Theorem itg0 22478

Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg0	|- S. (/) A _d x = 0

Proof of Theorem itg0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2402	. . 3 |- ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) )
2	1	dfitg 22468	. 2 |- S. (/) A _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
3		ifan 3931	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. (/) , if ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
4		noel 3742	. . . . . . . . . . . 12 |- -. x e. (/)
5	4	iffalsei 3895	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. (/) , if ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0
6	3, 5	eqtri 2431	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0
7	6	mpteq2i 4478	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> 0 )
8		fconstmpt 4867	. . . . . . . . 9 |- ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 )
9	7, 8	eqtr4i 2434	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( RR X. { 0 } )
10	9	fveq2i 5852	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) )
11		itg20 22436	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) = 0
12	10, 11	eqtri 2431	. . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = 0
13	12	oveq2i 6289	. . . . 5 |- ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. 0 )
14		ax-icn 9581	. . . . . . 7 |- _i e. CC
15		elfznn0 11826	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. NN0 )
16		expcl 12228	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
17	14, 15, 16	sylancr 661	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
18	17	mul01d 9813	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. 0 ) = 0 )
19	13, 18	syl5eq 2455	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = 0 )
20	19	sumeq2i 13670	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0
21		fzfi 12123	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
22	21	olci 389	. . . 4 |- ( ( 0 ... 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... 3 ) e. Fin )
23		sumz 13693	. . . 4 |- ( ( ( 0 ... 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... 3 ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0 = 0 )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0 = 0
25	20, 24	eqtri 2431	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = 0
26	2, 25	eqtri 2431	1 |- S. (/) A _d x = 0

Syntax hints:   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   C_ wss 3414   (/)c0 3738   ifcif 3885   {csn 3972   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   X. cxp 4821   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   _ici 9524   x. cmul 9527   <_ cle 9659   / cdiv 10247   3c3 10627   NN0cn0 10836   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726   ^cexp 12210   Recre 13079   sum_csu 13657   S.2citg2 22317   S.citg 22319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-itg 22324  df-0p 22369

This theorem is referenced by:  itgsplitioo  22536  ditg0  22549  ditgneg  22553  ftc2  22737  ftc2nc  31472  areacirc  31483  itgvol0  37135