MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg1addlem1 Structured version   Unicode version

Theorem itg1addlem1 21926
Description: Decompose a preimage, which is always a disjoint union. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Jun-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Dec-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
itg1addlem.1  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
itg1addlem.2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
itg1addlem.3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
itg1addlem.4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  dom  vol )
itg1addlem.5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
itg1addlem1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Distinct variable groups:    A, k    k, F    ph, k
Allowed substitution hints:    B( k)    X( k)    Y( k)

Proof of Theorem itg1addlem1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg1addlem.2 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  Fin )
2 itg1addlem.4 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  e.  dom  vol )
3 itg1addlem.5 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( vol `  B )  e.  RR )
42, 3jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B )  e.  RR ) )
54ralrimiva 2878 . 2  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol 
/\  ( vol `  B
)  e.  RR ) )
6 itg1addlem.3 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  A )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
76adantrr 716 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  B  C_  ( `' F " { k } ) )
8 simprr 756 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  x  e.  B )
97, 8sseldd 3505 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  x  e.  ( `' F " { k } ) )
10 itg1addlem.1 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  F : X --> Y )
11 ffn 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( F : X --> Y  ->  F  Fn  X )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  X )
1312adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  ->  F  Fn  X )
14 fniniseg 6003 . . . . . . 7  |-  ( F  Fn  X  ->  (
x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  k ) ) )
1513, 14syl 16 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  ( `' F " { k } )  <->  ( x  e.  X  /\  ( F `  x )  =  k ) ) )
169, 15mpbid 210 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( x  e.  X  /\  ( F `  x
)  =  k ) )
1716simprd 463 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  A  /\  x  e.  B ) )  -> 
( F `  x
)  =  k )
1817ralrimivva 2885 . . 3  |-  ( ph  ->  A. k  e.  A  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  k )
19 invdisj 4436 . . 3  |-  ( A. k  e.  A  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  k  -> Disj  k  e.  A  B )
2018, 19syl 16 . 2  |-  ( ph  -> Disj  k  e.  A  B
)
21 volfiniun 21784 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. k  e.  A  ( B  e.  dom  vol  /\  ( vol `  B
)  e.  RR )  /\ Disj  k  e.  A  B )  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  = 
sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
221, 5, 20, 21syl3anc 1228 1  |-  ( ph  ->  ( vol `  U_ k  e.  A  B )  =  sum_ k  e.  A  ( vol `  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814    C_ wss 3476   {csn 4027   U_ciun 4325  Disj wdisj 4417   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   "cima 5002    Fn wfn 5583   -->wf 5584   ` cfv 5588   Fincfn 7517   RRcr 9492   sum_csu 13474   volcvol 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-inf2 8059  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-2o 7132  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-oi 7936  df-card 8321  df-cda 8549  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-q 11184  df-rp 11222  df-xadd 11320  df-ioo 11534  df-ico 11536  df-icc 11537  df-fz 11674  df-fzo 11794  df-fl 11898  df-seq 12077  df-exp 12136  df-hash 12375  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-clim 13277  df-sum 13475  df-xmet 18223  df-met 18224  df-ovol 21703  df-vol 21704
This theorem is referenced by:  itg1addlem4  21933  itg1addlem5  21934
  Copyright terms: Public domain W3C validator