Theorem itg1climres 21204

Description: Restricting the simple function F to the increasing sequence A ( n ) of measurable sets whose union is RR yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of F. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg1climres.1	|- ( ph -> A : NN --> dom vol )
itg1climres.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
itg1climres.3	|- ( ph -> U. ran A = RR )
itg1climres.4	|- ( ph -> F e. dom S.1 )
itg1climres.5	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
itg1climres	|- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> ( S.1 ` F ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   n, F, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   G( x, n)

Proof of Theorem itg1climres

Dummy variables j y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 10908	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10689	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		itg1climres.4	. . . . 5 |- ( ph -> F e. dom S.1 )
4		i1frn 21167	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ran F e. Fin )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran F e. Fin )
6		difss 3495	. . . 4 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ ran F
7		ssfi 7545	. . . 4 |- ( ( ran F e. Fin /\ ( ran F \ { 0 } ) C_ ran F ) -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
9		1zzd 10689	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> 1 e. ZZ )
10		i1fima 21168	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. dom S.1 -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
11	3, 10	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
13		itg1climres.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A : NN --> dom vol )
14	13	ffvelrnda 5855	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. dom vol )
15	14	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. dom vol )
16		inmbl 21035	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' F " { k } ) e. dom vol /\ ( A ` n ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol )
17	12, 15, 16	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol )
18		mblvol 21025	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
20		inss1 3582	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) )
22		mblss 21026	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " { k } ) e. dom vol -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
23	12, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
24		mblvol 21025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { k } ) e. dom vol -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
25	12, 24	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
26		i1fima2sn 21170	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S.1 /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
27	3, 26	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
29	25, 28	eqeltrrd 2518	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
30		ovolsscl 20981	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) /\ ( `' F " { k } ) C_ RR /\ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
31	21, 23, 29, 30	syl3anc 1218	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
32	19, 31	eqeltrd 2517	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
33		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
34	32, 33	fmptd 5879	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR )
35		itg1climres.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
36	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
37		sslin 3588	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
39	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A : NN --> dom vol )
40		peano2nn 10346	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
41		ffvelrn 5853	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A : NN --> dom vol /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol )
42	39, 40, 41	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol )
43		inmbl 21035	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F " { k } ) e. dom vol /\ ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol )
44	12, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol )
45		mblss 21026	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR )
47		ovolss 20980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) /\ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
49		mblvol 21025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
50	44, 49	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
51	48, 19, 50	3brtr4d 4334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
52	51	ralrimiva 2811	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
53		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
54	53	ineq2d 3564	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) )
55	54	fveq2d 5707	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) )
56		fvex 5713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) e. _V
57	55, 33, 56	fvmpt 5786	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) )
58		peano2nn 10346	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
59		fveq2 5703	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
60	59	ineq2d 3564	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
61	60	fveq2d 5707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
62		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) e. _V
63	61, 33, 62	fvmpt 5786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
64	58, 63	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
65	57, 64	breq12d 4317	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
66	65	ralbiia 2759	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
67		oveq1 6110	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
68	67	fveq2d 5707	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( A ` ( n + 1 ) ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
69	68	ineq2d 3564	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
70	69	fveq2d 5707	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
71	55, 70	breq12d 4317	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
72	71	cbvralv 2959	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
73	66, 72	bitr4i 252	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
74	52, 73	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
75	74	r19.21bi 2826	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
76		ovolss 20980	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) /\ ( `' F " { k } ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
77	20, 23, 76	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
78	77, 19, 25	3brtr4d 4334	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
79	78	ralrimiva 2811	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
80	57	breq1d 4314	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
81	80	ralbiia 2759	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
82	55	breq1d 4314	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
83	82	cbvralv 2959	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
84	81, 83	bitr4i 252	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
85	79, 84	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
86		breq2 4308	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( vol ` ( `' F " { k } ) ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x <-> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
87	86	ralbidv 2747	. . . . . . . 8 |- ( x = ( vol ` ( `' F " { k } ) ) -> ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
88	87	rspcev 3085	. . . . . . 7 |- ( ( ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR /\ A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x )
89	27, 85, 88	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x )
90	1, 9, 34, 75, 89	climsup 13159	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
91		eqid 2443	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) )
92	17, 91	fmptd 5879	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol )
93	38	ralrimiva 2811	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
94		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ` j ) e. _V
95	94	inex2 4446	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) e. _V
96	54, 91, 95	fvmpt 5786	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) )
97		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A ` ( j + 1 ) ) e. _V
98	97	inex2 4446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. _V
99	60, 91, 98	fvmpt 5786	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
100	58, 99	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
101	96, 100	sseq12d 3397	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
102	101	ralbiia 2759	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
103	54, 69	sseq12d 3397	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
104	103	cbvralv 2959	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) <-> A. j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
105	102, 104	bitr4i 252	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
106	93, 105	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
107		volsup 21049	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol /\ A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) ) -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
108	92, 106, 107	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
109	96	iuneq2i 4201	. . . . . . . . . 10 |- U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U_ j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) )
110	54	cbviunv 4221	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = U_ j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) )
111		iunin2 4246	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) )
112	109, 110, 111	3eqtr2i 2469	. . . . . . . . 9 |- U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) )
113		ffn 5571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A : NN --> dom vol -> A Fn NN )
114		fniunfv 5976	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A Fn NN -> U_ n e. NN ( A ` n ) = U. ran A )
115	13, 113, 114	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) = U. ran A )
116		itg1climres.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U. ran A = RR )
117	115, 116	eqtrd 2475	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) = RR )
118	117	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) = RR )
119	118	ineq2d 3564	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) )
120	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
121	120, 22	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
122		df-ss 3354	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { k } ) C_ RR <-> ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) = ( `' F " { k } ) )
123	121, 122	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) = ( `' F " { k } ) )
124	119, 123	eqtrd 2475	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( `' F " { k } ) )
125	112, 124	syl5eq 2487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( `' F " { k } ) )
126		ffn 5571	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) Fn NN )
127		fniunfv 5976	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) Fn NN -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
128	92, 126, 127	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
129	125, 128	eqtr3d 2477	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
130	129	fveq2d 5707	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
131		frn 5577	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR )
132	34, 131	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR )
133		fdm 5575	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = NN )
134	34, 133	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = NN )
135		1nn 10345	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
136		ne0i 3655	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
137	135, 136	mp1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> NN =/= (/) )
138	134, 137	eqnetrd 2638	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
139		dm0rn0 5068	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = (/) )
140	139	necon3bii 2652	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
141	138, 140	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
142		ffn 5571	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) Fn NN )
143		breq1 4307	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) -> ( z <_ x <-> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
144	143	ralrn 5858	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
145	34, 142, 144	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
146	145	rexbidv 2748	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
147	89, 146	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x )
148		supxrre 11302	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
149	132, 141, 147, 148	syl3anc 1218	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
150		rnco2 5357	. . . . . . . . 9 |- ran ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
151		eqidd 2444	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
152		volf 21024	. . . . . . . . . . . . 13 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
154	153	feqmptd 5756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> vol = ( y e. dom vol |-> ( vol ` y ) ) )
155		fveq2 5703	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) -> ( vol ` y ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
156	17, 151, 154, 155	fmptco 5888	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
157	156	rneqd 5079	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
158	150, 157	syl5reqr 2490	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
159	158	supeq1d 7708	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
160	149, 159	eqtr3d 2477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
161	108, 130, 160	3eqtr4d 2485	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
162	90, 161	breqtrrd 4330	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ~~> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
163		i1ff 21166	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )
164		frn 5577	. . . . . . . 8 |- ( F : RR --> RR -> ran F C_ RR )
165	3, 163, 164	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F C_ RR )
166	165	ssdifssd 3506	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran F \ { 0 } ) C_ RR )
167	166	sselda 3368	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> k e. RR )
168	167	recnd 9424	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> k e. CC )
169		nnex 10340	. . . . . 6 |- NN e. _V
170	169	mptex 5960	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) e. _V
171	170	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) e. _V )
172	34	ffvelrnda 5855	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) e. RR )
173	172	recnd 9424	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
174	55	oveq2d 6119	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
175		eqid 2443	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
176		ovex 6128	. . . . . . 7 |- ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) e. _V
177	174, 175, 176	fvmpt 5786	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
178	57	oveq2d 6119	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
179	177, 178	eqtr4d 2478	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
180	179	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
181	1, 9, 162, 168, 171, 173, 180	climmulc2 13126	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ~~> ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
182	169	mptex 5960	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) e. _V
183	182	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) e. _V )
184	167	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> k e. RR )
185	184, 32	remulcld 9426	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) e. RR )
186	185, 175	fmptd 5879	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) : NN --> RR )
187	186	ffvelrnda 5855	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. RR )
188	187	recnd 9424	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. CC )
189	188	anasss 647	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. ( ran F \ { 0 } ) /\ j e. NN ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. CC )
190	3	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F e. dom S.1 )
191		itg1climres.5	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
192	191	i1fres 21195	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ ( A ` n ) e. dom vol ) -> G e. dom S.1 )
193	190, 14, 192	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. dom S.1 )
194	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
195		ffn 5571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : RR --> RR -> F Fn RR )
196	3, 163, 195	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn RR )
197	196	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F Fn RR )
198		fnfvelrn 5852	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn RR /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ran F )
199	197, 198	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ran F )
200		i1f0rn 21172	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. dom S.1 -> 0 e. ran F )
201	3, 200	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. ran F )
202	201	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 e. ran F )
203		ifcl 3843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) e. ran F /\ 0 e. ran F ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. ran F )
204	199, 202, 203	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. ran F )
205	204, 191	fmptd 5879	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : RR --> ran F )
206		frn 5577	. . . . . . . . 9 |- ( G : RR --> ran F -> ran G C_ ran F )
207		ssdif 3503	. . . . . . . . 9 |- ( ran G C_ ran F -> ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) )
208	205, 206, 207	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) )
209	165	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ran F C_ RR )
210	209	ssdifd 3504	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran F \ { 0 } ) C_ ( RR \ { 0 } ) )
211		itg1val2 21174	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. dom S.1 /\ ( ( ran F \ { 0 } ) e. Fin /\ ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) /\ ( ran F \ { 0 } ) C_ ( RR \ { 0 } ) ) ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) )
212	193, 194, 208, 210, 211	syl13anc 1220	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) )
213		fvex 5713	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F ` x ) e. _V
214		c0ex 9392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. _V
215	213, 214	ifex 3870	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V
216	191	fvmpt2 5793	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V ) -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
217	215, 216	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
218	217	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
219	218	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) )
220		eldifsni 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ran F \ { 0 } ) -> k =/= 0 )
221	220	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> k =/= 0 )
222		neeq1 2628	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 <-> k =/= 0 ) )
223	221, 222	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 ) )
224		iffalse 3811	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x e. ( A ` n ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = 0 )
225	224	necon1ai 2665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 -> x e. ( A ` n ) )
226	223, 225	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> x e. ( A ` n ) ) )
227	226	pm4.71rd 635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k <-> ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) ) )
228	219, 227	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) ) )
229		iftrue 3809	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( A ` n ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = ( F ` x ) )
230	229	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( A ` n ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k <-> ( F ` x ) = k ) )
231	230	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) <-> ( x e. ( A ` n ) /\ ( F ` x ) = k ) )
232		ancom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ ( F ` x ) = k ) <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) )
233	231, 232	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) )
234	228, 233	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
235	234	pm5.32da 641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) <-> ( x e. RR /\ ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) ) )
236		anass 649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) <-> ( x e. RR /\ ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
237	235, 236	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
238		i1ff 21166	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. dom S.1 -> G : RR --> RR )
239		ffn 5571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
240	193, 238, 239	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G Fn RR )
241	240	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> G Fn RR )
242		fniniseg 5836	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G Fn RR -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) ) )
243	241, 242	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) ) )
244		elin 3551	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> ( x e. ( `' F " { k } ) /\ x e. ( A ` n ) ) )
245	197	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> F Fn RR )
246		fniniseg 5836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn RR -> ( x e. ( `' F " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) ) )
247	245, 246	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' F " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) ) )
248	247	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. ( `' F " { k } ) /\ x e. ( A ` n ) ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
249	244, 248	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
250	237, 243, 249	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
251	250	alrimiv 1685	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. x ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
252		nfmpt1 4393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
253	191, 252	nfcxfr 2587	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x G
254	253	nfcnv 5030	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x `' G
255		nfcv 2589	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x { k }
256	254, 255	nfima 5189	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( `' G " { k } )
257		nfcv 2589	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) )
258	256, 257	cleqf 2615	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' G " { k } ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> A. x ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
259	251, 258	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' G " { k } ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) )
260	259	fveq2d 5707	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' G " { k } ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
261	260	oveq2d 6119	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
262	261	sumeq2dv 13192	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
263	212, 262	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
264	263	mpteq2dva 4390	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) )
265	264	fveq1d 5705	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ` j ) = ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
266	174	sumeq2sdv 13193	. . . . . 6 |- ( n = j -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
267		eqid 2443	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
268		sumex 13177	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) e. _V
269	266, 267, 268	fvmpt 5786	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
270	177	sumeq2sdv 13193	. . . . 5 |- ( j e. NN -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
271	269, 270	eqtr4d 2478	. . . 4 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
272	265, 271	sylan9eq 2495	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
273	1, 2, 8, 181, 183, 189, 272	climfsum 13295	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
274		itg1val 21173	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` F ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
275	3, 274	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( S.1 ` F ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
276	273, 275	breqtrrd 4330	1 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> ( S.1 ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1367   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2618   A.wral 2727   E.wrex 2728   _Vcvv 2984   \ cdif 3337   i^i cin 3339   C_ wss 3340   (/)c0 3649   ifcif 3803   {csn 3889   U.cuni 4103   U_ciun 4183   class class class wbr 4304   e. cmpt 4362   `'ccnv 4851   dom cdm 4852   ran crn 4853   "cima 4855   o. ccom 4856   Fn wfn 5425   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Fincfn 7322   supcsup 7702   CCcc 9292   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295   + caddc 9297   x. cmul 9299   +oocpnf 9427   RR*cxr 9429   < clt 9430   <_ cle 9431   NNcn 10334   [,]cicc 11315   ~~> cli 12974   sum_csu 13175   vol*covol 20958   volcvol 20959   S.1citg1 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-inf2 7859  ax-cc 8616  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372  ax-addf 9373

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-int 4141  df-iun 4185  df-disj 4275  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-se 4692  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-isom 5439  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-of 6332  df-om 6489  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-1o 6932  df-2o 6933  df-oadd 6936  df-er 7113  df-map 7228  df-pm 7229  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-fin 7326  df-fi 7673  df-sup 7703  df-oi 7736  df-card 8121  df-cda 8349  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-q 10966  df-rp 11004  df-xneg 11101  df-xadd 11102  df-xmul 11103  df-ioo 11316  df-ico 11318  df-icc 11319  df-fz 11450  df-fzo 11561  df-fl 11654  df-seq 11819  df-exp 11878  df-hash 12116  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-clim 12978  df-rlim 12979  df-sum 13176  df-rest 14373  df-topgen 14394  df-psmet 17821  df-xmet 17822  df-met 17823  df-bl 17824  df-mopn 17825  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cmp 19002  df-ovol 20960  df-vol 20961  df-mbf 21111  df-itg1 21112

This theorem is referenced by:  itg2monolem1  21240