MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  itg0 Structured version   Unicode version

Theorem itg0 22478
Description: The integral of anything on the empty set is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
itg0  |-  S. (/) A  _d x  =  0

Proof of Theorem itg0
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . 3  |-  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) )  =  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) )
21dfitg 22468 . 2  |-  S. (/) A  _d x  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3 ) ( ( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )
3 ifan 3931 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  if ( x  e.  (/) ,  if ( 0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )
4 noel 3742 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  x  e.  (/)
54iffalsei 3895 . . . . . . . . . . 11  |-  if ( x  e.  (/) ,  if ( 0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ,  0 ) ,  0 )  =  0
63, 5eqtri 2431 . . . . . . . . . 10  |-  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 )  =  0
76mpteq2i 4478 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
8 fconstmpt 4867 . . . . . . . . 9  |-  ( RR 
X.  { 0 } )  =  ( x  e.  RR  |->  0 )
97, 8eqtr4i 2434 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  ( Re `  ( A  /  (
_i ^ k ) ) ) ) ,  ( Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ,  0 ) )  =  ( RR  X.  { 0 } )
109fveq2i 5852 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  ( S.2 `  ( RR  X.  { 0 } ) )
11 itg20 22436 . . . . . . 7  |-  ( S.2 `  ( RR  X.  {
0 } ) )  =  0
1210, 11eqtri 2431 . . . . . 6  |-  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) )  =  0
1312oveq2i 6289 . . . . 5  |-  ( ( _i ^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  ( ( _i ^ k )  x.  0 )
14 ax-icn 9581 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
15 elfznn0 11826 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  k  e.  NN0 )
16 expcl 12228 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  k  e.  NN0 )  -> 
( _i ^ k
)  e.  CC )
1714, 15, 16sylancr 661 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
_i ^ k )  e.  CC )
1817mul01d 9813 . . . . 5  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  0 )  =  0 )
1913, 18syl5eq 2455 . . . 4  |-  ( k  e.  ( 0 ... 3 )  ->  (
( _i ^ k
)  x.  ( S.2 `  ( x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0 )
2019sumeq2i 13670 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0
21 fzfi 12123 . . . . 5  |-  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin
2221olci 389 . . . 4  |-  ( ( 0 ... 3 ) 
C_  ( ZZ>= `  0
)  \/  ( 0 ... 3 )  e. 
Fin )
23 sumz 13693 . . . 4  |-  ( ( ( 0 ... 3
)  C_  ( ZZ>= ` 
0 )  \/  (
0 ... 3 )  e. 
Fin )  ->  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0 )
2422, 23ax-mp 5 . . 3  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) 0  =  0
2520, 24eqtri 2431 . 2  |-  sum_ k  e.  ( 0 ... 3
) ( ( _i
^ k )  x.  ( S.2 `  (
x  e.  RR  |->  if ( ( x  e.  (/)  /\  0  <_  (
Re `  ( A  /  ( _i ^
k ) ) ) ) ,  ( Re
`  ( A  / 
( _i ^ k
) ) ) ,  0 ) ) ) )  =  0
262, 25eqtri 2431 1  |-  S. (/) A  _d x  =  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842    C_ wss 3414   (/)c0 3738   ifcif 3885   {csn 3972   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4453    X. cxp 4821   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   Fincfn 7554   CCcc 9520   RRcr 9521   0cc0 9522   _ici 9524    x. cmul 9527    <_ cle 9659    / cdiv 10247   3c3 10627   NN0cn0 10836   ZZ>=cuz 11127   ...cfz 11726   ^cexp 12210   Recre 13079   sum_csu 13657   S.2citg2 22317   S.citg 22319
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-ofr 6522  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xadd 11372  df-ioo 11586  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-seq 12152  df-exp 12211  df-hash 12453  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-clim 13460  df-sum 13658  df-xmet 18732  df-met 18733  df-ovol 22168  df-vol 22169  df-mbf 22320  df-itg1 22321  df-itg2 22322  df-itg 22324  df-0p 22369
This theorem is referenced by:  itgsplitioo  22536  ditg0  22549  ditgneg  22553  ftc2  22737  ftc2nc  31472  areacirc  31483  itgvol0  37135
  Copyright terms: Public domain W3C validator