Theorem itg1climres 22546

Description: Restricting the simple function F to the increasing sequence A ( n ) of measurable sets whose union is RR yields a sequence of simple functions whose integrals approach the integral of F. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg1climres.1	|- ( ph -> A : NN --> dom vol )
itg1climres.2	|- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
itg1climres.3	|- ( ph -> U. ran A = RR )
itg1climres.4	|- ( ph -> F e. dom S.1 )
itg1climres.5	|- G = ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )

Assertion

Ref	Expression
itg1climres	|- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> ( S.1 ` F ) )

Distinct variable groups:   x, n, A   n, F, x   ph, n, x

Allowed substitution hints:   G( x, n)

Proof of Theorem itg1climres

Dummy variables j y z k are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnuz 11183	. . 3 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
2		1zzd 10957	. . 3 |- ( ph -> 1 e. ZZ )
3		itg1climres.4	. . . . 5 |- ( ph -> F e. dom S.1 )
4		i1frn 22509	. . . . 5 |- ( F e. dom S.1 -> ran F e. Fin )
5	3, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ran F e. Fin )
6		difss 3589	. . . 4 |- ( ran F \ { 0 } ) C_ ran F
7		ssfi 7789	. . . 4 |- ( ( ran F e. Fin /\ ( ran F \ { 0 } ) C_ ran F ) -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
8	5, 6, 7	sylancl 666	. . 3 |- ( ph -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
9		1zzd 10957	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> 1 e. ZZ )
10		i1fima 22510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( F e. dom S.1 -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
11	3, 10	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
12	11	ad2antrr 730	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
13		itg1climres.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> A : NN --> dom vol )
14	13	ffvelrnda 6028	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. dom vol )
15	14	adantlr 719	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) e. dom vol )
16		inmbl 22369	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' F " { k } ) e. dom vol /\ ( A ` n ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol )
17	12, 15, 16	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol )
18		mblvol 22358	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
20		inss1 3679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } )
21	20	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) )
22		mblss 22359	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F " { k } ) e. dom vol -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
23	12, 22	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
24		mblvol 22358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { k } ) e. dom vol -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
25	12, 24	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
26		i1fima2sn 22512	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F e. dom S.1 /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
27	3, 26	sylan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
28	27	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
29	25, 28	eqeltrrd 2509	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) e. RR )
30		ovolsscl 22313	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) /\ ( `' F " { k } ) C_ RR /\ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) e. RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
31	21, 23, 29, 30	syl3anc 1264	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
32	19, 31	eqeltrd 2508	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) e. RR )
33		eqid 2420	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
34	32, 33	fmptd 6052	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR )
35		itg1climres.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
36	35	adantlr 719	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) )
37		sslin 3685	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A ` n ) C_ ( A ` ( n + 1 ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
39	13	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A : NN --> dom vol )
40		peano2nn 10610	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
41		ffvelrn 6026	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A : NN --> dom vol /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol )
42	39, 40, 41	syl2an 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol )
43		inmbl 22369	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F " { k } ) e. dom vol /\ ( A ` ( n + 1 ) ) e. dom vol ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol )
44	12, 42, 43	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol )
45		mblss 22359	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR )
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR )
47		ovolss 22312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) /\ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
48	38, 46, 47	syl2anc 665	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
49		mblvol 22358	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) e. dom vol -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
50	44, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
51	48, 19, 50	3brtr4d 4447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
52	51	ralrimiva 2837	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
53		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( A ` n ) = ( A ` j ) )
54	53	ineq2d 3661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) )
55	54	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) )
56		fvex 5882	. . . . . . . . . . . 12 |- ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) e. _V
57	55, 33, 56	fvmpt 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) )
58		peano2nn 10610	. . . . . . . . . . . 12 |- ( j e. NN -> ( j + 1 ) e. NN )
59		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( A ` n ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
60	59	ineq2d 3661	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
61	60	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = ( j + 1 ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
62		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) e. _V
63	61, 33, 62	fvmpt 5955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
64	58, 63	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
65	57, 64	breq12d 4430	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
66	65	ralbiia 2853	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
67		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( n = j -> ( n + 1 ) = ( j + 1 ) )
68	67	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n = j -> ( A ` ( n + 1 ) ) = ( A ` ( j + 1 ) ) )
69	68	ineq2d 3661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = j -> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
70	69	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = j -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
71	55, 70	breq12d 4430	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) ) )
72	71	cbvralv 3053	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
73	66, 72	bitr4i 255	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) ) )
74	52, 73	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
75	74	r19.21bi 2792	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
76		ovolss 22312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( `' F " { k } ) /\ ( `' F " { k } ) C_ RR ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
77	20, 23, 76	sylancr 667	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol* ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol* ` ( `' F " { k } ) ) )
78	77, 19, 25	3brtr4d 4447	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
79	78	ralrimiva 2837	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
80	57	breq1d 4427	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
81	80	ralbiia 2853	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
82	55	breq1d 4427	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
83	82	cbvralv 3053	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. j e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
84	81, 83	bitr4i 255	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) <-> A. n e. NN ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
85	79, 84	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
86		breq2 4421	. . . . . . . . 9 |- ( x = ( vol ` ( `' F " { k } ) ) -> ( ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x <-> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
87	86	ralbidv 2862	. . . . . . . 8 |- ( x = ( vol ` ( `' F " { k } ) ) -> ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
88	87	rspcev 3179	. . . . . . 7 |- ( ( ( vol ` ( `' F " { k } ) ) e. RR /\ A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x )
89	27, 85, 88	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x )
90	1, 9, 34, 75, 89	climsup 13700	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ~~> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
91		eqid 2420	. . . . . . . 8 |- ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) )
92	17, 91	fmptd 6052	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol )
93	38	ralrimiva 2837	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
94		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A ` j ) e. _V
95	94	inex2 4558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) e. _V
96	54, 91, 95	fvmpt 5955	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) )
97		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A ` ( j + 1 ) ) e. _V
98	97	inex2 4558	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) e. _V
99	60, 91, 98	fvmpt 5955	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( j + 1 ) e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
100	58, 99	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
101	96, 100	sseq12d 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( j e. NN -> ( ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
102	101	ralbiia 2853	. . . . . . . . 9 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
103	54, 69	sseq12d 3490	. . . . . . . . . 10 |- ( n = j -> ( ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) <-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) ) )
104	103	cbvralv 3053	. . . . . . . . 9 |- ( A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) <-> A. j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( j + 1 ) ) ) )
105	102, 104	bitr4i 255	. . . . . . . 8 |- ( A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) <-> A. n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) C_ ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` ( n + 1 ) ) ) )
106	93, 105	sylibr 215	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) )
107		volsup 22383	. . . . . . 7 |- ( ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol /\ A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) C_ ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` ( j + 1 ) ) ) -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
108	92, 106, 107	syl2anc 665	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
109	96	iuneq2i 4312	. . . . . . . . . 10 |- U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U_ j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) )
110	54	cbviunv 4332	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = U_ j e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) )
111		iunin2 4357	. . . . . . . . . 10 |- U_ n e. NN ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) )
112	109, 110, 111	3eqtr2i 2455	. . . . . . . . 9 |- U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) )
113		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A : NN --> dom vol -> A Fn NN )
114		fniunfv 6158	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A Fn NN -> U_ n e. NN ( A ` n ) = U. ran A )
115	13, 113, 114	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) = U. ran A )
116		itg1climres.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> U. ran A = RR )
117	115, 116	eqtrd 2461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> U_ n e. NN ( A ` n ) = RR )
118	117	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ n e. NN ( A ` n ) = RR )
119	118	ineq2d 3661	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) )
120	11	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) e. dom vol )
121	120, 22	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) C_ RR )
122		df-ss 3447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' F " { k } ) C_ RR <-> ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) = ( `' F " { k } ) )
