MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1lea Structured version   Unicode version

Theorem itg1lea 22547
Description: Approximate version of itg1le 22548. If  F  <_  G for almost all  x, then  S.1 F  <_  S.1 G. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
itg10a.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg10a.3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itg1lea.4  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
itg1lea.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg1lea  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  <_  ( S.1 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg1lea
StepHypRef Expression
1 itg1lea.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
2 itg10a.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
3 i1fsub 22543 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  F  e.  dom  S.1 )  ->  ( G  oF  -  F )  e.  dom  S.1 )
41, 2, 3syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  oF  -  F )  e. 
dom  S.1 )
5 itg10a.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 itg10a.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
7 itg1lea.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
8 eldifi 3593 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
9 i1ff 22511 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
101, 9syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
1110ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
12 i1ff 22511 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
132, 12syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1413ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
1511, 14subge0d 10202 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 x )  -  ( F `  x ) )  <->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
) )
168, 15sylan2 476 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 x )  -  ( F `  x ) )  <->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
) )
177, 16mpbird 235 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  0  <_  ( ( G `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )
18 ffn 5746 . . . . . . . 8  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
1910, 18syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
20 ffn 5746 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
2113, 20syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
22 reex 9629 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
24 inidm 3677 . . . . . . 7  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
25 eqidd 2430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `
 x )  =  ( G `  x
) )
26 eqidd 2430 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  =  ( F `  x
) )
2719, 21, 23, 23, 24, 25, 26ofval 6554 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G  oF  -  F ) `  x
)  =  ( ( G `  x )  -  ( F `  x ) ) )
288, 27sylan2 476 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( ( G  oF  -  F
) `  x )  =  ( ( G `
 x )  -  ( F `  x ) ) )
2917, 28breqtrrd 4452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  0  <_  ( ( G  oF  -  F ) `  x ) )
304, 5, 6, 29itg1ge0a 22546 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( S.1 `  ( G  oF  -  F ) ) )
31 itg1sub 22544 . . . 4  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  F  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( G  oF  -  F
) )  =  ( ( S.1 `  G
)  -  ( S.1 `  F ) ) )
321, 2, 31syl2anc 665 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  ( G  oF  -  F
) )  =  ( ( S.1 `  G
)  -  ( S.1 `  F ) ) )
3330, 32breqtrd 4450 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( S.1 `  G )  -  ( S.1 `  F ) ) )
34 itg1cl 22520 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
351, 34syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR )
36 itg1cl 22520 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
372, 36syl 17 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  e.  RR )
3835, 37subge0d 10202 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( S.1 `  G )  -  ( S.1 `  F
) )  <->  ( S.1 `  F )  <_  ( S.1 `  G ) ) )
3933, 38mpbid 213 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  <_  ( S.1 `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    C_ wss 3442   class class class wbr 4426   dom cdm 4854    Fn wfn 5596   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    oFcof 6543   RRcr 9537   0cc0 9538    <_ cle 9675    - cmin 9859   vol*covol 22294   S.1citg1 22450
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616  ax-addf 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-of 6545  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-pm 7483  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-oi 8025  df-card 8372  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xadd 11410  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-seq 12211  df-exp 12270  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-xmet 18898  df-met 18899  df-ovol 22296  df-vol 22297  df-mbf 22454  df-itg1 22455
This theorem is referenced by:  itg1le  22548  itg2uba  22578  itg2splitlem  22583
  Copyright terms: Public domain W3C validator