MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1le Structured version   Unicode version

Theorem itg1le 22228
Description: If one simple function dominates another, then the integral of the larger is also larger. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Jun-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1le  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  ( S.1 `  F )  <_ 
( S.1 `  G ) )

Proof of Theorem itg1le
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 994 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  F  e.  dom  S.1 )
2 0ss 3758 . . 3  |-  (/)  C_  RR
32a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  (/)  C_  RR )
4 ovol0 22012 . . 3  |-  ( vol* `  (/) )  =  0
54a1i 11 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  ( vol* `  (/) )  =  0 )
6 simp2 995 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  G  e.  dom  S.1 )
7 eldifi 3557 . . 3  |-  ( x  e.  ( RR  \  (/) )  ->  x  e.  RR )
8 simpl 455 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  e.  dom  S.1 )
9 i1ff 22191 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
10 ffn 5656 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  F  Fn  RR )
12 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  G  e.  dom  S.1 )
13 i1ff 22191 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
14 ffn 5656 . . . . . . . 8  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
1512, 13, 143syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  G  Fn  RR )
16 reex 9516 . . . . . . . 8  |-  RR  e.  _V
1716a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  RR  e.  _V )
18 inidm 3638 . . . . . . 7  |-  ( RR 
i^i  RR )  =  RR
19 eqidd 2397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  =  ( F `  x ) )
20 eqidd 2397 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x )  =  ( G `  x ) )
2111, 15, 17, 17, 18, 19, 20ofrval 6471 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 )  /\  F  oR  <_  G  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x
) )
22213exp 1193 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1 )  ->  ( F  oR  <_  G  ->  (
x  e.  RR  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ) ) )
23223impia 1191 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  (
x  e.  RR  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x ) ) )
2423imp 427 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 
/\  F  oR  <_  G )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  <_  ( G `  x ) )
257, 24sylan2 472 . 2  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  G  e.  dom  S.1 
/\  F  oR  <_  G )  /\  x  e.  ( RR  \  (/) ) )  ->  ( F `  x )  <_  ( G `  x
) )
261, 3, 5, 6, 25itg1lea 22227 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  G  e.  dom  S.1  /\  F  oR  <_  G )  ->  ( S.1 `  F )  <_ 
( S.1 `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1399    e. wcel 1836   _Vcvv 3051    \ cdif 3403    C_ wss 3406   (/)c0 3728   class class class wbr 4384   dom cdm 4930    Fn wfn 5508   -->wf 5509   ` cfv 5513    oRcofr 6460   RRcr 9424   0cc0 9425    <_ cle 9562   vol*covol 21982   S.1citg1 22132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-rep 4495  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-inf2 7994  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502  ax-pre-sup 9503  ax-addf 9504
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rmo 2754  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-disj 4356  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-se 4770  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-isom 5522  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-of 6461  df-ofr 6462  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-2o 7071  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-pm 7363  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-sup 7838  df-oi 7872  df-card 8255  df-cda 8483  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-div 10146  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-q 11124  df-rp 11162  df-xadd 11262  df-ioo 11476  df-ico 11478  df-icc 11479  df-fz 11616  df-fzo 11740  df-fl 11851  df-seq 12034  df-exp 12093  df-hash 12331  df-cj 12957  df-re 12958  df-im 12959  df-sqrt 13093  df-abs 13094  df-clim 13336  df-sum 13534  df-xmet 18548  df-met 18549  df-ovol 21984  df-vol 21985  df-mbf 22136  df-itg1 22137
This theorem is referenced by:  itg2itg1  22251  itg2i1fseq2  22271  itg2addnclem  30272  ftc1anclem5  30300
  Copyright terms: Public domain W3C validator