Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

 Description: Lemma for itg1add . (Contributed by Mario Carneiro, 27-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
Assertion
Ref Expression
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 i1fadd.1 . . . 4
2 i1frn 22714 . . . 4
31, 2syl 17 . . 3
4 i1fadd.2 . . . . . 6
5 i1frn 22714 . . . . . 6
64, 5syl 17 . . . . 5
76adantr 472 . . . 4
8 i1ff 22713 . . . . . . . . . 10
91, 8syl 17 . . . . . . . . 9
10 frn 5747 . . . . . . . . 9
119, 10syl 17 . . . . . . . 8
1211sselda 3418 . . . . . . 7
1312adantr 472 . . . . . 6
1413recnd 9687 . . . . 5
15 itg1add.3 . . . . . . . . 9
161, 4, 15itg1addlem2 22734 . . . . . . . 8
1716ad2antrr 740 . . . . . . 7
18 i1ff 22713 . . . . . . . . . . 11
194, 18syl 17 . . . . . . . . . 10
20 frn 5747 . . . . . . . . . 10
2119, 20syl 17 . . . . . . . . 9
2221sselda 3418 . . . . . . . 8
2322adantlr 729 . . . . . . 7
2417, 13, 23fovrnd 6460 . . . . . 6
2524recnd 9687 . . . . 5
2614, 25mulcld 9681 . . . 4
277, 26fsumcl 13876 . . 3
2823recnd 9687 . . . . 5
2928, 25mulcld 9681 . . . 4
307, 29fsumcl 13876 . . 3
313, 27, 30fsumadd 13882 . 2
32 itg1add.4 . . . 4
331, 4, 15, 32itg1addlem4 22736 . . 3
3414, 28, 25adddird 9686 . . . . . 6
3534sumeq2dv 13846 . . . . 5
367, 26, 29fsumadd 13882 . . . . 5
3735, 36eqtrd 2505 . . . 4
3837sumeq2dv 13846 . . 3
3933, 38eqtrd 2505 . 2
40 itg1val 22720 . . . . 5
411, 40syl 17 . . . 4
4219adantr 472 . . . . . . . . 9
436adantr 472 . . . . . . . . 9
44 inss2 3644 . . . . . . . . . 10
4544a1i 11 . . . . . . . . 9
46 i1fima 22715 . . . . . . . . . . . 12
471, 46syl 17 . . . . . . . . . . 11
4847ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
49 i1fima 22715 . . . . . . . . . . . 12
504, 49syl 17 . . . . . . . . . . 11
5150ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
52 inmbl 22574 . . . . . . . . . 10
5348, 51, 52syl2anc 673 . . . . . . . . 9
5411ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . . 13
5554sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
5655adantr 472 . . . . . . . . . . 11
5721adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
5857sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
59 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . . 13
6059ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12
61 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13
6261necon3ai 2668 . . . . . . . . . . . 12
6360, 62syl 17 . . . . . . . . . . 11
641, 4, 15itg1addlem3 22735 . . . . . . . . . . 11
6556, 58, 63, 64syl21anc 1291 . . . . . . . . . 10
6616ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
6766, 56, 58fovrnd 6460 . . . . . . . . . 10
6865, 67eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
6942, 43, 45, 53, 68itg1addlem1 22729 . . . . . . . 8
70 iunin2 4333 . . . . . . . . . 10
711adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
7271, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
73 mblss 22563 . . . . . . . . . . . . 13
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . 12
75 iunid 4324 . . . . . . . . . . . . . . 15
7675imaeq2i 5172 . . . . . . . . . . . . . 14
77 imaiun 6168 . . . . . . . . . . . . . 14
78 cnvimarndm 5195 . . . . . . . . . . . . . 14
7976, 77, 783eqtr3i 2501 . . . . . . . . . . . . 13
80 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . 14
8142, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
8279, 81syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . 12
8374, 82sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . 11
84 df-ss 3404 . . . . . . . . . . 11
8583, 84sylib 201 . . . . . . . . . 10
8670, 85syl5req 2518 . . . . . . . . 9
8786fveq2d 5883 . . . . . . . 8
8865sumeq2dv 13846 . . . . . . . 8
8969, 87, 883eqtr4d 2515 . . . . . . 7
9089oveq2d 6324 . . . . . 6
9155recnd 9687 . . . . . . 7
9267recnd 9687 . . . . . . 7
9343, 91, 92fsummulc2 13922 . . . . . 6
9490, 93eqtrd 2505 . . . . 5
9594sumeq2dv 13846 . . . 4
96 difssd 3550 . . . . 5
9756recnd 9687 . . . . . . 7
9897, 92mulcld 9681 . . . . . 6
9943, 98fsumcl 13876 . . . . 5
100 dfin4 3674 . . . . . . . 8
101 inss2 3644 . . . . . . . 8
102100, 101eqsstr3i 3449 . . . . . . 7
103102sseli 3414 . . . . . 6
104 elsni 3985 . . . . . . . . . . 11
105104ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10
106105oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
10716ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
108 0re 9661 . . . . . . . . . . . . 13
109105, 108syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . 12
11022adantlr 729 . . . . . . . . . . . 12
111107, 109, 110fovrnd 6460 . . . . . . . . . . 11
112111recnd 9687 . . . . . . . . . 10
113112mul02d 9849 . . . . . . . . 9
114106, 113eqtrd 2505 . . . . . . . 8
115114sumeq2dv 13846 . . . . . . 7
1166adantr 472 . . . . . . . . 9
117116olcd 400 . . . . . . . 8
118 sumz 13865 . . . . . . . 8
119117, 118syl 17 . . . . . . 7
120115, 119eqtrd 2505 . . . . . 6
121103, 120sylan2 482 . . . . 5
