MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1ge0 Structured version   Unicode version

Theorem itg1ge0 21290
Description: Closure of the integral on positive simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1ge0  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  ( S.1 `  F ) )

Proof of Theorem itg1ge0
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1frn 21281 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
2 difss 3584 . . . . 5  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
3 ssfi 7637 . . . . 5  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
41, 2, 3sylancl 662 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
54adantr 465 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
6 i1ff 21280 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
76adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F : RR --> RR )
8 frn 5666 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
97, 8syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  ran  F  C_  RR )
109ssdifssd 3595 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( ran  F  \  {
0 } )  C_  RR )
1110sselda 3457 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
12 i1fima2sn 21284 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1312adantlr 714 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1411, 13remulcld 9518 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
15 eldifi 3579 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  x  e.  ran  F )
16 0cn 9482 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  CC
17 fnconstg 5699 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0  e.  CC  ->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( CC 
X.  { 0 } )  Fn  CC
19 df-0p 21274 . . . . . . . . . . . 12  |-  0p  =  ( CC  X.  { 0 } )
2019fneq1i 5606 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0p  Fn  CC  <->  ( CC  X.  { 0 } )  Fn  CC )
2118, 20mpbir 209 . . . . . . . . . 10  |-  0p  Fn  CC
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0p  Fn  CC )
23 ffn 5660 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
246, 23syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F  Fn  RR )
25 cnex 9467 . . . . . . . . . 10  |-  CC  e.  _V
2625a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  CC  e.  _V )
27 reex 9477 . . . . . . . . . 10  |-  RR  e.  _V
2827a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  RR  e.  _V )
29 ax-resscn 9443 . . . . . . . . . 10  |-  RR  C_  CC
30 sseqin2 3670 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR  C_  CC  <->  ( CC  i^i  RR )  =  RR )
3129, 30mpbi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( CC 
i^i  RR )  =  RR
32 0pval 21275 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  CC  ->  (
0p `  y
)  =  0 )
3332adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  CC )  ->  ( 0p `  y )  =  0 )
34 eqidd 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  y  e.  RR )  ->  ( F `  y )  =  ( F `  y ) )
3522, 24, 26, 28, 31, 33, 34ofrfval 6431 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( 0p  oR  <_  F  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y )
) )
3635biimpa 484 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) )
3724adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  F  Fn  RR )
38 breq2 4397 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( F `  y )  ->  (
0  <_  x  <->  0  <_  ( F `  y ) ) )
3938ralrn 5948 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  RR  ->  ( A. x  e.  ran  F 0  <_  x  <->  A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y )
) )
4037, 39syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( A. x  e. 
ran  F 0  <_  x 
<-> 
A. y  e.  RR  0  <_  ( F `  y ) ) )
4136, 40mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  ->  A. x  e.  ran  F 0  <_  x )
4241r19.21bi 2913 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ran  F )  ->  0  <_  x )
4315, 42sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  x )
44 i1fima 21282 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " { x } )  e.  dom  vol )
4544ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
( `' F " { x } )  e.  dom  vol )
46 mblss 21139 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { x } ) 
C_  RR )
47 ovolge0 21089 . . . . . . 7  |-  ( ( `' F " { x } )  C_  RR  ->  0  <_  ( vol* `  ( `' F " { x } ) ) )
4846, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  0  <_  ( vol* `  ( `' F " { x }
) ) )
49 mblvol 21138 . . . . . 6  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  ( `' F " { x } ) )  =  ( vol* `  ( `' F " { x } ) ) )
5048, 49breqtrrd 4419 . . . . 5  |-  ( ( `' F " { x } )  e.  dom  vol 
->  0  <_  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
5145, 50syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )
5211, 13, 43, 51mulge0d 10020 . . 3  |-  ( ( ( F  e.  dom  S.1 
/\  0p  oR  <_  F )  /\  x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  -> 
0  <_  ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
535, 14, 52fsumge0 13369 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  sum_ x  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
54 itg1val 21287 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
5554adantr 465 . 2  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
5653, 55breqtrrd 4419 1  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  0p  oR  <_  F )  -> 
0  <_  ( S.1 `  F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   _Vcvv 3071    \ cdif 3426    i^i cin 3428    C_ wss 3429   {csn 3978   class class class wbr 4393    X. cxp 4939   `'ccnv 4940   dom cdm 4941   ran crn 4942   "cima 4944    Fn wfn 5514   -->wf 5515   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    oRcofr 6422   Fincfn 7413   CCcc 9384   RRcr 9385   0cc0 9386    x. cmul 9391    <_ cle 9523   sum_csu 13274   vol*covol 21071   volcvol 21072   S.1citg1 21221   0pc0p 21273
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-of 6423  df-ofr 6424  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-xadd 11194  df-ioo 11408  df-ico 11410  df-icc 11411  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-seq 11917  df-exp 11976  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-xmet 17928  df-met 17929  df-ovol 21073  df-vol 21074  df-mbf 21225  df-itg1 21226  df-0p 21274
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator