MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1le Structured version   Unicode version

Theorem itg1le 21327
Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1le  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  ( S.1 `  F )  <_ 
( S.1 `  G ) )

Proof of Theorem itg1le
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 988 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  F  e.  dom  S.1 )
2 0ss 3777 . . 3  |-  (/)  C_  RR
32a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  (/)  C_  RR )
4 ovol0 21111 . . 3  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
54a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  ( vol* `  (/) )  =  0 )
6 simp2 989 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  G  e.  dom  S.1 )
7 eldifi 3589 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR  \  (/) )  ->  x  e.  RR )
8 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  e.  dom  S.1 )
9 i1ff 21290 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
10 ffn 5670 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  Fn  RR )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  G  e.  dom  S.1 )
13 i1ff 21290 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
14 ffn 5670 . . . . . . . 8  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  G  Fn  RR )
16 reex 9487 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
18 inidm 3670 . . . . . . 7  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
19 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
20 eqidd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2111, 15, 17, 17, 18, 19, 20ofrval 6443 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  F  oR  <_  G  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x
) )
22213exp 1187 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  oR  <_  G  ->  (
x  e.  RR  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ) ) )
23223impia 1185 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ) )
2423imp 429 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 
/\  F  oR  <_  G )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  <_  ( G `  x ) )
257, 24sylan2 474 . 2  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 
/\  F  oR  <_  G )  /\  x  e.  ( RR  \  (/) ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x
) )
261, 3, 5, 6, 25itg1lea 21326 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  ( S.1 `  F )  <_ 
( S.1 `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078    \ cdif 3436    C_ wss 3439   (/)c0 3748   class class class wbr 4403   dom cdm 4951    Fn wfn 5524   -->wf 5525   ` cfv 5529    oRcofr 6432   RRcr 9395   0cc0 9396    <_ cle 9533   vol*covol 21081   S.1citg1 21231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-pre-sup 9474  ax-addf 9475
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-disj 4374  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-ofr 6434  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-pm 7330  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-cda 8451  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-q 11068  df-rp 11106  df-xadd 11204  df-ioo 11418  df-ico 11420  df-icc 11421  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-fl 11762  df-seq 11927  df-exp 11986  df-hash 12224  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711  df-sqr 12845  df-abs 12846  df-clim 13087  df-sum 13285  df-xmet 17938  df-met 17939  df-ovol 21083  df-vol 21084  df-mbf 21235  df-itg1 21236
This theorem is referenced by:  itg2itg1  21350  itg2i1fseq2  21370  itg2addnclem  28611  ftc1anclem5  28639
  Copyright terms: Public domain W3C validator