Theorem iswwlkn 30467

Description: Properties of a word to represent a walk of a fixed length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iswwlkn	|- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN0 ) -> ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) <-> ( W e. ( V WWalks E ) /\ ( # ` W ) = ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem iswwlkn

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlkn 30465	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN0 ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) = { w e. ( V WWalks E ) | ( # ` w ) = ( N + 1 ) } )
2	1	eleq2d 2524	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN0 ) -> ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) <-> W e. { w e. ( V WWalks E ) | ( # ` w ) = ( N + 1 ) } ) )
3		fveq2 5800	. . . 4 |- ( w = W -> ( # ` w ) = ( # ` W ) )
4	3	eqeq1d 2456	. . 3 |- ( w = W -> ( ( # ` w ) = ( N + 1 ) <-> ( # ` W ) = ( N + 1 ) ) )
5	4	elrab 3224	. 2 |- ( W e. { w e. ( V WWalks E ) | ( # ` w ) = ( N + 1 ) } <-> ( W e. ( V WWalks E ) /\ ( # ` W ) = ( N + 1 ) ) )
6	2, 5	syl6bb 261	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN0 ) -> ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) <-> ( W e. ( V WWalks E ) /\ ( # ` W ) = ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2803   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   1c1 9395   + caddc 9397   NN0cn0 10691   #chash 12221   WWalks cwwlk 30460   WWalksN cwwlkn 30461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-nn 10435  df-n0 10692  df-wwlkn 30463

This theorem is referenced by:  wwlknimp  30470  wwlkn0  30472  wlklniswwlkn1  30482  wlklniswwlkn2  30483  wwlkiswwlkn  30485  vfwlkniswwlkn  30489  wwlknred  30504  wwlknext  30505  clwwlkel  30604  clwwlkf  30605  wwlksubclwwlk  30615  rusgranumwlkl1  30708  wwlkextproplem3  30711  rusgra0edg  30722