MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg0 Structured version   Unicode version

Theorem itg0 21216
Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg0  |-  S. (/) A  _d x  =  0

Proof of Theorem itg0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2441 . . 3  |-  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 21206 . 2  |-  S. (/) A  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 ifan 3832 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  (/) ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4 noel 3638 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  x  e.  (/)
54iffalsei 3797 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  (/) ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0
63, 5eqtri 2461 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  0
76mpteq2i 4372 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
8 fconstmpt 4878 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
97, 8eqtr4i 2464 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } )
109fveq2i 5691 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  { 0 } ) )
11 itg20 21174 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
1210, 11eqtri 2461 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  0
1312oveq2i 6101 . . . . 5  |-  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  0 )
14 ax-icn 9337 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
15 elfznn0 11477 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
16 expcl 11879 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
1714, 15, 16sylancr 658 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1817mul01d 9564 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  0 )  =  0 )
1913, 18syl5eq 2485 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0 )
2019sumeq2i 13172 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0
21 fzfi 11790 . . . . 5  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2221olci 391 . . . 4  |-  ( ( 0 ... 3 ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin )
23 sumz 13195 . . . 4  |-  ( ( ( 0 ... 3
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... 3 )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0 )
2422, 23ax-mp 5 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0
2520, 24eqtri 2461 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0
262, 25eqtri 2461 1  |-  S. (/) A  _d x  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   _ici 9280    x. cmul 9283    <_ cle 9415    / cdiv 9989   3c3 10368   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861   Recre 12582   sum_csu 13159   S.2citg2 21055   S.citg 21057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xadd 11086  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-xmet 17769  df-met 17770  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-itg 21062  df-0p 21107
This theorem is referenced by:  itgsplitioo  21274  ditg0  21287  ditgneg  21291  ftc2  21475  ftc2nc  28401  areacirc  28414
  Copyright terms: Public domain W3C validator