MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1cl Structured version   Unicode version

Theorem itg1cl 21281
Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1cl  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )

Proof of Theorem itg1cl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1val 21279 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
2 i1frn 21273 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
3 difss 3583 . . . 4  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
4 ssfi 7636 . . . 4  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
52, 3, 4sylancl 662 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
6 i1ff 21272 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
7 frn 5665 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  C_  RR )
98ssdifssd 3594 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  C_  RR )
109sselda 3456 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
11 i1fima2sn 21276 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1210, 11remulcld 9517 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
135, 12fsumrecl 13315 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  sum_
x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
141, 13eqeltrd 2539 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758    \ cdif 3425    C_ wss 3428   {csn 3977   `'ccnv 4939   dom cdm 4940   ran crn 4941   "cima 4943   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   Fincfn 7412   RRcr 9384   0cc0 9385    x. cmul 9390   sum_csu 13267   volcvol 21065   S.1citg1 21213
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-inf2 7950  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462  ax-pre-sup 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-se 4780  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-isom 5527  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-of 6422  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-2o 7023  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-pm 7319  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-sup 7794  df-oi 7827  df-card 8212  df-cda 8440  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-div 10097  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-q 11057  df-rp 11095  df-xadd 11193  df-ioo 11407  df-ico 11409  df-icc 11410  df-fz 11541  df-fzo 11652  df-fl 11745  df-seq 11910  df-exp 11969  df-hash 12207  df-cj 12692  df-re 12693  df-im 12694  df-sqr 12828  df-abs 12829  df-clim 13070  df-sum 13268  df-xmet 17921  df-met 17922  df-ovol 21066  df-vol 21067  df-mbf 21217  df-itg1 21218
This theorem is referenced by:  itg1mulc  21300  itg1sub  21305  itg1lea  21308  itg2lcl  21323  itg2itg1  21332  itg2seq  21338  itg2uba  21339  itg2mulclem  21342  itg2splitlem  21344  itg2split  21345  itg2monolem1  21346  itg2monolem2  21347  itg2monolem3  21348  itg2i1fseq2  21352  itg2addlem  21354  i1fibl  21403  itg2addnclem  28583  itg2addnc  28586  ftc1anclem5  28611  ftc1anclem7  28613  ftc1anclem8  28614
  Copyright terms: Public domain W3C validator