Theorem itg0 21216

Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg0	|- S. (/) A _d x = 0

Proof of Theorem itg0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2441	. . 3 |- ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) )
2	1	dfitg 21206	. 2 |- S. (/) A _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
3		ifan 3832	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. (/) , if ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
4		noel 3638	. . . . . . . . . . . 12 |- -. x e. (/)
5	4	iffalsei 3797	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. (/) , if ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0
6	3, 5	eqtri 2461	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0
7	6	mpteq2i 4372	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> 0 )
8		fconstmpt 4878	. . . . . . . . 9 |- ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 )
9	7, 8	eqtr4i 2464	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( RR X. { 0 } )
10	9	fveq2i 5691	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) )
11		itg20 21174	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) = 0
12	10, 11	eqtri 2461	. . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = 0
13	12	oveq2i 6101	. . . . 5 |- ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. 0 )
14		ax-icn 9337	. . . . . . 7 |- _i e. CC
15		elfznn0 11477	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. NN0 )
16		expcl 11879	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
17	14, 15, 16	sylancr 658	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
18	17	mul01d 9564	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. 0 ) = 0 )
19	13, 18	syl5eq 2485	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = 0 )
20	19	sumeq2i 13172	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0
21		fzfi 11790	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
22	21	olci 391	. . . 4 |- ( ( 0 ... 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... 3 ) e. Fin )
23		sumz 13195	. . . 4 |- ( ( ( 0 ... 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... 3 ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0 = 0 )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0 = 0
25	20, 24	eqtri 2461	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = 0
26	2, 25	eqtri 2461	1 |- S. (/) A _d x = 0

Syntax hints:   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   C_ wss 3325   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   class class class wbr 4289   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   _ici 9280   x. cmul 9283   <_ cle 9415   / cdiv 9989   3c3 10368   NN0cn0 10575   ZZ>=cuz 10857   ...cfz 11433   ^cexp 11861   Recre 12582   sum_csu 13159   S.2citg2 21055   S.citg 21057

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-disj 4260  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-ofr 6320  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xadd 11086  df-ioo 11300  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-clim 12962  df-sum 13160  df-xmet 17769  df-met 17770  df-ovol 20907  df-vol 20908  df-mbf 21058  df-itg1 21059  df-itg2 21060  df-itg 21062  df-0p 21107

This theorem is referenced by:  itgsplitioo  21274  ditg0  21287  ditgneg  21291  ftc2  21475  ftc2nc  28401  areacirc  28414