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Theorem isxmet 19858
Description: Express the predicate " D is an extended metric." (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, D   x, X, y, z
Allowed substitution hints:   A( x, y, z)
Proof of Theorem isxmet
Dummy variables d t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2979 . . . . 5 |- ( X e. A -> X e. _V )
2 xpeq12 4855 . . . . . . . . 9 |- ( ( t = X /\ t = X ) -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
32anidms 640 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( t X. t ) = ( X X. X ) )
43oveq2d 6106 . . . . . . 7 |- ( t = X -> ( RR* ^m ( t X. t ) ) = ( RR* ^m ( X X. X ) ) )
5 raleq 2915 . . . . . . . . . 10 |- ( t = X -> ( A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65anbi2d 698 . . . . . . . . 9 |- ( t = X -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
76raleqbi1dv 2923 . . . . . . . 8 |- ( t = X -> ( A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2923 . . . . . . 7 |- ( t = X -> ( A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2965 . . . . . 6 |- ( t = X -> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 df-xmet 17769 . . . . . 6 |- *Met = ( t e. _V |-> { d e. ( RR* ^m ( t X. t ) ) | A. x e. t A. y e. t ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. t ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6115 . . . . . . 7 |- ( RR* ^m ( X X. X ) ) e. _V
1211rabex 4440 . . . . . 6 |- { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } e. _V
139, 10, 12fvmpt 5771 . . . . 5 |- ( X e. _V -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 16 . . . 4 |- ( X e. A -> ( *Met ` X ) = { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2508 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6096 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( x d y ) = ( x D y ) )
1716eqeq1d 2449 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) = 0 <-> ( x D y ) = 0 ) )
1817bibi1d 319 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) <-> ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) ) )
19 oveq 6096 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d x ) = ( z D x ) )
20 oveq 6096 . . . . . . . . 9 |- ( d = D -> ( z d y ) = ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6108 . . . . . . . 8 |- ( d = D -> ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) = ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2216, 21breq12d 4302 . . . . . . 7 |- ( d = D -> ( ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2322ralbidv 2733 . . . . . 6 |- ( d = D -> ( A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) <-> A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2418, 23anbi12d 705 . . . . 5 |- ( d = D -> ( ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
25242ralbidv 2755 . . . 4 |- ( d = D -> ( A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) <-> A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3114 . . 3 |- ( D e. { d e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) | A. x e. X A. y e. X ( ( ( x d y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x d y ) <_ ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 261 . 2 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
28 xrex 10984 . . . 4 |- RR* e. _V
29 xpexg 6506 . . . . 5 |- ( ( X e. A /\ X e. A ) -> ( X X. X ) e. _V )
3029anidms 640 . . . 4 |- ( X e. A -> ( X X. X ) e. _V )
31 elmapg 7223 . . . 4 |- ( ( RR* e. _V /\ ( X X. X ) e. _V ) -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3228, 30, 31sylancr 658 . . 3 |- ( X e. A -> ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) <-> D : ( X X. X ) --> RR* ) )
3332anbi1d 699 . 2 |- ( X e. A -> ( ( D e. ( RR* ^m ( X X. X ) ) /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3427, 33bitrd 253 1 |- ( X e. A -> ( D e. ( *Met ` X ) <-> ( D : ( X X. X ) --> RR* /\ A. x e. X A. y e. X ( ( ( x D y ) = 0 <-> x = y ) /\ A. z e. X ( x D y ) <_ ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   {crab 2717   _Vcvv 2970   class class class wbr 4289   X. cxp 4834   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ^m cmap 7210   0cc0 9278   RR*cxr 9413   <_ cle 9415   +ecxad 11083   *Metcxmt 17760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-fv 5423  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-map 7212  df-xr 9418  df-xmet 17769
This theorem is referenced by:  isxmetd  19860  xmetf  19863  ismet2  19867  xmeteq0  19872  xmettri2  19874  imasf1oxmet  19909  pstmxmet  26260
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