Theorem itg1climres 22247

Description: Restricting the simple function F to the increasing sequence A ( n ) of measurable sets whose union is RR yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of F. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg1climres.1	|- ( ph -> A : NN --> dom vol )
itg1climres.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
itg1climres.3	|- ( ph -> U. ran A = RR )
itg1climres.4	|- ( ph -> F e. dom S.1 )
itg1climres.5	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
itg1climres	|- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> ( S.1 ` F ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   n, F, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   G( x, n)

Proof of Theorem itg1climres

Dummy variables j y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11141	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10916	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		itg1climres.4	. . . . 5 |- ( ph -> F e. dom S.1 )
4		i1frn 22210	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ran F e. Fin )
5	3, 4	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ran F e. Fin )
6		difss 3627	. . . 4 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ ran F
7		ssfi 7759	. . . 4 |- ( ( ran F e. Fin /\ ( ran F \ { 0 } ) C_ ran F ) -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
8	5, 6, 7	sylancl 662	. . 3 |- ( ph -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
9		1zzd 10916	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> 1 e. ZZ )
10		i1fima 22211	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. dom S.1 -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
11	3, 10	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
12	11	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
13		itg1climres.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A : NN --> dom vol )
14	13	ffvelrnda 6032	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. dom vol )
15	14	adantlr 714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. dom vol )
16		inmbl 22078	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' F " { k } ) e. dom vol /\ ( A ` n ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol )
17	12, 15, 16	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol )
18		mblvol 22067	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
19	17, 18	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
20		inss1 3714	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) )
22		mblss 22068	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " { k } ) e. dom vol -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
23	12, 22	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
24		mblvol 22067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { k } ) e. dom vol -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
25	12, 24	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
26		i1fima2sn 22213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S.1 /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
27	3, 26	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
28	27	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
29	25, 28	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
30		ovolsscl 22023	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) /\ ( `' F " { k } ) C_ RR /\ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
31	21, 23, 29, 30	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
32	19, 31	eqeltrd 2545	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
33		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
34	32, 33	fmptd 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR )
35		itg1climres.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
36	35	adantlr 714	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
37		sslin 3720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
38	36, 37	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
39	13	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A : NN --> dom vol )
40		peano2nn 10568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
41		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A : NN --> dom vol /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol )
42	39, 40, 41	syl2an 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol )
43		inmbl 22078	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F " { k } ) e. dom vol /\ ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol )
44	12, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol )
45		mblss 22068	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR )
46	44, 45	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR )
47		ovolss 22022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) /\ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
49		mblvol 22067	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
50	44, 49	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
51	48, 19, 50	3brtr4d 4486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
52	51	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
53		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
54	53	ineq2d 3696	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) )
55	54	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) )
56		fvex 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) e. _V
57	55, 33, 56	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) )
58		peano2nn 10568	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
59		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
60	59	ineq2d 3696	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
61	60	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
62		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) e. _V
63	61, 33, 62	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
64	58, 63	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
65	57, 64	breq12d 4469	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
66	65	ralbiia 2887	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
67		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
68	67	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( A ` ( n + 1 ) ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
69	68	ineq2d 3696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
70	69	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
71	55, 70	breq12d 4469	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
72	71	cbvralv 3084	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
73	66, 72	bitr4i 252	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
74	52, 73	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
75	74	r19.21bi 2826	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
76		ovolss 22022	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) /\ ( `' F " { k } ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
77	20, 23, 76	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
78	77, 19, 25	3brtr4d 4486	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
79	78	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
80	57	breq1d 4466	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
81	80	ralbiia 2887	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
82	55	breq1d 4466	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
83	82	cbvralv 3084	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
84	81, 83	bitr4i 252	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
85	79, 84	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
86		breq2 4460	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( vol ` ( `' F " { k } ) ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x <-> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
87	86	ralbidv 2896	. . . . . . . 8 |- ( x = ( vol ` ( `' F " { k } ) ) -> ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
88	87	rspcev 3210	. . . . . . 7 |- ( ( ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR /\ A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x )
89	27, 85, 88	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x )
90	1, 9, 34, 75, 89	climsup 13504	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
91		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) )
92	17, 91	fmptd 6056	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol )
93	38	ralrimiva 2871	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
94		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ` j ) e. _V
95	94	inex2 4598	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) e. _V
96	54, 91, 95	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) )
97		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A ` ( j + 1 ) ) e. _V
98	97	inex2 4598	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. _V
