MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1sub Structured version   Unicode version

Theorem itg1sub 22410
Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1sub  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) )  =  ( ( S.1 `  F
)  -  ( S.1 `  G ) ) )

Proof of Theorem itg1sub
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  e.  dom  S.1 )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  G  e.  dom  S.1 )
3 neg1rr 10683 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  -u 1  e.  RR )
52, 4i1fmulc 22404 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G )  e. 
dom  S.1 )
61, 5itg1add 22402 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  ( S.1 `  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G
) ) ) )
72, 4itg1mulc 22405 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( -u
1  x.  ( S.1 `  G ) ) )
8 itg1cl 22386 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
98recnd 9654 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  CC )
102, 9syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  G
)  e.  CC )
1110mulm1d 10051 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( -u 1  x.  ( S.1 `  G
) )  =  -u ( S.1 `  G ) )
127, 11eqtrd 2445 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  -u ( S.1 `  G ) )
1312oveq2d 6296 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( S.1 `  F )  +  ( S.1 `  ( ( RR  X.  { -u
1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) ) )
146, 13eqtrd 2445 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) ) )
15 i1ff 22377 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
16 ax-resscn 9581 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
17 fss 5724 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : RR --> CC )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> CC )
19 i1ff 22377 . . . . 5  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
20 fss 5724 . . . . 5  |-  ( ( G : RR --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : RR --> CC )
2119, 16, 20sylancl 662 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> CC )
22 reex 9615 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
23 ofnegsub 10576 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  F : RR --> CC  /\  G : RR --> CC )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2422, 23mp3an1 1315 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> CC  /\  G : RR --> CC )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2518, 21, 24syl2an 477 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2625fveq2d 5855 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) ) )
27 itg1cl 22386 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
2827recnd 9654 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  CC )
29 negsub 9905 . . 3  |-  ( ( ( S.1 `  F
)  e.  CC  /\  ( S.1 `  G )  e.  CC )  -> 
( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) )  =  ( ( S.1 `  F )  -  ( S.1 `  G ) ) )
3028, 9, 29syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( S.1 `  F )  +  -u ( S.1 `  G ) )  =  ( ( S.1 `  F )  -  ( S.1 `  G
) ) )
3114, 26, 303eqtr3d 2453 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) )  =  ( ( S.1 `  F
)  -  ( S.1 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1407    e. wcel 1844   _Vcvv 3061    C_ wss 3416   {csn 3974    X. cxp 4823   dom cdm 4825   -->wf 5567   ` cfv 5571  (class class class)co 6280    oFcof 6521   CCcc 9522   RRcr 9523   1c1 9525    + caddc 9527    x. cmul 9529    - cmin 9843   -ucneg 9844   S.1citg1 22318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-inf2 8093  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601  ax-pre-sup 9602  ax-addf 9603
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-fal 1413  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-disj 4369  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-se 4785  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-isom 5580  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-of 6523  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-2o 7170  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-pm 7462  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-oi 7971  df-card 8354  df-cda 8582  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-div 10250  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-q 11230  df-rp 11268  df-xadd 11374  df-ioo 11588  df-ico 11590  df-icc 11591  df-fz 11729  df-fzo 11857  df-fl 11968  df-seq 12154  df-exp 12213  df-hash 12455  df-cj 13083  df-re 13084  df-im 13085  df-sqrt 13219  df-abs 13220  df-clim 13462  df-sum 13660  df-xmet 18734  df-met 18735  df-ovol 22170  df-vol 22171  df-mbf 22322  df-itg1 22323
This theorem is referenced by:  itg1lea  22413  itgitg1  22509  itg2addnclem  31452
  Copyright terms: Public domain W3C validator