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Theorem isxmet 19904
Description: Express the predicate " D is an extended metric." (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isxmet  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, D    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    A( x, y, z)

Proof of Theorem isxmet
Dummy variables  d 
t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2986 . . . . 5  |-  ( X  e.  A  ->  X  e.  _V )
2 xpeq12 4864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( t  =  X  /\  t  =  X )  ->  ( t  X.  t
)  =  ( X  X.  X ) )
32anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  (
t  X.  t )  =  ( X  X.  X ) )
43oveq2d 6112 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( RR*  ^m  ( t  X.  t ) )  =  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) ) )
5 raleq 2922 . . . . . . . . . 10  |-  ( t  =  X  ->  ( A. z  e.  t 
( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) ) ) )
65anbi2d 703 . . . . . . . . 9  |-  ( t  =  X  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) )  <->  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
76raleqbi1dv 2930 . . . . . . . 8  |-  ( t  =  X  ->  ( A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) )  <->  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
87raleqbi1dv 2930 . . . . . . 7  |-  ( t  =  X  ->  ( A. x  e.  t  A. y  e.  t 
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  t  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) ) )
94, 8rabeqbidv 2972 . . . . . 6  |-  ( t  =  X  ->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
t  X.  t ) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  t  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) }  =  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
10 df-xmet 17815 . . . . . 6  |-  *Met  =  ( t  e. 
_V  |->  { d  e.  ( RR*  ^m  (
t  X.  t ) )  |  A. x  e.  t  A. y  e.  t  ( (
( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  t  ( x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
11 ovex 6121 . . . . . . 7  |-  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  e.  _V
1211rabex 4448 . . . . . 6  |-  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) }  e.  _V
139, 10, 12fvmpt 5779 . . . . 5  |-  ( X  e.  _V  ->  ( *Met `  X )  =  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
141, 13syl 16 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( *Met `  X )  =  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } )
1514eleq2d 2510 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  D  e.  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x d y )  <_  (
( z d x ) +e ( z d y ) ) ) } ) )
16 oveq 6102 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
x d y )  =  ( x D y ) )
1716eqeq1d 2451 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  =  0  <->  (
x D y )  =  0 ) )
1817bibi1d 319 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( x d y )  =  0  <-> 
x  =  y )  <-> 
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) ) )
19 oveq 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d x )  =  ( z D x ) )
20 oveq 6102 . . . . . . . . 9  |-  ( d  =  D  ->  (
z d y )  =  ( z D y ) )
2119, 20oveq12d 6114 . . . . . . . 8  |-  ( d  =  D  ->  (
( z d x ) +e ( z d y ) )  =  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) )
2216, 21breq12d 4310 . . . . . . 7  |-  ( d  =  D  ->  (
( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) )  <-> 
( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2322ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( d  =  D  ->  ( A. z  e.  X  ( x d y )  <_  ( (
z d x ) +e ( z d y ) )  <->  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( (
z D x ) +e ( z D y ) ) ) )
2418, 23anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( d  =  D  ->  (
( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) )  <->  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
25242ralbidv 2762 . . . 4  |-  ( d  =  D  ->  ( A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y
)  /\  A. z  e.  X  ( x
d y )  <_ 
( ( z d x ) +e
( z d y ) ) )  <->  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( (
( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2625elrab 3122 . . 3  |-  ( D  e.  { d  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  |  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x d y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x d y )  <_  ( ( z d x ) +e ( z d y ) ) ) }  <->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) )
2715, 26syl6bb 261 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  ( ( ( x D y )  =  0  <->  x  =  y )  /\  A. z  e.  X  (
x D y )  <_  ( ( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
28 xrex 10993 . . . 4  |-  RR*  e.  _V
29 xpexg 6512 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  A  /\  X  e.  A )  ->  ( X  X.  X
)  e.  _V )
3029anidms 645 . . . 4  |-  ( X  e.  A  ->  ( X  X.  X )  e. 
_V )
31 elmapg 7232 . . . 4  |-  ( (
RR*  e.  _V  /\  ( X  X.  X )  e. 
_V )  ->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR* ) )
3228, 30, 31sylancr 663 . . 3  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( RR*  ^m  ( X  X.  X
) )  <->  D :
( X  X.  X
) --> RR* ) )
3332anbi1d 704 . 2  |-  ( X  e.  A  ->  (
( D  e.  (
RR*  ^m  ( X  X.  X ) )  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
3427, 33bitrd 253 1  |-  ( X  e.  A  ->  ( D  e.  ( *Met `  X )  <->  ( D : ( X  X.  X ) --> RR*  /\  A. x  e.  X  A. y  e.  X  (
( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y )  /\  A. z  e.  X  ( x D y )  <_  (
( z D x ) +e ( z D y ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   {crab 2724   _Vcvv 2977   class class class wbr 4297    X. cxp 4843   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    ^m cmap 7219   0cc0 9287   RR*cxr 9422    <_ cle 9424   +ecxad 11092   *Metcxmt 17806
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-uni 4097  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-id 4641  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-fv 5431  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-map 7221  df-xr 9427  df-xmet 17815
This theorem is referenced by:  isxmetd  19906  xmetf  19909  ismet2  19913  xmeteq0  19918  xmettri2  19920  imasf1oxmet  19955  pstmxmet  26329
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