MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1sub Structured version   Unicode version

Theorem itg1sub 21313
Description: The integral of a difference of two simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1sub  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) )  =  ( ( S.1 `  F
)  -  ( S.1 `  G ) ) )

Proof of Theorem itg1sub
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  e.  dom  S.1 )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  G  e.  dom  S.1 )
3 neg1rr 10530 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  RR
43a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  -u 1  e.  RR )
52, 4i1fmulc 21307 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( RR 
X.  { -u 1 } )  oF  x.  G )  e. 
dom  S.1 )
61, 5itg1add 21305 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  ( S.1 `  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G
) ) ) )
72, 4itg1mulc 21308 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( -u
1  x.  ( S.1 `  G ) ) )
8 itg1cl 21289 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
98recnd 9516 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  CC )
102, 9syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  G
)  e.  CC )
1110mulm1d 9900 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( -u 1  x.  ( S.1 `  G
) )  =  -u ( S.1 `  G ) )
127, 11eqtrd 2492 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  (
( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  -u ( S.1 `  G ) )
1312oveq2d 6209 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( S.1 `  F )  +  ( S.1 `  ( ( RR  X.  { -u
1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) ) )
146, 13eqtrd 2492 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) ) )
15 i1ff 21280 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
16 ax-resscn 9443 . . . . 5  |-  RR  C_  CC
17 fss 5668 . . . . 5  |-  ( ( F : RR --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  F : RR --> CC )
1815, 16, 17sylancl 662 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> CC )
19 i1ff 21280 . . . . 5  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
20 fss 5668 . . . . 5  |-  ( ( G : RR --> RR  /\  RR  C_  CC )  ->  G : RR --> CC )
2119, 16, 20sylancl 662 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> CC )
22 reex 9477 . . . . 5  |-  RR  e.  _V
23 ofnegsub 10424 . . . . 5  |-  ( ( RR  e.  _V  /\  F : RR --> CC  /\  G : RR --> CC )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2422, 23mp3an1 1302 . . . 4  |-  ( ( F : RR --> CC  /\  G : RR --> CC )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2518, 21, 24syl2an 477 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) )  =  ( F  oF  -  G )
)
2625fveq2d 5796 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  +  ( ( RR  X.  { -u 1 } )  oF  x.  G ) ) )  =  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) ) )
27 itg1cl 21289 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
2827recnd 9516 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  CC )
29 negsub 9761 . . 3  |-  ( ( ( S.1 `  F
)  e.  CC  /\  ( S.1 `  G )  e.  CC )  -> 
( ( S.1 `  F
)  +  -u ( S.1 `  G ) )  =  ( ( S.1 `  F )  -  ( S.1 `  G ) ) )
3028, 9, 29syl2an 477 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( ( S.1 `  F )  +  -u ( S.1 `  G ) )  =  ( ( S.1 `  F )  -  ( S.1 `  G
) ) )
3114, 26, 303eqtr3d 2500 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( F  oF  -  G
) )  =  ( ( S.1 `  F
)  -  ( S.1 `  G ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071    C_ wss 3429   {csn 3978    X. cxp 4939   dom cdm 4941   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    oFcof 6421   CCcc 9384   RRcr 9385   1c1 9387    + caddc 9389    x. cmul 9391    - cmin 9699   -ucneg 9700   S.1citg1 21221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464  ax-addf 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-disj 4364  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xadd 11194  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-xmet 17928  df-met 17929  df-ovol 21073  df-vol 21074  df-mbf 21225  df-itg1 21226
This theorem is referenced by:  itg1lea  21316  itgitg1  21412  itg2addnclem  28584
  Copyright terms: Public domain W3C validator