MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isxmet Structured version   Unicode version
Theorem isxmet 20562
Description: Express the predicate " D is an extended metric." (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y, z)
Proof of Theorem isxmet
Dummy variables d t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3122 . . . . 5 |- ( X e. A -> X e. _V )
2 xpeq12 5018 . . . . . . . . 9 |- ( ( t = X /\ t = X ) -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
32anidms 645 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
43oveq2d 6298 . . . . . . 7 |- ( t = X -> ( RR* ^m ( t X. t ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
5 raleq 3058 . . . . . . . . . 10 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
76raleqbi1dv 3066 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 3066 . . . . . . 7 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 3108 . . . . . 6 |- ( t = X -> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 df-xmet 18183 . . . . . 6 |- *Met = ( t e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6307 . . . . . . 7 |- ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V
1211rabex 4598 . . . . . 6 |- { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V
139, 10, 12fvmpt 5948 . . . . 5 |- ( X e. _V -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 16 . . . 4 |- ( X e. A -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2537 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6288 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
1716eqeq1d 2469 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
1817bibi1d 319 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) ) )
19 oveq 6288 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
20 oveq 6288 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6300 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2216, 21breq12d 4460 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2322ralbidv 2903 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2418, 23anbi12d 710 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
25242ralbidv 2908 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3261 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 261 . 2 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
28 xrex 11213 . . . 4 |- RR* e. _V
29 xpexg 6709 . . . . 5 |- ( ( X e. A /\ X e. A ) -> ( X X. X ) e. _V )
3029anidms 645 . . . 4 |- ( X e. A -> ( X X. X ) e. _V )
31 elmapg 7430 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3228, 30, 31sylancr 663 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3332anbi1d 704 . 2 |- ( X e. A -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3427, 33bitrd 253 1 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   X. cxp 4997   -->wf 5582   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   ^m cmap 7417   0cc0 9488   RR*cxr 9623   <_ cle 9625   +ecxad 11312   *Metcxmt 18174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-xr 9628  df-xmet 18183
This theorem is referenced by:  isxmetd  20564  xmetf  20567  ismet2  20571  xmeteq0  20576  xmettri2  20578  imasf1oxmet  20613  pstmxmet  27512
  Copyright terms: Public domain W3C validator