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Theorem isxmet 19904
Description: Express the predicate " D is an extended metric." (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y, z)
Proof of Theorem isxmet
Dummy variables d t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2986 . . . . 5 |- ( X e. A -> X e. _V )
2 xpeq12 4864 . . . . . . . . 9 |- ( ( t = X /\ t = X ) -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
32anidms 645 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
43oveq2d 6112 . . . . . . 7 |- ( t = X -> ( RR* ^m ( t X. t ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
5 raleq 2922 . . . . . . . . . 10 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
76raleqbi1dv 2930 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2930 . . . . . . 7 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2972 . . . . . 6 |- ( t = X -> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 df-xmet 17815 . . . . . 6 |- *Met = ( t e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6121 . . . . . . 7 |- ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V
1211rabex 4448 . . . . . 6 |- { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V
139, 10, 12fvmpt 5779 . . . . 5 |- ( X e. _V -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 16 . . . 4 |- ( X e. A -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2510 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6102 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
1716eqeq1d 2451 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
1817bibi1d 319 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) ) )
19 oveq 6102 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
20 oveq 6102 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6114 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2216, 21breq12d 4310 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2322ralbidv 2740 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2418, 23anbi12d 710 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
25242ralbidv 2762 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3122 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 261 . 2 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
28 xrex 10993 . . . 4 |- RR* e. _V
29 xpexg 6512 . . . . 5 |- ( ( X e. A /\ X e. A ) -> ( X X. X ) e. _V )
3029anidms 645 . . . 4 |- ( X e. A -> ( X X. X ) e. _V )
31 elmapg 7232 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3228, 30, 31sylancr 663 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3332anbi1d 704 . 2 |- ( X e. A -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3427, 33bitrd 253 1 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   class class class wbr 4297   X. cxp 4843   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   ^m cmap 7219   0cc0 9287   RR*cxr 9422   <_ cle 9424   +ecxad 11092   *Metcxmt 17806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-map 7221  df-xr 9427  df-xmet 17815
This theorem is referenced by:  isxmetd  19906  xmetf  19909  ismet2  19913  xmeteq0  19918  xmettri2  19920  imasf1oxmet  19955  pstmxmet  26329
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