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Theorem itg1climres 21853
 Description: Restricting the simple function to the increasing sequence of measurable sets whose union is yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1climres.1
itg1climres.2
itg1climres.3
itg1climres.4
itg1climres.5
Assertion
Ref Expression
itg1climres
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem itg1climres
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnuz 11113 . . 3
2 1zzd 10891 . . 3
3 itg1climres.4 . . . . 5
4 i1frn 21816 . . . . 5
53, 4syl 16 . . . 4
6 difss 3631 . . . 4
7 ssfi 7737 . . . 4
85, 6, 7sylancl 662 . . 3
9 1zzd 10891 . . . 4
10 i1fima 21817 . . . . . . . . . . . 12
113, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11
1211ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
13 itg1climres.1 . . . . . . . . . . . 12
1413ffvelrnda 6019 . . . . . . . . . . 11
1514adantlr 714 . . . . . . . . . 10
16 inmbl 21684 . . . . . . . . . 10
1712, 15, 16syl2anc 661 . . . . . . . . 9
18 mblvol 21673 . . . . . . . . 9
1917, 18syl 16 . . . . . . . 8
20 inss1 3718 . . . . . . . . . 10
2120a1i 11 . . . . . . . . 9
22 mblss 21674 . . . . . . . . . 10
2312, 22syl 16 . . . . . . . . 9
24 mblvol 21673 . . . . . . . . . . 11
2512, 24syl 16 . . . . . . . . . 10
26 i1fima2sn 21819 . . . . . . . . . . . 12
273, 26sylan 471 . . . . . . . . . . 11
2827adantr 465 . . . . . . . . . 10
2925, 28eqeltrrd 2556 . . . . . . . . 9
30 ovolsscl 21629 . . . . . . . . 9
3121, 23, 29, 30syl3anc 1228 . . . . . . . 8
3219, 31eqeltrd 2555 . . . . . . 7
33 eqid 2467 . . . . . . 7
3432, 33fmptd 6043 . . . . . 6
35 itg1climres.2 . . . . . . . . . . . . 13
3635adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12
37 sslin 3724 . . . . . . . . . . . 12
3836, 37syl 16 . . . . . . . . . . 11
3913adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
40 peano2nn 10544 . . . . . . . . . . . . . 14
41 ffvelrn 6017 . . . . . . . . . . . . . 14
4239, 40, 41syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13
43 inmbl 21684 . . . . . . . . . . . . 13
4412, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12
45 mblss 21674 . . . . . . . . . . . 12
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . 11
47 ovolss 21628 . . . . . . . . . . 11
4838, 46, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
49 mblvol 21673 . . . . . . . . . . 11
5044, 49syl 16 . . . . . . . . . 10
5148, 19, 503brtr4d 4477 . . . . . . . . 9
5251ralrimiva 2878 . . . . . . . 8
53 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . 14
5453ineq2d 3700 . . . . . . . . . . . . 13
5554fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . 12
56 fvex 5874 . . . . . . . . . . . 12
5755, 33, 56fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11
58 peano2nn 10544 . . . . . . . . . . . 12
59 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . . . 15
6059ineq2d 3700 . . . . . . . . . . . . . 14
6160fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13
62 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . 13
6361, 33, 62fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12
6458, 63syl 16 . . . . . . . . . . 11
6557, 64breq12d 4460 . . . . . . . . . 10
6665ralbiia 2894 . . . . . . . . 9
67 oveq1 6289 . . . . . . . . . . . . . 14
6867fveq2d 5868 . . . . . . . . . . . . 13
6968ineq2d 3700 . . . . . . . . . . . 12
7069fveq2d 5868 . . . . . . . . . . 11
7155, 70breq12d 4460 . . . . . . . . . 10
7271cbvralv 3088 . . . . . . . . 9
7366, 72bitr4i 252 . . . . . . . 8
7452, 73sylibr 212 . . . . . . 7
7574r19.21bi 2833 . . . . . 6
76 ovolss 21628 . . . . . . . . . . 11
7720, 23, 76sylancr 663 . . . . . . . . . 10
7877, 19, 253brtr4d 4477 . . . . . . . . 9
7978ralrimiva 2878 . . . . . . . 8
8057breq1d 4457 . . . . . . . . . 10
8180ralbiia 2894 . . . . . . . . 9
8255breq1d 4457 . . . . . . . . . 10
8382cbvralv 3088 . . . . . . . . 9
8481, 83bitr4i 252 . . . . . . . 8
8579, 84sylibr 212 . . . . . . 7
86 breq2 4451 . . . . . . . . 9
8786ralbidv 2903 . . . . . . . 8
8887rspcev 3214 . . . . . . 7
8927, 85, 88syl2anc 661 . . . . . 6
901, 9, 34, 75, 89climsup 13448 . . . . 5
91 eqid 2467 . . . . . . . 8
9217, 91fmptd 6043 . . . . . . 7
9338ralrimiva 2878 . . . . . . . 8
94 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . 13
9594inex2 4589 . . . . . . . . . . . 12
9654, 91, 95fvmpt 5948 . . . . . . . . . . 11
97 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . 14
9897inex2 4589 . . . . . . . . . . . . 13
9960, 91, 98fvmpt 5948 . . . . . . . . . . . 12
10058, 99syl 16 . . . . . . . . . . 11
10196, 100sseq12d 3533 . . . . . . . . . 10
102101ralbiia 2894 . . . . . . . . 9
10354, 69sseq12d 3533 . . . . . . . . . 10
104103cbvralv 3088 . . . . . . . . 9
105102, 104bitr4i 252 . . . . . . . 8
10693, 105sylibr 212 . . . . . . 7
107 volsup 21698 . . . . . . 7
10892, 106, 107syl2anc 661 . . . . . 6
10996iuneq2i 4344 . . . . . . . . . 10
11054cbviunv 4364 . . . . . . . . . 10
111 iunin2 4389 . . . . . . . . . 10
112109, 110, 1113eqtr2i 2502 . . . . . . . . 9
113 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . 14
114 fniunfv 6145 . . . . . . . . . . . . . 14
11513, 113, 1143syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
116 itg1climres.3 . . . . . . . . . . . . 13
117115, 116eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . 12
118117adantr 465 . . . . . . . . . . 11
119118ineq2d 3700 . . . . . . . . . 10
12011adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
121120, 22syl 16 . . . . . . . . . . 11
122 df-ss 3490 . . . . . . . . . . 11
123121, 122sylib 196 . . . . . . . . . 10
124119, 123eqtrd 2508 . . . . . . . . 9
125112, 124syl5eq 2520 . . . . . . . 8
126 ffn 5729 . . . . . . . . 9
127 fniunfv 6145 . . . . . . . . 9
12892, 126, 1273syl 20 . . . . . . . 8
129125, 128eqtr3d 2510 . . . . . . 7
130129fveq2d 5868 . . . . . 6
131 frn 5735 . . . . . . . . 9
13234, 131syl 16 . . . . . . . 8
133 fdm 5733 . . . . . . . . . . 11
13434, 133syl 16 . . . . . . . . . 10
135 1nn 10543 . . . . . . . . . . 11
136 ne0i 3791 . . . . . . . . . . 11
137135, 136mp1i 12 . . . . . . . . . 10
138134, 137eqnetrd 2760 . . . . . . . . 9
139 dm0rn0 5217 . . . . . . . . . 10
140139necon3bii 2735 . . . . . . . . 9
141138, 140sylib 196 . . . . . . . 8
142 ffn 5729 . . . . . . . . . . 11
143 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12
144143ralrn 6022 . . . . . . . . . . 11
14534, 142, 1443syl 20 . . . . . . . . . 10
146145rexbidv 2973 . . . . . . . . 9
14789, 146mpbird 232 . . . . . . . 8
148 supxrre 11515 . . . . . . . 8
149132, 141, 147, 148syl3anc 1228 . . . . . . 7
150 rnco2 5512 . . . . . . . . 9
151 eqidd 2468 . . . . . . . . . . 11
152 volf 21672 . . . . . . . . . . . . 13
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
154153feqmptd 5918 . . . . . . . . . . 11
155 fveq2 5864 . . . . . . . . . . 11
15617, 151, 154, 155fmptco 6052 . . . . . . . . . 10
157156rneqd 5228 . . . . . . . . 9
158150, 157syl5reqr 2523 . . . . . . . 8
159158supeq1d 7902 . . . . . . 7
160149, 159eqtr3d 2510 . . . . . 6
161108, 130, 1603eqtr4d 2518 . . . . 5
16290, 161breqtrrd 4473 . . . 4
163 i1ff 21815 . . . . . . . 8
164 frn 5735 . . . . . . . 8
1653, 163, 1643syl 20 . . . . . . 7
166165ssdifssd 3642 . . . . . 6
167166sselda 3504 . . . . 5
168167recnd 9618 . . . 4
169 nnex 10538 . . . . . 6
170169mptex 6129 . . . . 5
171170a1i 11 . . . 4
17234ffvelrnda 6019 . . . . 5
173172recnd 9618 . . . 4
17455oveq2d 6298 . . . . . . 7
175 eqid 2467 . . . . . . 7
176 ovex 6307 . . . . . . 7
177174, 175, 176fvmpt 5948 . . . . . 6
17857oveq2d 6298 . . . . . 6
179177, 178eqtr4d 2511 . . . . 5
180179adantl 466 . . . 4
1811, 9, 162, 168, 171, 173, 180climmulc2 13415 . . 3
182169mptex 6129 . . . 4
183182a1i 11 . . 3
184167adantr 465 . . . . . . . 8
185184, 32remulcld 9620 . . . . . . 7
186185, 175fmptd 6043 . . . . . 6
187186ffvelrnda 6019 . . . . 5
188187recnd 9618 . . . 4
189188anasss 647 . . 3
1903adantr 465 . . . . . . . . 9
191 itg1climres.5 . . . . . . . . . 10
192191i1fres 21844 . . . . . . . . 9
193190, 14, 192syl2anc 661 . . . . . . . 8
1948adantr 465 . . . . . . . 8
195 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . 14
1963, 163, 1953syl 20 . . . . . . . . . . . . 13
197196adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
198 fnfvelrn 6016 . . . . . . . . . . . 12
199197, 198sylan 471 . . . . . . . . . . 11
200 i1f0rn 21821 . . . . . . . . . . . . 13
2013, 200syl 16 . . . . . . . . . . . 12
202201ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11
203 ifcl 3981 . . . . . . . . . . 11
204199, 202, 203syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
205204, 191fmptd 6043 . . . . . . . . 9
206 frn 5735 . . . . . . . . 9
207 ssdif 3639 . . . . . . . . 9
208205, 206, 2073syl 20 . . . . . . . 8
209165adantr 465 . . . . . . . . 9
210209ssdifd 3640 . . . . . . . 8
211 itg1val2 21823 . . . . . . . 8
212193, 194, 208, 210, 211syl13anc 1230 . . . . . . 7
213 fvex 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
214 c0ex 9586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
215213, 214ifex 4008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
216191fvmpt2 5955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
217215, 216mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
218217adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
219218eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
220 eldifsni 4153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
221220ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
222 neeq1 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
223221, 222syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
224 iffalse 3948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
225224necon1ai 2698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
226223, 225syl6 33 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
227226pm4.71rd 635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
228219, 227bitrd 253 . . . . . . . . . . . . . . . 16
229 iftrue 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
230229eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
231230pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
232 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
233231, 232bitri 249 . . . . . . . . . . . . . . . 16
234228, 233syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . . . 15
235234pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . 14
236 anass 649 . . . . . . . . . . . . . 14
237235, 236syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . 13
238 i1ff 21815 . . . . . . . . . . . . . . . 16
239 ffn 5729 . . . . . . . . . . . . . . . 16
240193, 238, 2393syl 20 . . . . . . . . . . . . . . 15
241240adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14
242 fniniseg 6000 . . . . . . . . . . . . . 14
243241, 242syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
244 elin 3687 . . . . . . . . . . . . . 14
245197adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16
246 fniniseg 6000 . . . . . . . . . . . . . . . 16
247245, 246syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
248247anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . 14
249244, 248syl5bb 257 . . . . . . . . . . . . 13
250237, 243, 2493bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12
251250alrimiv 1695 . . . . . . . . . . 11
252 nfmpt1 4536 . . . . . . . . . . . . . . 15
253191, 252nfcxfr 2627 . . . . . . . . . . . . . 14
254253nfcnv 5179 . . . . . . . . . . . . 13
255 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . . 13
256254, 255nfima 5343 . . . . . . . . . . . 12
257 nfcv 2629 . . . . . . . . . . . 12
258256, 257cleqf 2656 . . . . . . . . . . 11
259251, 258sylibr 212 . . . . . . . . . 10
260259fveq2d 5868 . . . . . . . . 9
261260oveq2d 6298 . . . . . . . 8
262261sumeq2dv 13481 . . . . . . 7
263212, 262eqtrd 2508 . . . . . 6
264263mpteq2dva 4533 . . . . 5
265264fveq1d 5866 . . . 4
266174sumeq2sdv 13482 . . . . . 6
267 eqid 2467 . . . . . 6
268 sumex 13466 . . . . . 6
269266, 267, 268fvmpt 5948 . . . . 5
270177sumeq2sdv 13482 . . . . 5
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2731, 2, 8, 181, 183, 189, 272climfsum 13590 . 2
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2753, 274syl 16 . 2
276273, 275breqtrrd 4473 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369  wal 1377   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  wral 2814  wrex 2815  cvv 3113   cdif 3473   cin 3475   wss 3476  c0 3785  cif 3939  csn 4027  cuni 4245  ciun 4325   class class class wbr 4447   cmpt 4505  ccnv 4998   cdm 4999   crn 5000  cima 5002   ccom 5003   wfn 5581  wf 5582  cfv 5586  (class class class)co 6282  cfn 7513  csup 7896  cc 9486  cr 9487  cc0 9488  c1 9489   caddc 9491   cmul 9493   cpnf 9621  cxr 9623   clt 9624   cle 9625  cn 10532  cicc 11528   cli 13263  csu 13464  covol 21606  cvol 21607  citg1 21756 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cc 8811  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-fi 7867  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xneg 11314  df-xadd 11315  df-xmul 11316  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-clim 13267  df-rlim 13268  df-sum 13465  df-rest 14671  df-topgen 14692  df-psmet 18179  df-xmet 18180  df-met 18181  df-bl 18182  df-mopn 18183  df-top 19163  df-bases 19165  df-topon 19166  df-cmp 19650  df-ovol 21608  df-vol 21609  df-mbf 21760  df-itg1 21761 This theorem is referenced by:  itg2monolem1  21889
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