Theorem itg0 21385

Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg0	|- S. (/) A _d x = 0

Proof of Theorem itg0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2452	. . 3 |- ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) )
2	1	dfitg 21375	. 2 |- S. (/) A _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
3		ifan 3938	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. (/) , if ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
4		noel 3744	. . . . . . . . . . . 12 |- -. x e. (/)
5	4	iffalsei 3903	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. (/) , if ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0
6	3, 5	eqtri 2481	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0
7	6	mpteq2i 4478	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> 0 )
8		fconstmpt 4985	. . . . . . . . 9 |- ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 )
9	7, 8	eqtr4i 2484	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( RR X. { 0 } )
10	9	fveq2i 5797	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) )
11		itg20 21343	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) = 0
12	10, 11	eqtri 2481	. . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = 0
13	12	oveq2i 6206	. . . . 5 |- ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. 0 )
14		ax-icn 9447	. . . . . . 7 |- _i e. CC
15		elfznn0 11593	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. NN0 )
16		expcl 11995	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
17	14, 15, 16	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
18	17	mul01d 9674	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. 0 ) = 0 )
19	13, 18	syl5eq 2505	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = 0 )
20	19	sumeq2i 13289	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0
21		fzfi 11906	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
22	21	olci 391	. . . 4 |- ( ( 0 ... 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... 3 ) e. Fin )
23		sumz 13312	. . . 4 |- ( ( ( 0 ... 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... 3 ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0 = 0 )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0 = 0
25	20, 24	eqtri 2481	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = 0
26	2, 25	eqtri 2481	1 |- S. (/) A _d x = 0

Syntax hints:   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   C_ wss 3431   (/)c0 3740   ifcif 3894   {csn 3980   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4453   X. cxp 4941   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   Fincfn 7415   CCcc 9386   RRcr 9387   0cc0 9388   _ici 9390   x. cmul 9393   <_ cle 9525   / cdiv 10099   3c3 10478   NN0cn0 10685   ZZ>=cuz 10967   ...cfz 11549   ^cexp 11977   Recre 12699   sum_csu 13276   S.2citg2 21224   S.citg 21226

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-disj 4366  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-ofr 6426  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xadd 11196  df-ioo 11410  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-seq 11919  df-exp 11978  df-hash 12216  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-clim 13079  df-sum 13277  df-xmet 17930  df-met 17931  df-ovol 21075  df-vol 21076  df-mbf 21227  df-itg1 21228  df-itg2 21229  df-itg 21231  df-0p 21276

This theorem is referenced by:  itgsplitioo  21443  ditg0  21456  ditgneg  21460  ftc2  21644  ftc2nc  28619  areacirc  28632