MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmetd Structured version   Unicode version

Theorem isxmetd 20656
Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isxmetd.1  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
isxmetd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
isxmetd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isxmetd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    ph, x, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd
StepHypRef Expression
1 isxmetd.1 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 isxmetd.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3 isxmetd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
433exp2 1214 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  ( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
54imp32 433 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
65ralrimiv 2876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
72, 6jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) )
87ralrimivva 2885 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) )
9 isxmetd.0 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
10 isxmet 20654 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
121, 8, 11mpbir2and 920 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447    X. cxp 4997   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   0cc0 9493   RR*cxr 9628    <_ cle 9630   +ecxad 11317   *Metcxmt 18214
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-fv 5596  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-map 7423  df-xr 9633  df-xmet 18223
This theorem is referenced by:  isxmet2d  20657  xmetres2  20691  comet  20843
  Copyright terms: Public domain W3C validator