123	121, 122	sylib 199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i RR ) = ( `' F " { k } ) )
124	119, 123	eqtrd 2461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( `' F " { k } ) i^i U_ n e. NN ( A ` n ) ) = ( `' F " { k } ) )
125	112, 124	syl5eq 2473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = ( `' F " { k } ) )
126		ffn 5737	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) : NN --> dom vol -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) Fn NN )
127		fniunfv 6158	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) Fn NN -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
128	92, 126, 127	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> U_ j e. NN ( ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ` j ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
129	125, 128	eqtr3d 2463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' F " { k } ) = U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
130	129	fveq2d 5876	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = ( vol ` U. ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
131		frn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR )
132	34, 131	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR )
133		fdm 5741	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = NN )
134	34, 133	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = NN )
135		1nn 10609	. . . . . . . . . . 11 |- 1 e. NN
136		ne0i 3764	. . . . . . . . . . 11 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
137	135, 136	mp1i 13	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> NN =/= (/) )
138	134, 137	eqnetrd 2715	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
139		dm0rn0 5062	. . . . . . . . . 10 |- ( dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = (/) )
140	139	necon3bii 2690	. . . . . . . . 9 |- ( dom ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) <-> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
141	138, 140	sylib 199	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) )
142		ffn 5737	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) : NN --> RR -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) Fn NN )
143		breq1 4420	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) -> ( z <_ x <-> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
144	143	ralrn 6031	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) Fn NN -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
145	34, 142, 144	3syl 18	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
146	145	rexbidv 2937	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x <-> E. x e. RR A. j e. NN ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) <_ x ) )
147	89, 146	mpbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x )
148		supxrre 11602	. . . . . . . 8 |- ( ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) C_ RR /\ ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) =/= (/) /\ E. x e. RR A. z e. ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) z <_ x ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
149	132, 141, 147, 148	syl3anc 1264	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
150		rnco2 5353	. . . . . . . . 9 |- ran ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
151		eqidd 2421	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) = ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
152		volf 22357	. . . . . . . . . . . . 13 |- vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo )
153	152	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> vol : dom vol --> ( 0 [,] +oo ) )
154	153	feqmptd 5925	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> vol = ( y e. dom vol |-> ( vol ` y ) ) )
155		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) -> ( vol ` y ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
156	17, 151, 154, 155	fmptco 6062	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
157	156	rneqd 5073	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( vol o. ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
158	150, 157	syl5reqr 2476	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
159	158	supeq1d 7957	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
160	149, 159	eqtr3d 2463	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) = sup ( ( vol " ran ( n e. NN |-> ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR* , < ) )
161	108, 130, 160	3eqtr4d 2471	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) = sup ( ran ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) , RR , < ) )
162	90, 161	breqtrrd 4443	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ~~> ( vol ` ( `' F " { k } ) ) )
163		i1ff 22508	. . . . . . . 8 |- ( F e. dom S.1 -> F : RR --> RR )
164		frn 5743	. . . . . . . 8 |- ( F : RR --> RR -> ran F C_ RR )
165	3, 163, 164	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> ran F C_ RR )
166	165	ssdifssd 3600	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ran F \ { 0 } ) C_ RR )
167	166	sselda 3461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> k e. RR )
168	167	recnd 9658	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> k e. CC )
169		nnex 10604	. . . . . 6 |- NN e. _V
170	169	mptex 6142	. . . . 5 |- ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) e. _V
171	170	a1i 11	. . . 4 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) e. _V )
172	34	ffvelrnda 6028	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) e. RR )
173	172	recnd 9658	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) e. CC )
174	55	oveq2d 6312	. . . . . . 7 |- ( n = j -> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
175		eqid 2420	. . . . . . 7 |- ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
176		ovex 6324	. . . . . . 7 |- ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) e. _V
177	174, 175, 176	fvmpt 5955	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
178	57	oveq2d 6312	. . . . . 6 |- ( j e. NN -> ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
179	177, 178	eqtr4d 2464	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
180	179	adantl 467	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = ( k x. ( ( n e. NN |-> ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ` j ) ) )
181	1, 9, 162, 168, 171, 173, 180	climmulc2 13667	. . 3 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ~~> ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
182	169	mptex 6142	. . . 4 |- ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) e. _V
183	182	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) e. _V )
184	167	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> k e. RR )
185	184, 32	remulcld 9660	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ n e. NN ) -> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) e. RR )
186	185, 175	fmptd 6052	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) : NN --> RR )
187	186	ffvelrnda 6028	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. RR )
188	187	recnd 9658	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. CC )
189	188	anasss 651	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. ( ran F \ { 0 } ) /\ j e. NN ) ) -> ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) e. CC )
190	3	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F e. dom S.1 )
191		itg1climres.5	. . . . . . . . . 10 |- G = ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
192	191	i1fres 22537	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. dom S.1 /\ ( A ` n ) e. dom vol ) -> G e. dom S.1 )
193	190, 14, 192	syl2anc 665	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G e. dom S.1 )
194	8	adantr 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran F \ { 0 } ) e. Fin )
195		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : RR --> RR -> F Fn RR )
196	3, 163, 195	3syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> F Fn RR )
197	196	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> F Fn RR )
198		fnfvelrn 6025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F Fn RR /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ran F )
199	197, 198	sylan 473	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> ( F ` x ) e. ran F )
200		i1f0rn 22514	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( F e. dom S.1 -> 0 e. ran F )
201	3, 200	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> 0 e. ran F )
202	201	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> 0 e. ran F )
203	199, 202	ifcld 3949	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ x e. RR ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. ran F )
204	203, 191	fmptd 6052	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G : RR --> ran F )
205		frn 5743	. . . . . . . . 9 |- ( G : RR --> ran F -> ran G C_ ran F )
206		ssdif 3597	. . . . . . . . 9 |- ( ran G C_ ran F -> ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) )
207	204, 205, 206	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) )
208	165	adantr 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ran F C_ RR )
209	208	ssdifd 3598	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( ran F \ { 0 } ) C_ ( RR \ { 0 } ) )
210		itg1val2 22516	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. dom S.1 /\ ( ( ran F \ { 0 } ) e. Fin /\ ( ran G \ { 0 } ) C_ ( ran F \ { 0 } ) /\ ( ran F \ { 0 } ) C_ ( RR \ { 0 } ) ) ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) )
211	193, 194, 207, 209, 210	syl13anc 1266	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) )
212		fvex 5882	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( F ` x ) e. _V
213		c0ex 9626	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- 0 e. _V
214	212, 213	ifex 3974	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V
215	191	fvmpt2 5964	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( x e. RR /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) e. _V ) -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
216	214, 215	mpan2 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. RR -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
217	216	adantl 467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( G ` x ) = if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
218	217	eqeq1d 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) )
219		eldifsni 4120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( ran F \ { 0 } ) -> k =/= 0 )
220	219	ad2antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> k =/= 0 )
221		neeq1 2703	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 <-> k =/= 0 ) )
222	220, 221	syl5ibrcom 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 ) )
223		iffalse 3915	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( -. x e. ( A ` n ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = 0 )
224	223	necon1ai 2653	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) =/= 0 -> x e. ( A ` n ) )
225	222, 224	syl6 34	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k -> x e. ( A ` n ) ) )
226	225	pm4.71rd 639	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k <-> ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) ) )
227	218, 226	bitrd 256	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) ) )
228		iftrue 3912	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( A ` n ) -> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = ( F ` x ) )
229	228	eqeq1d 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( A ` n ) -> ( if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k <-> ( F ` x ) = k ) )
230	229	pm5.32i 641	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) <-> ( x e. ( A ` n ) /\ ( F ` x ) = k ) )
231		ancom 451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ ( F ` x ) = k ) <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) )
232	230, 231	bitri 252	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x e. ( A ` n ) /\ if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) = k ) <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) )
233	227, 232	syl6bb 264	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) /\ x e. RR ) -> ( ( G ` x ) = k <-> ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
234	233	pm5.32da 645	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) <-> ( x e. RR /\ ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) ) )
235		anass 653	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) <-> ( x e. RR /\ ( ( F ` x ) = k /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
236	234, 235	syl6bbr 266	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
237		i1ff 22508	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G e. dom S.1 -> G : RR --> RR )
238		ffn 5737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( G : RR --> RR -> G Fn RR )
239	193, 237, 238	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> G Fn RR )
240	239	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> G Fn RR )
241		fniniseg 6009	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( G Fn RR -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) ) )
242	240, 241	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( G ` x ) = k ) ) )
243		elin 3646	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> ( x e. ( `' F " { k } ) /\ x e. ( A ` n ) ) )
244	197	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> F Fn RR )
245		fniniseg 6009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F Fn RR -> ( x e. ( `' F " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) ) )
246	244, 245	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' F " { k } ) <-> ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) ) )
247	246	anbi1d 709	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( ( x e. ( `' F " { k } ) /\ x e. ( A ` n ) ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
248	243, 247	syl5bb 260	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> ( ( x e. RR /\ ( F ` x ) = k ) /\ x e. ( A ` n ) ) ) )
249	236, 242, 248	3bitr4d 288	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
250	249	alrimiv 1763	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> A. x ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
251		nfmpt1 4506	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- F/_ x ( x e. RR |-> if ( x e. ( A ` n ) , ( F ` x ) , 0 ) )
252	191, 251	nfcxfr 2580	. . . . . . . . . . . . . 14 |- F/_ x G
253	252	nfcnv 5024	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x `' G
254		nfcv 2582	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/_ x { k }
255	253, 254	nfima 5187	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( `' G " { k } )
256		nfcv 2582	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ x ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) )
257	255, 256	cleqf 2609	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( `' G " { k } ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) <-> A. x ( x e. ( `' G " { k } ) <-> x e. ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
258	250, 257	sylibr 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( `' G " { k } ) = ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) )
259	258	fveq2d 5876	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( vol ` ( `' G " { k } ) ) = ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) )
260	259	oveq2d 6312	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ n e. NN ) /\ k e. ( ran F \ { 0 } ) ) -> ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) = ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
261	260	sumeq2dv 13736	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' G " { k } ) ) ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
262	211, 261	eqtrd 2461	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ n e. NN ) -> ( S.1 ` G ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
263	262	mpteq2dva 4503	. . . . 5 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) )
264	263	fveq1d 5874	. . . 4 |- ( ph -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ` j ) = ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
265	174	sumeq2sdv 13737	. . . . . 6 |- ( n = j -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
266		eqid 2420	. . . . . 6 |- ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) = ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) )
267		sumex 13721	. . . . . 6 |- sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) e. _V
268	265, 266, 267	fvmpt 5955	. . . . 5 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
269	177	sumeq2sdv 13737	. . . . 5 |- ( j e. NN -> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` j ) ) ) ) )
270	268, 269	eqtr4d 2464	. . . 4 |- ( j e. NN -> ( ( n e. NN |-> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
271	264, 270	sylan9eq 2481	. . 3 |- ( ( ph /\ j e. NN ) -> ( ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ` j ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( ( n e. NN |-> ( k x. ( vol ` ( ( `' F " { k } ) i^i ( A ` n ) ) ) ) ) ` j ) )
272	1, 2, 8, 181, 183, 189, 271	climfsum 13847	. 2 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
273		itg1val 22515	. . 3 |- ( F e. dom S.1 -> ( S.1 ` F ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
274	3, 273	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( S.1 ` F ) = sum_ k e. ( ran F \ { 0 } ) ( k x. ( vol ` ( `' F " { k } ) ) ) )
275	272, 274	breqtrrd 4443	1 |- ( ph -> ( n e. NN |-> ( S.1 ` G ) ) ~~> ( S.1 ` F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   A.wal 1435   = wceq 1437   e. wcel 1867   =/= wne 2616   A.wral 2773   E.wrex 2774   _Vcvv 3078   \ cdif 3430   i^i cin 3432   C_ wss 3433   (/)c0 3758   ifcif 3906   {csn 3993   U.cuni 4213   U_ciun 4293   class class class wbr 4417   |-> cmpt 4475   `'ccnv 4844   dom cdm 4845   ran crn 4846   "cima 4848   o. ccom 4849   Fn wfn 5587   -->wf 5588   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   supcsup 7951   CCcc 9526   RRcr 9527   0cc0 9528   1c1 9529   + caddc 9531   x. cmul 9533   +oocpnf 9661   RR*cxr 9663   < clt 9664   <_ cle 9665   NNcn 10598   [,]cicc 11627   ~~> cli 13515   sum_csu 13719   vol*covol 22287   volcvol 22289   S.1citg1 22447

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cc 8854  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606  ax-addf 9607

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-disj 4389  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-pm 7474  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-fi 7922  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-q 11254  df-rp 11292  df-xneg 11398  df-xadd 11399  df-xmul 11400  df-ioo 11628  df-ico 11630  df-icc 11631  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-fl 12014  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-rlim 13520  df-sum 13720  df-rest 15273  df-topgen 15294  df-psmet 18890  df-xmet 18891  df-met 18892  df-bl 18893  df-mopn 18894  df-top 19845  df-bases 19846  df-topon 19847  df-cmp 20326  df-ovol 22290  df-vol 22292  df-mbf 22451  df-itg1 22452

This theorem is referenced by:  itg2monolem1  22582