Theorem itg0 21921

Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)

Assertion

Ref	Expression
itg0	|- S. (/) A _d x = 0

Proof of Theorem itg0

Dummy variable k is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . 3 |- ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) = ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) )
2	1	dfitg 21911	. 2 |- S. (/) A _d x = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) )
3		ifan 3985	. . . . . . . . . . 11 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = if ( x e. (/) , if ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 )
4		noel 3789	. . . . . . . . . . . 12 |- -. x e. (/)
5	4	iffalsei 3949	. . . . . . . . . . 11 |- if ( x e. (/) , if ( 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) , 0 ) = 0
6	3, 5	eqtri 2496	. . . . . . . . . 10 |- if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) = 0
7	6	mpteq2i 4530	. . . . . . . . 9 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( x e. RR |-> 0 )
8		fconstmpt 5042	. . . . . . . . 9 |- ( RR X. { 0 } ) = ( x e. RR |-> 0 )
9	7, 8	eqtr4i 2499	. . . . . . . 8 |- ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) = ( RR X. { 0 } )
10	9	fveq2i 5867	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) )
11		itg20 21879	. . . . . . 7 |- ( S.2 ` ( RR X. { 0 } ) ) = 0
12	10, 11	eqtri 2496	. . . . . 6 |- ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) = 0
13	12	oveq2i 6293	. . . . 5 |- ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = ( ( _i ^ k ) x. 0 )
14		ax-icn 9547	. . . . . . 7 |- _i e. CC
15		elfznn0 11766	. . . . . . 7 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> k e. NN0 )
16		expcl 12148	. . . . . . 7 |- ( ( _i e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
17	14, 15, 16	sylancr 663	. . . . . 6 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( _i ^ k ) e. CC )
18	17	mul01d 9774	. . . . 5 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. 0 ) = 0 )
19	13, 18	syl5eq 2520	. . . 4 |- ( k e. ( 0 ... 3 ) -> ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = 0 )
20	19	sumeq2i 13480	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0
21		fzfi 12046	. . . . 5 |- ( 0 ... 3 ) e. Fin
22	21	olci 391	. . . 4 |- ( ( 0 ... 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... 3 ) e. Fin )
23		sumz 13503	. . . 4 |- ( ( ( 0 ... 3 ) C_ ( ZZ>= ` 0 ) \/ ( 0 ... 3 ) e. Fin ) -> sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0 = 0 )
24	22, 23	ax-mp 5	. . 3 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) 0 = 0
25	20, 24	eqtri 2496	. 2 |- sum_ k e. ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k ) x. ( S.2 ` ( x e. RR |-> if ( ( x e. (/) /\ 0 <_ ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) ) , ( Re ` ( A / ( _i ^ k ) ) ) , 0 ) ) ) ) = 0
26	2, 25	eqtri 2496	1 |- S. (/) A _d x = 0

Syntax hints:   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ifcif 3939   {csn 4027   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   X. cxp 4997   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Fincfn 7513   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   _ici 9490   x. cmul 9493   <_ cle 9625   / cdiv 10202   3c3 10582   NN0cn0 10791   ZZ>=cuz 11078   ...cfz 11668   ^cexp 12130   Recre 12889   sum_csu 13467   S.2citg2 21760   S.citg 21762

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-isom 5595  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-of 6522  df-ofr 6523  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-oi 7931  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-q 11179  df-rp 11217  df-xadd 11315  df-ioo 11529  df-ico 11531  df-icc 11532  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-seq 12072  df-exp 12131  df-hash 12370  df-cj 12891  df-re 12892  df-im 12893  df-sqrt 13027  df-abs 13028  df-clim 13270  df-sum 13468  df-xmet 18183  df-met 18184  df-ovol 21611  df-vol 21612  df-mbf 21763  df-itg1 21764  df-itg2 21765  df-itg 21767  df-0p 21812

This theorem is referenced by:  itgsplitioo  21979  ditg0  21992  ditgneg  21996  ftc2  22180  ftc2nc  29676  areacirc  29689  itgvol0  31286