MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1sub Structured version   Unicode version

Theorem itg1sub 21162
Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1sub  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) )  =  ( ( S.1 `  F
)  -  ( S.1 `  G ) ) )

Proof of Theorem itg1sub
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  e.  dom  S.1 )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  G  e.  dom  S.1 )
3 neg1rr 10418 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  -u 1  e.  RR )
52, 4i1fmulc 21156 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G )  e. 
dom  S.1 )
61, 5itg1add 21154 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  ( S.1 `  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G
) ) ) )
72, 4itg1mulc 21157 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( -u
1  x.  ( S.1 `  G ) ) )
8 itg1cl 21138 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
98recnd 9404 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  CC )
102, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  G
)  e.  CC )
1110mulm1d 9788 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( -u 1  x.  ( S.1 `  G
) )  =  -u ( S.1 `  G ) )
127, 11eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  -u ( S.1 `  G ) )
1312oveq2d 6102 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( S.1 `  F )  +  ( S.1 `  ( ( RR  X.  { -u
1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) ) )
146, 13eqtrd 2470 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) ) )
15 i1ff 21129 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
16 ax-resscn 9331 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
17 fss 5562 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : RR --> CC )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> CC )
19 i1ff 21129 . . . . 5  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
20 fss 5562 . . . . 5  |-  ( ( G : RR --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : RR --> CC )
2119, 16, 20sylancl 662 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> CC )
22 reex 9365 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
23 ofnegsub 10312 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  F : RR --> CC  /\  G : RR --> CC )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2422, 23mp3an1 1301 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> CC  /\  G : RR --> CC )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2518, 21, 24syl2an 477 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2625fveq2d 5690 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) ) )
27 itg1cl 21138 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
2827recnd 9404 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  CC )
29 negsub 9649 . . 3  |-  ( ( ( S.1 `  F
)  e.  CC  /\  ( S.1 `  G )  e.  CC )  -> 
( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) )  =  ( ( S.1 `  F )  -  ( S.1 `  G ) ) )
3028, 9, 29syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( S.1 `  F )  +  -u ( S.1 `  G ) )  =  ( ( S.1 `  F )  -  ( S.1 `  G
) ) )
3114, 26, 303eqtr3d 2478 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) )  =  ( ( S.1 `  F
)  -  ( S.1 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   {csn 3872    X. cxp 4833   dom cdm 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    oFcof 6313   CCcc 9272   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    - cmin 9587   -ucneg 9588   S.1citg1 21070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-disj 4258  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xadd 11082  df-ioo 11296  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-seq 11799  df-exp 11858  df-hash 12096  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-clim 12958  df-sum 13156  df-xmet 17785  df-met 17786  df-ovol 20923  df-vol 20924  df-mbf 21074  df-itg1 21075
This theorem is referenced by:  itg1lea  21165  itgitg1  21261  itg2addnclem  28396
  Copyright terms: Public domain W3C validator