Theorem iswwlkn 25412

Description: Properties of a word to represent a walk of a fixed length (in an undirected graph). (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Jul-2018.)

Assertion

Ref	Expression
iswwlkn	|- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN0 ) -> ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) <-> ( W e. ( V WWalks E ) /\ ( # ` W ) = ( N + 1 ) ) ) )

Proof of Theorem iswwlkn

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlkn 25410	. . 3 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN0 ) -> ( ( V WWalksN E ) ` N ) = { w e. ( V WWalks E ) | ( # ` w ) = ( N + 1 ) } )
2	1	eleq2d 2514	. 2 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN0 ) -> ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) <-> W e. { w e. ( V WWalks E ) | ( # ` w ) = ( N + 1 ) } ) )
3		fveq2 5865	. . . 4 |- ( w = W -> ( # ` w ) = ( # ` W ) )
4	3	eqeq1d 2453	. . 3 |- ( w = W -> ( ( # ` w ) = ( N + 1 ) <-> ( # ` W ) = ( N + 1 ) ) )
5	4	elrab 3196	. 2 |- ( W e. { w e. ( V WWalks E ) | ( # ` w ) = ( N + 1 ) } <-> ( W e. ( V WWalks E ) /\ ( # ` W ) = ( N + 1 ) ) )
6	2, 5	syl6bb 265	1 |- ( ( V e. X /\ E e. Y /\ N e. NN0 ) -> ( W e. ( ( V WWalksN E ) ` N ) <-> ( W e. ( V WWalks E ) /\ ( # ` W ) = ( N + 1 ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   {crab 2741   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   1c1 9540   + caddc 9542   NN0cn0 10869   #chash 12515   WWalks cwwlk 25405   WWalksN cwwlkn 25406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-nn 10610  df-n0 10870  df-wwlkn 25408

This theorem is referenced by:  wwlknimp  25415  wwlkn0  25417  wlklniswwlkn1  25427  wlklniswwlkn2  25428  wwlkiswwlkn  25430  vfwlkniswwlkn  25434  wwlknred  25451  wwlknext  25452  wwlkextproplem3  25471  clwwlkel  25521  clwwlkf  25522  wwlksubclwwlk  25532  rusgranumwlkl1  25675  rusgra0edg  25683