-fzo 11853  df-fl 11964  df-seq 12150  df-exp 12209  df-hash 12451  df-cj 13079  df-re 13080  df-im 13081  df-sqrt 13215  df-abs 13216  df-clim 13458  df-rlim 13459  df-sum 13656  df-rest 15035  df-topgen 15056  df-psmet 18729  df-xmet 18730  df-met 18731  df-bl 18732  df-mopn 18733  df-top 19689  df-bases 19691  df-topon 19692  df-cmp 20178  df-ovol 22166  df-vol 22167  df-mbf 22318  df-itg1 22319  df-itg2 22320  df-0p 22367
This theorem is referenced by:  ibladdlem  22516  itgaddlem1  22519  iblabslem  22524  iblabs  22525
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