MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Unicode version

Theorem itg1ge0 22385
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  ( S.1 `  F ) )

Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 22376 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
2 difss 3570 . . . . 5  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
3 ssfi 7775 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 660 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
54adantr 463 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
6 i1ff 22375 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
76adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F : RR --> RR )
8 frn 5720 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
97, 8syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  ran  F  C_  RR )
109ssdifssd 3581 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  C_  RR )
1110sselda 3442 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
12 i1fima2sn 22379 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1312adantlr 713 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1411, 13remulcld 9654 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
15 eldifi 3565 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  x  e.  ran  F )
16 0cn 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
17 fnconstg 5756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
19 df-0p 22369 . . . . . . . . . . . 12  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
2019fneq1i 5656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
2118, 20mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  0p  Fn  CC
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0p  Fn  CC )
23 ffn 5714 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
246, 23syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  Fn  RR )
25 cnex 9603 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
27 reex 9613 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
29 ax-resscn 9579 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
30 sseqin2 3658 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
3129, 30mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
32 0pval 22370 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0p `  y
)  =  0 )
3332adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0p `  y )  =  0 )
34 eqidd 2403 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
3522, 24, 26, 28, 31, 33, 34ofrfval 6529 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y )
) )
3635biimpa 482 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) )
3724adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F  Fn  RR )
38 breq2 4399 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  ( F `  y ) ) )
3938ralrn 6012 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  RR  ->  ( A. x  e.  ran  F 0  <_  x  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y )
) )
4037, 39syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( A. x  e. 
ran  F 0  <_  x 
<-> 
A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) ) )
4136, 40mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  A. x  e.  ran  F 0  <_  x )
4241r19.21bi 2773 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ran  F )  ->  0  <_  x )
4315, 42sylan2 472 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  x )
44 i1fima 22377 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " { x } )  e.  dom  vol )
4544ad2antrr 724 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F " { x } )  e.  dom  vol )
46 mblss 22234 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { x } ) 
C_  RR )
47 ovolge0 22184 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " { x } )  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  ( `' F " { x } ) ) )
4846, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  0  <_  ( vol* `  ( `' F " { x }
) ) )
49 mblvol 22233 . . . . . 6  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  ( `' F " { x } ) )  =  ( vol* `  ( `' F " { x } ) ) )
5048, 49breqtrrd 4421 . . . . 5  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  0  <_  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
5145, 50syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
5211, 13, 43, 51mulge0d 10169 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
535, 14, 52fsumge0 13760 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  sum_ x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
54 itg1val 22382 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
5554adantr 463 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
5653, 55breqtrrd 4421 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  ( S.1 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   A.wral 2754   _Vcvv 3059    \ cdif 3411    i^i cin 3413    C_ wss 3414   {csn 3972   class class class wbr 4395    X. cxp 4821   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   ran crn 4824   "cima 4826    Fn wfn 5564   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    oRcofr 6520   Fincfn 7554   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522    x. cmul 9527    <_ cle 9659   sum_csu 13657   vol*covol 22166   volcvol 22167   S.1citg1 22316   0pc0p 22368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-0p 22369
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator