MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1climres Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem itg1climres 22672
Description: Restricting the simple function  F to the increasing sequence  A ( n ) of measurable sets whose union is  RR yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of  F. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1climres.1  |-  ( ph  ->  A : NN --> dom  vol )
itg1climres.2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  ( A `  ( n  +  1 ) ) )
itg1climres.3  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  RR )
itg1climres.4  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
itg1climres.5  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
Assertion
Ref Expression
itg1climres  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  ( S.1 `  F
) )
Distinct variable groups:    x, n, A    n, F, x    ph, n, x
Allowed substitution hints:    G( x, n)

Proof of Theorem itg1climres
Dummy variables  j 
y  z  k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11194 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
2 1zzd 10968 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
3 itg1climres.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F  e.  dom  S.1 )
4 i1frn 22635 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
53, 4syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  F  e.  Fin )
6 difss 3560 . . . 4  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
7 ssfi 7792 . . . 4  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
85, 6, 7sylancl 668 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
9 1zzd 10968 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  1  e.  ZZ )
10 i1fima 22636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
113, 10syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
1211ad2antrr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
13 itg1climres.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A : NN --> dom  vol )
1413ffvelrnda 6022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  e. 
dom  vol )
1514adantlr 721 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  e.  dom  vol )
16 inmbl 22495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol  /\  ( A `  n )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol )
1712, 15, 16syl2anc 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol )
18 mblvol 22484 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  =  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
1917, 18syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol* `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
20 inss1 3652 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  C_  ( `' F " { k } )
2120a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } ) )
22 mblss 22485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol 
->  ( `' F " { k } ) 
C_  RR )
2312, 22syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( `' F " { k } )  C_  RR )
24 mblvol 22484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol 
->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol* `  ( `' F " { k } ) ) )
2512, 24syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol* `  ( `' F " { k } ) ) )
26 i1fima2sn 22638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
273, 26sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
2827adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
2925, 28eqeltrrd 2530 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )
30 ovolsscl 22439 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } )  /\  ( `' F " { k } )  C_  RR  /\  ( vol* `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR )  ->  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
3121, 23, 29, 30syl3anc 1268 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
3219, 31eqeltrd 2529 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  e.  RR )
33 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
3432, 33fmptd 6046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) : NN --> RR )
35 itg1climres.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `
 n )  C_  ( A `  ( n  +  1 ) ) )
3635adantlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  n )  C_  ( A `  (
n  +  1 ) ) )
37 sslin 3658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A `  n ) 
C_  ( A `  ( n  +  1
) )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
3836, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
3913adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A : NN --> dom  vol )
40 peano2nn 10621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
41 ffvelrn 6020 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A : NN --> dom  vol  /\  ( n  +  1 )  e.  NN )  ->  ( A `  ( n  +  1
) )  e.  dom  vol )
4239, 40, 41syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  e.  dom  vol )
43 inmbl 22495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( `' F " { k } )  e.  dom  vol  /\  ( A `  ( n  +  1 ) )  e.  dom  vol )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol )
4412, 42, 43syl2anc 667 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol )
45 mblss 22485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) )  C_  RR )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  C_  RR )
47 ovolss 22438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  /\  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
4838, 46, 47syl2anc 667 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
49 mblvol 22484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  e. 
dom  vol  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )  =  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
5044, 49syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( vol* `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
5148, 19, 503brtr4d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
5251ralrimiva 2802 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) ) )
53 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  n )  =  ( A `  j ) )
5453ineq2d 3634 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )
5554fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )
56 fvex 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  e.  _V
5755, 33, 56fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )
58 peano2nn 10621 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( j  e.  NN  ->  (
j  +  1 )  e.  NN )
59 fveq2 5865 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( A `  n )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
6059ineq2d 3634 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
6160fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( j  +  1 )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
62 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )  e.  _V
6361, 33, 62fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
6458, 63syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
6557, 64breq12d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <-> 
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
6665ralbiia 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
67 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  j  ->  (
n  +  1 )  =  ( j  +  1 ) )
6867fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  j  ->  ( A `  ( n  +  1 ) )  =  ( A `  ( j  +  1 ) ) )
6968ineq2d 3634 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  j  ->  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
7069fveq2d 5869 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  j  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7155, 70breq12d 4415 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )  <-> 
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) ) )
7271cbvralv 3019 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1 ) ) ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
7366, 72bitr4i 256 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) ) )
7452, 73sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
7574r19.21bi 2757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  ( j  +  1 ) ) )
76 ovolss 22438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( `' F " { k } )  /\  ( `' F " { k } )  C_  RR )  ->  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol* `  ( `' F " { k } ) ) )
7720, 23, 76sylancr 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol* `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol* `  ( `' F " { k } ) ) )
7877, 19, 253brtr4d 4433 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
7978ralrimiva 2802 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8057breq1d 4412 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8180ralbiia 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8255breq1d 4412 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8382cbvralv 3019 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. j  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8481, 83bitr4i 256 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  <->  A. n  e.  NN  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
8579, 84sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
86 breq2 4406 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  -> 
( ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x  <->  ( (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8786ralbidv 2827 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  -> 
( A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x  <->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
8887rspcev 3150 . . . . . . 7  |-  ( ( ( vol `  ( `' F " { k } ) )  e.  RR  /\  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
)
8927, 85, 88syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
)
901, 9, 34, 75, 89climsup 13733 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  ~~>  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
91 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )
9217, 91fmptd 6046 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) : NN --> dom  vol )
9338ralrimiva 2802 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
94 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A `
 j )  e. 
_V
9594inex2 4545 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  e.  _V
9654, 91, 95fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) )
97 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A `
 ( j  +  1 ) )  e. 
_V
9897inex2 4545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) )  e.  _V
9960, 91, 98fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( j  +  1 )  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10058, 99syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10196, 100sseq12d 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) )  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
102101ralbiia 2818 . . . . . . . . 9  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  (
j  +  1 ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
10354, 69sseq12d 3461 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  j  ->  (
( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) ) )
104103cbvralv 3019 . . . . . . . . 9  |-  ( A. n  e.  NN  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) )  <->  A. j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( j  +  1 ) ) ) )
105102, 104bitr4i 256 . . . . . . . 8  |-  ( A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 j )  C_  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  (
j  +  1 ) )  <->  A. n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  C_  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  ( n  +  1
) ) ) )
10693, 105sylibr 216 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )
107 volsup 22509 . . . . . . 7  |-  ( ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) : NN --> dom  vol  /\ 
A. j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  C_  ( (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) `
 ( j  +  1 ) ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
10892, 106, 107syl2anc 667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  sup (
( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ,  RR* ,  <  ) )
10996iuneq2i 4297 . . . . . . . . . 10  |-  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U_ j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)
11054cbviunv 4317 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  =  U_ j  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
)
111 iunin2 4342 . . . . . . . . . 10  |-  U_ n  e.  NN  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
112109, 110, 1113eqtr2i 2479 . . . . . . . . 9  |-  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)
113 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A : NN --> dom  vol  ->  A  Fn  NN )
114 fniunfv 6152 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  Fn  NN  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  U. ran  A )
11513, 113, 1143syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  U. ran  A
)
116 itg1climres.3 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  U. ran  A  =  RR )
117115, 116eqtrd 2485 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  RR )
118117adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ n  e.  NN  ( A `  n )  =  RR )
119118ineq2d 3634 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR ) )
12011adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } )  e.  dom  vol )
121120, 22syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } ) 
C_  RR )
122 df-ss 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' F " { k } )  C_  RR  <->  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR )  =  ( `' F " { k } ) )
123121, 122sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  RR )  =  ( `' F " { k } ) )
124119, 123eqtrd 2485 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( ( `' F " { k } )  i^i  U_ n  e.  NN  ( A `  n )
)  =  ( `' F " { k } ) )
125112, 124syl5eq 2497 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  ( `' F " { k } ) )
126 ffn 5728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) : NN --> dom  vol  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  Fn  NN )
127 fniunfv 6152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) )  Fn  NN  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
12892, 126, 1273syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  U_ j  e.  NN  ( ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) `  j
)  =  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
129125, 128eqtr3d 2487 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( `' F " { k } )  =  U. ran  (
n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
130129fveq2d 5869 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  ( vol `  U. ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
131 frn 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  C_  RR )
13234, 131syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  C_  RR )
133 fdm 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  NN )
13434, 133syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  NN )
135 1nn 10620 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  NN
136 ne0i 3737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
137135, 136mp1i 13 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  NN  =/=  (/) )
138134, 137eqnetrd 2691 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
139 dm0rn0 5051 . . . . . . . . . 10  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  (/) 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  (/) )
140139necon3bii 2676 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =/=  (/) 
<->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
141138, 140sylib 200 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =/=  (/) )
142 ffn 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) : NN --> RR  ->  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  Fn  NN )
143 breq1 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  ->  ( z  <_  x 
<->  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) `  j )  <_  x ) )
144143ralrn 6025 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
14534, 142, 1443syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( A. z  e.  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
146145rexbidv 2901 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x  <->  E. x  e.  RR  A. j  e.  NN  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  <_  x
) )
14789, 146mpbird 236 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  E. x  e.  RR  A. z  e.  ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) z  <_  x )
148 supxrre 11613 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  C_  RR  /\  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =/=  (/)  /\  E. x  e.  RR  A. z  e. 
ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) z  <_  x
)  ->  sup ( ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
149132, 141, 147, 148syl3anc 1268 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
150 rnco2 5342 . . . . . . . . 9  |-  ran  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  =  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
151 eqidd 2452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
152 volf 22483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  vol : dom  vol --> ( 0 [,] +oo )
)
154153feqmptd 5918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  vol  =  (
y  e.  dom  vol  |->  ( vol `  y ) ) )
155 fveq2 5865 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  ->  ( vol `  y )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )
15617, 151, 154, 155fmptco 6056 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
157156rneqd 5062 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( vol  o.  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )
158150, 157syl5reqr 2500 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ran  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )
159158supeq1d 7960 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
160149, 159eqtr3d 2487 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )  =  sup ( ( vol " ran  ( n  e.  NN  |->  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) , 
RR* ,  <  ) )
161108, 130, 1603eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' F " { k } ) )  =  sup ( ran  (
n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ,  RR ,  <  )
)
16290, 161breqtrrd 4429 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  ~~>  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) )
163 i1ff 22634 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
164 frn 5735 . . . . . . . 8  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
1653, 163, 1643syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ran  F  C_  RR )
166165ssdifssd 3571 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  RR )
167166sselda 3432 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  k  e.  RR )
168167recnd 9669 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  k  e.  CC )
169 nnex 10615 . . . . . 6  |-  NN  e.  _V
170169mptex 6136 . . . . 5  |-  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  e.  _V
171170a1i 11 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  e.  _V )
17234ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  e.  RR )
173172recnd 9669 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j )  e.  CC )
17455oveq2d 6306 . . . . . . 7  |-  ( n  =  j  ->  (
k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  =  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) ) )
175 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
176 ovex 6318 . . . . . . 7  |-  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) )  e.  _V
177174, 175, 176fvmpt 5948 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
17857oveq2d 6306 . . . . . 6  |-  ( j  e.  NN  ->  (
k  x.  ( ( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) )  =  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
179177, 178eqtr4d 2488 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) ) )
180179adantl 468 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  =  ( k  x.  (
( n  e.  NN  |->  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) `  j ) ) )
1811, 9, 162, 168, 171, 173, 180climmulc2 13700 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )  ~~>  ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
182169mptex 6136 . . . 4  |-  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  e. 
_V
183182a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  e.  _V )
184167adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  k  e.  RR )
185184, 32remulcld 9671 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )  e.  RR )
186185, 175fmptd 6046 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) )  ->  ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) : NN --> RR )
187186ffvelrnda 6022 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  RR )
188187recnd 9669 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
189188anasss 653 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  /\  j  e.  NN ) )  ->  (
( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j )  e.  CC )
1903adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  e. 
dom  S.1 )
191 itg1climres.5 . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
192191i1fres 22663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  ( A `  n
)  e.  dom  vol )  ->  G  e.  dom  S.1 )
193190, 14, 192syl2anc 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  e. 
dom  S.1 )
1948adantr 467 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
F  \  { 0 } )  e.  Fin )
195 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : RR --> RR  ->  F  Fn  RR )
1963, 163, 1953syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  Fn  RR )
197196adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F  Fn  RR )
198 fnfvelrn 6019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x
)  e.  ran  F
)
199197, 198sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( F `  x )  e.  ran  F )
200 i1f0rn 22640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  0  e.  ran  F )
2013, 200syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  0  e.  ran  F
)
202201ad2antrr 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  0  e.  ran  F )
203199, 202ifcld 3924 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  ran  F
)
204203, 191fmptd 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : RR
--> ran  F )
205 frn 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( G : RR --> ran  F  ->  ran  G  C_  ran  F )
206 ssdif 3568 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
G  C_  ran  F  -> 
( ran  G  \  {
0 } )  C_  ( ran  F  \  {
0 } ) )
207204, 205, 2063syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
G  \  { 0 } )  C_  ( ran  F  \  { 0 } ) )
208165adantr 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ran  F  C_  RR )
209208ssdifd 3569 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ( RR  \  { 0 } ) )
210 itg1val2 22642 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  dom  S.1  /\  ( ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin  /\  ( ran  G  \  { 0 } )  C_  ( ran  F  \  { 0 } )  /\  ( ran  F  \  { 0 } )  C_  ( RR  \  { 0 } ) ) )  -> 
( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) ) )
211193, 194, 207, 209, 210syl13anc 1270 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) ) )
212 fvex 5875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( F `
 x )  e. 
_V
213 c0ex 9637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  0  e.  _V
214212, 213ifex 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  e.  _V
215191fvmpt2 5957 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( x  e.  RR  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  e.  _V )  ->  ( G `  x
)  =  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
216214, 215mpan2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  RR  ->  ( G `  x )  =  if ( x  e.  ( A `  n
) ,  ( F `
 x ) ,  0 ) )
217216adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( G `  x
)  =  if ( x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 ) )
218217eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
if ( x  e.  ( A `  n
) ,  ( F `
 x ) ,  0 )  =  k ) )
219 eldifsni 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  e.  ( ran  F  \  { 0 } )  ->  k  =/=  0
)
220219ad2antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  k  =/=  0 )
221 neeq1 2686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  -> 
( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =/=  0  <->  k  =/=  0
) )
222220, 221syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  ->  if (
x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =/=  0 ) )
223 iffalse 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( -.  x  e.  ( A `
 n )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  0 )
224223necon1ai 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =/=  0  ->  x  e.  ( A `  n ) )
225222, 224syl6 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  ->  x  e.  ( A `  n ) ) )
226225pm4.71rd 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  <->  ( x  e.  ( A `  n
)  /\  if (
x  e.  ( A `
 n ) ,  ( F `  x
) ,  0 )  =  k ) ) )
227218, 226bitrd 257 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
( x  e.  ( A `  n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k ) ) )
228 iftrue 3887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  e.  ( A `  n )  ->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  ( F `
 x ) )
229228eqeq1d 2453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( A `  n )  ->  ( if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k  <->  ( F `  x )  =  k ) )
230229pm5.32i 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k )  <-> 
( x  e.  ( A `  n )  /\  ( F `  x )  =  k ) )
231 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  ( F `  x )  =  k )  <->  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) )
232230, 231bitri 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  ( A `
 n )  /\  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 )  =  k )  <-> 
( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n ) ) )
233227, 232syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  /\  x  e.  RR )  ->  ( ( G `  x )  =  k  <-> 
( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
234233pm5.32da 647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  ( G `  x )  =  k )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) ) ) )
235 anass 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( ( F `  x )  =  k  /\  x  e.  ( A `  n
) ) ) )
236234, 235syl6bbr 267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  RR  /\  ( G `  x )  =  k )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
237 i1ff 22634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  dom  S.1  ->  G : RR --> RR )
238 ffn 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G : RR --> RR  ->  G  Fn  RR )
239193, 237, 2383syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G  Fn  RR )
240239adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  G  Fn  RR )
241 fniniseg 6003 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( G  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' G " { k } )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( G `
 x )  =  k ) ) )
242240, 241syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' G " { k } )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( G `  x
)  =  k ) ) )
243 elin 3617 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
)  <->  ( x  e.  ( `' F " { k } )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) )
244197adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  F  Fn  RR )
245 fniniseg 6003 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F  Fn  RR  ->  (
x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  RR  /\  ( F `
 x )  =  k ) ) )
246244, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' F " { k } )  <-> 
( x  e.  RR  /\  ( F `  x
)  =  k ) ) )
247246anbi1d 711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( (
x  e.  ( `' F " { k } )  /\  x  e.  ( A `  n
) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
248243, 247syl5bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  <->  ( (
x  e.  RR  /\  ( F `  x )  =  k )  /\  x  e.  ( A `  n ) ) ) )
249236, 242, 2483bitr4d 289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( x  e.  ( `' G " { k } )  <-> 
x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )
250249alrimiv 1773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  A. x
( x  e.  ( `' G " { k } )  <->  x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
251 nfmpt1 4492 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ x
( x  e.  RR  |->  if ( x  e.  ( A `  n ) ,  ( F `  x ) ,  0 ) )
252191, 251nfcxfr 2590 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ x G
253252nfcnv 5013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x `' G
254 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ x { k }
255253, 254nfima 5176 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( `' G " { k } )
256 nfcv 2592 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ x
( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )
257255, 256cleqf 2617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' G " { k } )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) )  <->  A. x
( x  e.  ( `' G " { k } )  <->  x  e.  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
258250, 257sylibr 216 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( `' G " { k } )  =  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) )
259258fveq2d 5869 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( vol `  ( `' G " { k } ) )  =  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) )
260259oveq2d 6306 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) )  ->  ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) )  =  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
261260sumeq2dv 13769 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' G " { k } ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
262211, 261eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( S.1 `  G )  =  sum_ k  e.  ( ran  F 
\  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
263262mpteq2dva 4489 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) )
264263fveq1d 5867 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G
) ) `  j
)  =  ( ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
) )
265174sumeq2sdv 13770 . . . . . 6  |-  ( n  =  j  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j ) ) ) ) )
266 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) )
267 sumex 13754 . . . . . 6  |-  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) )  e. 
_V
268265, 266, 267fvmpt 5948 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
269177sumeq2sdv 13770 . . . . 5  |-  ( j  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  j )
) ) ) )
270268, 269eqtr4d 2488 . . . 4  |-  ( j  e.  NN  ->  (
( n  e.  NN  |->  sum_ k  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  (
( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n ) ) ) ) ) `  j
) )
271264, 270sylan9eq 2505 . . 3  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) ) `  j )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( ( n  e.  NN  |->  ( k  x.  ( vol `  ( ( `' F " { k } )  i^i  ( A `  n )
) ) ) ) `
 j ) )
2721, 2, 8, 181, 183, 189, 271climfsum 13880 . 2  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
273 itg1val 22641 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
2743, 273syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( S.1 `  F
)  =  sum_ k  e.  ( ran  F  \  { 0 } ) ( k  x.  ( vol `  ( `' F " { k } ) ) ) )
275272, 274breqtrrd 4429 1  |-  ( ph  ->  ( n  e.  NN  |->  ( S.1 `  G ) )  ~~>  ( S.1 `  F
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371   A.wal 1442    = wceq 1444    e. wcel 1887    =/= wne 2622   A.wral 2737   E.wrex 2738   _Vcvv 3045    \ cdif 3401    i^i cin 3403    C_ wss 3404   (/)c0 3731   ifcif 3881   {csn 3968   U.cuni 4198   U_ciun 4278   class class class wbr 4402    |-> cmpt 4461   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   ran crn 4835   "cima 4837    o. ccom 4838    Fn wfn 5577   -->wf 5578   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Fincfn 7569   supcsup 7954   CCcc 9537   RRcr 9538   0cc0 9539   1c1 9540    + caddc 9542    x. cmul 9544   +oocpnf 9672   RR*cxr 9674    < clt 9675    <_ cle 9676   NNcn 10609   [,]cicc 11638    ~~> cli 13548   sum_csu 13752   vol*covol 22413   volcvol 22415   S.1citg1 22573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-cc 8865  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-disj 4374  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-seq 12214  df-exp 12273  df-hash 12516  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-rest 15321  df-topgen 15342  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cmp 20402  df-ovol 22416  df-vol 22418  df-mbf 22577  df-itg1 22578
This theorem is referenced by:  itg2monolem1  22708
  Copyright terms: Public domain W3C validator