12296, 99, 121, 3fsumss 13868 . . . 4
12341, 95, 1223eqtrd 2509 . . 3
124 itg1val 22720 . . . . 5
1254, 124syl 17 . . . 4
1269adantr 472 . . . . . . . . 9
1273adantr 472 . . . . . . . . 9
128 inss1 3643 . . . . . . . . . 10
129128a1i 11 . . . . . . . . 9
13047ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
13150ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
132130, 131, 52syl2anc 673 . . . . . . . . 9
13311adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
134133sselda 3418 . . . . . . . . . . 11
13521ssdifssd 3560 . . . . . . . . . . . . 13
136135sselda 3418 . . . . . . . . . . . 12
137136adantr 472 . . . . . . . . . . 11
138 eldifsni 4089 . . . . . . . . . . . . 13
139138ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . 12
140 simpr 468 . . . . . . . . . . . . 13
141140necon3ai 2668 . . . . . . . . . . . 12
142139, 141syl 17 . . . . . . . . . . 11
143134, 137, 142, 64syl21anc 1291 . . . . . . . . . 10
14416ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11
145144, 134, 137fovrnd 6460 . . . . . . . . . 10
146143, 145eqeltrrd 2550 . . . . . . . . 9
147126, 127, 129, 132, 146itg1addlem1 22729 . . . . . . . 8
148 incom 3616 . . . . . . . . . . . . 13
149148a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
150149iuneq2i 4288 . . . . . . . . . . 11
151 iunin2 4333 . . . . . . . . . . 11
152150, 151eqtri 2493 . . . . . . . . . 10
153 cnvimass 5194 . . . . . . . . . . . . 13
15419, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
155154adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
156153, 155syl5sseq 3466 . . . . . . . . . . . 12
157 iunid 4324 . . . . . . . . . . . . . . 15
158157imaeq2i 5172 . . . . . . . . . . . . . 14
159 imaiun 6168 . . . . . . . . . . . . . 14
160 cnvimarndm 5195 . . . . . . . . . . . . . 14
161158, 159, 1603eqtr3i 2501 . . . . . . . . . . . . 13
162 fdm 5745 . . . . . . . . . . . . . . 15
1639, 162syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
164163adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13
165161, 164syl5eq 2517 . . . . . . . . . . . 12
166156, 165sseqtr4d 3455 . . . . . . . . . . 11
167 df-ss 3404 . . . . . . . . . . 11
168166, 167sylib 201 . . . . . . . . . 10
169152, 168syl5req 2518 . . . . . . . . 9
170169fveq2d 5883 . . . . . . . 8
171143sumeq2dv 13846 . . . . . . . 8
172147, 170, 1713eqtr4d 2515 . . . . . . 7
173172oveq2d 6324 . . . . . 6
174136recnd 9687 . . . . . . 7
175145recnd 9687 . . . . . . 7
176127, 174, 175fsummulc2 13922 . . . . . 6
177173, 176eqtrd 2505 . . . . 5
178177sumeq2dv 13846 . . . 4
179 difssd 3550 . . . . . 6
180174adantr 472 . . . . . . . 8
181180, 175mulcld 9681 . . . . . . 7
182127, 181fsumcl 13876 . . . . . 6
183 dfin4 3674 . . . . . . . . 9
184 inss2 3644 . . . . . . . . 9
185183, 184eqsstr3i 3449 . . . . . . . 8
186185sseli 3414 . . . . . . 7
187 elsni 3985 . . . . . . . . . . . 12
188187ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11
189188oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
19016ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13
19112adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13
192188, 108syl6eqel 2557 . . . . . . . . . . . . 13
193190, 191, 192fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . 12
194193recnd 9687 . . . . . . . . . . 11
195194mul02d 9849 . . . . . . . . . 10
196189, 195eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
197196sumeq2dv 13846 . . . . . . . 8
1983adantr 472 . . . . . . . . . 10
199198olcd 400 . . . . . . . . 9
200 sumz 13865 . . . . . . . . 9
201199, 200syl 17 . . . . . . . 8
202197, 201eqtrd 2505 . . . . . . 7
203186, 202sylan2 482 . . . . . 6
204179, 182, 203, 6fsumss 13868 . . . . 5
20522adantr 472 . . . . . . . . 9
206205recnd 9687 . . . . . . . 8
20716ad2antrr 740 . . . . . . . . . 10
20811adantr 472 . . . . . . . . . . 11
209208sselda 3418 . . . . . . . . . 10
210207, 209, 205fovrnd 6460 . . . . . . . . 9
211210recnd 9687 . . . . . . . 8
212206, 211mulcld 9681 . . . . . . 7
213212anasss 659 . . . . . 6
2146, 3, 213fsumcom 13913 . . . . 5
215204, 214eqtrd 2505 . . . 4
216125, 178, 2153eqtrd 2509 . . 3
217123, 216oveq12d 6326 . 2
21831, 39, 2173eqtr4d 2515 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 375   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641   cdif 3387   cin 3389   wss 3390  cif 3872  csn 3959  ciun 4269   cxp 4837  ccnv 4838   cdm 4839   crn 4840   cres 4841  cima 4842  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   cof 6548  cfn 7587  cc 9555  cr 9556  cc0 9557   caddc 9560   cmul 9562  cuz 11182  csu 13829  cvol 22493  citg1 22652 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xadd 11433  df-ioo 11664  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-seq 12252  df-exp 12311  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-xmet 19040  df-met 19041  df-ovol 22494  df-vol 22496  df-mbf 22656  df-itg1 22657 This theorem is referenced by:  itg1add  22738
 Copyright terms: Public domain W3C validator