MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Unicode version

Theorem itg1ge0 21821
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  ( S.1 `  F ) )

Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 21812 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
2 difss 3624 . . . . 5  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
3 ssfi 7730 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
6 i1ff 21811 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F : RR --> RR )
8 frn 5728 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  ran  F  C_  RR )
109ssdifssd 3635 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  C_  RR )
1110sselda 3497 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
12 i1fima2sn 21815 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1312adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1411, 13remulcld 9613 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
15 eldifi 3619 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  x  e.  ran  F )
16 0cn 9577 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
17 fnconstg 5764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
19 df-0p 21805 . . . . . . . . . . . 12  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
2019fneq1i 5666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
2118, 20mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  0p  Fn  CC
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0p  Fn  CC )
23 ffn 5722 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
246, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  Fn  RR )
25 cnex 9562 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
27 reex 9572 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
29 ax-resscn 9538 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
30 sseqin2 3710 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
3129, 30mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
32 0pval 21806 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0p `  y
)  =  0 )
3332adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0p `  y )  =  0 )
34 eqidd 2461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
3522, 24, 26, 28, 31, 33, 34ofrfval 6523 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y )
) )
3635biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) )
3724adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F  Fn  RR )
38 breq2 4444 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  ( F `  y ) ) )
3938ralrn 6015 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  RR  ->  ( A. x  e.  ran  F 0  <_  x  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y )
) )
4037, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( A. x  e. 
ran  F 0  <_  x 
<-> 
A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) ) )
4136, 40mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  A. x  e.  ran  F 0  <_  x )
4241r19.21bi 2826 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ran  F )  ->  0  <_  x )
4315, 42sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  x )
44 i1fima 21813 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " { x } )  e.  dom  vol )
4544ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F " { x } )  e.  dom  vol )
46 mblss 21670 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { x } ) 
C_  RR )
47 ovolge0 21620 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " { x } )  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  ( `' F " { x } ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  0  <_  ( vol* `  ( `' F " { x }
) ) )
49 mblvol 21669 . . . . . 6  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  ( `' F " { x } ) )  =  ( vol* `  ( `' F " { x } ) ) )
5048, 49breqtrrd 4466 . . . . 5  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  0  <_  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
5145, 50syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
5211, 13, 43, 51mulge0d 10118 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
535, 14, 52fsumge0 13558 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  sum_ x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
54 itg1val 21818 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
5554adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
5653, 55breqtrrd 4466 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  ( S.1 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    i^i cin 3468    C_ wss 3469   {csn 4020   class class class wbr 4440    X. cxp 4990   `'ccnv 4991   dom cdm 4992   ran crn 4993   "cima 4995    Fn wfn 5574   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275    oRcofr 6514   Fincfn 7506   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    x. cmul 9486    <_ cle 9618   sum_csu 13457   vol*covol 21602   volcvol 21603   S.1citg1 21752   0pc0p 21804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-ofr 6516  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xadd 11308  df-ioo 11522  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-clim 13260  df-sum 13458  df-xmet 18176  df-met 18177  df-ovol 21604  df-vol 21605  df-mbf 21756  df-itg1 21757  df-0p 21805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator