MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1cl Structured version   Unicode version

Theorem itg1cl 22384
Description: Closure of the integral on simple functions. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg1cl  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )

Proof of Theorem itg1cl
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1val 22382 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  =  sum_ x  e.  ( ran  F  \  {
0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) ) )
2 i1frn 22376 . . . 4  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  e.  Fin )
3 difss 3570 . . . 4  |-  ( ran 
F  \  { 0 } )  C_  ran  F
4 ssfi 7775 . . . 4  |-  ( ( ran  F  e.  Fin  /\  ( ran  F  \  { 0 } ) 
C_  ran  F )  ->  ( ran  F  \  { 0 } )  e.  Fin )
52, 3, 4sylancl 660 . . 3  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  e. 
Fin )
6 i1ff 22375 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  F : RR --> RR )
7 frn 5720 . . . . . . 7  |-  ( F : RR --> RR  ->  ran 
F  C_  RR )
86, 7syl 17 . . . . . 6  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ran 
F  C_  RR )
98ssdifssd 3581 . . . . 5  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( ran  F  \  {
0 } )  C_  RR )
109sselda 3442 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  ->  x  e.  RR )
11 i1fima2sn 22379 . . . 4  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( vol `  ( `' F " { x } ) )  e.  RR )
1210, 11remulcld 9654 . . 3  |-  ( ( F  e.  dom  S.1  /\  x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) )  -> 
( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
135, 12fsumrecl 13705 . 2  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  sum_
x  e.  ( ran 
F  \  { 0 } ) ( x  x.  ( vol `  ( `' F " { x } ) ) )  e.  RR )
141, 13eqeltrd 2490 1  |-  ( F  e.  dom  S.1  ->  ( S.1 `  F )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    e. wcel 1842    \ cdif 3411    C_ wss 3414   {csn 3972   `'ccnv 4822   dom cdm 4823   ran crn 4824   "cima 4826   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   RRcr 9521   0cc0 9522    x. cmul 9527   sum_csu 13657   volcvol 22167   S.1citg1 22316
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321
This theorem is referenced by:  itg1mulc  22403  itg1sub  22408  itg1lea  22411  itg2lcl  22426  itg2itg1  22435  itg2seq  22441  itg2uba  22442  itg2mulclem  22445  itg2splitlem  22447  itg2split  22448  itg2monolem1  22449  itg2monolem2  22450  itg2monolem3  22451  itg2i1fseq2  22455  itg2addlem  22457  i1fibl  22506  itg2addnclem  31439  itg2addnc  31442  ftc1anclem5  31467  ftc1anclem7  31469  ftc1anclem8  31470
  Copyright terms: Public domain W3C validator