MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1lea Structured version   Unicode version

Theorem itg1lea 21847
Description: Approximate version of itg1le 21848. If  F  <_  G for almost all  x, then  S.1 F  <_  S.1 G. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg10a.1  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
itg10a.2  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
itg10a.3  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
itg1lea.4  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
itg1lea.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
Assertion
Ref Expression
itg1lea  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  <_  ( S.1 `  G ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, F    x, G    ph, x

Proof of Theorem itg1lea
StepHypRef Expression
1 itg1lea.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G  e.  dom  S.1 )
2 itg10a.1 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
3 i1fsub 21843 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  F  e.  dom  S.1 )  ->  ( G  oF  -  F )  e.  dom  S.1 )
41, 2, 3syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  oF  -  F )  e. 
dom  S.1 )
5 itg10a.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
6 itg10a.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( vol* `  A )  =  0 )
7 itg1lea.5 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
)
8 eldifi 3619 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( RR  \  A )  ->  x  e.  RR )
9 i1ff 21811 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
101, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G : RR --> RR )
1110ffvelrnda 6012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `
 x )  e.  RR )
12 i1ff 21811 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
132, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : RR --> RR )
1413ffvelrnda 6012 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  e.  RR )
1511, 14subge0d 10131 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 x )  -  ( F `  x ) )  <->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
) )
168, 15sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( 0  <_  ( ( G `
 x )  -  ( F `  x ) )  <->  ( F `  x )  <_  ( G `  x )
) )
177, 16mpbird 232 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  0  <_  ( ( G `  x
)  -  ( F `
 x ) ) )
18 ffn 5722 . . . . . . . 8  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
1910, 18syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  Fn  RR )
20 ffn 5722 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
2113, 20syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
22 reex 9572 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
2322a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  RR  e.  _V )
24 inidm 3700 . . . . . . 7  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
25 eqidd 2461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `
 x )  =  ( G `  x
) )
26 eqidd 2461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `
 x )  =  ( F `  x
) )
2719, 21, 23, 23, 24, 25, 26ofval 6524 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G  oF  -  F ) `  x
)  =  ( ( G `  x )  -  ( F `  x ) ) )
288, 27sylan2 474 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  ( ( G  oF  -  F
) `  x )  =  ( ( G `
 x )  -  ( F `  x ) ) )
2917, 28breqtrrd 4466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  ( RR  \  A ) )  ->  0  <_  ( ( G  oF  -  F ) `  x ) )
304, 5, 6, 29itg1ge0a 21846 . . 3  |-  ( ph  ->  0  <_  ( S.1 `  ( G  oF  -  F ) ) )
31 itg1sub 21844 . . . 4  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  F  e.  dom  S.1 )  ->  ( S.1 `  ( G  oF  -  F
) )  =  ( ( S.1 `  G
)  -  ( S.1 `  F ) ) )
321, 2, 31syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  ( G  oF  -  F
) )  =  ( ( S.1 `  G
)  -  ( S.1 `  F ) ) )
3330, 32breqtrd 4464 . 2  |-  ( ph  ->  0  <_  ( ( S.1 `  G )  -  ( S.1 `  F ) ) )
34 itg1cl 21820 . . . 4  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  G )  e.  RR )
351, 34syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  G
)  e.  RR )
36 itg1cl 21820 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
372, 36syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  e.  RR )
3835, 37subge0d 10131 . 2  |-  ( ph  ->  ( 0  <_  (
( S.1 `  G )  -  ( S.1 `  F
) )  <->  ( S.1 `  F )  <_  ( S.1 `  G ) ) )
3933, 38mpbid 210 1  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  <_  ( S.1 `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    C_ wss 3469   class class class wbr 4440   dom cdm 4992    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oFcof 6513   RRcr 9480   0cc0 9481    <_ cle 9618    - cmin 9794   vol*covol 21602   S.1citg1 21752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-disj 4411  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-xmet 18176  df-met 18177  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757
This theorem is referenced by:  itg1le  21848  itg2uba  21878  itg2splitlem  21883
  Copyright terms: Public domain W3C validator