MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmetd Structured version   Unicode version

Theorem isxmetd 20034
Description: Properties that determine an extended metric. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isxmetd.0  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
isxmetd.1  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
isxmetd.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
isxmetd.3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
Assertion
Ref Expression
isxmetd  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    ph, x, y, z    x, X, y, z

Proof of Theorem isxmetd
StepHypRef Expression
1 isxmetd.1 . 2  |-  ( ph  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR* )
2 isxmetd.2 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
3 isxmetd.3 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
433exp2 1206 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  X  ->  ( y  e.  X  ->  ( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
54imp32 433 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( z  e.  X  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
65ralrimiv 2828 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  ->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) )
72, 6jca 532 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  X ) )  -> 
( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) )
87ralrimivva 2914 . 2  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_ 
( ( z D x ) +e
( z D y ) ) ) )
9 isxmetd.0 . . 3  |-  ( ph  ->  X  e.  _V )
10 isxmet 20032 . . 3  |-  ( X  e.  _V  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
119, 10syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( D  e.  ( *Met `  X
)  <->  ( D :
( X  X.  X
) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
121, 8, 11mpbir2and 913 1  |-  ( ph  ->  D  e.  ( *Met `  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   _Vcvv 3078   class class class wbr 4401    X. cxp 4947   -->wf 5523   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   0cc0 9394   RR*cxr 9529    <_ cle 9531   +ecxad 11199   *Metcxmt 17927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-map 7327  df-xr 9534  df-xmet 17936
This theorem is referenced by:  isxmet2d  20035  xmetres2  20069  comet  20221
  Copyright terms: Public domain W3C validator