99	60, 91, 98	fvmpt 5956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
100	58, 99	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
101	96, 100	sseq12d 3528	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
102	101	ralbiia 2887	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
103	54, 69	sseq12d 3528	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
104	103	cbvralv 3084	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) <-> A. j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
105	102, 104	bitr4i 252	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
106	93, 105	sylibr 212	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
107		volsup 22092	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol /\ A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) ) -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
108	92, 106, 107	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
109	96	iuneq2i 4351	. . . . . . . . . 10 |- U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U_ j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) )
110	54	cbviunv 4371	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = U_ j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) )
111		iunin2 4396	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) )
112	109, 110, 111	3eqtr2i 2492	. . . . . . . . 9 |- U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) )
113		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A : NN --> dom vol -> A Fn NN )
114		fniunfv 6160	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A Fn NN -> U_ n e. NN ( A ` n ) = U. ran A )
115	13, 113, 114	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) = U. ran A )
116		itg1climres.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U. ran A = RR )
117	115, 116	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) = RR )
118	117	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) = RR )
119	118	ineq2d 3696	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) )
120	11	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
121	120, 22	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
122		df-ss 3485	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { k } ) C_ RR <-> ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) = ( `' F " { k } ) )
123	121, 122	sylib 196	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) = ( `' F " { k } ) )
124	119, 123	eqtrd 2498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( `' F " { k } ) )
125	112, 124	syl5eq 2510	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( `' F " { k } ) )
126		ffn 5737	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) Fn NN )
127		fniunfv 6160	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) Fn NN -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
128	92, 126, 127	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
129	125, 128	eqtr3d 2500	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
130	129	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
131		frn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR )
132	34, 131	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR )
133		fdm 5741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = NN )
134	34, 133	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = NN )
135		1nn 10567	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
136		ne0i 3799	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
137	135, 136	mp1i 12	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> NN =/= (/) )
138	134, 137	eqnetrd 2750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
139		dm0rn0 5229	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = (/) )
140	139	necon3bii 2725	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
141	138, 140	sylib 196	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
142		ffn 5737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) Fn NN )
143		breq1 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) -> ( z <_ x <-> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
144	143	ralrn 6035	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
145	34, 142, 144	3syl 20	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
146	145	rexbidv 2968	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
147	89, 146	mpbird 232	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x )
148		supxrre 11544	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
149	132, 141, 147, 148	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
150		rnco2 5520	. . . . . . . . 9 |- ran ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
151		eqidd 2458	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
152		volf 22066	. . . . . . . . . . . . 13 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
154	153	feqmptd 5926	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> vol = ( y e. dom vol |-> ( vol ` y ) ) )
155		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) -> ( vol ` y ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
156	17, 151, 154, 155	fmptco 6065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
157	156	rneqd 5240	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
158	150, 157	syl5reqr 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
159	158	supeq1d 7923	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
160	149, 159	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
161	108, 130, 160	3eqtr4d 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
162	90, 161	breqtrrd 4482	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ~~> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
163		i1ff 22209	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )
164		frn 5743	. . . . . . . 8 |- ( F : RR --> RR -> ran F C_ RR )
165	3, 163, 164	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F C_ RR )
166	165	ssdifssd 3638	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran F \ { 0 } ) C_ RR )
167	166	sselda 3499	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> k e. RR )
168	167	recnd 9639	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> k e. CC )
169		nnex 10562	. . . . . 6 |- NN e. _V
170	169	mptex 6144	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) e. _V
171	170	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) e. _V )
172	34	ffvelrnda 6032	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) e. RR )
173	172	recnd 9639	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
174	55	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
175		eqid 2457	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
176		ovex 6324	. . . . . . 7 |- ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) e. _V
177	174, 175, 176	fvmpt 5956	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
178	57	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
179	177, 178	eqtr4d 2501	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
180	179	adantl 466	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
181	1, 9, 162, 168, 171, 173, 180	climmulc2 13471	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ~~> ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
182	169	mptex 6144	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) e. _V
183	182	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) e. _V )
184	167	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> k e. RR )
185	184, 32	remulcld 9641	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) e. RR )
186	185, 175	fmptd 6056	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) : NN --> RR )
187	186	ffvelrnda 6032	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. RR )
188	187	recnd 9639	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. CC )
189	188	anasss 647	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. ( ran F \ { 0 } ) /\ j e. NN ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. CC )
190	3	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F e. dom S.1 )
191		itg1climres.5	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
192	191	i1fres 22238	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ ( A ` n ) e. dom vol ) -> G e. dom S.1 )
193	190, 14, 192	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. dom S.1 )
194	8	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
195		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : RR --> RR -> F Fn RR )
196	3, 163, 195	3syl 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn RR )
197	196	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F Fn RR )
198		fnfvelrn 6029	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn RR /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ran F )
199	197, 198	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ran F )
200		i1f0rn 22215	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. dom S.1 -> 0 e. ran F )
201	3, 200	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. ran F )
202	201	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 e. ran F )
203	199, 202	ifcld 3987	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. ran F )
204	203, 191	fmptd 6056	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : RR --> ran F )
205		frn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( G : RR --> ran F -> ran G C_ ran F )
206		ssdif 3635	. . . . . . . . 9 |- ( ran G C_ ran F -> ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) )
207	204, 205, 206	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) )
208	165	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ran F C_ RR )
209	208	ssdifd 3636	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran F \ { 0 } ) C_ ( RR \ { 0 } ) )
210		itg1val2 22217	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. dom S.1 /\ ( ( ran F \ { 0 } ) e. Fin /\ ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) /\ ( ran F \ { 0 } ) C_ ( RR \ { 0 } ) ) ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) )
211	193, 194, 207, 209, 210	syl13anc 1230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) )
212		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F ` x ) e. _V
213		c0ex 9607	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. _V
214	212, 213	ifex 4013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V
215	191	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V ) -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
216	214, 215	mpan2 671	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
217	216	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
218	217	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) )
219		eldifsni 4158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ran F \ { 0 } ) -> k =/= 0 )
220	219	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> k =/= 0 )
221		neeq1 2738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 <-> k =/= 0 ) )
222	220, 221	syl5ibrcom 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 ) )
223		iffalse 3953	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x e. ( A ` n ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = 0 )
224	223	necon1ai 2688	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 -> x e. ( A ` n ) )
225	222, 224	syl6 33	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> x e. ( A ` n ) ) )
226	225	pm4.71rd 635	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k <-> ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) ) )
227	218, 226	bitrd 253	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) ) )
228		iftrue 3950	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( A ` n ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = ( F ` x ) )
229	228	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( A ` n ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k <-> ( F ` x ) = k ) )
230	229	pm5.32i 637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) <-> ( x e. ( A ` n ) /\ ( F ` x ) = k ) )
231		ancom 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ ( F ` x ) = k ) <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) )
232	230, 231	bitri 249	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) )
233	227, 232	syl6bb 261	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
234	233	pm5.32da 641	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) <-> ( x e. RR /\ ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) ) )
235		anass 649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) <-> ( x e. RR /\ ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
236	234, 235	syl6bbr 263	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
237		i1ff 22209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. dom S.1 -> G : RR --> RR )
238		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
239	193, 237, 238	3syl 20	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G Fn RR )
240	239	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> G Fn RR )
241		fniniseg 6009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G Fn RR -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) ) )
242	240, 241	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) ) )
243		elin 3683	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> ( x e. ( `' F " { k } ) /\ x e. ( A ` n ) ) )
244	197	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> F Fn RR )
245		fniniseg 6009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn RR -> ( x e. ( `' F " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) ) )
246	244, 245	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' F " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) ) )
247	246	anbi1d 704	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. ( `' F " { k } ) /\ x e. ( A ` n ) ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
248	243, 247	syl5bb 257	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
249	236, 242, 248	3bitr4d 285	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
250	249	alrimiv 1720	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. x ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
251		nfmpt1 4546	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
252	191, 251	nfcxfr 2617	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x G
253	252	nfcnv 5191	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x `' G
254		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x { k }
255	253, 254	nfima 5355	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( `' G " { k } )
256		nfcv 2619	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) )
257	255, 256	cleqf 2646	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' G " { k } ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> A. x ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
258	250, 257	sylibr 212	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' G " { k } ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) )
259	258	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' G " { k } ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
260	259	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
261	260	sumeq2dv 13537	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
262	211, 261	eqtrd 2498	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
263	262	mpteq2dva 4543	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) )
264	263	fveq1d 5874	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ` j ) = ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
265	174	sumeq2sdv 13538	. . . . . 6 |- ( n = j -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
266		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
267		sumex 13522	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) e. _V
268	265, 266, 267	fvmpt 5956	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
269	177	sumeq2sdv 13538	. . . . 5 |- ( j e. NN -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
270	268, 269	eqtr4d 2501	. . . 4 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
271	264, 270	sylan9eq 2518	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
272	1, 2, 8, 181, 183, 189, 271	climfsum 13646	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
273		itg1val 22216	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` F ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
274	3, 273	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( S.1 ` F ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
275	272, 274	breqtrrd 4482	1 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> ( S.1 ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   A.wal 1393   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   \ cdif 3468   i^i cin 3470   C_ wss 3471   (/)c0 3793   ifcif 3944   {csn 4032   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   ran crn 5009   "cima 5011   o. ccom 5012   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   supcsup 7918   CCcc 9507   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510   + caddc 9512   x. cmul 9514   +oocpnf 9642   RR*cxr 9644   < clt 9645   <_ cle 9646   NNcn 10556   [,]cicc 11557   ~~> cli 13319   sum_csu 13520   vol*covol 22000   volcvol 22001   S.1citg1 22150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cc 8832  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-rest 14840  df-topgen 14861  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cmp 20014  df-ovol 22002  df-vol 22003  df-mbf 22154  df-itg1 22155

This theorem is referenced by:  itg2monolem1  22283