Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxms2 Structured version   Unicode version

Theorem isxms2 21405
 Description: Express the predicate " is an extended metric space" with underlying set and distance function . (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isms.j
isms.x
isms.d
Assertion
Ref Expression
isxms2

Proof of Theorem isxms2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isms.j . . 3
2 isms.x . . 3
3 isms.d . . 3
41, 2, 3isxms 21404 . 2
52, 1istps 19893 . . . 4 TopOn
6 df-mopn 18909 . . . . . . . . . 10
76dmmptss 5293 . . . . . . . . 9
8 toponmax 19885 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
98adantl 467 . . . . . . . . . . 11 TopOn
10 simpl 458 . . . . . . . . . . 11 TopOn
119, 10eleqtrd 2508 . . . . . . . . . 10 TopOn
12 elfvdm 5851 . . . . . . . . . 10
1311, 12syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
147, 13sseldi 3405 . . . . . . . 8 TopOn
15 xmetunirn 21294 . . . . . . . 8
1614, 15sylib 199 . . . . . . 7 TopOn
17 eqid 2428 . . . . . . . . . . . . 13
1817mopntopon 21396 . . . . . . . . . . . 12 TopOn
1916, 18syl 17 . . . . . . . . . . 11 TopOn TopOn
2010, 19eqeltrd 2506 . . . . . . . . . 10 TopOn TopOn
21 toponuni 19884 . . . . . . . . . 10 TopOn
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 TopOn
23 toponuni 19884 . . . . . . . . . 10 TopOn
2423adantl 467 . . . . . . . . 9 TopOn
2522, 24eqtr4d 2465 . . . . . . . 8 TopOn
2625fveq2d 5829 . . . . . . 7 TopOn
2716, 26eleqtrd 2508 . . . . . 6 TopOn
2827ex 435 . . . . 5 TopOn
2917mopntopon 21396 . . . . . 6 TopOn
30 eleq1 2494 . . . . . 6 TopOn TopOn
3129, 30syl5ibr 224 . . . . 5 TopOn
3228, 31impbid 193 . . . 4 TopOn
335, 32syl5bb 260 . . 3
3433pm5.32ri 642 . 2
354, 34bitri 252 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  cuni 4162   cxp 4794   cdm 4796   crn 4797   cres 4798  cfv 5544  cbs 15064  cds 15142  ctopn 15263  ctg 15279  cxmt 18898  cbl 18900  cmopn 18903  TopOnctopon 19860  ctps 19861  cxme 21274 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-sup 7909  df-inf 7910  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-div 10221  df-nn 10561  df-2 10619  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-q 11216  df-rp 11254  df-xneg 11360  df-xadd 11361  df-xmul 11362  df-topgen 15285  df-psmet 18905  df-xmet 18906  df-bl 18908  df-mopn 18909  df-top 19863  df-bases 19864  df-topon 19865  df-topsp 19866  df-xms 21277 This theorem is referenced by:  isms2  21407  xmsxmet  21413  setsxms  21436  tmsxms  21443  imasf1oxms  21446  ressxms  21482  prdsxms  21487
 Copyright terms: Public domain W3C validator